工程流力（第二版）-第三章

第三章流體動(dòng)力學(xué)

§3.1研究流體運(yùn)動(dòng)的方法

§3.2流體運(yùn)動(dòng)的基本概念

§3.3雷諾輸運(yùn)方程

§3.4連續(xù)性方程

§3.5動(dòng)量方程

§3.6動(dòng)量矩方程

§3.7能量方程

§3.8沿流線的伯努利方程

§3.9總流的伯努利方程

§3.10流體力學(xué)基本方程的應(yīng)用§3.1研究流體運(yùn)動(dòng)的方法3.1.1歐拉法

流場(chǎng)的定義充滿運(yùn)動(dòng)流體的空間稱為流場(chǎng)。

歐拉法的著眼點(diǎn)：流場(chǎng)中的點(diǎn)。歐拉法的標(biāo)記法：流場(chǎng)中點(diǎn)的坐標(biāo)。各物理量是時(shí)間

t

和空間點(diǎn)座標(biāo)

x、y、z

的函數(shù)。當(dāng)時(shí)間變化時(shí)，流體質(zhì)點(diǎn)將從流場(chǎng)某一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到另一點(diǎn)。因此，對(duì)質(zhì)點(diǎn)而言

x、y、z也是時(shí)間的函數(shù)。

寫(xiě)成矢量形式§3.1研究流體運(yùn)動(dòng)的方法稱為哈密頓算子。第一項(xiàng)：因時(shí)間變化所引起的加速度，稱為時(shí)變加速度，或當(dāng)

地加速度。第二項(xiàng)：因位置不同所引起的加速度，稱為位變加速度，或遷

移加速度。歐拉法時(shí)間導(dǎo)數(shù)的一般表達(dá)式§3.1研究流體運(yùn)動(dòng)的方法

：稱為全導(dǎo)數(shù)，或隨體導(dǎo)數(shù)。

：稱為當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)。

：稱為遷移導(dǎo)數(shù)。例如，密度的導(dǎo)數(shù)可表示為：§3.1研究流體運(yùn)動(dòng)的方法3.1.2拉格朗日法

拉格朗日法的著眼點(diǎn)：特定的流體質(zhì)點(diǎn)。拉格朗日法的標(biāo)記法：某一時(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)（a、b、c）質(zhì)點(diǎn)在各方向的位移：流體質(zhì)點(diǎn)的速度：流體質(zhì)點(diǎn)的加速度：§3.1研究流體運(yùn)動(dòng)的方法3.1.3兩種方法的關(guān)系

（1）從拉格朗日表達(dá)式變換為歐拉表達(dá)式

反解出代入得到§3.1研究流體運(yùn)動(dòng)的方法

（2）從歐拉表達(dá)式變換為拉格朗日表達(dá)式

積分可得最后得到對(duì)某一特定時(shí)刻t0，可得：上式可解出積分常數(shù)時(shí)刻c1、c2

、c3。3.2.1流動(dòng)的分類（1）按照流體性質(zhì)：理想流動(dòng)和粘性流動(dòng)，

不可壓流動(dòng)和可壓流動(dòng)。（2）按照運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：定常流動(dòng)和非定常流動(dòng)，

