廣東省深圳市光明區(qū)高級中學2022屆普通高中畢業(yè)班模擬測試（一）數(shù)學試題

絕密★啟用前試卷類型：A

2022屆普通高中畢業(yè)班模擬測試（一）

數(shù)學試題

本試卷共4頁，22小題，滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。

注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將

試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)

位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按

以上要求作答無效。

4.考生必須保持答題卡的整潔。考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.集合A={—1,0,1,2,3},3={0,2,4},則圖中陰影部分所表示的集合為

A.{0,2}B.{-1,1,3,4）

C.{-1,0,2,4}D.{-1,0,1,2,3,4）

z

2.在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應(yīng)的點的坐標是（1,-3）,則復數(shù)一的虛部是

Z

343

A.-B.-C.-i

555

（—）x-1<0

3.已知函數(shù)/（x）=j2'x,若/（。）=1,則/（〃+1）=

-log2（x+l）,x>0

A.—1B.---C.0

2

■JT

4.已知角。的終邊過點A（—1,1）,則sin（一一6）=

6

AV2+V6n-72+76_72-X/6n五一瓜

4444

5.已知圓C：（x—=4與拋物線〉二〃工2（〃>0）的準線相切，則。=

A.—B.—C.4D.8

84

6.在我國古代著名的數(shù)學專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬與鴛馬發(fā)長安至齊，齊去長安一千一

百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；弩馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復

還迎鴛馬，二馬相逢.相逢時良馬比鴛馬多行

A.114里B.426里C.540里D.963里

7.設(shè)函數(shù)/（尤）=5皿5一5）（口〉0）,若|/（%）—/（%2）|=2時，,一旬的最小值為

1T

A.函數(shù)/（X）的周期為一

7T

B.將函數(shù)/（X）的圖像向左平移一個單位，得到的函數(shù)為奇函數(shù)

4

C.當/（x）的值域為鳥』）

D.函數(shù)/（X）在區(qū)間［一乃,7T］上的零點個數(shù)共有6個

8.若正三棱柱ABC—的所有頂點都在同一個球。的表面上，且球。的體積的最小

值為一，則該三棱柱的側(cè)面積為

3

A.6也B.3Gc.3y［2D.3

二、選擇題：本題共4小題。每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全

部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.5G技術(shù)的運營不僅提高了網(wǎng)絡(luò)傳輸速度，更拓寬了網(wǎng)絡(luò)資源的服務(wù)范圍，促進了5G手

機的銷量.某手機商城統(tǒng)計了5個月的5G手機銷量，如下表所示:

月份2021年7月2021年8月2021年9月2021年10月2021年11月

月份編號X12345

銷量y部5295a185227

若y與X線性相關(guān)，由上表數(shù)據(jù)求得線性回歸方程為9=44x+10,則下列說法正確的是

A.5G手機的銷量逐月增加，平均每個月增加約10臺B.a=151

C.丁與X正相關(guān)D.預計2022年1月份該手機商城的5G手機銷量約為318部

10.在A/WC中，D為中點，且荏=2而，貝I］

A.CE=-CA+-CBB.CE=-CA+-CB

3633

c.CEU（CA+CB）D.CE1（CA-CB）

11.如圖，點M是棱長為1的正方體ABC。一AMGA中的側(cè)面上的一個動點（包

含邊界），則下列結(jié)論正確的是

A.有無數(shù)個點M滿足CM1AD}

B.當點M在棱上運動時，+的最小值為

V3+1

C.若MB\=O,則動點M的軌跡長度為工

4

D.在線段A?上存在點〃，使異面直線與CD所成的角是30°

12.若/（%）圖象上存在兩點A，3關(guān)于原點對稱，則點對［AB］稱為函數(shù)/（x）的“友情

點對"（點對［A,可與［8,A］視為同一個“友情點對”）.若f（x）=xe'+^,且

2022=2022,2022〃=2021，c=|cos（M|（ZreZ）,則

A./（X）有無數(shù)個“友情點對”B.f（X）恰有2個“友情點對

C./(a)</(0)</(c)D.f(b)</(c)</(a)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若二項式（X---）"的展開式的第3項與第9項的二項式系數(shù)相等，o07

2x

則展開式的常數(shù)項是.（用數(shù)字作答）005

0.04

14.某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機抽取該流0。3

水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量（單位：克），重量的0Q1

分組區(qū)間為（490,495］,（495,500］,（510,515］,由此得

到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示.根據(jù)頻率分布直方圖，則樣本產(chǎn)品重量的中位數(shù)為（結(jié)

果保留一位小數(shù))，用樣本估計總體，若從流水線上任取5件產(chǎn)品，則恰有2件產(chǎn)品的重量不超過505

克的概率為.

