小學數(shù)學解題思路大全

小學數(shù)學解題思路大全式題的巧解妙算〔一〕數(shù)學網(wǎng)繼【小學數(shù)學趣題巧算百題百講百練】系列后又最新推出【小學數(shù)學解題思路大全】系列！本系列包括式題的巧解妙算、巧想妙算文字題、巧想妙算填充、判斷、選擇題、巧想妙算數(shù)的根本知識題、巧解整除問題、巧想妙算應用題、巧想妙算初步幾何知識題等幾局部，幾乎囊括了所有類型的例題及解題思路。數(shù)學網(wǎng)將會為廣闊數(shù)學愛好者、小學生和家長提供更多的資源。歡送大家提供意見和建議，積極參與，共同進步！1.特殊數(shù)題(1)21－12當被減數(shù)和減數(shù)個位和十位上的數(shù)字(零除外)交叉相等時，其差為被減數(shù)與減數(shù)十位數(shù)字的差乘以9。因為這樣的兩位數(shù)減法，最低起點是21－12，差為9，即(2－1)×9。減數(shù)增加1，其差也就相應地增加了一個9，故31－13＝(3－1)×9＝18。減數(shù)從12—89，都可類推。被減數(shù)和減數(shù)同時擴大(或縮小)十倍、百倍、千倍……，常數(shù)9也相應地擴大(或縮小)相同的倍數(shù)，其差不變。如210－120＝(2－1)×90＝90，0.65－0.56＝(6－5)×0.09＝0.09。(2)31×51個位數(shù)字都是1，十位數(shù)字的和小于10的兩位數(shù)相乘，其積的前兩位是十位數(shù)字的積，后兩位是十位數(shù)字的和同1連在一起的數(shù)。假設十位數(shù)字的和滿10，進1。如證明：(10a＋1)(10b＋1)＝100ab＋10a＋10b＋1＝100ab＋10(a＋b)＋1(3)26×8642×62個位數(shù)字相同，十位數(shù)字和是10的兩位數(shù)相乘，十位數(shù)字的積與個位數(shù)字的和為積的前兩位數(shù)，后兩位是個位數(shù)的積。假設個位數(shù)的積是一位數(shù)，前面補0。證明：(10a＋c)(10b＋c)＝100ab＋10c(a＋b)＋cc＝100(ab＋c)＋cc(a＋b＝10)。(4)17×19十幾乘以十幾，任意一乘數(shù)與另一乘數(shù)的個位數(shù)之和乘以10，加個位數(shù)的積。原式＝(17＋9)×10＋7×9＝323證明：(10＋a)(10＋b)＝100＋10a＋10b＋ab＝[(10＋a)＋b]×10＋ab。(5)63×69十位數(shù)字相同，個位數(shù)字不同的兩位數(shù)相乘，用一個乘數(shù)與另個乘數(shù)的個位數(shù)之和乘以十位數(shù)字，再乘以10，加個位數(shù)的積。原式＝(63＋9)×6×10＋3×9＝72×60＋27＝4347。證明：(10a＋c)(10a＋d)＝100aa＋10ac＋10ad＋cd＝10a[(10a＋c)＋d]＋cd。(6)83×87十位數(shù)字相同，個位數(shù)字的和為10，用十位數(shù)字加1的和乘以十位數(shù)字的積為前兩位數(shù)，后兩位是個位數(shù)的積。如證明：(10a＋c)(10a＋d)=100aa＋10a(c＋d)＋cd＝100a(a＋1)＋cd(c＋d＝10)。(7)38×22十位數(shù)字的差是1，個位數(shù)字的和是10且乘數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字相同的兩位數(shù)相乘，積為被乘數(shù)的十位數(shù)與個位數(shù)的平方差。原式＝(30＋8)×(30－8)＝302－82＝836。(8)88×37被乘數(shù)首尾相同，乘數(shù)首尾的和是10的兩位數(shù)相乘，乘數(shù)十位數(shù)字與1的和乘以被乘數(shù)的相同數(shù)字，是積的前兩位數(shù)，后兩位是個位數(shù)的積。(9)36×15乘數(shù)是15的兩位數(shù)相乘。被乘數(shù)是偶數(shù)時，積為被乘數(shù)與其一半的和乘以10；是奇數(shù)時，積為被乘數(shù)加上它本身減去1后的一半，和的后面添個5。＝54×10＝540。55×15(10)125×101三位數(shù)乘以101，積為被乘數(shù)與它的百位數(shù)字的和，接寫它的后兩位數(shù)。125＋1＝126。原式＝12625。再如348×101，因為348＋3＝351，原式＝35148。(11)84×49一個數(shù)乘以49，把這個數(shù)乘以100，除以2，再減去這個數(shù)。原式＝8400÷2－84＝4200－84＝4116。(12)85×99兩位數(shù)乘以9、99、999、…。在被乘數(shù)的后面添上和乘數(shù)中9的個數(shù)一樣多的0、再減去被乘數(shù)。原式＝8500－85＝8415不難看出這類題的積：最高位上的兩位數(shù)(或一位數(shù))，是被乘數(shù)與1的差；最低位上的兩位數(shù)，是100與被乘數(shù)的差；中間數(shù)字是9，其個數(shù)是乘數(shù)中9的個數(shù)與2的差。證明：設任意兩位數(shù)的個位數(shù)字為b、十位數(shù)字為a(a≠0)，那么如果被乘數(shù)的個位數(shù)是1，例如31×999在999前面添30為30999，再減去30，結果為30969。71×9999＝709999－70＝709929。這是因為任何一個末位為1的兩位自然數(shù)都可表示為(10a＋1)的形式，由9組成的自然數(shù)可表示為(10n－1)的形式，其積為(10a＋1)(10n－1)＝10n＋1a＋(10n－1)－10a(13)1÷19這是一道頗為繁復的計算題。原式＝。根據(jù)“如果被除數(shù)不變，除數(shù)擴大(或縮小)假設干倍，商反而縮小(或擴大)相同倍〞和“商不變〞性質，可很方便算出結果。原式轉化為0.1÷1.9，把1.9看作2，計算程序：(1)先用0.1÷2＝0.05。(2)把商向右移動一位，寫到被除數(shù)里，繼續(xù)除如此除到循環(huán)為止。仔細分析這個算式：加號前面的0.05是0.1÷2的商，后面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.1＝0.005，就是把商向右移動一位寫到被除數(shù)里，除以1.9。這樣我們又可把除數(shù)看作2繼續(xù)除，依此類推。除數(shù)末位是9，都可用此法計算。例如1÷29，用0.1÷3計算。1÷399，用0.1÷40計算。2.估算數(shù)學素養(yǎng)與能力(含估算能力)的強弱，直接影響到人們的生活節(jié)奏和工作、學習、科研效率。已經(jīng)引起世界有關專家、學者的重視，是個亟待研究的課題。美國數(shù)學督導委員會，提出的12種面向全體學生的根本數(shù)學能力中，第6種能力即估算：“學生應會通過心算或使用各種估算技巧快速進行近似計算。當解題或購物中需要計算時，估算可以用于考查合理性。檢驗預測或作出決定……〞(1)最高位估算只計算式中幾個運算數(shù)字的最高位的結果，估算整個算式的值大概在什么范圍。例11137＋5044－3169最高位之和1＋5－3＝3，結果在3000左右。如果因為無視小數(shù)點而算成560，依據(jù)“一個不等于零的數(shù)乘以真分數(shù)，積必小于被乘數(shù)〞估算，錯誤立即暴露。例351.9×1.51整體思考。因為51.9≈50，而50×1.51≈50×1.5＝75，又51.9＞50，1.51＞1.5，所以51.9×1.51＞75。另外9×1＝9，所以原式結果大致是75多一點，三位小數(shù)的末位數(shù)字是9。例43279÷79把3279和79，看作3200和80。準確商接近40，假設相差較大，那么是錯的。