2024屆陜西省西安市長安區(qū)數學高一第二學期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆陜西省西安市長安區(qū)數學高一第二學期期末統(tǒng)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中，角均為銳角，且，則的形狀是（）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形2．，則的大小關系是（）A．B．C．D．3．要得到函數的圖像，只需要將函數的圖像（）A．向右平移個長度單位 B．向左平移個長度單位C．向右平移個長度單位 D．向左平移個長度單位4．已知向量，.且，則（）A．2 B． C． D．5．已知各項為正數的等比數列中，，，則公比q＝A．4 B．3 C．2 D．6．若實數a、b滿足條件，則下列不等式一定成立的是A． B． C． D．7．若滿足約束條件，則的最小值是（）A．0 B． C． D．38．已知是邊長為4的等邊三角形，為平面內一點，則的最小值是（）A． B． C． D．9．若且則的值是().A． B． C． D．10．在中，若則等于（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知直線與圓交于兩點，若，則____.12．在數列中，，是其前項和，當時，恒有、、成等比數列，則________．13．設偶函數的部分圖像如圖所示，為等腰直角三角形，，則的值為________．14．若，，則___________.15．圓錐的底面半徑是3，高是4，則圓錐的側面積是__________．16．一湖中有不在同一直線的三個小島A、B、C，前期為開發(fā)旅游資源在A、B、C三島之間已經建有索道供游客觀賞，經測量可知AB兩島之間距離為3公里，BC兩島之間距離為5公里，AC兩島之間距離為7公里，現調查后發(fā)現，游客對在同一圓周上三島A、B、C且位于（優(yōu)?。┮黄娘L景更加喜歡，但由于環(huán)保、安全等其他原因，沒辦法盡可能一次游覽更大面積的湖面風光，現決定在上選擇一個點D建立索道供游客游覽，經研究論證為使得游覽面積最大，只需使得△ADC面積最大即可.則當△ADC面積最大時建立索道AD的長為______公里.（注：索道兩端之間的長度視為線段）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設數列的首項，為常數，且（1）判斷數列是否為等比數列，請說明理由；（2）是數列的前項的和，若是遞增數列，求的取值范圍.18．已知直線與.（1）當時，求直線與的交點坐標；（2）若，求a的值.19．甲，乙兩機床同時加工直徑為100cm的零件，為檢驗質量，各從中抽取6件測量的數據為：甲：99，100，98，100，100，103乙：99，100,102,99，100，100(1)分別計算兩組數據的平均數及方差(2)根據計算結果判斷哪臺機床加工零件的質量更穩(wěn)定.20．某地區(qū)有小學21所，中學14所，現采用分層抽樣的方法從這些學校中抽取5所學校，對學生進行視力檢查．（1）求應從小學、中學中分別抽取的學校數目；（2）若從抽取的5所學校中抽取2所學校作進一步數據分析：①列出所有可能抽取的結果；②求抽取的2所學校至少有一所中學的概率．21．已知的三個頂點，，，其外接圓為圓．（1）求圓的方程；（2）若直線過點，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；（3）對于線段上的任意一點，若在以為圓心的圓上都存在不同的兩點，，使得點是線段的中點，求圓的半徑的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】，又角均為銳角，則，，且中，，的形狀是鈍角三角形，故選C.【方法點睛】本題主要考查利用誘導公式、正弦函數的單調性以及判斷三角形形狀，屬于中檔題.判斷三角形狀的常見方法是：（1）通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內角之間的關系進行判斷；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過代數恒等變換，求出邊與邊之間的關系進行判斷；（3）根據余弦定理確定一個內角為鈍角進而知其為鈍角三角形.2、D【解題分析】由題意得，，故選D.【題目點撥】本題考查函數的三角恒等變換和三角函數的圖像與性質，涉及函數與不等式思想、數形結合思想和轉化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉化能力、運算求解能力，具有一定的綜合性，屬于中檔題型.首先利用誘導公式和兩角和差公式將化簡，再利用正弦的函數圖像可得正解.3、D【解題分析】

