高中不等式知識(shí)點(diǎn)

一、不等式知識(shí)點(diǎn)

1.不等式與不等關(guān)系

兩實(shí)數(shù)之間有且只有以下三個(gè)大小關(guān)系之一：a>b;a<b;a=b；

a>boa-b>0a<boa-h<0-,a=b<^>a-h=O.

不等式的性質(zhì)：

(1)對(duì)稱性:a>bob<a,a<boh>a

(2)傳遞性：>c=>,a>c

(3)可力口性：〃>/?=.a-i-ob+c

移項(xiàng)法則：a+/?>coa>c-b

推論：同向不等式可加.a>h,c>da+c>h+d

(4)可乘性：a>Z7,c>0=>ac>Z?c,<2>Z?,c<0=>ac<be

推論1：同向(正)可乘：a>h>O,c>d>0^>ac>hd

推論2：可乘方(正)：〃>方>0nan>bn'(〃wN*,〃22)

(5)可開方(正)：a>8>()=標(biāo)〉物(neN\n>2)

2.一元二次不等式ax2+Zzx+c>0(a>0)與相應(yīng)的函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)、相

應(yīng)的方程依2+Ax+c=0(a>0)之間的關(guān)系：

1

2*

ax+"+c>0VX］或￥>/}h

X"-->----R

(a>0)的解集2a

ax2++c<0

{?。?lt;x<x2)00

(a>0)的解集

3.一元二次不等式恒成立情況小結(jié):

a>0

ax24-/?x4-c>0(awO)恒成立<=>，

A<0

a<0

ax2-\-bx+c<Q(〃w0)恒成立

A<0

4.一般地，直線丁=依+匕把平面分成兩個(gè)區(qū)域(如圖)：

y>依+〃表示直線上方的平面區(qū)域；y<"+人表示直線下方的平面區(qū)域.

說明：(1)y2"+Z?表示直線及直線上方的平面區(qū)域；

y<依+人表示直線及直線下方的平面區(qū)域.

(2)對(duì)于不含邊界的區(qū)域，要將邊界畫成虛線.

5.基本不等式：

(1).如果a,8eR,那么。2+Z?2n2。/?.

(2).病4%，(4>0力>0).(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"=")

二.例題與練習(xí)

例1.解下列不等式：

(1)%?—7x+12>0；(2)—%?—2x+320；

(3)x?—2x+l<0；(4)￡—2x+2<0.

2

練習(xí)1.（1）解不等式工4<0；（若改為二Cwo呢？）

x+7x+7

?r-3

（2）解不等式三」<1；

x+7

例2.已知關(guān)于x的不等式x2-mx+n<0的解集是“|一5?x<1｝,求實(shí)數(shù)m,n之值.

練習(xí)2.已知不等式ax?+Z?x+c>0的解集為｛x[2<x<3｝求不等式ex?一法+。>0

的解集.

x-4y<-3

例3.設(shè)z=2x+y,式中變量滿足條件<3x+5y<25,求z的最大值和最小值.

x>\

3

x-^y<-3

練習(xí)3.設(shè)z=6x+10y,式中x,y滿足條件<3x+5y<25,求z的最大值和最小值.

x>\

例4.若>0,且x+2y=1,求，+工的最小值。

xy

三、課后作業(yè)

1.如果。<0/>0,那么，下列不等式中正確的是()

(A)—<—(B)N-a<\fb(C)a~<.h"(D)\u|>|h\

ab

2.不等式,〈工的解集是()

x2

A.(-oo,2)B.(2,+oo)C.(0,2)D.(—oo,0)u(2,+oo)

3.若a、b、CGR,a>b,則下列不等式成立的是()

(A)(B)a2>b2.(C)—.(D)a\c\>b\c\.

ahc2+1c2+1

4.若a,6,c>0且a(a+Z^c)+6c=4-26,則2a+〃"C的最小值為()

(A)V3-1(B)V3+1(C)26+2(D)2V3-2

1-2r

5.不等式一20的解集是.

x+1

x+y-3>0

x+2y—5(0

6.已知實(shí)數(shù)蒼y滿足/，則y—2x的最大值是_________.

x>0

y>0

4

7.設(shè)函數(shù)/(x)=lg(2x-3)的定義域?yàn)榧螹,函數(shù)g。)的定義域?yàn)榧?/p>

合N.求：(1)集合M,N：(2)集合MflN,MUN.

8.若》＞一1,則x為何值時(shí)x+」一有最小值，最小值為多少？

X+1

5

高一數(shù)學(xué)必修5不等式與不等關(guān)系專題練習(xí)

一、選擇題

1.已知a,b,cCR,下列命題中正確的是

A^a>b^>ac1>be2B、ac2>he2=>a>h

C、a3>b3^-<-D>a2>h2=>a>\b\

ab

2.設(shè)a,b￡R,且aWb,a+b=2,則下列不等式成立的是)

A、l<ab<3

B、

22

2222

「,a+ba+b

C、ab<---------<11D、---------<ab<l

22

3.二次方程/+（片+l）x+。-2=0,有一個(gè)根比1大，另一個(gè)根比-1小，則a的取值范

圍是()

A.—3<a<1B.-2<a<0C.-1<6Z<0D.()<a<2

4.下列各函數(shù)中,最小值為2的是)

11

A.y=x+—B.y=sinx+,xe(0,—)

xsinx2

X2+3n2,

C.yID?

/x2+2

5.已知函數(shù)y=a?+Ax+c（a/0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（一1,3）和（1,1）兩點(diǎn)，若0<c<1,則a

的取值范圍是（）

A.（1,3）B.（1,2）C.[2,3)D.[1,3]

y>x-\

6.不等式組《的區(qū)域面積是)

'y<-3|x|+l

1B.2,

A.-D.1

22

Q1

7、已知正數(shù)X、y滿足2+±=1,則x+2y的最小值是（）

%y

A.18B.16C.8D.10

8.已知不等式ax2-5x+h>0的解集為{x|-3<x<2},則不等式芯2_5x+a>0的解集

為

A-11

A^{x—<xv一B->{x|x<—>—}

3232

C、{x|-3<x<2}D、{%|%<-3或%〉2}()

二、填空題

9.不等式1-二2%^>0的解集是

x+1

6

10.已知x>2,貝0=x+—!—的最小值是___________.

x—2

a

11.對(duì)于任意實(shí)數(shù)X,不等式2依2+依一±<0恒成立，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是

8

12、設(shè)x,y滿足x+4y=40,且x,ywR+,則1gx+1gy的最大值是。

三、解答題

13.解不等式—4<—一》—3<一2

22

x+y-3<0

14.已知不、淵足不等式，x-y+3>0,求z=3x+yfi勺最大值與最小值。

y>-1

4-

3

2

-4-3-2-101234x

-1

一3一