(2)最低位估算例如，6403＋232＋15783＋2＋8＝13，原式和的末位必是3。(3)規(guī)律估算和大于每一個加數(shù)；兩個真分數(shù)(或純小數(shù))的和小于2；一個真分數(shù)與一個帶分數(shù)(或一個純小數(shù)與一個帶小數(shù))的和大于這個帶分數(shù)(或帶小數(shù))，且小于這個帶分數(shù)(或帶小數(shù))的整數(shù)局部與2的和；兩個帶分數(shù)(或帶小數(shù))的和總是大于兩個帶分數(shù)(或帶小數(shù))整數(shù)局部的和，且小于這兩個整數(shù)局部的和加上2；奇數(shù)±奇數(shù)＝偶數(shù)，偶數(shù)±偶數(shù)＝偶數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù)＝奇數(shù)；差總是小于被減數(shù)；整數(shù)與帶分數(shù)(或帶小數(shù))的差小于整數(shù)與帶分數(shù)(或帶小數(shù))的整數(shù)局部的差；帶分數(shù)(或帶小數(shù))，與整數(shù)的差大于帶分數(shù)(或帶小數(shù))的整數(shù)局部與整數(shù)的差。帶分數(shù)(或帶小數(shù))與真分數(shù)(或純小數(shù))的差小于這個帶分數(shù)(或帶小數(shù))，且大于帶分數(shù)(或帶小數(shù))減去1的差；帶分數(shù)與帶分數(shù)(或帶小數(shù)與帶小數(shù))的差小于被減數(shù)與減數(shù)的整數(shù)局部的差，且大于這個差減去1；如果兩個因數(shù)都小于1，那么積小于任意一個因數(shù)；假設兩個因數(shù)都大于1，那么積大于任意一個因數(shù)；帶分數(shù)與帶分數(shù)(或帶小數(shù)與帶小數(shù))的積大于兩個因數(shù)的整數(shù)局部的積，且小于這兩個整數(shù)局部分別加1后相乘的積；例如，A＜AB＜B。奇數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù)；假設除數(shù)＜1，那么商＞被除數(shù)；假設除數(shù)＞1，那么商＜被除數(shù)；假設被除數(shù)＞除數(shù)，那么商＞1；假設被除數(shù)＜除數(shù)，那么商＜1。(4)位數(shù)估算整數(shù)減去小數(shù)，差的小數(shù)位數(shù)等于減數(shù)的小數(shù)位數(shù)；例如，320－0.68，差為兩位小數(shù)。最高位的乘積滿十的兩個整數(shù)相乘的積的位數(shù)，等于這兩個數(shù)的位數(shù)和；例如，451×7103最高位的積4×7＝28，滿10，結果是3＋4＝7(位數(shù))。在整除的情況下，被除數(shù)的前幾位不夠除，商的位數(shù)等于被除數(shù)的位數(shù)減去除數(shù)的位數(shù)；例如，147342÷2714不夠27除，商是4－2＝2(位數(shù))。被除數(shù)的前幾位夠除，商的位數(shù)等于被除數(shù)的位數(shù)與除數(shù)位數(shù)的差加上1。例如，30226÷238302夠238除，商是5－3＋1＝3(位數(shù))。(5)取整估算把接近整數(shù)或整十、整百、……的數(shù)，看作整數(shù)，或整十、整百…的數(shù)估算。如1.98＋0.97≈2＋1，和定小于3。12×8.5≈10×10，積接近100。3.并項式應用交換律、結合律，把能湊整的數(shù)先并起來或去括號。例13.34＋12.96＋6.66＝12.96＋(3.34＋6.66)＝12.96＋10＝22.96＝3－3＝0例315.74－(8.52＋3.74)＝15.74－3.74－8.52＝12－8.52＝3.48例41600÷(400÷7)＝1600÷400×7＝4×7＝28式題的巧解妙算〔二〕4.提取式根據(jù)乘法分配律，可逆聯(lián)想。＝(3.25＋6.75)×0.4＝10×0.4＝45.合乘式＝87.5×10×1＝875＝8－7＝16.擴縮式例11.6×16＋0.4×36＝0.4×(64＋36)＝0.4×100＝40例216×457.分解式例如，14×72＋42×76＝14×3×24＋42×76＝42×(24＋76)＝42×100＝42008.約分式＝3×7×2＝42例2169÷4÷7×28÷13=1988例7被除數(shù)與除數(shù)，分別除式題的巧解妙算〔三〕9.拆分式10.拆積式例如，32×1.25×25＝8×1.25×(4×25)＝10×100＝100011.換和式例10.1257×8＝(0.125＋0.0007)×8＝1＋0.0056＝1.0056例48.37－5.68＝(8.37＋0.32)－(5.68＋0.32)＝8.69－6＝2.69

12.換差式

13.換乘式例1123＋234＋345＋456＋567＋678＝(123＋678)×3＝801×3＝2403例2(6.72＋6.72＋6.72＋6.72)×25＝6.72×(4×25)＝672例345000÷8÷125＝45000÷(8×125)＝45000÷1000＝45例49.728÷3.2÷25＝9.728÷(0.8×4×25)＝9.728÷80＝0.9728÷8＝0.1216例533333×33333＝11111×99999＝11111×(100000－1)＝1111100000－11111＝1111088889綜合應用，例如＝1000＋7＝1007＝(11.75＋1.25－4.15－0.85)×125.25(轉)＝[(11.75＋1.25)－(4.15＋0.85)]×125.25(合)＝8×125.25＝8×(125＋0.25)(拆)＝8×125＋8×0.25＝100214.換除式例如，5600÷(25×7)＝5600÷7÷25＝800÷25＝3215.直接除式題的巧解妙算〔四〕17.以乘代加例17＋4＋5＋2＋3＋6＝9×3＝27如果兩個分數(shù)的分子相同，且等于分母之和(或差)，那么這兩個分數(shù)的和(或差)等于它們的積。18.以乘代減知，兩個分數(shù)的分子都是1，分母是連續(xù)自然數(shù)，其差等于其積?？梢?，各分數(shù)的分子都是1。第一個減數(shù)的分母等于被減數(shù)的分母加1。第二個減數(shù)的分母等于被減數(shù)的分母與第一個減數(shù)的分母的積加1，第n個減數(shù)的分母等于被減數(shù)的分母與第一、二、……第n-1個減數(shù)的分母的連乘積加上1。(n為不小于2的自然數(shù))其差等于其積19.以加代乘一個整數(shù)與一個整數(shù)局部和分子都是1，分母比整數(shù)(另個乘數(shù))小120.以除代乘例如，25×123678448＝123678448×(100÷4)＝＝309196120021.以減代除＝1986－662＝13243510÷15＝(3510－1170)÷10＝234式題的巧解妙算〔五〕22.以乘代除例如，2.7÷4÷6×24÷2723.以除代除觀察其特點，24.并數(shù)湊整例如，372＋499＝372＋500－1＝87156.7－12.8＝56.7－13＋0.2＝43.925.拆數(shù)湊整例如，476＋302＝476＋300＋2＝7789.42－3.1＝9.42－3－0.1＝6.3226.加分數(shù)湊整應用“被減數(shù)、減數(shù)同時增加或減少相同的數(shù)，其差不變〞的性質，使原來減去一個帶分數(shù)或帶小數(shù)，變成減去整數(shù)。例3=(8.37+0.32)-(5.68+0.32)=8.69-6=2.69式題的巧解妙算〔六〕30.