廣西桂林,百色,梧州,北海,崇左五市2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

廣西桂林,百色,梧州,北海,崇左五市2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是（）345.156.1264.04187.51218.01A． B． C． D．2．已知兩個(gè)單位向量的夾角為，則下列結(jié)論不正確的是（）A．方向上的投影為 B．C． D．3．在，，，是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍為()A． B． C． D．4．若實(shí)數(shù)滿足,則的大小關(guān)系是：A． B． C． D．5．已知直線是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，則的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B． C． D．6．在中，若為等邊三角形（兩點(diǎn)在兩側(cè)），則當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，（）A． B． C． D．7．同時(shí)拋擲三枚硬幣，則拋擲一次時(shí)出現(xiàn)兩枚正面一枚反面的概率為（）A． B． C． D．8．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，，則（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)的值域?yàn)?，且圖象在同一周期內(nèi)過兩點(diǎn)，則的值分別為（）A． B．C． D．10．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是()A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．我國(guó)高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為___________.12．若a、b、c正數(shù)依次成等差數(shù)列，則的最小值為_______.13．函數(shù)，的值域?yàn)開_______14．有一個(gè)底面半徑為2，高為2的圓柱，點(diǎn)，分別為這個(gè)圓柱上底面和下底面的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)或的距離不大于1的概率是________.15．已知向量，則與的夾角是_________.16．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的最小值為______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，，函數(shù).(1)求在區(qū)間上的最大值和最小值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，求正數(shù)的取值范圍.18．已知函數(shù).（1）若函數(shù)的周期，且滿足，求及的遞增區(qū)間；（2）若，在上的最小值為，求的最小值.19．如圖，某小區(qū)有一塊半徑為米的半圓形空地，開發(fā)商計(jì)劃在該空地上征地建一個(gè)矩形的花壇和一個(gè)等腰三角形的水池EDC，其中為圓心，在圓的直徑上，在半圓周上.（1）設(shè)，征地面積為，求的表達(dá)式，并寫出定義域；（2）當(dāng)滿足取得最大值時(shí)，建造效果最美觀.試求的最大值，以及相應(yīng)角的值.20．已知函數(shù)的值域?yàn)锳，.(1)當(dāng)?shù)臑榕己瘮?shù)時(shí)，求的值；(2)當(dāng)時(shí),在A上是單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，（其中)，若，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，在處取得最小值，試探討應(yīng)該滿足的條件.21．在數(shù)列中，，.（1）分別計(jì)算，，的值；（2）由（1）猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】

由表中的數(shù)據(jù)分析得：自變量基本上是等速增加，相應(yīng)的函數(shù)值增加的速度越來越快，結(jié)合基本初等函數(shù)的單調(diào)性，即可得出答案.【題目詳解】對(duì)于A：函數(shù)在是單調(diào)遞增，且函數(shù)值增加速度越來越快，將自變量代入，相應(yīng)的函數(shù)值，比較接近，符合題意，所以正確；對(duì)于B：函數(shù)值隨著自變量增加是等速的，不合題意；對(duì)于C：函數(shù)值隨著自變量的增加比線性函數(shù)還緩慢，不合題意；選項(xiàng)D：函數(shù)值隨著自變量增加反而減少，不合題意.故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)模型的選擇和應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是掌握各種基本初等函數(shù)，如一次函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】試題分析：A．方向上的投影為，即，所以A正確；B．，所以B錯(cuò)誤；C．，所以，所以C正確；D．，所以．D正確．考點(diǎn)：向量的數(shù)量積；向量的投影；向量的夾角．點(diǎn)評(píng)：熟練掌握數(shù)量積的有關(guān)性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵，尤其要注意“向量的平方就等于其模的平方”這條性質(zhì)．3、A【解題分析】由題意，可以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線的方程為，不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，不妨設(shè)，由，所以，整理得，則，即，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，當(dāng)時(shí)，有最大值.故選A.點(diǎn)睛：此題主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，以及直線方程和兩點(diǎn)間距離的計(jì)算等方面的知識(shí)與技能，還有坐標(biāo)法的運(yùn)用等，屬于中高檔題，也是常考考點(diǎn).根據(jù)題意，把運(yùn)動(dòng)（即的位置在變）中不變的因素（）找出來，通過坐標(biāo)法建立合理的直角坐標(biāo)系，把點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來，再通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，列出式子，討論其最值，從而問題可得解.4、D【解題分析】分析：先解不等式,再根據(jù)不等式性質(zhì)確定的大小關(guān)系.詳解：因?yàn)?所以,所以選D.點(diǎn)睛：本題考查一元二次不等式解法以及不等式性質(zhì)，考查基本求解能力與運(yùn)用性質(zhì)解決問題能力.5、B【解題分析】