15.已知函數(shù)/(x)=xlnx—ax2+x(aeR),則曲線y=/(x)在點處的切線/恒

過定點.

22

16.已知K，K為雙曲線C：「一斗=l(a>0,0>0)的兩個焦點，P,Q為c上關(guān)于坐

db~

標原點對稱的兩點，且|PQ|=|4鳥若直線PQ的斜率為G，則C的離心率為一

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)

已知各項都為正數(shù)的數(shù)列｛q｝滿足4+1+an=3-2",q=1.

⑴若仇=a“一2",求證：也』是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛%｝的前〃項和S“.

18.(12分)

如圖，A3是圓0的直徑，點C是圓。上異于AB的點，直線尸平面ABC，

E,尸分別是小,尸。的中點.

(1)記平面BEF與平面ABC的交線為/，

求證：直線/〃平面P4C；

(2)若PC=A3=2,點。是48的中點，

求二面角￡—/—C的正弦值.

19.（12分）

為了調(diào)查高中生的數(shù)學成績與學生自主學習時間之間的相關(guān)關(guān)系，某中學數(shù)學教師對新入學的180名

學生進行了跟蹤調(diào)查，其中每周自主做數(shù)學題的時間不少于12小時的有76人，統(tǒng)計成績后，得到如

下的2x2列聯(lián)表:

標準分數(shù)大于等于120分標準分數(shù)不足120分合計

周自主做數(shù)學題時間不

6076

少于12小時

周自主做數(shù)學題時間不

64

足12小時

合計180

(1)請完成上面的2x2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“高中生的數(shù)

學成績與學生自主學習時間有關(guān)“：

(2)(i)若將頻率視為概率，從全校本學期檢測數(shù)學標準分數(shù)大于等于120分的學生中隨機抽取12

人，求這些人中周自主做數(shù)學題時間不少于12小時的人數(shù)的期望；

(ii)通過問卷調(diào)杳發(fā)現(xiàn)，從全校本學期檢測數(shù)學標準分數(shù)大于等于120分的學生中隨機抽取12

人，這12人周自主做數(shù)學題時間的情況分三類，A類：周自主做數(shù)學題時間大于等于16小時的有4

人；6類：周自主做數(shù)學題時間大于等于12小時小于16小時的有5人；。類：周自主做數(shù)學題時間

不足12小時的有3人.若從這隨機抽出的12人中再隨機抽取3人進一步了解情況，記X為抽取的這3

名同學中A類人數(shù)和C類人數(shù)差的絕對值，求X的數(shù)學期望.

&n(ad—bc\,,

附：參考公式和數(shù)據(jù)：K2=-------"-消~!―-----n=a+b+c+d.

[a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

附表:

2706

上03.8416.6357.87910.828

P(心叫)0.1000.0500.0100.0050.001

20.（12分）

如圖，在四邊形ABC。中，ABHCD>AB=2，CD=5,ZABC=—

3

(i)若AC=25，求AABC的面積;

(2)若AC18。，求tanNA6E>.

21.(12分)

已知橢圓C：2?+5=1(。＞6＞0)的右焦點為尸(1,0),且過點”[LT)

(1)求橢圓。的方程;

(2)過橢圓。的左頂點A作直線與橢圓相交，另一交點為尸，點M是AP的中點，點Q在直線

x=4上，且OQ//AP,求證：直線0M與直線。F的交點在某定曲線上.

22.(12分)

已知函數(shù)/(x)=ex-ar+sinx-l.

