【對數(shù)的歷史溯源與發(fā)展5900字】

目錄TOC\o"1-3"\h\u1引言 12對數(shù)的歷史溯源 12.1納皮爾的對數(shù) 12.1.1早期的探索 22.1.2納皮爾對數(shù)及其性質(zhì) 32.1.3比爾吉的對數(shù) 42.1.4布里格斯常用對數(shù)的發(fā)明 52.2對數(shù)的發(fā)展 62.2.1研究現(xiàn)狀 62.2.2對數(shù)的發(fā)展 73結(jié)束語 8參考文獻(xiàn)： 8

對數(shù)的歷史溯源與發(fā)展摘要：對數(shù)的基本思想可以追溯到古希臘時(shí)代，不同時(shí)期數(shù)學(xué)家們在對數(shù)方面有不同的貢獻(xiàn)。天文學(xué)的興起，大數(shù)的計(jì)算，為對數(shù)的產(chǎn)生提供了土壤。隨著航海、工學(xué)、貿(mào)易、軍事的發(fā)展，改善數(shù)值計(jì)算方法變得更加迫切。納皮爾對數(shù)、布里格斯常用對數(shù)等相繼發(fā)明，經(jīng)過各國數(shù)學(xué)家的努力，對數(shù)理論得到不斷完善。關(guān)鍵詞：對數(shù)萌芽；納皮爾對數(shù)；常用對數(shù)關(guān)于對數(shù)的歷史溯源1引言早在古希臘時(shí)期，對數(shù)的萌芽就已經(jīng)出現(xiàn)。最初是在公元前500年，阿基米德偶然發(fā)現(xiàn)了幾個(gè)相同的數(shù)字的乘積與這些數(shù)字的個(gè)數(shù)之間是存在著相互對應(yīng)的關(guān)系的，但是他卻并未把這個(gè)工作持久地推進(jìn)下去。直到16世紀(jì)末，越來越多的科學(xué)家們開始關(guān)注地球以外的世界，那時(shí)哥白尼的“太陽中心說”轟動了整個(gè)科學(xué)界，天文學(xué)吸引了越來越多的學(xué)者前來參與研究，而讓天文學(xué)家們頭疼的“天文數(shù)字”接踵而至，這些數(shù)字的計(jì)算既費(fèi)時(shí)又費(fèi)力。因?yàn)榇_定一顆星球的位置，通常要在計(jì)算上花費(fèi)幾個(gè)月甚至更久的時(shí)間，簡化運(yùn)算便成了科學(xué)家們的“燃眉之急”。天文學(xué)的興起，大數(shù)的計(jì)算，為對數(shù)的產(chǎn)生提供了土壤。隨著航海、工學(xué)、貿(mào)易、軍事的發(fā)展，改善數(shù)值計(jì)算方法變得更加迫切。納皮爾對數(shù)、布里格斯常用對數(shù)等相繼發(fā)明，經(jīng)過各國數(shù)學(xué)家的努力，對數(shù)理論得到不斷完善。2對數(shù)的歷史溯源2.1納皮爾的對數(shù)16世紀(jì)的中后期，是一個(gè)數(shù)字的時(shí)代，科學(xué)界的許多領(lǐng)域都會使用數(shù)值計(jì)算技術(shù)，而天文學(xué)和航海技術(shù)的發(fā)展更是對復(fù)雜三角計(jì)算的技術(shù)提出了更為嚴(yán)苛的要求?！凹訙p法則”被認(rèn)為是從天文學(xué)各個(gè)方面進(jìn)行簡化加乘運(yùn)算的主要方法。不僅僅是斯蒂菲爾，還有許多數(shù)學(xué)家們都已經(jīng)認(rèn)同了算術(shù)級數(shù)與幾何級數(shù)的級數(shù)項(xiàng)之間確實(shí)存在著相互對應(yīng)的關(guān)系，但是，他們的思想都沒有停留在尋找更稠密的幾何級數(shù)這件事上。而正是對于這種思想深刻的認(rèn)識和理解，成就了納皮爾，也成就了堪稱17世紀(jì)最偉大的發(fā)明：對數(shù)。