利用周期公式計(jì)算出周期，根據(jù)對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)的是最值，然后分析單調(diào)減區(qū)間.【題目詳解】因?yàn)?，若取到最大值，則，即，此時(shí)處最接近的單調(diào)減區(qū)間是：即，故B符合；若取到最小值，則，即，此時(shí)處最接近的單調(diào)減區(qū)間是：即，此時(shí)無符合答案；故選：B.【題目點(diǎn)撥】對(duì)于正弦型函數(shù)，對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)的是函數(shù)的最值，這一點(diǎn)值得注意.6、A【解題分析】

求出三角形的面積，求出四邊形的面積，運(yùn)用三角函數(shù)的恒等變換和正弦函數(shù)的值域，求出滿足條件的角的值即可．【題目詳解】設(shè)，，，是正三角形，，由余弦定理得：，，時(shí)，四邊形的面積最大，此時(shí)．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查余弦定理和三角形的面積公式，考查兩角的和差公式和正弦函數(shù)的值域，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．7、B【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求解.【題目詳解】每枚硬幣正面向上的概率都等于，故恰好有兩枚正面向上的概率為：.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)分布.本題也可根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式求解.8、D【解題分析】

根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)可知、、成等比數(shù)列,即可得關(guān)于的等式,化簡(jiǎn)即可得解.【題目詳解】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,,根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)可知,、、滿足：化簡(jiǎn)可得故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

根據(jù)值域先求，再代入數(shù)據(jù)得到最大值和最小值對(duì)應(yīng)相差得到答案.【題目詳解】函數(shù)的值域?yàn)榧?，圖象在同一周期內(nèi)過兩點(diǎn)故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)的最大值最小值，周期，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)公式和性質(zhì)的靈活運(yùn)用和計(jì)算能力.10、D【解題分析】

化簡(jiǎn)函數(shù)可得y＝2sin（2x），把“2x”作為一個(gè)整體，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，求出x的范圍，即是所求函數(shù)的增區(qū)間．【題目詳解】，由2kπ≤2x2kπ得，kπx≤kπ（k∈z），∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是[kπ，kπ]（k∈z），故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用，一般的做法是利用整體思想，根據(jù)正弦函數(shù)（余弦函數(shù)）的性質(zhì)進(jìn)行求解．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1．98.【解題分析】

本題考查通過統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行概率的估計(jì)，采取估算法，利用概率思想解題．【題目詳解】由題意得，經(jīng)停該高鐵站的列車正點(diǎn)數(shù)約為，其中高鐵個(gè)數(shù)為11+21+11=41，所以該站所有高鐵平均正點(diǎn)率約為．【題目點(diǎn)撥】本題考點(diǎn)為概率統(tǒng)計(jì)，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．側(cè)重統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的概率估算，難度不大．易忽視概率的估算值不是精確值而失誤，根據(jù)分類抽樣的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估算出正點(diǎn)列車數(shù)量與列車總數(shù)的比值．12、1【解題分析】

由正數(shù)a、b、c依次成等差數(shù)列，則，則，再結(jié)合基本不等式求最值即可.【題目詳解】解：由正數(shù)a、b、c依次成等差數(shù)列，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故答案為：1.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差中項(xiàng)的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了基本不等式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.13、【解題分析】

先求的值域,再求的值域即可.【題目詳解】因?yàn)?故,故.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了余弦函數(shù)的值域與反三角函數(shù)的值域等,屬于基礎(chǔ)題型.14、【解題分析】