根據的圖像變換規(guī)律求解即可【題目詳解】設平移量為，則由，滿足：，故由向左平移個長度單位可得到故選：D【題目點撥】本題考查函數的圖像變換規(guī)律，屬于基礎題4、B【解題分析】

通過得到，再利用和差公式得到答案.【題目詳解】向量，.且故答案為B【題目點撥】本題考查了向量平行，正切值的計算，意在考查學生的計算能力.5、C【解題分析】

由，利用等比數列的性質，結合各項為正數求出，從而可得結果.【題目詳解】，，，，故選C.【題目點撥】本題主要考查等比數列的性質，以及等比數列基本量運算，意在考查靈活運用所學知識解決問題的能力，屬于簡單題.6、D【解題分析】

根據題意，由不等式的性質依次分析選項，綜合即可得答案．【題目詳解】根據題意，依次分析選項：對于A、，時，有成立，故A錯誤；對于B、，時，有成立，故B錯誤；對于C、，時，有成立，故C錯誤；對于D、由不等式的性質分析可得若，必有成立，則D正確；故選：D．【題目點撥】本題考查不等式的性質，對于錯誤的結論舉出反例即可．7、A【解題分析】可行域為一個三角形及其內部,其中，所以直線過點時取最小值，選B.8、A【解題分析】

建立平面直角坐標系，表示出點的坐標，利用向量坐標運算和平面向量的數量積的運算，求得最小值，即可求解.【題目詳解】由題意，以中點為坐標原點，建立如圖所示的坐標系，則，設，則，所以，所以當時，取得最小值為，故選A.【題目點撥】本題主要考查了平面向量數量積的應用問題，根據條件建立坐標系，利用坐標法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.9、C【解題分析】由題設，又，則，所以，，應選答案C．點睛：角変換是三角變換中的精髓，也是等價化歸與轉化數學思想的具體運用，求解本題的關鍵是巧妙地將一個角變?yōu)橐阎獌山堑牟?，再運用三角變換公式進行求解．10、D【解題分析】

由正弦定理，求得，再由，且，即可求解，得到答案.【題目詳解】由題意，在中，由正弦定理可得，即，又由，且，所以或，故選D.【題目點撥】本題主要考查了正弦定理的應用，其中解答中熟記三角形的正弦定理，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據點到直線距離公式與圓的垂徑定理求解.【題目詳解】圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離：，由得，解得.【題目點撥】本題考查直線與圓的應用.此題也可聯立圓與直線方程，消元后用弦長公式求解.12、.【解題分析】

由題意得出，當時，由，代入，化簡得出，利用倒數法求出的通項公式，從而得出的表達式，于是可求出的值.【題目詳解】當時，由題意可得，即，化簡得，得，兩邊取倒數得，，所以，數列是以為首項，以為公差的等差數列，，，則，因此，，故答案為：.【題目點撥】本題考查數列極限的計算，同時也考查了數列通項的求解，在含的數列遞推式中，若作差法不能求通項時，可利用轉化為的遞推公式求通項，考查分析問題和解決問題的能力，綜合性較強，屬于中等題.13、【解題分析】的部分圖象如圖所示，為等腰直角三角形，，，函數是偶函數，，函數的解析式為，故答案為.【方法點睛】本題主要通過已知三角函數的圖象求解析式考查三角函數的性質，屬于中檔題.利用最值求出,利用圖象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊點求出，正確求使解題的關鍵.求解析時求參數是確定函數解析式的關鍵，往往利用特殊點求的值，由特殊點求時，一定要分清特殊點是“五點法”的第幾個點.14、【解題分析】