緩變流和急變流，

有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)，

層流和紊流，

亞聲速流動(dòng)和超聲速流動(dòng)等。（3）按照空間坐標(biāo)：一維流動(dòng)、二維流動(dòng)、三維流動(dòng)?！?.2流體運(yùn)動(dòng)的基本概念1.定常流動(dòng)和非定常流動(dòng)定常流動(dòng)或非定常流動(dòng)的確定與坐標(biāo)系的選擇有關(guān)。如圖所示的容器小孔出流?？烧f(shuō)明定常流與非定常流現(xiàn)象。(動(dòng)畫(huà))§3.2流體運(yùn)動(dòng)的基本概念流體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若流場(chǎng)中各空間點(diǎn)上的物理量不隨時(shí)間變化，則稱此流動(dòng)為定常流動(dòng)，反之為非定常流動(dòng)。定常流動(dòng)在數(shù)學(xué)上的表現(xiàn)形式為任何物理參數(shù)對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)等于零。準(zhǔn)定常流動(dòng)：如果流動(dòng)參量隨時(shí)間變非常緩慢化，則在較短的時(shí)間間隔內(nèi)，可以近似地把這種流動(dòng)作為定常流動(dòng)來(lái)處理，稱為準(zhǔn)定常流動(dòng)。2.一維流動(dòng)、二維流動(dòng)和三維流動(dòng)根據(jù)流動(dòng)參數(shù)與三個(gè)空間坐標(biāo)的關(guān)系，將流動(dòng)分為一維流動(dòng)、二維流動(dòng)和三維流動(dòng)。§3.2流體運(yùn)動(dòng)的基本概念緩變流：流線是平行（或近似平行）的流動(dòng)狀態(tài)稱為緩變流。急變流：流線呈現(xiàn)出比較紊亂的流動(dòng)狀態(tài)稱為急變流。3.緩變流和急變流在緩變流截面上流體靜力學(xué)基本方程仍成立：3.2.2跡線跡線方程：對(duì)跡線方程進(jìn)行積分，消去時(shí)間t，并給定初始時(shí)刻的位置坐標(biāo)，即可得到該質(zhì)點(diǎn)的跡線?！?.2流體運(yùn)動(dòng)的基本概念跡線：流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。3.2.3流線流線方程：流線方程積分時(shí)，時(shí)間t

視為不變量。§3.2流體運(yùn)動(dòng)的基本概念流線：某一時(shí)刻流場(chǎng)中的一條光滑曲線，其上任一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)處流體質(zhì)點(diǎn)的速度方向相同。流線具有以下性質(zhì)：（1）流線上某點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)處的速度方向一致。（2）流線是一條光滑曲線。流線之間一般不能相交。如果相交，交點(diǎn)速度必為零或無(wú)窮大。速度為零的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)；速度為無(wú)窮大的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。（3）非定常流動(dòng)時(shí)，流線隨時(shí)間改變；定常流動(dòng)時(shí)則不隨時(shí)間改變。此時(shí)，流線與跡線重合。3.2.4流管、流束、總流§3.2流體運(yùn)動(dòng)的基本概念流管：在流場(chǎng)作一不與流線重合的封閉曲線，過(guò)該曲線上所有點(diǎn)的流線所組成的管狀表面就稱為流管。（1）定常流動(dòng)時(shí)，流管的形狀不隨時(shí)間變化；非定常流時(shí)，流管的形狀隨時(shí)間變化。（2）流管是光滑的。（3）流體只能從流管的兩端出入，不能穿過(guò)流管的表面。（4）微元流管同一截面上各點(diǎn)的流動(dòng)參數(shù)可近似認(rèn)為是相等的。流束：流管中的所有流體稱為流束?？偭鳎汗艿纼?nèi)的流動(dòng)總體稱為總流。流管具有以下性質(zhì)：3.2.5有效截面、流量、平均流速流量的單位：m3/s、kg/s，m3/min、m3/h、kg/min等?！?.2流體運(yùn)動(dòng)的基本概念有效截面：與微小流束或總流各流線相垂直的橫斷面。流量：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流經(jīng)某一截面的流體的數(shù)量稱為流量。以體積表示時(shí)稱為體積流量(簡(jiǎn)稱流量)；以質(zhì)量表示時(shí)稱為質(zhì)量流量。平均流速：過(guò)流斷面上各點(diǎn)流速的算術(shù)平均值。水力直徑的概念在非圓管道和明渠流計(jì)算中經(jīng)常用到?！?.2流體運(yùn)動(dòng)的基本概念濕周：在總流的有效截面上，流體與固體接觸的長(zhǎng)度稱為濕周。水力半徑：有效面積與濕周之比稱為水力半徑。水力直徑：水力半徑的四倍為水力直徑。3.2.6濕周、水力半徑、水力直徑3.2.7系統(tǒng)和控制體§3.2流體運(yùn)動(dòng)的基本概念系統(tǒng)：某一確定的流體質(zhì)點(diǎn)的集合。（1）系統(tǒng)體積及邊界面的大小和形狀都可以隨時(shí)變化；（2）系統(tǒng)的邊界面上無(wú)質(zhì)量交換；（3）系統(tǒng)的邊界面上可以有動(dòng)量和能量的交換；（4）系統(tǒng)的邊界面上受外界的作用力。控制體：流場(chǎng)中某一確定的空間。其邊界稱為控制面。系統(tǒng)具有以下特點(diǎn)：（1）控制體的大小、形狀不變；但控制體內(nèi)的流體質(zhì)點(diǎn)是可變的；（2）控制面上可以有質(zhì)量、動(dòng)量和能量的交換；（3）控制面上與外界可有作用力?？刂企w具有以下特點(diǎn)：物理學(xué)普遍定律的表達(dá)式大多是建立在質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系上的。這些定律要適用于控制體，必須對(duì)定律中所用系統(tǒng)物理量的體積分對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行改寫(xiě)，使之能用控制體的體積分表達(dá)出來(lái)。這一轉(zhuǎn)換關(guān)系式就是雷諾輸運(yùn)方程。§3.3雷諾輸運(yùn)方程雷諾輸運(yùn)方程的作用系統(tǒng)與控制體的標(biāo)記方法：ⅡⅠⅢⅡ’t

