高三理科數(shù)學(xué)最新模擬試題分類匯編：立體幾何含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精北京2013屆高三理科數(shù)學(xué)最新模擬試題分類匯編7：立體幾何一、選擇題AUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013屆北京海濱一模理科）設(shè)為空間中三條互相平行且兩兩間的距離分別為4，5，6的直線.給出下列三個結(jié)論：①，使得是直角三角形;②，使得是等邊三角形；③三條直線上存在四點，使得四面體為在一個頂點處的三條棱兩兩互相垂直的四面體。其中，所有正確結(jié)論的序號是 （)A．① B．①② C．①③ D．②③【答案】BAUTONUM\＊Arabic．（2013北京海淀二模數(shù)學(xué)理科試題及答案）某空間幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的表面積為 （）A． B． C． D．【答案】 B．AUTONUM\＊Arabic．（2013屆北京市延慶縣一模數(shù)學(xué)理）一四面體的三視圖如圖所示，則該四面體四個面中最大的面積是（7題圖） （）（7題圖）A． B． C． D．【答案】DAUTONUM\*Arabic．(2013屆北京西城區(qū)一模理科）某正三棱柱的三視圖如圖所示,其中正（主)視圖是邊長為的正方形，該正三棱柱的表面積是 （)A．B．C． D．【答案】CAUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013北京昌平二模數(shù)學(xué)理科試題及答案）已知四棱錐的三視圖如圖所示，則此四棱錐的四個側(cè)面的面積中最大的是 （）A． B． C． D．【答案】 C．AUTONUM\＊Arabic．(2013北京朝陽二模數(shù)學(xué)理科試題）某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為 （）A． B． C． D．11正視圖1側(cè)視圖俯視圖1【答案】 （）A．AUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013屆門頭溝區(qū)一模理科）主視圖1左視圖1俯視圖1一個幾何體的三視圖如右圖所示，主視圖1左視圖1俯視圖1 (）A． B． C． D．【答案】CAUTONUM\*Arabic．(2013屆房山區(qū)一模理科數(shù)學(xué)）某三棱椎的三視圖如圖所示，該三棱錐的四個面的面積中，最大的是 （）A． B． C． D．【答案】CAUTONUM\*Arabic．（2013屆北京大興區(qū)一模理科）已知平面，直線，下列命題中不正確的是 （）A．若，，則∥B．若∥，，則C．若∥，，則∥D．若，,則．【答案】CAUTONUM\*Arabic．（2013屆北京西城區(qū)一模理科）如圖，正方體中,為底面上的動點，于，且，則點的軌跡是 （）A．線段 B．圓弧 C．橢圓的一部分 D．拋物線的一部分【答案】AAUTONUM\*Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013北京東城高三二模數(shù)學(xué)理科)已知一個三棱錐的三視圖如圖所示,其中三個視圖都是直角三角形，則在該三棱錐的四個面中,直角三角形的個數(shù)為 （）A．1 B．2 C．3 D．【答案】 D．AUTONUM\*Arabic．（北京市朝陽區(qū)2013屆高三第一次綜合練習(xí)理科數(shù)學(xué)）某個長方體被一個平面所截，得到的幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為１１１１１１正視圖側(cè)視圖俯視圖A． B． C． D．8【答案】D二、填空題AUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013北京順義二模數(shù)學(xué)理科試題及答案）一個幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為92m2，則_______m。