其實(shí)納皮爾很早就開始構(gòu)思如何簡化數(shù)字的運(yùn)算，并付出了行動，眾所周知的納皮爾算籌就是納皮爾為了簡化大數(shù)運(yùn)算，于1571年發(fā)明的一種較為機(jī)械的方法。1614年，納皮爾在愛丁堡發(fā)表了著作《奇妙的對數(shù)定理說明書》，這本著作給出了里“根表”以及它們的使用方法，可惜的并是沒有給出證明過程。1617年，納皮爾去世，在他去世兩年之后，才出版了《奇妙的對數(shù)造表法》這本著作，書中不僅有對數(shù)的使用方法，也給出了詳細(xì)的對數(shù)表和證明過程。2.1.1早期的探索納皮爾曾經(jīng)研究過球面三角，因此他并沒有從整數(shù)入手，而是先計(jì)算正弦的對數(shù)，從而簡化正弦的乘法與除法成為了納皮爾的首要目標(biāo)，那時(shí)的一個(gè)角的正弦并不是像今天一樣被定義為這個(gè)角在直角三角形中的對邊比上斜邊，而是表示這個(gè)角的兩倍在圓中所對應(yīng)的弦長的一半，例如圖1中角的正弦是。圖1示意圖顯然，一條弦的長度取決于這一條弦所在的圓的半徑，同時(shí)半徑大小與計(jì)算的精確程度之間又存在著密不可分的關(guān)系，因此如何選擇半徑的大小是至關(guān)重要的。半徑越大，三角函數(shù)的值就越接近一個(gè)整數(shù)，并且理論上來說它能夠達(dá)到任意的精確度。納皮爾的表中給出的數(shù)字精確到了小數(shù)點(diǎn)后的位，因此可知他認(rèn)為將圓的半徑設(shè)定為更為合理。從今天來看，他試圖提供的簡化計(jì)算的正弦是近似于的整數(shù)，是以“分”為間隔的到之間的角，因?yàn)?，，因此我們可以大致推斷出他的正弦是在和之間的整數(shù)。納皮爾的想法是從算術(shù)級數(shù)和幾何級數(shù)之間的對比入手，考慮了首項(xiàng)為公比為的幾何級數(shù)，這一奇妙構(gòu)想的高明之處就在于公比接近于1，因?yàn)橐胧沟眠B續(xù)兩項(xiàng)之間的差值非常小，就要讓幾何級數(shù)充分地稠密。接著，納皮爾寫下了：幾何級數(shù)的項(xiàng)，，和算術(shù)級數(shù)的項(xiàng)，(表1)表12.1.2納皮爾對數(shù)及其性質(zhì)納皮爾的對數(shù)定義源于一個(gè)運(yùn)動學(xué)幾何模型，即借助運(yùn)動學(xué)，用幾何術(shù)語闡述了對數(shù)方法。如圖2，假定兩個(gè)初速度相同的質(zhì)點(diǎn)和，質(zhì)點(diǎn)從起點(diǎn)開始，沿線段（長度為）以初速度朝運(yùn)動，它的速度的值總是與它尚需經(jīng)過的距離成正比；質(zhì)點(diǎn)從起點(diǎn)開始，沿射線朝作勻速直線運(yùn)動。圖2同一時(shí)刻，讓兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)和分別從和出發(fā)，那么點(diǎn)在按幾何級數(shù)運(yùn)動，而點(diǎn)按算術(shù)級數(shù)運(yùn)動。若在某一個(gè)時(shí)刻，點(diǎn)與的距離為；點(diǎn)與的距離為，那么，納皮爾定義線段是線段的對數(shù)，用表示。納皮爾創(chuàng)造了對數(shù)這個(gè)術(shù)語，意為“比的數(shù)”，“比”是指數(shù)列,,,,……的公比，他還把對數(shù)稱為人造的數(shù)。[5]由于點(diǎn)的速度的變化是連續(xù)的，因此要想真正地將它表達(dá)出來就必須要用到微積分。