概率論知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

概率論知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一章隨機(jī)事件及其概率

第一節(jié)根本概念

隨機(jī)實(shí)驗(yàn)：將一切具有下面三個(gè)特點(diǎn)：（1）可重復(fù)性（2）多結(jié)果性（3）不確定性的試

驗(yàn)或觀察稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn),簡(jiǎn)稱(chēng)為試驗(yàn),常用E表示.

隨機(jī)事件：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事情（結(jié)果）稱(chēng)為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱(chēng)為

事件.

不可能事件：在試驗(yàn)中不可能出現(xiàn)的事情，記為①.

必然事件：在試驗(yàn)中必然出現(xiàn)的事情，記為..

樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)根本結(jié)果稱(chēng)為樣本點(diǎn)，記作3.

樣本空間：所有樣本點(diǎn)組成的集合稱(chēng)為樣本空間.樣本空間用.表示.

一個(gè)隨機(jī)事件就是樣本空間的一個(gè)子集.根本領(lǐng)件一單點(diǎn)集,復(fù)合事件一多點(diǎn)集

一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)該事件所包含的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn).

事件的關(guān)系與運(yùn)算（就是集合的關(guān)系和運(yùn)算）

包含關(guān)系：假設(shè)事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生,那么稱(chēng)B包含A,記為B垃A或A之B.

相等關(guān)系：假設(shè)8=A且A=3,那么稱(chēng)事件A與事件B相等，記為A=B.

事件的和：“事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生"是一事件,稱(chēng)此事件為事件A與事件B的

和事件.記為AUB.

事件的積：稱(chēng)事件“事件A與事件B都發(fā)生"為A與B的積事件,記為AHB或AB.

事件的差：稱(chēng)事件“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生〃為事件A與事件B的差事件，記為A—B.

用交并補(bǔ)可以表示為A-B=AB.

互斥事件：如果A,B兩事件不能同時(shí)發(fā)生，即人8=中，那么稱(chēng)事件A與事件B是互不相容

事件或互斥事件.互斥時(shí)AuB可記為A+B.

對(duì)立事件：稱(chēng)事件“A不發(fā)生”為事件A的對(duì)立事件(逆事件)，記為A.對(duì)立事件的性質(zhì)：Ac

B=①,Au8=Q.

事件運(yùn)算律：設(shè)A,B,C為事件，那么有

⑴交換律：AUB=BUA,AB=BA

(2)結(jié)合律：AU(BUC)=(AUB)UC=AUBUCA(BC)=(AB)C=ABC

(3)分配律：AU(BHC)=(AUB)n(AUC)A(BUC)=(AHB)U(AnC)=ABUAC

(4)對(duì)偶律(摩根律)：AuB=AcBAcB=AuB

第二節(jié)事件的概率

概率的公理化體系：(1)非負(fù)性:P(A)三0；

(2)標(biāo)準(zhǔn)性:P(Q)=1(3)可數(shù)可加性:AluA2u...uAu...兩兩不相容時(shí)

概率的性質(zhì):

(1)P(①)=0

(2)有限可加性：AluA2u...uA兩兩不相容時(shí)

當(dāng)AB二①時(shí)P(AUB)=P(A)+P(B)

(3)P(A)=1-P(A)

(4)P(A-B)=P(A)-P(AB)

(5)P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

第三節(jié)古典概率模型

1、設(shè)試驗(yàn)E是古典概型,其樣本空間.由n個(gè)樣本點(diǎn)組成,事件A由k個(gè)樣本點(diǎn)組成.那么

k

定義事件A的概率為P(A)=%

n

2、幾何概率：設(shè)事件A是Q的某個(gè)區(qū)域，它的面積為u(A),那么向區(qū)域.上隨機(jī)投擲一

點(diǎn)，該點(diǎn)落在區(qū)域A的概率為P(A)=曳*

MQ)

假設(shè)樣本空間.可用一線(xiàn)段,或空間中某個(gè)區(qū)域表示,那么事件A的概率仍可用上式確定，只

不過(guò)把口理解為長(zhǎng)度或體積即可.

第四節(jié)條件概率條件概率：在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率稱(chēng)為條件概率，記

作P(A|B).

乘法公式:P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)

全概率公式：設(shè)今是一個(gè)完備事件組,那么P(B)=￡P(guān)(A)P(B|A)

貝葉斯公式：設(shè)Al,A”..,是一個(gè)完備事件組，那么

第五節(jié)事件的獨(dú)立性

兩個(gè)事件的相互獨(dú)立：假設(shè)兩事件A、B滿(mǎn)足P(AB)=P(A)P(B),那么稱(chēng)A、B獨(dú)立，或稱(chēng)A、

B相互獨(dú)立.

三個(gè)事件的相互獨(dú)立:對(duì)于三個(gè)事件A、B、C,假設(shè)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),

P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C),那么稱(chēng)A、B、C相互獨(dú)立

三個(gè)事件的兩兩獨(dú)立:對(duì)于三個(gè)事件A、B、C,假設(shè)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),

P(BC)=P(B)P(C),那么稱(chēng)A、B、C兩兩獨(dú)立

獨(dú)立的性質(zhì)：假設(shè)A與B相互獨(dú)立,那么A與B,A與3,A與3均相互獨(dú)立

總結(jié)：1.條件概率是概率論中的重要概念，其與獨(dú)立性有密切的關(guān)系，在不具有獨(dú)立性的場(chǎng)

合,它將扮演主要的角色.2.乘法公式、全概公式、貝葉斯公式在概率論的計(jì)算中經(jīng)常使用，

應(yīng)牢固掌握.3.獨(dú)立性是概率論中的最重要概念之一,應(yīng)正確理解并應(yīng)用于概率的計(jì)算.