正(主)視圖正(主)視圖側(cè)(左)主視圖俯視圖245h【答案】4AUTONUM\*Arabic．（北京市石景山區(qū)2013屆高三一模數(shù)學(xué)理試題）某四棱錐的三視圖如圖所示,則最長的一條側(cè)棱長度是_____________________.【答案】AUTONUM\＊Arabic．(2013屆北京豐臺區(qū)一模理科)某四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的四個面中,直角三角形的面積和是_______?！敬鸢浮?；三、解答題AUTONUM\*Arabic．(2013屆門頭溝區(qū)一模理科)在等腰梯形ABCD中,，，，N是BC的中點．將梯形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)，得到梯形(如圖）．（Ⅰ）求證:平面；（Ⅱ）求證：平面;(Ⅲ）求二面角的余弦值．AACDBN【答案】(Ⅰ）證明：因為，N是BC的中點所以,又所以四邊形是平行四邊形，所以又因為等腰梯形，，xzyACDBxzyACDBN所以，即由已知可知平面平面，因為平面平面所以平面……………4分(Ⅱ）證明：因為，,所以平面平面又因為平面，所以平面…………8分（Ⅲ)因為平面同理平面，建立如圖如示坐標(biāo)系設(shè)，則，，，，……………9分則,設(shè)平面的法向量為，有，，得……………11分因為平面，所以平面平面又，平面平面所以平面與交于點O，O則為AN的中點，O所以平面的法向量……………12分所以……………13分由圖形可知二面角為鈍角所以二面角的余弦值為．……………14分AUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013北京朝陽二模數(shù)學(xué)理科試題）如圖，四邊形是正方形,平面，,,,,分別為,，的中點.（Ⅰ）求證:平面;（Ⅱ)求平面與平面所成銳二面角的大??；（Ⅲ）在線段上是否存在一點，使直線與直線所成的角為？若存在，求出線段的長;若不存在，請說明理由。AADBCPEFGH【答案】(Ⅰ）證明:因為,分別為,的中點,所以.又平面，平面，所以平面（Ⅱ)因為平面，,所以平面,所以，.又因為四邊形是正方形,所以.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，因為，ADADBCPEFGHzyx所以，,,，，.因為，，分別為，，的中點，所以，,.所以,.設(shè)為平面的一個法向量,則，即,再令，得.,。設(shè)為平面的一個法向量，則,即，令，得.所以==。所以平面與平面所成銳二面角的大小為(Ⅲ）假設(shè)在線段上存在一點，使直線與直線所成角為.依題意可設(shè)，其中。由,則.又因為,,所以.因為直線與直線所成角為,,所以=，即,解得。所以,。所以在線段上存在一點,使直線與直線所成角為,此時AUTONUM\*Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013北京昌平二模數(shù)學(xué)理科試題及答案）如圖，在四棱錐中,底面是邊長為的正方形，側(cè)面底面,且,、分別為、的中點.（Ⅰ)求證://平面；(Ⅱ）求證：面平面；（Ⅲ)在線段上是否存在點使得二面角的余弦值為？說明理由?！敬鸢浮?Ⅰ）證明:連結(jié),為正方形,為中點,為中點.∴在中，//且平面,平面∴（Ⅱ）證明:因為平面平面,平面面為正方形，，平面所以平面.∴又,所以是等腰直角三角形，且即，且、面面又面,∴面面(Ⅲ)如圖，取的中點，連結(jié)，。∵，∴.∵側(cè)面底面,,∴,而分別為的中點,∴,又是正方形，故。∵,∴，。以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則有，,,。若在上存在點使得二面角的余弦值為，連結(jié)設(shè)。由（Ⅱ)知平面的法向量為.設(shè)平面的法向量為。∵,∴由可得，令，則,故∴,解得，.所以，在線段上存在點，使得二面角的余弦值為AUTONUM\*Arabic\＊MERGEFORMAT．(2013屆東城區(qū)一模理科）如圖,已知是直角梯形，且,平面平面,,,，是的中點．（Ⅰ)求證:平面;（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角大小的余弦值．