江蘇省常州市省常中2024屆數(shù)學高一下期末質量檢測試題含解析

江蘇省常州市省常中2024屆數(shù)學高一下期末質量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．是等差數(shù)列的前n項和，如果，那么的值是()A．12 B．24 C．36 D．482．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，則等于()A．1 B．2 C． D．43．在直角中，三條邊恰好為三個連續(xù)的自然數(shù)，以三個頂點為圓心的扇形的半徑為1，若在中隨機地選取個點，其中有個點正好在扇形里面，則用隨機模擬的方法得到的圓周率的近似值為（）A． B． C． D．4．若，，與的夾角為，則的值是（）A． B． C． D．5．下列函數(shù)中，在區(qū)間上是減函數(shù)的是（）A． B． C． D．6．已知向量，則下列結論正確的是A． B． C．與垂直 D．7．已知在中，兩直角邊，，是內一點，且，設，則（）A． B． C．3 D．8．《五曹算經》是我國南北朝時期數(shù)學家甄鸞為各級政府的行政人員編撰的一部實用算術書.其第四卷第九題如下：“今有平地聚粟，下周三丈高四尺，問粟幾何？”其意思為“場院內有圓錐形稻谷堆，底面周長3丈，高4尺，那么這堆稻谷有多少斛？”已知1丈等于10尺，1斜稻谷的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的稻谷約有（）A．57.08斜 B．171.24斛 C．61.73斛 D．185.19斛9．已知平面向量=（1，－3），=（4，－2），與垂直，則是（）A．2 B．1 C．－2 D．－110．實數(shù)數(shù)列為等比數(shù)列，則（）A．-2 B．2 C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．下列命題中：①若，則的最大值為；②當時，；③的最小值為；④當且僅當均為正數(shù)時，恒成立.其中是真命題的是__________．(填上所有真命題的序號)12．已知等比數(shù)列的公比為，關于的不等式有下列說法：①當吋，不等式的解集②當吋，不等式的解集為③當>0吋，存在公比，使得不等式解集為④存在公比，使得不等式解集為R.上述說法正確的序號是_______.13．函數(shù)在的遞減區(qū)間是__________14．函數(shù)y=tan15．已知原點O（0，0），則點O到直線x+y+2=0的距離等于．16．給出以下四個結論：①過點，在兩軸上的截距相等的直線方程是；②若是等差數(shù)列的前n項和，則；③在中，若，則是等腰三角形；④已知，，且，則的最大值是2.其中正確的結論是________（寫出所有正確結論的番號）.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．土筍凍是閩南種廣受歡迎的特色傳統(tǒng)風味小吃某小區(qū)超市銷售一款土筍凍，進價為每個15元，售價為每個20元.銷售的方案是當天進貨，當天銷售,未售出的全部由廠家以每個10元的價格回購處理.根據該小區(qū)以往的銷售情況，得到如圖所示的頻率分布直方圖:(1)估算該小區(qū)土筍凍日需求量的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間的中點值代表)；(2)已知該超市某天購進了150個土筍凍，假設當天的需求量為個銷售利潤為元.(i)求關于的函數(shù)關系式;(ii)結合上述頻率分布直方圖，以額率估計概率的思想,估計當天利潤不小于650元的概率.18．求過三點的圓的方程，并求這個圓的半徑和圓心坐標．19．已知圓關于直線對稱，半徑為，且圓心在第一象限．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）若直線與圓相交于不同兩點、，且，求實數(shù)的值．20．如圖，在三棱錐中，，分別為，的中點，且.（1）證明：平面；（2）若平面平面，證明：.21．如圖，在三棱柱中，側棱垂直于底面，，分別是的中點.（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

由等差數(shù)列的性質：若m+n=p+q,則即可得.【題目詳解】故選B【題目點撥】本題考查等比數(shù)列前n項和的求解和性質的應用，是基礎題型，解題中要注意認真審題，注意下標的變化規(guī)律，合理地進行等價轉化.2、D【解題分析】