第二章一維隨機(jī)變量及其分布

第二節(jié)分布函數(shù)分布函數(shù)：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,x為一個(gè)任意實(shí)數(shù)，稱(chēng)函數(shù)/(X)=P(X

＜》｝為X的分布函數(shù).如果將X看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),那么分布函數(shù)F(x)的值就表示

X落在區(qū)間［-8,X］內(nèi)的概率

分布函數(shù)的性質(zhì)：(1)單調(diào)不減；(2)右連續(xù)；(3)F(-8)=0/(+8)=1

第三節(jié)離散型隨機(jī)變量

離散型隨機(jī)變量的分布律：設(shè)xjk=l,2,…)是離散型隨機(jī)變量X所取的一切可能值，稱(chēng)P/X

=x”=p“為離散型隨機(jī)變量X的分布律,也稱(chēng)概率分布.

當(dāng)離散性隨機(jī)變量取值有限且概率的規(guī)律不明顯時(shí),常用表格形式表示分布律.

分布律的性質(zhì)：⑴0＜?。?；⑵ZpA=l

離散型隨機(jī)變量的概率計(jì)算：

(1)隨機(jī)變量X的分布律，求X的分布函數(shù)；

(2)隨機(jī)變量X的分布律，求任意隨機(jī)事件的概率；

(3)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，求X的分布律

三種常用離散型隨機(jī)變量的分布：

1.(0—1)分布：參數(shù)為p的分布律為P/X=1}=p,P/X=0}=1-p

2.二項(xiàng)分布：參數(shù)為n,p的分布律為PfX=k}=Ckpk(1-p)k=0,1,2,，幾例如n“

重獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為P,記X為這n次實(shí)驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),那么X

B(n,p)

入k

3.泊松分布：參數(shù)為人的分布率為尸{X=k}=ke-3k=0,1,2,.例如記X為某段事件

內(nèi)交換機(jī)接到的呼叫次數(shù)，那么X?P(入)

第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量

連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度f(wàn)(x)的性質(zhì)

⑴f(x)三0

(2)If(x)dx=1,P{X-a]-3af(x)dx=0

一8a

b

(3)P{a〈X<b}=P{a<X<b}=P{a<X〈b)=P{a<X〈b}=\f(x)dx

a

(4)f(x)=F'(x),F(x)=ixf(x)dx

—8

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率計(jì)算：

⑴隨機(jī)變量X的密度函數(shù),求X的分布函數(shù)；F(x)=\xf(x)dx

-8

(2)隨機(jī)變量X的分布函數(shù),求X的密度函數(shù)；/㈤=F(x)

(3)隨機(jī)變量X的密度函數(shù),求隨機(jī)事件的概率；P(a<X<b/=Jbf(x)dx

(4)隨機(jī)變量X的分布函數(shù),求隨機(jī)事件的概率；P{a<X<b}=F(b)-F(a)

三種重要的連續(xù)型分布:

a-x~九記為X?U[a,b].

1.均勻分布：密度函數(shù)/(X)=else

a0

2.指數(shù)分布：密度函數(shù)〃x)=\'hx>°,記為X?E(入)

I0X-0

N(0,1)稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可

IuA)2

3.正態(tài)分布：密度函數(shù)〃X尸.e20；

以通過(guò)線(xiàn)性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)為布，然扁計(jì)算概率.

第五節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的分布

離散型：在分布律的表格中直接求出；連續(xù)型：尋找分布函數(shù)間的關(guān)系，再求導(dǎo)得到密度

函數(shù)間的關(guān)系；注意分段函數(shù)情況可能

需要討論，得到的結(jié)果也可能是分段函數(shù).

第三章多維隨機(jī)變量及其分布

第一節(jié)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)

聯(lián)合分布函數(shù)Rx,y)=P{X-x,7-y},表示隨機(jī)點(diǎn)落在以(x,y)為頂點(diǎn)的左下無(wú)窮矩

形區(qū)域內(nèi)的概率.

聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)：(1)分別關(guān)于x和y單調(diào)不減；

⑵分別關(guān)于x和y右連續(xù)；

33)F(-8,y)=0,F(x,-8)=0,F(-8,-8)=0

F(+8,+8)=1

第二節(jié)二維離散型隨機(jī)變量

聯(lián)合分布律：P{X=x,Y=y}=p

聯(lián)合分布律的性質(zhì)：pi>0;注p,=1

第三節(jié)二維連續(xù)性隨機(jī)變量

聯(lián)合密度：F(x,y)=f>dv\xf(u,v)du

-gs

聯(lián)合密度的性質(zhì)：f(x,y)>0；fff(x,y)dxdy-1；P{(x,y)eD}=^f(x,y)dxdy

R2

D

第四節(jié)邊緣分布

二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律：在表格邊緣,對(duì)應(yīng)概率相加求出；

二維連續(xù)性隨機(jī)變量的邊緣密度：先求出邊緣分布函數(shù),在求導(dǎo)