【答案】證明（Ⅰ)取的中點，連結(jié)，．因為是的中點,所以，．因為,且,所以，且,所以四邊形是平行四邊形．所以．因為平面，平面,所以平面．（Ⅱ)因為，平面平面,所以以點為原點，直線為軸,直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則軸在平面內(nèi)．由已知可得，，，．所以，,設(shè)平面的法向量為．由所以取，所以．又因為平面的一個法向量為．所以．即平面與平面所成銳二面角大小的余弦值為．AUTONUM\*Arabic．（2013屆北京市延慶縣一模數(shù)學(xué)理）如圖，四棱錐的底面為菱形，，側(cè)面是邊長為2的正三角形，側(cè)面底面.(Ⅰ）設(shè)的中點為,求證：平面；（Ⅱ）求斜線與平面所成角的正弦值;（Ⅲ）在側(cè)棱上存在一點,使得二面角的大小為，求的值.【答案】（Ⅰ）證明：因為側(cè)面是正三角形，的中點為,所以，因為側(cè)面底面，側(cè)面底面,側(cè)面，所以平面.………3分(Ⅱ）連結(jié)，設(shè)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，,，………5分,平面的法向量，設(shè)斜線與平面所成角的為,則?！?分（Ⅲ）設(shè)，則,，，………10分設(shè)平面的法向量為,則，，取，得，又平面的法向量………12分所以,所以，解得（舍去)或.所以，此時.………14分AUTONUM\*Arabic．（2013屆北京豐臺區(qū)一模理科）如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且NB=1，MD=2；（Ⅰ）求證:AM∥平面BCN；（Ⅱ)求AN與平面MNC所成角的正弦值；(Ⅲ）E為直線MN上一點,且平面ADE⊥平面MNC，求的值。?！敬鸢浮拷猓海á瘢逜BCD是正方形,∴BC∥AD.∵BC平面AMD,AD平面AMD，∴BC∥平面AMD.∵NB∥MD，∵NB平面AMD，MD平面AMD,∴NB∥平面AMD.∵NBBC=B，NB平面BCN，BC平面BCN,∴平面AMD∥平面BCN…………………3分∵AM平面AMD,∴AM∥平面BCN…………………………4分(也可建立直角坐標(biāo)系,證明AM垂直平面BCN的法向量，酌情給分）(Ⅱ）平面ABCD，ABCD是正方形,所以，可選點D為原點，DA,DC,DM所在直線分別為x，y，z軸,建立空間直角坐標(biāo)系（如圖)…………………5分則,，，。,………6分，，設(shè)平面MNC的法向量，則，令，則…7分設(shè)AN與平面MNC所成角為,?！?分(Ⅲ)設(shè)，，，又，E點的坐標(biāo)為,…………………11分面MDC，，欲使平面ADE⊥平面MNC,只要，，，?！?4分AUTONUM\＊Arabic．（2013北京東城高三二模數(shù)學(xué)理科）如圖,△是等邊三角形，,,將△沿折疊到△的位置,使得。(Ⅰ)求證:;（Ⅱ）若，分別是，的中點，求二面角的余弦值.【答案】（共14分）（Ⅰ）證明:因為所以,又因為,且，所以平面,因為平面,所以。（Ⅱ）因為△是等邊三角形，,,不防設(shè),則,又因為,分別為，的中點，由此以為原點,,，所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系.則有,，，,，。所以,.設(shè)平面的法向量為.則即令，則.所以.又平面的一個法向量為.所以.所以二面角的余弦值為AUTONUM\*Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013北京豐臺二模數(shù)學(xué)理科試題及答案）如圖(1），等腰直角三角形ABC的底邊AB=4，點D在線段AC上，于E，現(xiàn)將△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如圖（2))。(Ⅰ)求證:PBDE；（Ⅱ）若PEBE,直線PD與平面PBC所成的角為30°,求PE長。