時(shí)刻t+△t

時(shí)刻

η

表示單位質(zhì)量流體的某種物理量，則在

t時(shí)刻該系統(tǒng)內(nèi)流體所具有的該物理量的總量為：§3.3雷諾輸運(yùn)方程ⅠⅢⅡ’例如：當(dāng)η=１時(shí)，N表示系統(tǒng)的質(zhì)量；

當(dāng)時(shí)，N表示系統(tǒng)的動(dòng)量。

在

t

時(shí)刻，系統(tǒng)內(nèi)物理量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為：式中，V’

為

t+△t

時(shí)刻系統(tǒng)的體積：V’=Ⅱ’+ⅢV

為

t時(shí)刻系統(tǒng)的體積：V=Ⅱ’+I將物理量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行改寫(xiě)：§3.3雷諾輸運(yùn)方程ⅠⅢⅡ’

在

t

時(shí)刻，系統(tǒng)體積V與控制體體積CV重合：

單位時(shí)間內(nèi)流出控制體的物理量：

單位時(shí)間內(nèi)流入控制體的物理量：雷諾輸運(yùn)方程說(shuō)明，系統(tǒng)物理量

N的時(shí)間變化率，等于控制體該種物理量的時(shí)間變化率加上單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)控制面的凈通量?！?.3雷諾輸運(yùn)方程雷諾輸運(yùn)方程定常流動(dòng)：說(shuō)明在定常流動(dòng)情況下，系統(tǒng)種物理量的變化率只與通過(guò)控制面的流動(dòng)有關(guān)，而不必知道系統(tǒng)內(nèi)部流動(dòng)的詳細(xì)情況。雷諾輸運(yùn)公式中，取

η=1，則物理量N表示系統(tǒng)的總質(zhì)量?！?.4連續(xù)性方程對(duì)定常流動(dòng)，連續(xù)性方程簡(jiǎn)化為：因此，連續(xù)性方程的一般表達(dá)形式為：3.4.1總流的連續(xù)性方程根據(jù)質(zhì)量守恒定律，系統(tǒng)的總質(zhì)量是不隨時(shí)間變化的。即連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的表現(xiàn)形式。對(duì)一維管流，取有效截面A1和A2，及管壁A3組成的封閉空間為控制體：

管壁A3沒(méi)有流體流出，有效截面A1和A2上的平均速度為A1和A2，則：

上式就是總流的連續(xù)性方程。

對(duì)不可壓縮流體，連續(xù)性方程簡(jiǎn)化為：§3.4連續(xù)性方程取微元立方體為控制體。§3.4連續(xù)性方程化簡(jiǎn)得連續(xù)性方程的一般表達(dá)形式：3.4.2微分形式的連續(xù)性方程同樣可得到其他方向的質(zhì)量變化。根據(jù)質(zhì)量守恒定律，?t

時(shí)間內(nèi)控制體的質(zhì)量變化等于流出控制體的質(zhì)量。即有?t

時(shí)間內(nèi)，沿x

軸方向流入控制體的流體質(zhì)量為：?t

時(shí)間內(nèi)，沿x

軸方向流出控制體的流體質(zhì)量為：圓柱坐標(biāo)下的連續(xù)性方程為：§3.4連續(xù)性方程對(duì)不可壓縮流動(dòng)，連續(xù)性方程簡(jiǎn)化為：對(duì)定常流動(dòng)，連續(xù)性方程簡(jiǎn)化為：連續(xù)性方程的矢量形式為：