湊公因數(shù)例如，1992×27.5＋1982×72.5＝1992×27.5＋(1992-10)×72.5＝1992×27.5＋1992×72.5-10×72.5＝1992×(27.5＋72.5)-725=199200-725=198475或原式=(1982＋10)×27.5＋1982×72.5……31.和差積法32.直接寫得數(shù)觀察整數(shù)和分數(shù)局部，顯然原式=3。33.變數(shù)為式……34.分解再組合例如，(1＋2＋3＋…＋99)＋(4＋8＋12＋…＋396)＝(1＋2＋3＋…＋99)＋4(1+2+3＋…＋99)＝5(1＋2+3＋…＋99)35.先分解再通分有的學生通分時用短除法，找了許多數(shù)試除都不行，而斷定57和76為互質數(shù)。判斷兩個數(shù)是否互質，不必用2、3、5、……逐個試除。把其中一個分解質因數(shù)，看另一個數(shù)能否被這里的某個質因數(shù)整除即可。57＝3×19，如果57和76有公有的質因數(shù)，只可能是3或19。用3、19試除，[57，76]＝19×3×4＝228。26＝2×13，65和91是13的倍數(shù)。最小公分母為13×2×5×7＝910。式題的巧解妙算〔七〕37.巧用分解質因數(shù)教材中講分解質因數(shù)，主要是為了求幾個數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)，給通分和約分打根底。其實，分解質因數(shù)在解題中很有用處。提供新解法，啟迪創(chuàng)造思維。例1184×75原式＝2×2×46×3×5×5=46×3×(2×5)2=138×100=13800。38.“1、1”一個整數(shù)減去一個帶分數(shù)，可用這個整數(shù)減去比減數(shù)的整數(shù)局部多1的數(shù)，再從1中減去分數(shù)局部。為便于記憶，稱“1、1〞法。39.“1，9，9…10”一個整數(shù)減去一個小數(shù)(末位不為0)，可先減去比小數(shù)高位多1的數(shù)，再從9中減去其它位數(shù)，最后從10中減去末位數(shù)。40.改變運算順序例1650×74÷65＝(650÷65)×74＝10×74＝740例2176×98÷49＝176×(98÷49)＝176×2＝352例37÷13×52÷4例4102×99－0.125×99×8＝102×99－1×99＝99×(l00＋１)＝9900＋99＝999941.用數(shù)據(jù)熟記一些特殊數(shù)據(jù)，可使計算簡捷、迅速。例1由37×3＝111知37×6＝111×2＝22237×15＝37×3×5＝555例31000以內(不包括整十、整百)只含因數(shù)2或5的2、4、8、16、32、64、128、256、512；5、25、125、625。這些數(shù)作分母的分數(shù)才能化成有限小數(shù)，不需試除。例4特殊分數(shù)化小數(shù)分母是5、20、25、50的最簡分數(shù)，在化為小數(shù)時，把分子相應地擴大2、5、4、2倍，再縮小10、100倍。分母是8的最簡分數(shù)，分子是1、3，小數(shù)的第一位也是1、3。分母是9的最簡分數(shù)，循環(huán)節(jié)的數(shù)字和分子的數(shù)字相同。例51～9π1×3.14＝3.146×3.14＝18.842×3.14＝6.287×3.14＝21.983×3.14＝9.428×3.14＝25.124×3.14＝12.569×3.14＝28.265×3.14＝15.7熟記這些數(shù)值，可口算。3.14×13=10π+3π=40.823.14×89=90π-π=282.6-3.14=279.46π×1.58變?yōu)檎麛?shù)，三位數(shù)前面補0改為四位數(shù)，這樣不會把數(shù)位搞錯，將結果左端的0去掉，點上小數(shù)點得4.9612。也可從高位算起。式題的巧解妙算〔八〕42.想特殊性仔細審題，知第二個括號里的結果為0，此題得0。所以可直接得0。例3(1.9-1.9×0.9)÷(3.8－2.8)除數(shù)為1，那么商就是被除數(shù)。43.想變式44.用規(guī)律例1682＋702兩個連續(xù)奇(偶)數(shù)的平方和，等于這兩個數(shù)之積的2倍加4的和。原式＝68×70×2＋4＝9520＋4＝9524。例2522－512＝52＋51＝103兩個連續(xù)自然數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和。例318×19＋20任意三個連續(xù)自然數(shù)，最小數(shù)與中間數(shù)的乘積加上最大數(shù)的和，等于最大數(shù)與中間數(shù)的乘積減去最小數(shù)。原式＝20×19－18＝362。例416×17－15×18四個連續(xù)自然數(shù)，中間兩個的積比首尾兩個的積多2。原式＝2。證明：設任意四個連續(xù)自然數(shù)分別為a－1、a、a＋1、a＋2，那么a(a＋1)－(a－1)(a＋2)＝a2+a-a2-a＋2＝2。例5一個從第一位開始有規(guī)律循環(huán)的多位數(shù)(包括整數(shù)局部是0的純循環(huán)小數(shù))，乘以一個與其循環(huán)節(jié)位數(shù)相同的數(shù)，其規(guī)律適用于一些題的簡算。ABAB×CD＝(AB×100＋AB)×CD＝AB×100×CD＋AB×CD＝(CD×100＋CD)×AB＝CDCD×AB如：125×5×1616×78＝125×5×7878×16＝(125×8)×(5×2)×7878＝7878000045.根底題法在根底題上深化。例如，觀察(1)的解題過程，逆用各步的結構特點，46.巧歸納例如，1＋2＋…＋100＋99＋…＋11～100的和為5050，再加一倍為10100，減去多加的100為10000。但速度太慢。有相同的行數(shù)和列數(shù)，用點或圈列成正方形的數(shù)，叫作正方形數(shù)。由圖知1＋2＋3＋2+1＝32，1＋2＋3＋4+5＋4+3＋2＋1＝52。不難發(fā)現(xiàn)，和為最大加數(shù)的平方。顯然，5＋6＋…＋29＋30＋29＋…＋6＋5＝302－42-4＝900－16－4＝880。巧想妙算文字題〔一〕1.想數(shù)碼例如，1989年“從小愛數(shù)學〞邀請賽試題6：兩個四位數(shù)相加，第一個四位數(shù)的每一個數(shù)碼都不小于5，第二個四位數(shù)僅僅是第一個四位數(shù)的數(shù)碼調換了位置。某同學的答數(shù)是16246。試問該同學的答數(shù)正確嗎？(如果正確，請你寫出這個四位數(shù)；如果不正確，請說明理由)。思路一：易知兩個四位數(shù)的四個數(shù)碼之和相等，奇數(shù)＋奇數(shù)＝偶數(shù)，偶數(shù)＋偶數(shù)＝偶數(shù)，這兩個四位數(shù)相加的和必為偶數(shù)。相應位數(shù)兩數(shù)碼之和，個、十、百、千位分別是17、13、11、15。所以該同學的加法做錯了。正確答案是思路二：每個數(shù)碼都不小于5，百位上兩數(shù)碼之和的11只有一種拆法5＋6，另一個5只可能與8組成13，6只可能與9組成15。這樣個位上的兩個數(shù)碼，8＋9＝16是不可能的。不要把“數(shù)碼調換了位置〞誤解為“數(shù)碼順序顛倒了位置。〞2.尾數(shù)法例1比擬1222×1222和1221×1223的大小。由兩式的尾數(shù)2×2＝4，1×3＝3，且4＞3。知1222×1222＞1221×1223例2二數(shù)和是382，甲數(shù)的末位數(shù)是8，假設將8去掉，兩數(shù)相同。求這兩個數(shù)。