二節(jié)兩直線位置關(guān)系

第二節(jié)兩直線的位置關(guān)系?1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).3.探索并掌握平面上兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離.CONTENTS010203/目錄

知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)考點(diǎn)·分類突破課時(shí)·過(guò)關(guān)檢測(cè)01?1.兩條直線平行和垂直的判定（1）兩條直線平行①對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?

k1＝k2

?；②當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1∥l2.k1＝k2

②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時(shí)，l1⊥l2.提醒

在判定兩條直線平行或垂直的情況時(shí)不要忽略了一條直線或兩條直線斜率不存在的情形.（2）兩條直線垂直①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?

k1k2＝－1

?；k1k2＝－1

2.兩直線相交

（2）相交?方程組有

唯一解

?，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解；（3）平行?方程組

無(wú)解

?；（4）重合?方程組有

無(wú)數(shù)個(gè)解

?.唯一解

無(wú)解

無(wú)數(shù)個(gè)解

3.三種距離公式

提醒

利用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)，需要先將直線方程化為一般式.

提醒

利用兩平行直線間的距離公式時(shí)，需要先將兩條平行線方程化為x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等的一般式.

?1.判斷正誤.（正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”）（1）當(dāng)直線l1和l2的斜率都存在時(shí)，一定有k1＝k2?l1∥l2.

（

）答案：（1）×

（2）如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.

（

）（3）若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交.

（

）（4）直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離.

（

）答案：（2）×

答案：（3）√

答案：（4）√2.點(diǎn)A（2，5）到直線l：x－2y＋3＝0的距離為

（

）

3.若直線l1：ax－（a＋1）y＋1＝0與直線l2：2x－ay－1＝0垂直，則實(shí)數(shù)a＝

（

）A.3B.0C.－3D.0或－3解析：D

∵直線l1與直線l2垂直，∴2a＋a（a＋1）＝0，整理得a2＋3a＝0，解得a＝0或a＝－3.故選D.4.若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一點(diǎn)，則m＝

?.

答案：－95.已知直線3x＋4y－3＝0與直線6x＋8y＋14＝0平行，則它們之間的距離是

?.

答案：2?1.與直線Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）垂直或平行的直線方程可設(shè)為：（1）垂直：Bx－Ay＋m＝0；（2）平行：Ax＋By＋n＝0（n≠C）.2.兩個(gè)充要條件（1）直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件是A1A2＋B1B2＝0；（2）直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要條件是A1B2－A2B1＝0.3.與對(duì)稱問(wèn)題有關(guān)的四個(gè)結(jié)論（1）點(diǎn)（x，y）關(guān)于點(diǎn)（a，b）的對(duì)稱點(diǎn)為（2a－x，2b－y）；（2）點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線x＝a的對(duì)稱點(diǎn)為（2a－x，y），關(guān)于直線y＝b的對(duì)稱點(diǎn)為（x，2b－y）；（3）點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為（y，x），關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為（－y，－x）；（4）點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線x＋y＝k的對(duì)稱點(diǎn)為（k－y，k－x），關(guān)于直線x－y＝k的對(duì)稱點(diǎn)為（k＋y，x－k）.?1.過(guò)點(diǎn)（2，1）且與直線3x－2y＝0垂直的直線方程為

（

）A.2x－3y－1＝0B.2x＋3y－7＝0C.3x－2y－4＝0D.3x＋2y－8＝0解析：B

由結(jié)論1可設(shè)直線方程為2x＋3y＋b＝0，把（2，1）代入，則4＋3＋b＝0，即b＝－7，則所求直線方程為2x＋3y－7＝0.2.已知直線l1：ax＋2y－1＝0，直線l2：8x＋ay＋2－a＝0，當(dāng)l1∥l2時(shí)，a＝

?.