考慮定常流動(dòng)，則動(dòng)量方程簡(jiǎn)化為：根據(jù)動(dòng)量定理，系統(tǒng)動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率等于作用在系統(tǒng)上外力的矢量和。則§3.5動(dòng)量方程3.5.1慣性坐標(biāo)系中的動(dòng)量方程取，則N表示系統(tǒng)的總動(dòng)量。根據(jù)雷諾輸運(yùn)公式：：作用在控制體上的質(zhì)量力的合力；：作用在控制面上的表面力的合力。其動(dòng)量方程可寫(xiě)成：§3.5動(dòng)量方程對(duì)不可壓流體的定常一元流動(dòng)，取控制體如圖所示。引入動(dòng)量修正系數(shù)：則進(jìn)出口截面的動(dòng)量可用截面上的平均速度表達(dá)：不可壓流體的一元定常流動(dòng)量方程為：在工程上，一般常取應(yīng)用動(dòng)量方程解題應(yīng)注意的問(wèn)題：§3.5動(dòng)量方程

三維流動(dòng)，動(dòng)量方程的分量形式（4）分析控制體的運(yùn)動(dòng)時(shí)應(yīng)注意所選用的坐標(biāo)系。在慣性坐標(biāo)

系中應(yīng)用絕對(duì)速度。（1）建立合適的坐標(biāo)系，使問(wèn)題簡(jiǎn)化；（2）選擇適當(dāng)?shù)目刂企w；（3）分析作用在控制體和控制面上的外力。在慣性坐標(biāo)系中質(zhì)

量力通常只有重力。表面力通常只計(jì)算壓強(qiáng)引起的表面力；它與慣性坐標(biāo)系中的動(dòng)量方程的區(qū)別，在于質(zhì)量力中增加了兩個(gè)慣性力項(xiàng)。設(shè)坐標(biāo)系繞垂直軸線以等角速度

ω

旋轉(zhuǎn)，則動(dòng)量方程為：§3.5動(dòng)量方程3.5.2旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的動(dòng)量方程旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的動(dòng)量方程主要用于流體機(jī)械。例如，旋轉(zhuǎn)葉輪內(nèi)的流動(dòng)相對(duì)于絕對(duì)坐標(biāo)來(lái)說(shuō)，是非定常流動(dòng)；而對(duì)于固結(jié)在葉輪上的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)來(lái)說(shuō)則是定常流動(dòng)?？紤]定常流動(dòng)，則動(dòng)量矩方程簡(jiǎn)化為：根據(jù)動(dòng)量矩定理，系統(tǒng)動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的變化率等于作用在系統(tǒng)上外力矩的矢量和。則§3.6動(dòng)量矩方程取，則N表示系統(tǒng)的動(dòng)量矩。根據(jù)雷諾輸運(yùn)公式：根據(jù)能量守恒和轉(zhuǎn)換定律，系統(tǒng)中能量的時(shí)間變化率，應(yīng)等于單位時(shí)間作用于系統(tǒng)的質(zhì)量力和表面力所做的功與單位時(shí)間外界與系統(tǒng)交換的熱量之和。即§3.7能量方程3.7.1能量方程取，則N表示系統(tǒng)的總能量。根據(jù)雷諾輸運(yùn)公式：質(zhì)量力所做的功：表面力所做的功：上式就是流體力學(xué)中的積分形式的能量方程。該式表明：控制體內(nèi)流體的總能量對(duì)時(shí)間的變化率等于單位時(shí)間內(nèi)傳給控制體內(nèi)流體的熱量、外界對(duì)控制體內(nèi)流體所作的功與通過(guò)控制面流入的流體總能量之和。§3.7能量方程流體力學(xué)能量方程的積分形式或能量方程簡(jiǎn)化為：§3.7能量方程3.7.2重力場(chǎng)中一維絕能定常流動(dòng)的能量方程兩個(gè)假設(shè)條件：①

假設(shè)沒(méi)有熱交換，即②

質(zhì)量力只有重力，則表面力所做的功：對(duì)于理想流體，切向力為0。對(duì)于粘性流體，則管壁上的速度為0；在進(jìn)出口截面上，速度與切向力互相垂直；因此上式右邊的第二項(xiàng)總是等于0。在定常情況下，能量方程簡(jiǎn)化為：§3.7能量方程雖然控制面上切向力做功為0，但在控制體內(nèi)部切向力的摩擦功會(huì)引起能量損失，并轉(zhuǎn)化為熱能。如果與外界沒(méi)有熱交換，則這種熱會(huì)是系統(tǒng)的內(nèi)能發(fā)生變化?？刂泼?，且在管道內(nèi)壁A3上，vn=0。則