由題意知兩數(shù)的尾數(shù)和是12，乙數(shù)的末位和甲數(shù)的十位數(shù)字都是4。由兩數(shù)十位數(shù)字之和是8－1＝7，知乙數(shù)的十位和甲數(shù)的百位數(shù)字都是3。甲數(shù)是348，乙數(shù)是34。例3請將下式中的字母換成適當?shù)臄?shù)字，使算式成立。由3和a5乘積的尾數(shù)是1，知a5只能是7；由3和a4乘積的尾數(shù)是7－2＝5，知a4是5；……不難推出原式為142857×3＝428571。3.從較大數(shù)想起例如，從1～10的十個數(shù)中，每次取兩個數(shù)，要使其和大于10，有多少種取法？思路一：較大數(shù)不可能取5或比5小的數(shù)。取6有6＋5；取7有7＋4，7＋5，7＋6；…………取10有九種10＋1，10＋2，……10＋9。共為1＋3＋5＋7＋9＝25(種)。思路二：兩數(shù)不能相同。較小數(shù)為1的只有一種取法1＋10；為2的有2＋9，2＋10；……較小數(shù)為9的有9＋10。共有取法1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25(種)這是從較小數(shù)想起，當然也可從9或8、7、……開始。思路三：兩數(shù)和最大的是19。兩數(shù)和大于10的是11、12、…、19。和是11的有五種1＋10，2＋9，3＋8，4＋7，5＋6；和是11～19的取法5＋4＋4＋3＋3＋2＋2＋1＋1＝25(種)。4.想大小數(shù)之積用最大與最小數(shù)之積作內項(或外項)的積，剩的相乘為外項(或內項)的積，由比例根本性質知交換所得比例式各項的位置，可很快列出全部的八個比例式。5.由得數(shù)想例如，思考題：在五個0.5中間加上怎樣的運算符號和括號，等式就成立？其結果是0，0.5，1，1.5，2。從得數(shù)出發(fā)，想：兩個相同數(shù)的差，等于0；一個數(shù)加上或減去0，仍等于這個數(shù)；一個因數(shù)是0，積就等于0；0除以一個數(shù)(不是0)，商等于0；兩個相同數(shù)的商為1；1除以0.5，商等于2；……解法很多，只舉幾種：(0.5－0.5)×0.5×0.5×0.5＝00.5－0.5－(0.5－0.5)×0.5＝0(0.5＋0.5＋0.5)×(0.5－0.5)＝0\(0.5＋0.5－0.5－0.5)×0.5＝0(0.5－0.5)×0.5×0.5＋0.5＝0.50.5＋0.5＋0.5－0.5－0.5＝0.5(0.5＋0.5)×(0.5＋0.5—0.5)＝0.5(0.5＋0.5)×0.5＋0.5－0.5＝0.5(0.5－0.5)×0.5＋0.5＋0.5＝10.5÷0.5＋(0.5－0.5)×0.5＝1(0.5－0.5)÷0.5＋0.5＋0.5＝1(0.5＋0.5)÷0.5－(0.5＋0.5)＝10.5－0.5＋0.5＋0.5÷0.5＝1.5(0.5＋0.5)×0.5＋0.5＋0.5＝1.50.5＋0.5＋0.5＋0.5－0.5＝1.50.5÷0.5＋0.5÷0.5－0.5＝1.50.5÷0.5÷0.5＋0.5－0.5＝2(0.5＋0.5)÷0.5＋0.5－0.5＝2(0.5＋0.5＋0.5－0.5)÷0.5＝2[(0.5＋0.5)×0.5＋0.5]÷0.5＝2巧想妙算文字題〔二〕6.想平均數(shù)思路一：由“任意三個連續(xù)自然數(shù)的平均數(shù)是中間的數(shù)〞。設第一個數(shù)為“1〞，那么中間數(shù)占知這三個數(shù)是14、15、16。二、一個數(shù)分別為16－1＝15，15－1＝14或16－2＝14。假設先求第一個數(shù)，那么思路三：設第三個數(shù)為“1〞，那么第二、三個數(shù)，知是15、16。思路四：第一、三個數(shù)的比是7∶8，第一個數(shù)是2÷(8－7)×7＝14。假設先求第三個數(shù)，那么2÷(8－7)×8＝16。7.想奇偶數(shù)例1思考題：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九個數(shù)字中，不改變它們的順序、在它們中間添上加、減兩種符號，使所得的結果都等于100。例如1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100你還能想出不同的添法嗎？1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。假設去掉7和8間的“＋〞，式左為1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－(7＋8)＝63，即1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9＝45＋63＝108。為使其和等于100，式左必須減去8。加4改為減4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100?！皽p去4〞可變?yōu)椤皽p1、減3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年級小學生沒學過負“－112＋3＋4＋5＋6＋7＋89。［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。要將“＋〞變?yōu)椤埃暤臄?shù)和為13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，同理得12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，123－4－5－6－7＋8－9＝100，123＋4－5＋67－89＝100，123－45－67＋89＝100。為了減少計算。應注意：(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中間添上加、減(不再去掉某兩數(shù)間的加號)，結果為100呢？1、23、5、7、89的和或差是奇數(shù)，4、6的和或差是偶數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù)＝奇數(shù)，結果不會是100。(2)有一個是四位數(shù)，結果也不可能為100。因為1234減去余下數(shù)字組成(按順序)的最大數(shù)789，再減去余下的56，差大于100。例2求59～199的奇數(shù)和。由從1開始的連續(xù)n個奇數(shù)和、等于奇數(shù)個數(shù)n的平方1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2奇數(shù)比它對應的序數(shù)2倍少1。用n表示任意一個自然數(shù)，它對應的奇數(shù)為2n－1。例如，32對應奇數(shù)2×32－1＝63。奇數(shù)199，從1起的連續(xù)奇數(shù)中排列在100(2n－1＝199，n＝100)的位置上。知1～199的奇數(shù)和是1002＝10000。此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇數(shù)和為292＝841。所求為10000－841＝9159?；蛘?9＝30×2－1，302＝900，10000－900＋59＝9159。例1思考題：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九個數(shù)字中，不改變它們的順序、在它們中間添上加、減兩種符號，使所得的結果都等于100。例如1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100