圖(1）圖(2)【答案】xyz解:（Ⅰ）,，DEPE，xyz,DE平面PEB,,BPDE;(Ⅱ）PEBE,PEDE,，所以，可由DE，BE，PE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），設(shè)PE=,則B(0,4—，0),D（，0，0),C(2，2-,0）,P(0，0,）,，,設(shè)面PBC的法向量，令，,,BC與平面PCD所成角為30°,,解得：=，或=4（舍),所以,PE的長為AUTONUM\＊Arabic．(2013屆北京西城區(qū)一模理科）在如圖所示的幾何體中，面為正方形，面為等腰梯形,//，，,．（Ⅰ）求證:平面；（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值;（Ⅲ)線段上是否存在點，使平面平面？證明你的結(jié)論．【答案】(Ⅰ）證明：因為，，在△中，由余弦定理可得，所以．………………2分又因為，所以平面．………………4分（Ⅱ）解：因為平面，所以．因為，所以平面．………………5分所以兩兩互相垂直,如圖建立的空間直角坐標(biāo)系．………………6分在等腰梯形中,可得．設(shè),所以．所以,，．設(shè)平面的法向量為,則有所以取，得．………………8分設(shè)與平面所成的角為，則，所以與平面所成角的正弦值為．………………9分（Ⅲ)解：線段上不存在點，使平面平面．證明如下:………………10分假設(shè)線段上存在點，設(shè)，所以．設(shè)平面的法向量為，則有所以取，得．………………12分要使平面平面，只需，………………13分即，此方程無解．所以線段上不存在點，使平面平面．………………14分AUTONUM\*Arabic．（2013屆北京海濱一模理科）在四棱錐中，平面，是正三角形,與的交點恰好是中點，又，，點在線段上,且．(Ⅰ）求證:；(Ⅱ）求證:平面;（Ⅲ）求二面角的余弦值．【答案】證明：（I）因為是正三角形，是中點，所以，即………………1分又因為,平面，………………2分又，所以平面………………3分又平面，所以………………4分（Ⅱ）在正三角形中，………………5分在中，因為為中點，，所以，所以，所以………………6分在等腰直角三角形中，，，所以，，所以………………8分又平面,平面,所以平面………………9分（Ⅲ）因為，所以,分別以為軸,軸，軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，所以由（Ⅱ）可知，為平面的法向量………………10分，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令則平面的一個法向量為………………12分設(shè)二面角的大小為，則所以二面角余弦值為………………14分AUTONUM\*Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013屆房山區(qū)一模理科數(shù)學(xué)）在四棱錐中,側(cè)面⊥底面，為直角梯形,//，，，，為的中點．（Ⅰ）求證:PA//平面BEF；（Ⅱ）若PC與AB所成角為，求的長；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求二面角F—BE-A的余弦值．【答案】（Ⅰ）證明：連接AC交BE于O,并連接EC,FO//，,為中點AE//BC,且AE=BC四邊形ABCE為平行四邊形O為AC中點………………….………………。.1分又F為AD中點//……………...…。2分……………。..…。3分//平面……….?！?…。.4分(Ⅱ)解法一：………….…6分易知BCDE為正方形建立如圖空間直角坐標(biāo)系，（)則,……?！?分解得：…………………….9分解法二:由BCDE為正方形可得由ABCE為平行四邊形可得//為即………………….?！?分………………。…7分…………………….8分………………….?！?分(Ⅲ）為的中點,所以,,設(shè)是平面BEF的法向量則取，則，得………………。11分是平面ABE的法向量………………….12分………………….13分由圖可知二面角的平面角是鈍角，所以二面角的余弦值為．………….14分AUTONUM\＊Arabic．(北京市朝陽區(qū)2013屆高三第一次綜合練習(xí)理科數(shù)學(xué))如圖，在四棱錐中,平面平面，且，.四邊形滿足，，。點分別為側(cè)棱上的點,且。