上式就是重力場(chǎng)中一維絕能定常流動(dòng)積分形式的能量方程。取微元流管作為控制體，則能量方程簡(jiǎn)化為：§3.8沿流線的伯努利方程3.8.1不可壓理想流重力場(chǎng)中的能量方程伯努利方程的使用范圍：在理想流體無(wú)熱交換條件下，流體的內(nèi)能等于常數(shù)。由于微元流管的極限是流線，因此，沿流線得伯努利方程：或（3）質(zhì)量力只有重力；（1）理想不可壓流體；（2）作定常流動(dòng)；（4）沿同一條流線。§3.8沿流線的伯努利方程3.8.2伯努利方程的意義幾何意義位置水頭：所研究點(diǎn)相對(duì)某一基準(zhǔn)面的幾何高度。測(cè)壓管水頭：與該點(diǎn)相對(duì)壓力相當(dāng)?shù)囊褐叨?。速度水頭：與所研究點(diǎn)處速度大小相當(dāng)?shù)囊褐叨取；鶞?zhǔn)面靜水頭線總水頭線

靜水頭：

總水頭：§3.8沿流線的伯努利方程3.8.2伯努利方程的意義能量意義位置勢(shì)能：?jiǎn)挝恢亓苛黧w對(duì)某一基準(zhǔn)面的位置勢(shì)能。壓力能：?jiǎn)挝恢亓苛黧w的壓力能。動(dòng)能：?jiǎn)挝恢亓苛黧w具有的動(dòng)能。

總機(jī)械能：伯努利方程表示重力作用下不可壓縮理想流體的絕能定常流動(dòng)，沿流線總機(jī)械能不變，但可以相互轉(zhuǎn)換。伯努利方程的本質(zhì)是機(jī)械能守恒及轉(zhuǎn)換定律在流體力學(xué)中的反映?！?.8沿流線的伯努利方程3.8.3伯努利方程的應(yīng)用皮托管的用途：測(cè)量流速?？紤]到流體的粘性和管體對(duì)流場(chǎng)擾動(dòng)的影響等，引入一個(gè)修正系數(shù)C：例3-4皮托管皮托管的結(jié)構(gòu)：兩層套管。皮托管的原理：列出同一流線上1與2點(diǎn)的伯努利方程：可得：在粘性流體的總流中，任取2個(gè)緩變流截面，列能量方程：§3.9總流的伯努利方程沿流線的伯努利方程的局限性：如何將沿流線的伯努利方程推廣到粘性流體的總流中？（1）流體必須為理想流體；（2）伯努利方程只能在同一根就行上應(yīng)用。（1）在緩變流截面上：（2）引入動(dòng)能修正系數(shù)：§3.9總流的伯努利方程總流伯努利方程的應(yīng)用條件：上式就是總流的伯努利方程。則能量方程簡(jiǎn)化為：

（1）流體是不可壓的；（3）記單位重量流體的能量損失：（2）質(zhì)量力只有重力；（3）流動(dòng)是定常的；（4）1、2是緩變流截面；但兩截面之間可存在急變流截面；（5）兩截面間與外界沒(méi)有熱交換；也沒(méi)有功的輸入或輸出；（6）兩截面間沒(méi)有支流。（3）列出關(guān)于研究對(duì)象的總流伯努利方程，求解未知參數(shù)。必要時(shí)應(yīng)結(jié)合靜力學(xué)基本方程、連續(xù)方程等列出方程組求解未知參數(shù)?！?.9總流的伯努利方程有能量輸入或輸出的總流伯努利方程：應(yīng)用伯努利方程的步驟：（1）取基準(zhǔn)面：通常取較低的截面為基準(zhǔn)面；

（2）取緩變流截面：應(yīng)使截面上的已知參數(shù)盡量多，且包含所要求解的參數(shù)，如緩變流截面可取在自由液面上、管路的出口、遠(yuǎn)離入口的空間?！?.9總流的伯努利方程文丘里流量