但如果時(shí)間足夠小，并且假設(shè)點(diǎn)通過每一段長度都是在時(shí)間內(nèi)完成的，同時(shí)假設(shè)點(diǎn)在這段時(shí)間里面作勻速直線運(yùn)動，并將點(diǎn)開始時(shí)的速度定為參數(shù)，則,,,,……就形成了幾何數(shù)列，如果考慮，并且假設(shè)點(diǎn)速度的值與它到點(diǎn)的距離的值之比是，則點(diǎn)在運(yùn)動到點(diǎn)時(shí)的速度為，于是，所以，這樣如果得知序列,,,,……中的任何一項(xiàng)的長度，再乘以就可以得出它后面一項(xiàng)的長度，而點(diǎn)是勻速運(yùn)動的，因此距離,,……很顯然是可以形成算術(shù)數(shù)列的，這樣就可以得出如下事實(shí)：如果真數(shù)按照幾何級數(shù)增多，那么它所對應(yīng)的對數(shù)就會按照算術(shù)級數(shù)增多。納皮爾處理的不是正整數(shù)的對數(shù)，這是因?yàn)榧{皮爾的主要研究對象是球面三角，所以對三角函數(shù)頗有了解的他認(rèn)為真正需要進(jìn)行處理的是正弦的對數(shù)，他將一個(gè)完整的圓的半徑分成份，把圓弧的半徑作為正弦，從最大的數(shù)開始計(jì)算，他在直線上按照一定的順序?qū)⒌降恼抑当硎境鰜?，，是角的正弦，是它的對?shù)，令，，，那么，點(diǎn)的速度是，即得，（為常數(shù)）當(dāng)時(shí)，，所以.另一方面，Q的速度，即.將，的值帶入得，即.于是可以得到以下關(guān)系：.因此，我們今天定義的自然對數(shù)和納皮爾對數(shù)之間是不可以畫等號的，它們之間最根本的區(qū)別是納皮爾對數(shù)隨著數(shù)的增加而減少，然而在自然對數(shù)中的情況與納皮爾對數(shù)剛好相反。2.1.3比爾吉的對數(shù)比爾吉（1552-1632）是來自瑞士的一名著名的鐘表設(shè)計(jì)師和制造商，還曾多次擔(dān)任過著名的天文學(xué)家開普勒的助手，也許正因?yàn)檫@些年經(jīng)常與天文和數(shù)字打交道的原因，比爾吉也獨(dú)立地發(fā)明了一種對數(shù)，他雖然不是一位數(shù)學(xué)家，卻是第一個(gè)掌握了對數(shù)概念和思想的人。《等差數(shù)列和等比數(shù)列表》這本書是比爾吉花了8年時(shí)間來完成的，但是直到1620年，比爾吉才把它出版，當(dāng)時(shí)是納皮爾發(fā)表《奇妙的對數(shù)原理的說明書》之后的第6年了，但比爾吉在1600年左右就發(fā)現(xiàn)了對數(shù)，因此，一般認(rèn)為比爾吉和納皮爾都是對數(shù)的創(chuàng)立者。值得一提的是，納皮爾對數(shù)與比爾吉對數(shù)中都沒有關(guān)于對數(shù)的“底”的概念，因?yàn)楫?dāng)時(shí)指數(shù)還沒有被明確。但他們都取了一個(gè)非常接近于1的數(shù)作為底數(shù)（和），不同的是，比爾吉的對數(shù)會隨著指數(shù)的增大而增大，納皮爾的對數(shù)恰好相反。過度注重與如何避免小數(shù)導(dǎo)致比爾吉的對數(shù)的定義實(shí)際上要比納皮爾的復(fù)雜很多。[6]2.1.4布里格斯常用對數(shù)的發(fā)明英國著名數(shù)學(xué)家布里格斯通過不斷對納皮爾早年發(fā)明的對數(shù)的運(yùn)算方法進(jìn)行優(yōu)化和改革，成為最先認(rèn)識到對數(shù)發(fā)展在整個(gè)科學(xué)界中的必要性的數(shù)學(xué)家之一。1614年，納皮爾正式首次公開發(fā)表了他關(guān)于對數(shù)的學(xué)術(shù)討論，并出版了一本標(biāo)題為《奇妙的對數(shù)定理說明書》的小冊子，這本書一出版便立即引起了人們的廣泛的關(guān)注。