解析：因?yàn)閘1∥l2，由結(jié)論2得a·a－2×8＝0，解得a＝±4.當(dāng)a＝4時(shí)，直線l1：4x＋2y－1＝0，直線l2：8x＋4y－2＝0，即4x＋2y－1＝0，此時(shí)l1與l2重合，所以a＝－4.答案：－43.點(diǎn)P（2，5）關(guān)于直線x＋y＝1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是

?.

解析：由結(jié)論3可知，對(duì)稱點(diǎn)為（1－5，1－2），即（－4，－1）.答案：（－4，－1）02?兩條直線的位置關(guān)系1.經(jīng)過(guò)拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)且平行于直線3x－2y＋5＝0的直線l的方程是

（

）A.6x－4y－3＝0B.3x－2y－3＝0C.2x＋3y－2＝0D.2x＋3y－1＝0

2.（多選）已知直線l1：（a＋1）x＋ay＋2＝0，l2：ax＋（1－a）y－1＝0，則

（

）A.l1恒過(guò)點(diǎn)（2，－2）C.若l1⊥l2，則a2＝1D.當(dāng)0≤a≤1時(shí)，l2不經(jīng)過(guò)第三象限

3.已知直線l經(jīng)過(guò)直線2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交點(diǎn)P，且垂直于直線x＋y－2＝0，則直線l的方程為

?.

答案：x－y－1＝0｜練后悟通｜1.兩直線平行、垂直的判斷方法若已知兩直線的斜率存在：（1）兩直線平行?兩直線的斜率相等且在坐標(biāo)軸上的截距不等；（2）兩直線垂直?兩直線的斜率之積等于－1.2.解決兩直線平行與垂直的參數(shù)問(wèn)題要“前思后想”距離問(wèn)題【例1】

（1）兩條平行直線2x－y＋3＝0和ax＋3y－4＝0間的距離為d，則a，d的值分別為

（

）

答案

（1）B

（2）已知直線l過(guò)點(diǎn)P（－1，2）且點(diǎn)A（2，3）和點(diǎn)B（－4，5）到l的距離相等，則直線l的方程為

?.

答案

（2）x＋3y－5＝0或x＝－1｜解題技法｜兩種距離的求解思路（1）點(diǎn)到直線的距離：可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來(lái)求，但要注意此時(shí)直線方程必須為一般式；（2）兩平行直線間的距離：①利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離；②利用兩平行線間的距離公式（利用公式前需把兩平行線方程中x，y的系數(shù)化為對(duì)應(yīng)相等的形式）.?1.已知點(diǎn)P（－1，－1），A（1，0），B（0，1），則△ABP的面積為

?.

2.已知直線l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直線l到直線l1的距離與到直線l2的距離之比為1∶2，則直線l的方程為

?.

答案：4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0對(duì)稱問(wèn)題【例2】

已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A（－1，－2）.（1）求點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'的坐標(biāo)；

（2）求直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m'的方程.

?

（變?cè)O(shè)問(wèn)）在本例條件下，直線l關(guān)于點(diǎn)A（－1，－2）對(duì)稱的直線l'的方程為

?.

解析：法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點(diǎn)，如M（1，1），N（4，3），則M，N關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)M'，N'均在直線l'上.易知M'（－3，－5），N'（－6，－7），由兩點(diǎn)式可得

l'的方程為2x－3y－9＝0.法二：設(shè)P（x，y）為l'上任意一點(diǎn)，則P（x，y）關(guān)于點(diǎn)A（－1，－2）的對(duì)稱點(diǎn)為P'（－2－x，－4－y），∵P'在直線l上，∴2（－2－x）－3（－4－y）＋1＝0，即2x－3y－9＝0.答案：2x－3y－9＝0｜解題技法｜?1.光線沿著直線y＝－3x＋b射到直線x＋y＝0上，經(jīng)反射后沿著直線y＝ax＋2射出，則有

（

）

2.已知入射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（－3，4），被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)N（2，6），則反射光線所在直線的方程為

?.