直接利用正弦定理得到，帶入化簡得到答案.【題目詳解】正弦定理：即：故選D【題目點撥】本題考查了正弦定理，意在考查學生的計算能力.3、B【解題分析】由題直角中，三條邊恰好為三個連續(xù)的自然數(shù)，設三邊為解得以三個頂點為圓心的扇形的面積和為由題故選B.4、C【解題分析】

由題意可得||?||?cos，，再利用二倍角公式求得結果．【題目詳解】由題意可得||?||?cos，2sin15°4cos15°cos30°＝2sin60°，故選：C．【題目點撥】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，二倍角公式的應用屬于基礎題．5、C【解題分析】

根據初等函數(shù)的單調性對各個選項的函數(shù)的解析式進行逐一判斷【題目詳解】函數(shù)在單調遞增，在單調遞增.

在單調遞減，在單調遞增.故選：C【題目點撥】本題主要考查了基本初等函數(shù)的單調性的判斷，屬于基礎試題．6、C【解題分析】

可按各選擇支計算．【題目詳解】由題意，，A錯；，B錯；，∴，C正確；∵不存在實數(shù)，使得，∴不正確，D錯，故選C．【題目點撥】本題考查向量的數(shù)量積、向量的平行，向量的模以及向量的垂直等知識，屬于基礎題．7、A【解題分析】分析：建立平面直角坐標系，分別寫出B、C點坐標，由于∠DAB=60°，設D點坐標為（m，），由平面向量坐標表示，可求出λ和μ．詳解：如圖以A為原點，以AB所在的直線為x軸，以AC所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，則B點坐標為（1，0），C點坐標為（0，2），因為∠DAB=60°，設D點坐標為（m，），=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）?λ=m，μ=，則．故選A．點睛：本題主要考察平面向量的坐標表示，根據條件建立平面直角坐標系，分別寫出各點坐標，屬于中檔題．8、C【解題分析】

根據圓錐的周長求出底面半徑，再計算圓錐的體積，從而估算堆放的稻谷數(shù)．【題目詳解】設圓錐形稻谷堆的底面半徑為尺，則底面周長為尺，解得尺，又高為尺，所以圓錐的體積為（立方尺）；又（斛，所以估算堆放的稻谷約有61.73（斛．故選：．【題目點撥】本題考查了椎體的體積計算問題，也考查了實際應用問題，是基礎題．9、D【解題分析】

試題分析：，由與垂直可知考點：向量垂直與坐標運算10、B【解題分析】

由等比數(shù)列的性質計算，注意項與項之間的關系即可．【題目詳解】由題意，，又與同號，∴．故選B．【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的性質，解題時要注意等比數(shù)列中奇數(shù)項同號，偶數(shù)項同號．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①②【解題分析】

根據均值不等式依次判斷每個選項的正誤，得到答案.【題目詳解】①若，則的最大值為，正確②當時，，時等號成立，正確③的最小值為，取錯誤④當且僅當均為正數(shù)時，恒成立均為負數(shù)時也成立.故答案為①②【題目點撥】本題考查了均值不等式，掌握一正二定三相等的具體含義是解題的關鍵.12、③【解題分析】

利用等比數(shù)列的通項公式，解不等式后可得結論．【題目詳解】由題意，不等式變?yōu)?，即，若，則，當或時解為，當或時，解為，時，解為；若，則，當或時解為，當或時，解為，時，不等式無解．對照A、B、C、D，只有C正確．故選C．【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的通項公式，考查解一元二次不等式，難點是解一元二次不等式，注意分類討論，本題中需對二次項系數(shù)分正負，然后以要對兩根分大小，另外還有一個是相應的一元二次方程是否有實數(shù)解分類（本題已經有兩解，不需要這個分類）．13、【解題分析】