(1)當a=2時，求函數(shù)/(X)的極值點;

(2)當14。＜2時，試討論函數(shù)/(x)的零點個數(shù).

數(shù)學參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

題號12345678

答案BACDACDB

1.【答案】B

【詳解】圖中陰影部分所表示的集合為=11,3,4}

2.【答案】A

【詳解】由題意得：復數(shù)z=l-3i,所以5=l+3i,則三=匕2=（1+3）

zl-3z（1-3/）（1+3z）

毛絲甘t則復數(shù):的虛部境

3.【答案】C

%<0,

【詳解】???/（x）=-2,f(a)=l

-log2(x+l),x>0

???當。＜0時，（一）=解得。=一1：

當。之0時，一log2（a+l）=l,解得a+l=g即a

--（舍去）,

2

.?./3+1)=/(0)=_1唯1=0.

4.【答案】D

【詳解】因為角。的終邊過點所以sin0=等,cos0=—4

sin(--3)=sin—cos0-cos義sin8=亞——

6664

5.【答案】A

【詳解】因為圓C:(x—1)2+/=4的圓心為(1,0),半徑為廠=2

拋物線y=ax2(a>0)的準線為y=——

4。

所以|----1=2,即a=—

4。8

6.【答案】C

【詳解】由題意得，兩馬共同走完兩倍的齊至長安的距離，假設(shè)兩馬第4日相逢，因為良馬首日行103里,

所以第&日行[103+13(左一1)]里，故相遇時良馬行口03+103+13(._1)]X:里,鴛馬行

2

[97+97-°.5(I)]x"里，兩馬共行]]25x2=2250里.則

2

口。3+1。3+13(1)]公[97+97-。.5(I)]x。25。.解得:―。(舍去)，

22

[103+103+13x81x9烈口,」97+97-0.5x8]x9

此時良馬仃---------------------=1395里，駕馬仃---------------------=855S.

22

1395—855=540(里).故選c.

7.【答案】D

Tjr27127171

【詳解】解：由題意，得5=2,所以T=三，則。=竿=3,所以/(x)=sin(3x—￡)

71

選項A不正確；對于選項B：將函數(shù)/(X)的圖像向左平移1個單位，得到的函數(shù)是

f(x)—sin[3(xH—)--]=cos3x為偶函數(shù)，所以選項B錯誤；對于選項C：當時xw(一,—),

4463

7T773兀yj2

則一<3x——<—,所以/(%)的值域為(=川，選項c不正確；對于選項D：令

4442

jrk兀

/(X)=0——,k&Z,所以當斤=—3,^2,—1,0,1,2時，xG[―7r\,所以D正確.

8.【答案】B

【詳解】如圖：設(shè)三棱柱上、下底面中心分別為01、。2,則。。2的中點為。，

B

設(shè)球O的半徑為R,則。4=R，設(shè)A3=BC=AC=。，AAi=h,

則0a=,〃，（?9A=—x—=—<2>

-22323

則在Rf△OO,A中，R2=0^=00；+0,^=-h2+-a2>2x-hx^-a=—ah^

_一43233

當且僅當,〃=追時,

23

所以該三棱柱的側(cè)面積為3ah=3.

二、選擇題：本題共4小題。每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全

部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

題號910II12

答案BCDBCACAD

9.【答案】BCD

【詳解】由線性回歸方程9=44X+10知，5G手機的銷量逐月增

加，平均每個月增加約44臺，所以A錯誤；因為9=44x+10過樣本中心（元,歹），而元=3,

代入回歸方程得：5=142,則y=9585+227=142,得。=151,所以B正

確；因為3=44>0,所以>與％正相關(guān)，故C正確；因為2022年1月份對應(yīng)的月份編號

x=7,所以5=44x7+10=318,故D正確.

10.【答案】BC

【詳解】

因為衣=2而，則A,E,O三點共線，且|亞|=2|麗又因為4）為中線，所以點E為

A48c的重心，所以易得CE='C4+'圍，CEH（CA+CB）

33

故選：BC.

11.【答案】AC

【詳解】本題考杳空間線線垂直、異面直線所成角以及動點軌跡和最值問題.