布里格斯閱讀了這本“奇妙的”書后，對這本對數(shù)著作的內(nèi)容表現(xiàn)出了極大的興趣，在此之前，布里格斯正專注于天文學(xué)的研究，繁重的天文計(jì)算給布里格斯帶來了巨大的困難，這本書的出版對布里格斯來說簡直是如魚得水。一番研究后，他便開始思考如何對納皮爾的對數(shù)進(jìn)行改進(jìn)。布里格斯在與作者納皮爾本人會晤之前，曾向納皮爾寫過一封信，在這封信中，布里格斯曾給出過以作為對數(shù)的底的建議，而且布里格斯在倫敦格雷沙姆學(xué)院向?qū)W生講解納皮爾發(fā)明的對數(shù)理論時(shí)，也曾說，將作為整個(gè)正弦(即)的對數(shù)，要方便得多，事實(shí)上，布里格斯此時(shí)已經(jīng)開始研究制作此類正弦對數(shù)的圖表了。1617年，納皮爾不幸離世。布里格斯運(yùn)用插值法繼續(xù)研究對數(shù)，算出了從1到1000的對數(shù)，計(jì)算至14

位小數(shù)，這件事幾乎花費(fèi)了他所有的精力，但執(zhí)著的布里格斯還是完成了他的第一部關(guān)于對數(shù)的著作《一千個(gè)數(shù)的對數(shù)》，并于1617年發(fā)表了，表中一部分內(nèi)容如下所示：這張對數(shù)表是當(dāng)時(shí)唯一一篇被發(fā)表的常用對數(shù)表。繼此之后，布里格斯便開始著手進(jìn)行一項(xiàng)極為龐大和復(fù)雜的工作，也就是將到之間的全部數(shù)字的對數(shù)計(jì)算出來，并且精確到小數(shù)點(diǎn)后位。7年后，布里格斯的《對數(shù)的算術(shù)》這部著作得以出版，這是他的第二部關(guān)于對數(shù)的著作，其中包括了從1到20000以及從90000到100000的14

位的常用對數(shù)表，布里格斯在這本書中詳細(xì)地解釋了他所使用的方法和思路，就是將10

這個(gè)數(shù)字不停地開平方，即:

，，……，這樣的開平方一直持續(xù)了54次，這樣便得到一個(gè)近似于1的數(shù)，并把它們的計(jì)算結(jié)果精確到30位小數(shù)。中間20000到90000這些數(shù)的對數(shù)并不是由布里格斯計(jì)算出來的，而是由一位荷蘭的書商阿德蘭弗拉克所計(jì)算的，雖然弗拉克的計(jì)算只精確到了10位小數(shù)，但布里格斯還是于1628年把他們的結(jié)果整合在了一起，于是便有了一張完整的常用對數(shù)表。2.2對數(shù)的發(fā)展2.2.1研究現(xiàn)狀法國數(shù)學(xué)家許凱（1445—1488）曾經(jīng)在他的著作《算術(shù)三編》中給出了利用算術(shù)級數(shù)與幾何級數(shù)的對應(yīng)關(guān)系來簡化運(yùn)算的方法：算術(shù)級數(shù)1，2，3，4，……與幾何級數(shù)2，4，8，16，……相對應(yīng)，例如：對應(yīng)。許凱是這樣來解釋這種關(guān)系的：用4乘以8，得到32。因?yàn)?乘以8對應(yīng)2加3，而2加3等于5，5對應(yīng)32。所以，第二項(xiàng)乘以第三項(xiàng)等于第五項(xiàng)，對應(yīng)第二項(xiàng)加上第三項(xiàng)等于第五項(xiàng)。雖然許凱的這段話抓住了簡化乘法的核心思想，但是很遺憾，許凱并沒有看出它具有如此巨大的運(yùn)用價(jià)值。實(shí)際上，他僅僅是用于定義單項(xiàng)式的乘除法。德國數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾也曾考慮過用簡單的加減運(yùn)算來代替較為麻煩的乘除運(yùn)算。在他的著作《整數(shù)算術(shù)》中，使用了和許凱相同的兩個(gè)系列。