你還能想出不同的添法嗎？1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。假設去掉7和8間的“＋〞，式左為1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－(7＋8)＝63，即1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9＝45＋63＝108。為使其和等于100，式左必須減去8。加4改為減4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。“減去4〞可變?yōu)椤皽p1、減3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年級小學生沒學過負數(shù)“－112＋3＋4＋5＋6＋7＋89。［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。要將“＋〞變?yōu)椤埃暤臄?shù)和為13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，同理得12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，123－4－5－6－7＋8－9＝100，123＋4－5＋67－89＝100，123－45－67＋89＝100。為了減少計算。應注意：(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中間添上加、減(不再去掉某兩數(shù)間的加號)，結果為100呢？1、23、5、7、89的和或差是奇數(shù)，4、6的和或差是偶數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù)＝奇數(shù)，結果不會是100。(2)有一個是四位數(shù)，結果也不可能為100。因為1234減去余下數(shù)字組成(按順序)的最大數(shù)789，再減去余下的56，差大于100。例2求59～199的奇數(shù)和。由從1開始的連續(xù)n個奇數(shù)和、等于奇數(shù)個數(shù)n的平方1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2奇數(shù)比它對應的序數(shù)2倍少1。用n表示任意一個自然數(shù)，它對應的奇數(shù)為2n－1。例如，32對應奇數(shù)2×32－1＝63。奇數(shù)199，從1起的連續(xù)奇數(shù)中排列在100(2n－1＝199，n＝100)的位置上。知1～199的奇數(shù)和是1002＝10000。此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇數(shù)和為292＝841。所求為10000－841＝9159?；蛘?9＝30×2－1，302＝900，10000－900＋59＝9159。8.約倍數(shù)積法任意兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積，等于這兩個自然數(shù)的積。證明：設M、N(都是自然數(shù))的最大公約數(shù)為P，最小公倍數(shù)為Q、且M、N不公有的因數(shù)各為a、b。那么M×N＝P×a×P×b。而Q＝P×a×b，所以M×N＝P×Q。例1甲乙兩數(shù)的最大公約數(shù)是7，最小公倍數(shù)是105。甲數(shù)是21，乙數(shù)是多少？例2兩個互質數(shù)的最小公倍數(shù)是155，求這兩個數(shù)。這兩個互質數(shù)的積為1×155＝155，還可分解為5×31。所求是1和155，5和31。例3兩數(shù)的最大公約數(shù)是4，最小公倍數(shù)是40，大數(shù)是數(shù)的2.5倍，求各數(shù)。由上述定理和題意知兩數(shù)的積，是小數(shù)平方的2.5倍。小數(shù)的平方為4×40÷2.5＝64。小數(shù)是8。大數(shù)是8×2.5＝20。算理：4×40＝8×20＝8×(8×2.5)＝82×2.5。9.想份數(shù)10.巧用分解質因數(shù)例1四個比1大的整數(shù)的積是144，寫出由這四個數(shù)組成的比例式。144＝24×32＝(22×3)×[(2×3)×2]＝(4×3)×(6×2)可組成4∶6＝2∶3等八個比例式。例2三個連續(xù)自然數(shù)的積是4896，求這三個數(shù)。4896＝25×32×17＝24×17×(2×32)＝16×17×181728＝26×33＝(22×3)3＝123385＝5×7×11例41992年小學數(shù)學奧林匹克試題初賽(C)卷題3：找出1992的所有不同的質因數(shù)，它們的和是多少？1992＝2×2×2×3×832＋3＋83＝88例5甲數(shù)比乙數(shù)大9，兩數(shù)的積是1620，求這兩個數(shù)。1620＝22×34×5＝(32×22)×(32×5)甲數(shù)是45，乙數(shù)是36。例6把14、30、33、75、143、169、4445、4953分成兩組，每組四個數(shù)且積相等，求這兩組數(shù)。八個數(shù)的積等于2×7×2×3×5×3×11×3×5×5×11×13×13×13×5×7×127×3×13×127。每組數(shù)的積為2×32×52×7×11×132×127。兩組為例7600有多少個約數(shù)？600＝6×100＝2×3×2×2×5×5＝23×3×52只含因數(shù)2、3、5、2×3、2×5、3×5、2×3×5的約數(shù)分別為：2、22、23；3；5、52；2×3、22×3、23×3；2×5、22×5、23×5、2×52、22×52、23×52；3×5、3×52；2×3×5、22×3×5、23×3×5、2×3×52、22×3×52、23×3×52。不含2×3×5的因數(shù)的數(shù)只有1。這八種情況約數(shù)的個數(shù)為；3＋1＋2＋3＋6＋2＋6＋1＝24。不難發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律：把給定數(shù)分解質因數(shù)，寫成冪指數(shù)形式，各指數(shù)分別加1后相乘，其積就是所求約數(shù)的個數(shù)。(3＋1)×(1＋1)×(2＋1)＝24。巧想妙算文字題〔三〕17.想法那么用來說明運算規(guī)律(或方法)的文字，叫做法那么。子比分母少16。求這個分數(shù)？由“一個分數(shù)乘以5，是分子乘以5分母不變〞，結果是分子的5倍比3倍比分母少16。知分子的5－3＝2(倍)是2＋16＝18，分子為18÷2＝9，分母為9×5－2＝43或9×3＋16＝43。18.想公式證明方法：以分母a，要加(或減)的數(shù)為(2)設分子加上(或減去)的數(shù)為x，分母應加上(或減去)的數(shù)為y。19.想性質例11992年小學數(shù)學奧林匹克試題初賽(C)卷題6：有甲、乙兩個多少倍？200÷16＝12.5(倍)。例2思考題：三個最簡真分數(shù)，它們的分子是連續(xù)自然數(shù)，分母大于10，且它們最小公分母是60；其中一個分數(shù)的值，等于另兩個分數(shù)的和。寫出這三個分數(shù)。由“分母都大于10，且最小公分母是60”，知其分母只能是12、15、20；12、15、30；12、15、60。由“分子是連續(xù)自然數(shù)〞，知分子只能是小于12的自然數(shù)。滿足題意的三個分數(shù)是(二)第400個分數(shù)是幾分之幾？此題特點：(2)每組分子的排列：假設某一組分數(shù)的分母是自然數(shù)n，那么分子從1遞增到n，再遞減到1。