對于選項A,若M在4。上，此時必有CM_LAR,

證明如下：由正方體的性質(zhì)得C￡>_L平面AQAA，CD±ADt.

又A。，4.，CDryAtD=D,所以A0_L平面A|￡)C,所以AR_LCM,故A正確；

對于選項B,旋轉(zhuǎn)平面4OQ14使之與平面BBQQ共面，連接4B,交。外于點M,此時IMA|+|M聞

最短為AB-大小為Ja+Q+gyH6+1，故B錯誤；

對于選項C,當點M在平面A。。A內(nèi)時，由A4J?面AOAA，A"<=面A。。A，

,所以有A3：+4A/2=4用2,所以4M=1,所以點M的軌跡是以4為圓心，

11TC

半徑為1的一圓弧，從而動點〃軌跡長度為一x2%=—,所以c正確.

442

對于選項D,因為CQ//A4,所以直線與C￡)所成的角即直線與A4所成角/人巴加,

由AM-LA^M,得：tanNA4M=——=A^M>———>―――,,即最小角大于30、>故D錯誤:

1A423

12.【答案】AD

【詳解】因為xeR,/(_幻=一加-'+」=一(祀'+=)=—/(x),所以/(x)是奇函數(shù),

e~e

所以/(x)圖象上存在無數(shù)對A，3關(guān)于原點對稱，即/(%)有無數(shù)個“友情點對”；

又因為/'(X)=ex+xex+--=--"±x)_-,xeR'令^(x)=e2x(l+x)+l-x-

exe'

22x2v

則g'(x)=e'(3+2x)—1，令h(x)=e(3+2x)—1，則h'(x)=e(8+4x)，

當x?0時,〃'(x)?(),所以/z(x)是增函數(shù)，〃(x)N〃⑼=2>()，即g'(x)>(),

所以當x?0時g(x)是增函數(shù)，g(x)2g(0)=2>0,所以/'(x)>0，

/(x)在x?0上是增函數(shù)，因為/(x)是奇函數(shù)，所以/(x)在xeR上是增函數(shù)，

由2021"=2022，2022“=2021>c=1cos(k")|(&eZ)得：

a>l,0<6<l,c=l，即〃<c<a

所以/S)<.f(c)</(。),

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.——14.502.1.0.1323(第一空2分，第二空3分)

8

15.16.6+1

13.【答案】一一-

8

【詳解】展開式中第3項與第9項的二項式系數(shù)相等，即C：=C：，所以〃=10,因此展

0

開式的通項為7；+1=。；0/-「(一'~)'=猥0父~2'(—3"當10-2r=0,即r=5時，對應(yīng)

2x2

項為常數(shù)項，即(=%(一35=一處.

28

14.【答案】502.1、0.1323

【詳解】第1空：設(shè)樣本產(chǎn)品重量的中位數(shù)為x,則

0.03x5+0.04x5+(x-500)x0.07=0.5,得x*502.1；

第2空：從流水線上任取1件產(chǎn)品，重量超過505克的概率為(0.05+0.01)x5=0.3,重量

不超過505克的概為1-03=0.7,則5件產(chǎn)品中恰有2件產(chǎn)品的重量不超過505克的概率為

C；(0.7)2(0.3>=0.1323.

15.【答案】[3,()]

【詳解】函數(shù)/(x)的定義域為(0,+8),

由f^=xlnx—ax2+x,得/'(x)=lnx+2—2or,

則/'⑴=2-2a.

又/⑴=—，

則曲線y=/(x)在點處的切線/的方程為y—(l—a)=2(l—a)(x—1),

即y=2(1-a)(x-g).

所以直線/恒過定點(g,o].

16.【答案】6+1

【詳解】因為P,Q為C上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，則線段PQ與大鳥相互平分，所以四邊形

PFQF?為矩形，若直線PQ的斜率為6,且IPQ|=|耳月|=2c,ZPOF2=60°,則尸鳥=c,

PF、=，由定義可知：|P耳|P74=Gc-c=2a,可得e=G+l

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）

解：（1）證明：因為=3-2"

所

+l

bz=an+i-*=—a.+3?2"—T=-(an-2")=-bn,.....................1分

因為q=l,所以4=為一2=-12分

所以2+1=_2工0

所以如=一1.....................3分

b?