算術(shù)序列項(xiàng)的加法對應(yīng)于幾何序列項(xiàng)的乘法，算術(shù)序列項(xiàng)的減法對應(yīng)于幾何序列項(xiàng)的除法，算術(shù)序列項(xiàng)的乘法對應(yīng)于幾何序列項(xiàng)。中間項(xiàng)的立方根、算術(shù)序列項(xiàng)的分割對應(yīng)于幾何序列項(xiàng)的平方根。斯蒂菲爾不僅探究了和的形式，而且將幾何級數(shù)與算術(shù)級數(shù)的表向左邊延伸。例如:32除以得128，而7是128的指數(shù)，所以5減去（-2）得7，即。斯蒂菲爾也有許凱一樣的遺憾，沒有將這種對應(yīng)關(guān)系繼續(xù)深入地研究下去，他們都認(rèn)為這種對應(yīng)關(guān)系的價(jià)值應(yīng)該體現(xiàn)在計(jì)算某些復(fù)雜的單項(xiàng)式方面。但是斯蒂菲爾對上述法則的研究也有一些新的突破，他認(rèn)為指數(shù)也可以是負(fù)數(shù)，并且與正數(shù)一樣遵循相同的規(guī)律。1545年，歐洲的數(shù)學(xué)發(fā)展達(dá)到質(zhì)的飛躍，一時(shí)間踴躍出了許多著名的數(shù)學(xué)家，其中對數(shù)學(xué)的發(fā)展做出極大貢獻(xiàn)的是一位意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾，他在同年出版了他的著作《大術(shù)》，當(dāng)時(shí)的“冪”還沒有一個(gè)被人們廣泛認(rèn)知的符號，而這本著作已經(jīng)開始討論一元四次方程的解法了。即使是數(shù)學(xué)發(fā)展如此迅速的歐洲，也沒有人能夠統(tǒng)一和完善“冪”的符號和定義。這個(gè)現(xiàn)象一直持續(xù)到了17世紀(jì)的早期。但是，斯蒂菲爾將算術(shù)級數(shù)中的項(xiàng)定義為“指數(shù)”。甚至，在納皮爾使用術(shù)語“對數(shù)”之前，稱算術(shù)級數(shù)中的項(xiàng)為“人造的數(shù)”。[6]準(zhǔn)確地說，“對數(shù)”的意思是“多少個(gè)比率的數(shù)”。2.2.2對數(shù)的發(fā)展16世紀(jì)和17世紀(jì)交替之際，隨著天文學(xué)、航海、工學(xué)、貿(mào)易、軍事的發(fā)展，數(shù)值計(jì)算方法的改善成為了最優(yōu)先事項(xiàng)，納皮爾深知簡化計(jì)算是科學(xué)發(fā)展的必要條件，要想促進(jìn)其發(fā)展就必須創(chuàng)造出解決方案，從而發(fā)明對數(shù)。恩格斯曾經(jīng)把對數(shù)的發(fā)明、解析幾何學(xué)的確立、微積分的建立稱為17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成果。伽利略還說：“給我空間、時(shí)間和對數(shù)，我就能創(chuàng)造宇宙”。[16]在300多年的時(shí)間里，對數(shù)計(jì)算規(guī)則對于科學(xué)家、特別是工程師和技術(shù)人員來說是必要的計(jì)算工具，直到1970年代被電子計(jì)算機(jī)取代為止。如今，對數(shù)的使用方法以及對數(shù)表的制作與使用已經(jīng)顯得沒那么重要了，但是發(fā)明對數(shù)的思想?yún)s永遠(yuǎn)不會過時(shí)?？v觀對數(shù)的歷史溯源，可以發(fā)現(xiàn)納皮爾在介紹對數(shù)的概念時(shí)，并沒有提及指數(shù)和對數(shù)的關(guān)系，而是通過運(yùn)動學(xué)并運(yùn)用幾何術(shù)語來解釋對數(shù)。