分數(shù)的個數(shù)為n＋n－1＝2n－1，即任何一組分數(shù)的個數(shù)總是奇數(shù)。(3)分母數(shù)與分數(shù)個數(shù)的對應關系，正是自然數(shù)與奇數(shù)的對應關系分母：1、2、3、4、5、……分數(shù)個數(shù)：1、3、5、7、9、……(4)每組分數(shù)之前(包括這組本身)所有分數(shù)個數(shù)的和，等于這組的組號(這一組的分母)的平方。例如，第3組分數(shù)前(包括第3組)所有分數(shù)個數(shù)的和是32=9。10×2－1－6=13(個)位置上。分別排在81＋7＝88(個)，81＋13=94(個)的位置上。或者102=100，100－12=88。100－6＝94，88＋6＝94。問題(二)：由上述一串分數(shù)個數(shù)的和與組號的關系，將400分成某數(shù)的平方，這個數(shù)就是第400個分數(shù)所在的組數(shù)400＝202，分母也是它。第400個分數(shù)在第20組分數(shù)中，400是這20組分數(shù)的和且正好是20的平方無剩余，故可斷定是最后一個，即假設分解為某數(shù)的平方有剩余，例如，第415個和385個分數(shù)各是多少。逆向思考，上述的一串分數(shù)中，分母是35的排在第幾到第幾個？352－(35×2－1)＋1＝1225－69＋1＝1157。排在1157－1225個的位置上。20.由規(guī)那么想例如，1989年從小愛數(shù)學邀請賽試題：接著1989后面寫一串數(shù)字，寫下的每一個數(shù)字都是它前面兩個數(shù)字的乘積的個位數(shù)字。例如，8×9＝72，在9后面寫2，9×2＝18，在2后面寫8，……得到一串數(shù)：1989286……這串數(shù)字從1開始往右數(shù)，第1989個數(shù)字是什么？先按規(guī)那么多計算幾個數(shù)字，得……顯然，1989后面的數(shù)總是不斷重復出現(xiàn)286884，每6個一組。(1989－4)÷6＝330……5最后一組數(shù)接著的五個數(shù)字是28688，即第1989個數(shù)字是8。21.用規(guī)律例1第六冊P62第14題：選擇“＋、－、×、÷〞中的符號，把下面各題連成算式，使它們的得數(shù)分別等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。(1)22222＝0(2)22222＝1……(10)22222＝9解這類題的規(guī)律是：先想用兩、三個2列出，結果為0、1、2的根本算式：2－2＝0，2÷2＝1；再聯(lián)想2－2÷2＝1，2×2÷2＝2，2÷2＋2＝3，……每題都有幾種選填方法，這里各介紹一種：2÷2＋2÷2－2＝02÷2×2－2÷2＝12－2＋2÷2×2＝22×2＋2÷2－2＝32×2×2－2－2＝42－2÷2＋2×2＝52＋2－2＋2×2＝62×2×2－2÷2＝72÷2×2×2×2＝82÷2＋2×2×2＝9例2第六冊P63題4：寫出奇妙的得數(shù)2＋1×9＝3＋12×9＝4＋123×9＝5＋1234×9＝6＋12345×9＝得數(shù)依次為11、111、1111、11111、111111。此組算式的特點：第一個加數(shù)由2開始，每式依次增加1。第二個加數(shù)由乘式組成，被乘數(shù)的位數(shù)依次為1、12、123、……繼續(xù)寫下去7＋123456×9=11111118＋1234567×9=111111119＋12345678×9＝11111111110＋123456789×9＝111111111111＋1234567900×12＋×……很自然地想到，可推廣為(1)當n=1、2時，等式顯然成立。(2)設n=k時，上式正確。當n=k＋1時k＋1＋123…k×9=k＋1＋[123…(k－1)×10＋k］×9=k＋1＋123…(k－1)×9×10＋9k=[k＋123…(k－1)×9]×10＋1根據(jù)數(shù)學歸納法原理，由(1)、(2)可斷定對于任意的自然數(shù)n，此等式都成立。例3牢記下面兩個規(guī)律，可隨口說出任意一個自然數(shù)作分母的，所有真分數(shù)的和。(1)奇數(shù)(除1外)作分母的所有真分數(shù)的和、是(分母－1)÷2。=(21－1)÷2=10。22.巧想條件比5小，分母是13的最簡分數(shù)有多少個。7～64為64－(7－1)＝58(個)，去掉13的倍數(shù)13、26、39、52，余下的作分子得54個最簡分數(shù)。例2一個整數(shù)與1、2、3，通過加減乘除(可添加括號)組成算式，假設結果為24這個整數(shù)就是可用的。4、5、6、7、8、9、10中，有幾個是可用的?？唇Y果，想條件，知都是可用的。4×(1＋2＋3)＝24(5＋1＋2)×3＝246×(3＋2－1)＝247×3＋1＋2＝248×3÷(2－1)＝249×3－1－2＝2410×2＋1＋3＝24巧想妙算文字題〔四〕23.想和不變無論某數(shù)是多少，原分數(shù)的分子與分母的和7＋11=18是不變的。而新分數(shù)的分子與分母的和為1＋2=3，要保持原和不變，必同時擴大18÷3＝6(倍)。某數(shù)為7－6＝1或12－11＝1。24.想和與差算理，原式相當于求這個分數(shù)。25.想差不變分子與分母的差41－35＝6是不變的。新分數(shù)的此差是8－7＝1，要保持原差不變，新分數(shù)的分子和分母需同時擴大6÷1＝6(倍)。某數(shù)為42－35＝7，或48－41＝7。與上例同理。23－11＝12，3－1＝2，12÷2＝6，某數(shù)為11－6＝5或23－18＝5。分子加上3變成1，說明原分數(shù)的分子比分母小3。當分母加上2后，分子比分母應小3＋2=5。26.想差的1/2對于任意分母大于2的同分母最簡真分數(shù)來說，其元素的個數(shù)一定是偶數(shù)，和為這個偶數(shù)的一半。分母減去所有非最簡真分數(shù)(包括分子和分母相同的這個假分數(shù))的個數(shù)，差就是這個偶數(shù)。例1求分母是12的所有最簡真分數(shù)的和。由12中2的倍數(shù)有6個，3的倍數(shù)有4個，(2×3)的倍數(shù)2個，知所求數(shù)是例2分母是105的，最簡真分數(shù)的和是多少？倍數(shù)15個，(3×5)、(5×7)、(3×7)的倍數(shù)分別是7、3、5個，(3×5×7)的倍數(shù)1個。知105－［(35＋21＋15)－(3＋5＋7)＋1］＝48，48÷2＝24。27.借助加減恒等式個數(shù)。假設從中找出和為1的9個分數(shù)，將上式兩邊同乘以2，得這九個分數(shù)是巧想妙算文字題〔五〕28.計算比擬例如，九冊思考題：1÷11、2÷11、3÷11……10÷11。想一想，得數(shù)有什么規(guī)律？……可見，除數(shù)是11，被除數(shù)是1的幾倍(倍數(shù)不得大于或等于11)，商17÷11＝(11＋6)÷11＝11÷11＋6÷11凡商是純循環(huán)小數(shù)的除式，都有此規(guī)律；不是純循環(huán)小數(shù)的，得數(shù)不存在這一規(guī)律。不難發(fā)現(xiàn)，它們循環(huán)節(jié)的位數(shù)比除數(shù)少1，循環(huán)數(shù)字和順序相同，只是起點不同。只要記住1÷7的循環(huán)節(jié)數(shù)字“142857〞和順序，計算時以最大商的數(shù)字為起點，順序寫出全部循環(huán)節(jié)數(shù)字，即可。29.由驗算想例如，思考題：計算1212÷101，……，3939÷303，你能從計算中得到啟發(fā)，很快說出下面各題的得數(shù)？