將等式和等式都平方，再將所得兩個等式相加，并利用兩角和的正弦公式可求出的值.【題目詳解】若，，將上述兩等式平方得，①，②，①＋②可得，求得，故答案為．【題目點撥】本題考查利用兩角和的正弦公式求值，解題的關鍵就是將等式進行平方，結合等式結構進行變形計算，考查運算求解能力，屬于中等題.15、【解題分析】分析：由已知中圓錐的底面半徑是，高是，由勾股定理，我們可以計算出圓錐的母線長，代入圓錐側面積公式，即可得到結論.詳解：圓錐的底面半徑是，高是，圓錐的母線長，則圓錐側面積公式，故答案為.點睛：本題主要考查圓錐的性質與圓錐側面積公式，意在考查對基本公式的掌握與理解，屬于簡單題.16、【解題分析】

根據題意畫出草圖，根據余弦定理求出的值，設點到的距離為，可得，分析可知取最大時，取最大值，然后再對為中點和不是中點兩種情況分析，可得的最大值為，然后再根據圓的有關性質和正弦定理，即可求出結果．【題目詳解】根據題意可作出及其外接圓，連接，交于點，連接，如下圖：在中，由余弦定理,由為的內角，可知，所以.設的半徑為，點到的距離為，點到的距離為，則,故取最大時，取最大值.①當為中點時，由垂徑定理知，即，此時，故；②當不是中點時，不與垂直，設此時與所成角為，則，故；由垂線段最短知，此時;綜上，當為中點時，到的距離最大，最大值為；由圓周角定理可知，,由垂徑定理知，此時點為優(yōu)弧的中點，故，則，在中，由正弦定理得所以.所以當△ADC面積最大時建立索道AD的長為公里.故答案為：．【點評】本題考查了正弦定理、余弦定理在解決實際問題中的應用，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）是公比為的等比數列，理由見解析；（2）【解題分析】

（1）由，當時，，即可得出結論．（2）由（1）可得：，可得，，可得，，即可得出．【題目詳解】（1），則時，，時，為等比數列，公比為．（2）由（1）可得：，只需，（）當為奇數時，恒成立，又單減，∴當為偶數時，恒成立，又單增，∴．【題目點撥】本題考查等比數列的定義通項公式與求和公式及其單調性，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）當時，直線與聯立即可．（2）兩直線平行表示斜率相同且截距不同，聯立方程求解即可．【題目詳解】（1）當時，直線與，聯立，解得，故直線與的交點坐標為.（2）因為，所以，即解得.【題目點撥】此題考察直線斜率，兩直線平行表示斜率相等且截距不同（如果斜率和截距都相同則是同一條直線），屬于基礎簡單題目．19、（1）；，，；（2）乙機床加工零件的質量更穩(wěn)定．【解題分析】

（1）根據題中數據，結合平均數與方差的公式，即可得出結果；（2）根據（1）的結果，結合平均數與方差的意義，即可得出結果.【題目詳解】（1）由題中數據可得：；，所以，；（2）兩臺機床所加工零件的直徑的平均值相同，又所以乙機床加工零件的質量更穩(wěn)定．【題目點撥】本題主要考查平均數與方差，熟記公式即可，屬于常考題型.20、（1）3所、2所；（2）①共10種；②【解題分析】

（1）根據分層抽樣的方法，得到分層抽樣的比例，即可求解樣本中小學與中學抽取的學校數目；（2）①3所小學分別記為；2所中學分別記為，利用列舉法，即可求得抽取的2所學校的所有結果；②利用古典概型的概率計算公式，即可求得相應的概率．【題目詳解】（1）學校總數為35所，所以分層抽樣的比例為，計算各類學校應抽取的數目為：，故從小學、中學中分別抽取的學校數目為3所、2所．（2）①3所小學分別記為；2所中學分別記為應抽取的2所學校的所有結果為：共10種．②設“抽取的2所學校至少有一所中學”作為事件．其結果共有7種，所以概率為．【題目點撥】本題主要考查了分層抽樣的應用，以及古典概型及其概率的計算，其中解答中認真審題，合理利用列舉法求得基本事件的總數是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．21、（1）（2）或（3）【解題分析】

試題分析：(1)借助題設條件直接求解；(2)借助題設待定直線的斜率,再運用直線的點斜式方程求解；(3)借助題設建立關于的不等式,運用分析推證的方法進行求解.試題解析：（1）的面積為2；（2）線段