本題利用幾何概型求解．先根據(jù)到點(diǎn)的距離等于1的點(diǎn)構(gòu)成圖象特征，求出其體積，最后利用體積比即可得點(diǎn)到點(diǎn)，的距離不大于1的概率；【題目詳解】解：由題意可知，點(diǎn)P到點(diǎn)或的距離都不大于1的點(diǎn)組成的集合分別以、為球心，1為半徑的兩個(gè)半球，其體積為，又該圓柱的體積為，則所求概率為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查幾何概型、圓柱和球的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查空間想象力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．關(guān)鍵是明確滿足題意的測(cè)度為體積比．15、【解題分析】

利用向量的數(shù)量積直接求出向量的夾角即可.【題目詳解】由題知，，因?yàn)椋耘c的夾角為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用向量的數(shù)量積求解向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

用基本量法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，由通項(xiàng)公式可得取最小值時(shí)的值，從而得的最小值．【題目詳解】設(shè)數(shù)列公差為，則由已知得，解得，∴，，，又，、∴的最小值為．故答案為：．．【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值．首項(xiàng)為負(fù)且遞增的等差數(shù)列，滿足的最大的使得最小，首項(xiàng)為正且遞減的等差數(shù)列，滿足的最大的使得最大，當(dāng)然也可把表示為的二次函數(shù)，由二次函數(shù)知識(shí)求得最值．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）利用向量的數(shù)量積化簡(jiǎn)即可得，再根據(jù)，求出的范圍結(jié)合圖像即可解決．（2）根據(jù)（1）求出，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出的單調(diào)區(qū)間即可．【題目詳解】解：（1）因?yàn)樗裕?，所以?）解法一：令得因?yàn)楹瘮?shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以存在，使得，所以有因?yàn)?，所以所以，又因?yàn)?，得所以從而有所以，所以解法二：由，得因?yàn)樗运越獾糜炙浴绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查了正弦函數(shù)在給定區(qū)間是的最值以及根據(jù)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)．屬于中等題，解決本題的關(guān)鍵是記住正弦函數(shù)的單調(diào)性、最值等．18、（1），；（2）2.【解題分析】

（1）由函數(shù)的性質(zhì)知，關(guān)于直線對(duì)稱，又函數(shù)的周期，兩個(gè)條件兩個(gè)未知數(shù)，列兩個(gè)方程，所以可以求出，進(jìn)而得到的解析式，求出的遞增區(qū)間；（2）求出的所有解，再解不等式，即可求出的最小值．【題目詳解】（1），由知，∴對(duì)稱軸∴，又，,由，得，函數(shù)遞增區(qū)間為；（2）由于，在上的最小值為，所以，即，所以，所以.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)解析式、單調(diào)區(qū)間以及最值的求法，特別注意用代入法求單調(diào)區(qū)間時(shí)，要考慮復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，以免求錯(cuò)．19、(1)(2)最大值為，此時(shí)【解題分析】

（1）連接，在中，求出，進(jìn)而求出面積以及角的范圍；（2）令，再求出的范圍，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)即可求出最大值，以及相應(yīng)角的值.【題目詳解】（1）連接，在中，，（2），令，因?yàn)?，所以，所以因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以時(shí)有最大值為，此時(shí)【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，最終轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)進(jìn)行求解，這類問題的特點(diǎn)是通過現(xiàn)實(shí)生活的事例考查解決問題的能力、仔細(xì)理解題，才能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.20、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

（1）由函數(shù)為偶函數(shù)，可得，故，由此可得的值．（2）化簡(jiǎn)函數(shù)，求出，化簡(jiǎn)，由題意可知：，由此可得的取值范圍．（3）由條件得，再由，，可得．由的圖象關(guān)于點(diǎn)，對(duì)稱求得，可得．再由的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱，所以，可得，，由此求得滿足的條件．【題目詳解】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，得對(duì)恒成立，即，所以.（2），即，，由題意可知：得，∴.（3）又∵，，，不妨設(shè)，，則，其中，由函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，在處取得最小值得，即，故.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性和對(duì)稱性的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．21、(1),；

(2),證明見解析