4848÷202，7575÷505，……3939÷303＝(3030＋909)÷303＝3030÷303＋909÷303＝10＋3＝13備課用書這種由“除法的分配律〞解，要使三年級學生接受，比擬困難。假設從“除法的驗算〞推導由3939÷303＝()，商百位上的3和13相乘才可得39，商個位上的3也必須與13相乘得39，除數(shù)是13確定無疑。顯然，在被除數(shù)上面寫上除數(shù)，使位數(shù)對齊，口算很快會得出結果。所以商是12。30.想倍比31.擴縮法例如，兩數(shù)和是42，如果其中一個數(shù)擴大5倍，另一個數(shù)擴大4倍，那么和是181。求這兩個數(shù)。假設把和，即這兩個數(shù)都擴大4倍，那么得數(shù)比181小，因為原來擴大5倍的那個數(shù)少擴大了1倍。差就是那個數(shù)。181－42×4＝1342－13＝29假設把兩數(shù)都擴大5倍，結果比181多了原來擴大4倍的那個數(shù)。42×5－181＝29，42—29＝13。假設把181縮小4倍，那么得數(shù)比42大。因為其中的一個數(shù)先擴大5倍，又假設把181縮小5倍，得數(shù)比42小。因為先擴大4倍的那個數(shù)，又縮小5最正確想法：兩數(shù)擴大的倍數(shù)不同，181不會是42的整倍數(shù)。相除就把多擴大1倍的那個數(shù)以余數(shù)形式別離出來。181÷42＝4余13。另個數(shù)可這樣求32.分別假設例如，1992年中學數(shù)學奧林匹克試題初賽(C)卷題5：把一個正方形的一邊減少20％，另一邊增加2米設正方形的邊長為1，另一邊增加的百分數(shù)為x，那么(1－1×20％)×(1＋x)＝1，正方形邊長2÷25％＝8(米)，面積8×8＝64(平方米)。巧想妙算文字題〔六〕33.變數(shù)為式……34.分解再組合例如，(1＋2＋3＋…＋99)＋(4＋8＋12＋…＋396)＝(1＋2＋3＋…＋99)＋4(1+2+3＋…＋99)＝5(1＋2+3＋…＋99)35.先分解再通分有的學生通分時用短除法，找了許多數(shù)試除都不行，而斷定57和76為互質數(shù)。判斷兩個數(shù)是否互質，不必用2、3、5、……逐個試除。把其中一個分解質因數(shù)，看另一個數(shù)能否被這里的某個質因數(shù)整除即可。57＝3×19，如果57和76有公有的質因數(shù)，只可能是3或19。用3、19試除，[57，76]＝19×3×4＝228。26＝2×13，65和91是13的倍數(shù)。最小公分母為13×2×5×7＝910。36.巧用分解質因數(shù)教材中講分解質因數(shù)，主要是為了求幾個數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)，給通分和約分打根底。其實，分解質因數(shù)在解題中很有用處。提供新解法，啟迪創(chuàng)造思維。例2184×75原式＝2×2×46×3×5×5=46×3×(2×5)2=138×100=13800。37.變式法巧想妙算文字題〔七〕38.推理調整例如，1992年小學數(shù)學奧林匹克試題初賽(C)卷題8：一個小于200的自然數(shù)，它的每位數(shù)字都是奇數(shù)，并且它是兩個兩位數(shù)的乘積，那么，這個自然數(shù)是多少？由奇數(shù)×奇數(shù)＝奇數(shù)，知這個自然數(shù)是兩個奇數(shù)的乘積。如果其中一個是11，乘積的十位數(shù)字將是百位與個位數(shù)字之和、必為偶數(shù)。因此，兩奇數(shù)都至少是13。所求數(shù)只能是13×15＝195。39.想順推例如，用1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數(shù)字，能組成多少個九位數(shù)？由“1〞，組成1個數(shù)；由“1、2〞，可組成12、21，2個數(shù)；由“1、2、3〞，可組成123、132、231、213、312、321，6個數(shù)?？梢姡河蓛蓚€一位數(shù)組成的兩位數(shù)的個數(shù)＝2×1：由三個一位數(shù)組成的三位數(shù)的個數(shù)＝3×2。依此類推40.想倒推倒推是常用的數(shù)學思維方法，思考途徑是從題目的問題出發(fā)，倒著推理，逐步靠攏條件，直到解決問題。有些題用此法解，能化難為易。例1一個數(shù)擴大3倍后再增加100，然后縮小2倍后再減去36得50，求這個數(shù)。從最后的差50倒推。減前是50＋36＝86，縮小2倍前是86×2=172，增加前是172-100=72。擴大3倍前是72÷3=24。即這個數(shù)是：［(50＋36)×2－100］÷3＝24。例2某種細菌每小時可增長1倍，現(xiàn)有一批這樣的細菌，10小時可增長100萬個。問增長到25萬個時，需要幾小時？由“細菌每小時增長1倍〞，知增長到25萬個后經(jīng)過1小時增長到25×2=50(萬個)，再過1小時就可增長到50×2=100(萬個)。從25萬個增長到100萬個要用1＋1=2(小時)，所以增長到25萬個需10-2=8(小時)41.推想與推斷例如，武漢市武昌區(qū)數(shù)學競賽題：3/17的分子和分母同時加上什么數(shù)，因為一個分數(shù)的分子與分母同時加上一個數(shù)的前后、分母與分子的差17分母同時擴大14÷2=7(倍)，就是加上的數(shù)是35－17＝18或21－3＝18。42.巧歸結例如，選擇“＋、-、×、÷、()〞中的符號，把七個5連成算式，得數(shù)為0、1、2、3、…10。5的個數(shù)是7以上的都可歸結為7個討論。此題解法很多，這里只介紹一種。由5÷5＝1，5÷5＋5÷5＝2，5＝5，知問題可變?yōu)?，怎樣用運算符號把1、2、5連成結果分別等于0、1、2、…10的算式。1、2、5三個數(shù)不能通過四那么運算得0和1，但5÷5＝1、5－5＝0、0乘任何數(shù)都得0，易得到0＝(5－5＋5－5＋5－5)×51＝5÷5＋5×(5－5＋5－5)2＝5－(5÷5＋5÷5)－5÷5＝5－2－13＝5×(5÷5)－(5÷5＋5÷5)＝5×1－24＝5＋5÷5－(5÷5＋5÷5)＝5＋1－25＝5×(5÷5＋5÷5)－5÷5＝5×(2－1)6＝5＋(5÷5＋5÷5)－5÷5＝5＋2－17＝5×(5÷5)＋(5÷5＋5÷5)＝5×1＋28＝5＋(5÷5－5÷5)＋5÷5＝5＋2＋19＝5×(5÷5＋5÷5)－5÷5＝5×2－110＝5×(5÷5＋5÷5)×(5÷5)＝5×2×1假設5的個數(shù)是8，那么0＝5－5＋5－5＋5－5＋5－51＝5÷5＋5－5＋5－5＋5－510＝5×2×1＝5×(1＋1)×1＝5×5÷5＋5×5÷5×5÷59＝5×2－1＝5×(1＋1)－1＝5×5÷5＋5×5÷5－5÷55＝5×(2－1)＝5×2－5×1＝5×(5÷5＋5÷5)－5×5÷5由5÷5＝15－(5＋5＋5)÷5＝25=5知其余各式的討論，和5的個數(shù)為7時相同。即8=5＋2＋1=5＋5-(5＋5＋5)÷5＋5÷57＝5×1＋2＝5×5÷5＋5－(5＋5＋5)÷56＝5＋2－1＝5＋5－(5＋5＋5)÷5－5÷54＝5＋1－2＝5＋5÷5－5＋(5＋5＋5)÷53＝5×1－2＝5×5÷5－5＋(5＋5＋5)÷52＝5－2－1＝5－5＋(5＋5＋5)÷5－5÷5顯然，假設5的個數(shù)是9，只要在5的個數(shù)是7的各式后面加上(5－5)。如10＝5×(5÷5－5÷5)×(5÷5)＋(5－5)假設5的個數(shù)是7＋2n(n為自然數(shù))，只要在5的個數(shù)是7的各式，后面加上n個(5－5)。假設5的個數(shù)是10，只要在5的個數(shù)是8的各式，后面加上一個(5－5)。