所以｛4｝是首項和公比均為_1的等比數(shù)列。...........4分

(2)由(1)易得：bn=(-1)"....................5分

因為。=%—2"=(—1)",所以勺=2"+(—1)”.....................6分

所以S,,=(-1)1+(-1)2+(-1)3+???+(-l)n+2+22+???+2".....................7分

(1)口(-1)"]?2(1-2")

?9分

1-2

(-ir

+2,,+'--10分

22

18.(12分)

解：（1）因為分別是的中點

所以EF〃AC，1分

又因為ACu平面ABC，EFz平面ABC

所以所〃平面ABC2分

又EFu平面3EF，平面3EF1與平面ABC的交線為/,

所以EF〃/,3分Z

而平面PAC，￡Fu平面PAC，

所以/〃平面P4C4分

(2)方法一：設(shè)直線/與圓0的另一個交點為。，連接。E,DB,如圖:

由(1)知，BD//AC,而AC_L8C,所以

BDA.BC,5分

因為PC，平面ABC

所以尸6分

而PCc3C=C

所以BD_L平面尸8C,又FBU平面PBC7分

所以3D_L8尸8分

所以/F8C就是二面角E-/-C的平面角,9分

因為PC=AB=2,點尸是PC的中點，所以EC=1,

因為A8是圓0的直徑，點。是A3的中點

所以BC=J5

所以8F=VFC2+BC2=g10分

所以sinNFBC=￡=且，

11分

BF3

所以二面角E—/—C的正弦值為正.

12分

3

方法二：如圖，因為AB是圓0的直徑，點。是AB的中點，AB=2

所以C4_LC8，CA=CB=-Ji,5分

因為直線PC_L平面ABC

所以PC_LC4,PC，CB6分

所以以。為原點，直線C4，CB，CP分別為X軸，y軸,Z軸，建立空間直角坐標系C一型，則

戶(0,0,1),B(0,V2,0),E吟,0,1)

_._.6

所以麗=(0,-后,1)，BE=(-,-72,1)7分

2

~~y/2y+z=0

BF*n=Q

設(shè)平面EFB的法向量n=(x,y,z)，則＜_.，即《8分

BE-n^O――x-ypZy+z=0

、2

令y=1,則％=0,z=yp2

得3=(0,1,0)9分

因為直線

所以CP=(0,0,1)為平面ABC的法向量10分

一，CPmV276

所以cos<CP,n>=—―=—；=?=——11分

ICPIIn|V33

所以二面角E—/—C的正弦值為且

12分

3

19.(12分)

解：(1)列聯(lián)表:

分數(shù)大于等于120分分數(shù)不足120分合計

周做題時間不少于12小時601676

周做題時間不足12小時4064104

合計10080180

1分

K'號毀除舒--28.

3分

能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“高中生的數(shù)學成績與學生自主學習時間有

關(guān)”.,4分

(2)(i)從全校大于等于120分的學生中隨機抽取1人，此人周做題時間不少于12小時的概率為

約=0.6,

5分

100

設(shè)從全校大于等于120分的學生中隨機抽取1人,這些人中周做題時間不少于12小時的人數(shù)為隨機變量Y，

則y?3(12,0.6),6分

故七(y)=12x0.6=7.2.7分

（ii）X的可能取值0，1，2,3,

則噂=。）=生管得

8分

-n-加+C；C+GC：+*-5

nA—i；------------；------------——

aH

"X=.空'4,io分

P(X=3)=*/

ii分

759J__44

E(X)=0x—+lx—+2x—+3x

2211444444

41

/.X的數(shù)學期望是——.12分

44

20.(12分)

解：（1）設(shè)3C=x，

在AA5C中，由余弦定理

AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC得:1分

28=22+x2-2-2-x-cos—,

3

即》2+2*—24=0,而x>0.