（Ⅰ）求證：平面;（Ⅱ）當(dāng)時，求異面直線與所成角的余弦值；(Ⅲ)是否存在實數(shù),使得平面平面?若存在,試求出的值;若不存在,請說明理由.PPDABCFE【答案】證明:（Ⅰ)由已知,,所以。因為，所以。而平面,平面,所以平面（Ⅱ)因為平面平面,平面平面,且,所以平面.所以，.又因為,所以兩兩垂直如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，PDPDABCFExyxzx因為,，所以。當(dāng)時,為中點,所以，所以。設(shè)異面直線與所成的角為,所以,所以異面直線與所成角的余弦值為（Ⅲ）設(shè)，則.由已知,所以,所以所以。設(shè)平面的一個法向量為，因為,所以即令，得。設(shè)平面的一個法向量為，因為，所以即令，則.若平面平面,則，所以,解得。所以當(dāng)時,平面平面AUTONUM\＊Arabic．（2013北京順義二模數(shù)學(xué)理科試題及答案)如圖,在長方體中,，為的中點,為的中點.(I)求證：平面；(II)求證:平面；（III)若二面角的大小為，求的長.【答案】（I)證明:在長方體中，因為平面，所以.因為，所以四邊形為正方形，因此，又,所以平面.又,且,所以四邊形為平行四邊形.又在上，所以平面（II）取的中點為，連接.因為為的中點,所以且,因為為的中點，所以，而,且,所以,且,因此四邊形為平行四邊形，所以,而平面，所以平面(III)如圖,以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),xyxyz則,故。由（I）可知平面,所以是平面的一個法向量。設(shè)平面的一個法向量為，則,所以令，則，所以。設(shè)與所成的角為,則。因為二面角的大小為，所以，即,解得,即的長為1AUTONUM\*Arabic．(2013北京房山二模數(shù)學(xué)理科試題及答案）如圖,是正方形，平面，,.（Ⅰ)求證：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）設(shè)點是線段上一個動點,試確定點的位置，使得平面,證明你的結(jié)論.【答案】(Ⅰ)證明：因為平面，所以因為是正方形，所以，所以平面,從而(Ⅱ）解：因為兩兩垂直，所以建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示設(shè),可知則,,，,,，所以,,設(shè)平面的法向量為，則，即,令,則因為平面,所以為平面的法向量，，所以因為二面角為銳角,所以二面角的余弦值為(Ⅲ)解:點是線段上一個動點，設(shè).則，因為平面,所以,即,解得此時，點坐標(biāo)為，,符合題意AUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．（2013北京海淀二模數(shù)學(xué)理科試題及答案）如圖1，在直角梯形中，,,，。把沿對角線折起到的位置,如圖2所示,使得點在平面上的正投影恰好落在線段上，連接,點分別為線段的中點。（I）求證：平面平面;（II）求直線與平面所成角的正弦值；（III)在棱上是否存在一點，使得到點四點的距離相等?請說明理由.【答案】解:（I)因為點在平面上的正投影恰好落在線段上所以平面,所以因為在直角梯形中,,，，所以，，所以是等邊三角形，所以是中點，所以同理可證又所以平面(II）在平面內(nèi)過作的垂線如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則，,因為,設(shè)平面的法向量為因為，所以有,即，令則所以所以直線與平面所成角的正弦值為(III）存在,事實上記點為即可因為在直角三角形中，,在直角三角形中，點所以點到四個點的距離相等AUTONUM\*Arabic．（2013北京西城高三二模數(shù)學(xué)理科）如圖1，四棱錐中,底面,面是直角梯形，為側(cè)棱上一點.該四棱錐的俯視圖和側(cè)(左)視圖如圖2所示.（Ⅰ）證明:平面；(Ⅱ)證明:∥平面;（Ⅲ)線段上是否存在點,使與所成角的余弦值為?若存在,找到所有符合要求的點,并求的長;若不存在，說明理由?！敬鸢浮俊痉椒ㄒ弧浚á?證明：由俯視圖可得,,所以又因為平面，所以，所以平面(Ⅱ)證明:取上一點,使,連結(jié)，由左視圖知，所以∥,在△中,易