利用兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后由正弦函數(shù)的性質得出結論．【題目詳解】，由得，，時，．即所求減區(qū)間為．故答案為．【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的單調性，解題時需把函數(shù)化為一個角一個三角函數(shù)形式，然后結合正弦函數(shù)的單調性求解．14、{【解題分析】

解方程12【題目詳解】由題得12x+故答案為{x|x≠2kπ+【題目點撥】本題主要考查正切型函數(shù)的定義域的求法，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.15、【解題分析】

由點到直線的距離公式得：點O到直線x+y+2=0的距離等于，故答案為.16、②④【解題分析】

①中滿足題意的直線還有，②中根據等差數(shù)列前項和的特點，得到，③中根據同角三角函數(shù)關系進行化簡計算，從而進行判斷，④中根據基本不等式進行判斷.【題目詳解】①中過點，在兩軸上的截距相等的直線還可以過原點，即兩軸上的截距都為，即直線，所以錯誤；②中是等差數(shù)列的前n項和，根據等差數(shù)列前項和的特點，，是一個不含常數(shù)項的二次式，從而得到，即，所以正確；③中在中，若，則可得，所以可得或，所以可得或，從而得到為直角三角形或等腰三角形，所以錯誤；④中因為，，且，由基本不等式，得到，所以，當且僅當，即時，等號成立.所以，即的最大值是，所以正確.故答案為：②④【題目點撥】本題考查截距相等的直線的特點，等差數(shù)列前項和的特點，判斷三角形形狀，基本不等式求積的最大值，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）(i)（）；(ii)【解題分析】

(1)設日需求量為，直接利用頻率分布圖中的平均數(shù)公式估算該小區(qū)土筍凍日需求量的平均數(shù)；（2）(i)分類討論得（）；(ii)由（i）可知，利潤，當且僅當日需求量，再利用互斥事件的概率和公式求解.【題目詳解】解：（1）設日需求量為，依題意的頻率為；的頻率為；的頻率為；的頻率為．則與的頻率為．故該小區(qū)土筍凍日需求量的平均數(shù)，．（2）（i）當時，；當時，．故（）（ii）由（i）可知，利潤，當且僅當日需求量．由頻率分布直方圖可知，日需求量的頻率約為，以頻率估計概率的思想，估計當天利潤不小于元的概率為．【題目點撥】本題主要考查頻率分布直方圖中平均數(shù)的計算和分段函數(shù)解析式的求法，考查互斥事件的概率的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，屬于中檔題.18、（x﹣4）2+（y+3）2=21，圓的半徑為【解題分析】

設出圓的一般方程，把代入所設,得到關于的方程組，求解,即可求得圓的一般方程，化為標準方程，進一步求得圓心坐標與半徑.【題目詳解】設圓的方程為：x2+y2+Dx+Ey+F=0，則，解得D=﹣4，E=3，F(xiàn)=0，∴圓的方程為x2+y2﹣8x+6y=0，化為（x﹣4）2+（y+3）2=21，可得：圓心是（4，﹣3）、半徑r=1．【題目點撥】本題主要考查圓的方程和性質，屬于簡單題.求圓的方程常見思路與方法有:①直接設出動點坐標，根據題意列出關于的方程即可；②根據幾何意義直接找到圓心坐標和半徑，寫出方程；③待定系數(shù)法，可以根據題意設出圓的標準方程或一般式方程，再根據所給條件求出參數(shù)即可.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）由題得和，解方程即得圓的方程；（Ⅱ）取的中點，則，化簡得，即得m的值.【題目詳解】（Ⅰ）由，得圓的圓心為，圓關于直線對稱，①．圓的半徑為，②又圓心在第一象限，，，由①②解得，，故圓的方程為．（Ⅱ）取的中點，則，，，即，又，解得．【題目點撥】本題主要考查圓的方程的求法，考查直線和圓的位置關系和向量的運算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.20、（1）見解析（2）見解析【解題分析】

（1）先證明，再證明平面；（2）先證明平面，再證明.【