解得x=4,所以8C=4,2分

則MBC的面積SAABC=1^BBC-sinZABC=1-2-4~=2V3....4分

（2）在梯形ABC。中，設(shè)/ABZ）=e，而AC_L3。，

77ATTTT

則4Z)C=a，NBAC=——a,NDBC=——a,4BCA=a——,

236

2BC

ABBC"

在AABC中，由正弦定理----------得：.z兀、./乃、，…5分

sin/BCAsinABACsin(a——)sin(——a)

62

5BC

CDBC

在A3QC中，由正弦定理得：；，分

sinNDBC~sinZBDCsin(_0sina……6

2sin(2)-a)

sine

兩式相除得：--------------，7分

5sin(a-^)sin(y-tz)

。/6J?、

2?(——cosa+—sina)

sina

所以——筆----------2-------8分

cosa

5-(——sina——1cosa)、

22

整理得5百sin2a-7sinacosa—2>/^COS2a=0，9分

即5A/3tan2a—7tana—2上=010分

解得tana=￡l或tana=—且，

11分

35

因為a喔,9,

則tana=，即tanZABD=12分

33

解法二

設(shè)NABO=e,AC與6。相交于。,

-,-AC1BD,

八AO7.71八、OC

「?tan0=----,tan(------6)=-----，2分

BO3BO

小

n/!冗AO+OC

/.tan0+t<in(-----6)-------------,3分

3BO

在RrAABO中，BO=2cos0,AO=2sin05分

ABIICD,,

:"BDC=ZABD=e?6分

在RTAODC中,OC=5sin。..........7分

2〃AO+OC2sin^+5sin07tan6

tan^+tan(———0)=8分

BO2cos。2

2萬八

，八

tan--3----tanJ7tan

tan0+io分

1-tan——2乃?tan0八2

3

c2G八百

解得tan0-----或tan0----（-舍---）-11分

35

即tanNABO=空.....12分

3

解法三：

過。作即〃AC,交A5于E,

AB//CD,

...EDC4為平行四邊形.....1分

ED=AC,ED〃AC,EA=DC=5

-AC1BD,

.?.△EZ汨為直角三角形.....3分

:.ED2+BD2=EB2=49.....4分

在MBC中，AC2=AB2+BC2-2ABcos—=4+BC2+2fiC......5分

3

在ABOC中，BD2=CD1+BC2-2CD?BC?cos-=25+BC2-5BC...6分

3

?/ED2+BD2=4+BC2+2BC+25+BC2-5BC=49,.....7分

整理得：28c2-35C-20=0

解得：BC=4,..........8分

故人。2=4+802+23。=28,..........9分

BD2=21io分

記AC與3。相交于0,

cril/“g0AEDAC2A/3

所以tanNABD=—=—=—=-----12分

OBBDBD3

21.（12分）

解：（1）設(shè)橢圓C的左焦點為匕，依題意得：FHIF^F

所以+|片用2斗片〃|2,而|"7|=],|《產(chǎn)|=2

所以|耳

根據(jù)橢圓的定義得：2a^\F{H\+\FH\=4,即a=2.....1分

又因為c=l

所以從—cr—c2=32分

所以。的方程為二+2二=13分

43

(2)法一：因為OQ〃AP,所以A,O,Q三點不共線，所以設(shè)P(XO，%)(XN±2)

因為加為4。的中點

則M(江心，卬.....4分

I22)

直線AP的斜率k=，.....5分

%+2

又OQHAP,

所以直線。。的方程為y=一^無，6分

%+2

(4v、

令x=4,得。4,-^2-,?7分

、尤()+2)

所以麗=匡二四，而=(3,4、

?8分

(22)(與+2,

OMFQ^3(%-2)f2yL=3魚仁4)+4^

2%+22(%+2)

又P在橢圓C上，所以于+與=1，即3x；+4巾=12,....io分

代入(*)得麗?而=(),所以O(shè)M_LQF.11分

故直線OM與QF的交點在以O(shè)F為直徑的圓上，且該圓方程為+y2=，

I2；-4

1Y21

即直線0M與直線的交點在某定曲線X——ry=412分

2

法二：因為OQ〃AP,所以A,O,Q三點不共線，所以設(shè)直線。。的斜率為攵，

則直線0Q的方程為丁=依，,4分

y=kx

由「得：Q(4,4Z)