答案：6x－y－6＝003?1.已知直線l過(guò)點(diǎn)（0，7），且與直線y＝－4x＋2平行，則直線l的方程為

（

）A.y＝－4x－7B.y＝4x－7C.y＝4x＋7D.y＝－4x＋7解析：D

過(guò)點(diǎn)（0，7）且與直線y＝－4x＋2平行的直線方程為y－7＝－4x，即直線l的方程為y＝－4x＋7.故選D.2.“a＝1”是“直線（2a＋1）x＋ay＋1＝0和直線ax－3y＋3＝0垂直”的

（

）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

A.（1，2）B.（2，1）C.（1，2）或（2，－1）D.（2，1）或（－1，2）

4.若直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：（a－2）x＋3y＋2a＝0平行，則l1與l2之間的距離為

（

）

5.若m，n滿足m＋2n－1＝0，則直線mx＋3y＋n＝0過(guò)定點(diǎn)

（

）

6.直線x－2y＋1＝0關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的直線方程是

（

）A.x＋2y－1＝0B.2x＋y－1＝0C.2x＋y－3＝0D.x＋2y－3＝0

7.若直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一點(diǎn)，則點(diǎn)（m，n）與原點(diǎn)之間的距離的最小值為

（

）

8.已知直線l1：x－my＋1＝0過(guò)定點(diǎn)A，直線l2：mx＋y－m＋3＝0過(guò)定點(diǎn)B，l1與l2相交于點(diǎn)P，則｜PA｜2＋｜PB｜2＝

（

）A.10B.13C.16D.20解析：B

直線l1：x－my＋1＝0過(guò)定點(diǎn)A，令y＝0，得x＝－1，所以A（－1，0）；直線l2：mx＋y－m＋3＝0過(guò)定點(diǎn)B，直線l2的方程可化為m（x－1）＋y＋3＝0，令x＝1，得y＝－3，所以B（1，－3）.因?yàn)?·m－m·1＝0，所以l1⊥l2.因?yàn)閘1與l2相交于點(diǎn)P，所以△PAB是以AB為斜邊的直角三角形，由勾股定理可得｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝（－1－1）2＋（0＋3）2＝13，故選B.9.（多選）已知直線l：（a2＋a＋1）x－y＋1＝0，其中a∈R，則下列說(shuō)法正確的是

（

）A.當(dāng)a＝－1時(shí)，直線l與直線x＋y＝0垂直B.若直線l與直線x－y＝0平行，則a＝0C.直線l過(guò)定點(diǎn)（0，1）D.當(dāng)a＝0時(shí)，直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等解析：AC

對(duì)于A，當(dāng)a＝－1時(shí)，直線l的方程為x－y＋1＝0，顯然與x＋y＝0垂直，正確；對(duì)于B，若直線l與直線x－y＝0平行，可知（a2＋a＋1）·（－1）＝1×（－1），解得a＝0或a＝－1，不正確；對(duì)于C，當(dāng)x＝0時(shí)，有y＝1，所以直線過(guò)定點(diǎn)（0，1），正確；對(duì)于D，當(dāng)a＝0時(shí)，直線l的方程為x－y＋1＝0，在x軸，y軸上的截距分別是－1，1，不正確.10.（多選）若P，Q分別為l1：3x＋4y＋5＝0，l2：ax＋8y＋c＝0上的動(dòng)點(diǎn)，且l1∥l2，下面說(shuō)法正確的有

（

）A.直線l2的斜率為定值C.當(dāng)｜PQ｜的最小值為1時(shí)，c＝20D.c≠10

11.設(shè)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，AB的中點(diǎn)是P（2，－1），則｜AB｜＝

?.

12.若直線ax＋4y－2＝0與直線2x－5y＋b＝0垂直，垂足為（1，c），則a＋b＋c＝

?.

答案：－4

14.已知直線l：x－2y＋8＝0和兩點(diǎn)A（2，0），B（－