這種情況的主要原因是當(dāng)時(shí)對指數(shù)沒有明確的概念。瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在18世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了指數(shù)和對數(shù)之間的關(guān)系：對數(shù)與指數(shù)互為反函數(shù)。從今天來看，我們的教科書是將指數(shù)安排在對數(shù)之前的，這是因?yàn)閷?shù)源于指數(shù)，但對數(shù)思想的孕育卻在指數(shù)之前，使得對數(shù)的發(fā)明在數(shù)學(xué)史上成為一段佳話。對數(shù)的發(fā)明是艱難的，但也是必要的，這個(gè)必要性來自于社會經(jīng)濟(jì)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，而正是它們的必要性在推動著數(shù)學(xué)發(fā)展，并成為主要?jiǎng)恿?。事?shí)上，優(yōu)秀的數(shù)學(xué)符號可以大大減輕人們的思考負(fù)擔(dān)。3結(jié)束語17世紀(jì)以前，阿基米德、休蓋等數(shù)學(xué)家已經(jīng)進(jìn)一步地發(fā)現(xiàn)由某些特殊的數(shù)字構(gòu)造而來的等差數(shù)列與等比數(shù)列之間可能會有某種相互對應(yīng)的關(guān)系，并且人們對于具體的對數(shù)運(yùn)算方式及其法則也已經(jīng)有了進(jìn)一步的認(rèn)識，但也正是由于這些數(shù)字的特殊性，使數(shù)學(xué)家們在遇到一些比較大的數(shù)字的乘除運(yùn)算時(shí)就顯得心有余而力不足了，這一障礙使很多數(shù)學(xué)家們都沒能繼續(xù)堅(jiān)持研究下去。

這種狀態(tài)一直持續(xù)到了納皮爾和比爾吉的出現(xiàn)，納皮爾認(rèn)為運(yùn)用幾何的方法更能將對數(shù)的性質(zhì)玲離盡致地體現(xiàn)出來，并且選擇0.999999作為底數(shù)；而比爾吉?jiǎng)t更傾向于使用代數(shù)，底數(shù)為1.0001。可以發(fā)現(xiàn)他們都選擇了非常接近1的數(shù)作為底數(shù)，使得各個(gè)真數(shù)之間的空隙可以盡可能地縮小，這也解決了之前的數(shù)學(xué)家們遇到的只能解決特殊數(shù)字運(yùn)算的問題，最終都獨(dú)立發(fā)明了對數(shù)。

為了提高納皮爾發(fā)明的對數(shù)的通俗性和實(shí)用性，布里格斯和納皮爾最終決定把對數(shù)的底規(guī)定為10，之后，布里格斯在納皮爾發(fā)明的對數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步做出了完善，他將數(shù)字10進(jìn)行了高達(dá)54次的開方后，終于得出了一個(gè)比1稍大的數(shù)，取10作為對數(shù)的底，最終運(yùn)用插值法發(fā)明了第一張常用對數(shù)表。參考文獻(xiàn)：[1]陳元芳,沙志貴,顧圣華,許圣斌.可考慮歷史洪水對數(shù)正態(tài)分布線性矩法的研究[J].河海大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2003(01):80-83.[2]姜珊珊.數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)[J].經(jīng)濟(jì)師,2020(07):201+203.[3]王鑫,栗小妮,汪曉勤.20