假設5的個數(shù)是8＋2n，那么只要在5的個數(shù)是8的各式，后面加上n個(5－5)。巧想妙算文字題〔八〕43.巧歸類例如，用1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13這十二個數(shù)，編加、減、乘、除四個算式，每個數(shù)只許用一次。根據(jù)逆運算關系，把“加法和減法〞、“乘法和除法〞歸為一類。編加減法算式，比編乘除法算式多得多，宜從量少的入手。想到這十二個數(shù)中，能做被除數(shù)的只有12、10、8、6，先編除法算式更為適宜。(1)12÷3＝4(2)12÷2＝612÷4＝312÷6＝2(3)10÷2＝5(4)8÷2＝4(5)6÷2＝310÷5＝28÷4＝26÷3＝2確定(1)組為除法算式，其余四組都可變?yōu)槌朔ㄋ闶?。由于每個數(shù)只許用一次，此組已出現(xiàn)3、4、12。乘法算式的(2)、(4)、(5)組重復、舍去。唯有第(3)組符合題意。假設(1)組為除法算式，(3)組為乘法算式?；蚍催^來，各得四式12÷3＝410÷2＝512÷4=310÷5=24×3=125×2=103×4=122×5=10剩的六個數(shù)，可組成6＋7=138＋1=97＋6=131＋8=913－6＝79－1＝813－7＝69-8=1整理：組合：(1)組可組合算式(2)、(3)、(4)均可組成16種答案，共64種。44.想聯(lián)系求這二數(shù)。由整數(shù)除法、分數(shù)、比的內在聯(lián)系想：被除數(shù)÷除數(shù)＝商(整數(shù))……余數(shù)；巧想妙算文字題〔九〕45.想關系例1一個減法式子中，被減數(shù)、減數(shù)與差的和是76。求被減數(shù)。76÷2＝38例2被減數(shù)是7，被減數(shù)、減數(shù)與差的和是多少？7×2＝14例3被除數(shù)、除數(shù)和商的積是196。求被除數(shù)。196＝2×2×7×7＝14×14被除數(shù)是14。例1與此例的算理設A－B＝C，那么A＝B＋C。假設A＋B＋C＝n，那么A＋A＝n，2A＝n，A＝n/2。設A÷B＝C，那么A＝B×C。如果A×B×C＝n，那么有A×A＝n。A可用分解質因數(shù)法求。46.想對調例如，第八冊P94思考題：用1、2、3、4、5、6、7、8、9九個數(shù)字，寫出三個大小相等的分數(shù)，每個數(shù)字只許用一次。參考書中給出：這三種和下面的四種答案的分子和分母對調，為14種。還能求出12種47.邏輯思考例如，一個硬幣重10克，每10個硬幣為一摞，一共有10摞。從外表上看，這10摞硬幣都一樣，其實里面有一摞是假的?，F(xiàn)在只知道假幣比真幣輕2從第一摞里取一個硬幣，從第二摞里取兩個，……從第十摞中取十個。55個放在一起稱，如果都是真的，應重10×55＝550(克)。假設稱的結果是538克，那就少了12克，每個假幣比真幣少2克，因而有12÷2＝6(個)假設稱的結果是542克，少了848.由特征想例如，哪些自然數(shù)的和能被2、4、5、7整除？任何個偶數(shù)的和，能被2整除；偶數(shù)個奇數(shù)的和，能被2整除；任意四個連續(xù)自然數(shù)，如果首尾兩數(shù)的和能被5整除，那么這四個數(shù)的和也能被5整除；任意四個連續(xù)偶數(shù)的和，能被4整除；任意五個(或5的倍數(shù))個連續(xù)自然數(shù)的和，能被5整除；任意七個連續(xù)自然數(shù)的和，能被7整除；…………49.以零求整把題分成有聯(lián)系而又相對獨立的小問題，進而解決所求問題。例如，第五冊P20思考題：用0、1、2…9十個數(shù)字組成三個數(shù)(每個數(shù)字只能用一次，且必須用一次)，其中兩個數(shù)的和等于第三個數(shù)。這是三位數(shù)加三位數(shù)等于四位數(shù)，百位上兩數(shù)相加和為10，其它兩位數(shù)相加不進位的題。分成小問題：一位數(shù)分別相加，其中一組的和為10，再分別找出兩個數(shù)相加得第三個數(shù)。這樣分別開來，易找出3＋7＝10，2＋6＝8，4＋5＝9，合起來為324＋765＝1089?；蛘?＋6＝10，2＋7＝9，3＋5＝8，423＋675＝1098。再分別交換個位、十位上的數(shù)字，又可得到多組答案。巧想妙算文字題〔十〕50.探索法就是多方尋求答案，解決疑難。51.觀察法數(shù)學知識是通過數(shù)、式、形三方面的內容，表達客觀事物和空間形式相互間數(shù)量關系的。這常常需要觀察。例1計算下組算式的(1)、(2)、(3)，類推出(4)的結果。(1)1＋1×8(2)2＋12×8(3)3＋123×8(4)4＋1234×8仔細觀察算式間的聯(lián)系，第一個加數(shù)，逐次增加1；第二個加數(shù)逐次增加11，111，1111，……而乘數(shù)都是8，即第二個加數(shù)中兩個數(shù)的乘積，逐次多11個8，111個8，……；(1)式，(2)式，(3)式，……的結果逐次增加89，889，8889，……由式(3)的結果9＋89＋889＝987，知式(4)為987＋8889＝9876。例2觀察不難發(fā)現(xiàn)：自然數(shù)從1開始，累加到任何一個自然數(shù)，其和除以下一個是偶數(shù)，商是小數(shù)，是奇數(shù)時，商是整數(shù)。如：(1＋2＋3＋…＋1000＋1001)例3由11＋1.1＝11×1.1，知其積等于其和。特點：第一個加數(shù)是整數(shù)。第二個加數(shù)是帶分數(shù)，整數(shù)局部是1，分數(shù)局部的分子是1，分母比第一個加數(shù)少1。例4觀察分析…………會產(chǎn)生一個直覺：如果a與b是互質數(shù)(且a＞b)，那么a±b與ab是互質數(shù)。此結論成立的話，兩個分子是1，分母是互質數(shù)的分數(shù)相加減，所得結果豈不是不必考慮約分了嗎？用反證法證明：假設a±b與ab不互質，而有因子d的話，設a±b＝cd，ab＝ed。那么由ab＝ed，d為素數(shù)可知，或d｜a，或d｜b。假設d｜a，那么由a±b＝cd，可知必有d｜b，這與ab是互質數(shù)矛盾。同理，假設d｜b，也有矛盾，所以a±b與ab互質。52.猜想與證明美國數(shù)學家G·玻利亞在《數(shù)學與似真推理》一書中寫道：“人們對數(shù)學事實總是首先猜想，然后才加以證明。〞例13×4＝12它的積是由1和2依順序排列的數(shù)。由33×34＝1122333×334＝111222n個n個n個n個為方便起見，在后面的n位數(shù)乘以n位數(shù)等于2n位數(shù)的乘法中，用省略號連在一起的n個數(shù)字不再標n個了，它們的個數(shù)同上式一樣。證明：令S＝11…1，那么S＝10n－1＋10n－2＋…＋10＋1，10S＝10n＋10n－1＋…＋102＋10，9S＝10S－S＝10n－1，由此得故33…3×33…4＝11…122…2，進而可得33…3×33…5＝33…3×(33…34＋1)＝11…122…2＋33…3＝11…155…5。例2abcd各不相同，表示一個四位數(shù)。問各是什么數(shù)時，能同時被2、3、5整除？智力好的學生，總是經(jīng)過一番嘗試和猜想后，就力圖尋求一般規(guī)律，不遺漏地寫出符合要求的全部四位數(shù)。符合題意的數(shù)是，各位上的數(shù)字和一定能被3整除，且個位數(shù)字是0。如果a、b、c分別取1、2、3作為一組的話，有1230、1320、2130、2310、3120、3210。這樣的數(shù)組有：1、2、31、2、61、2、91、3、51、3、81、4、71、5、61、5、91、6、81、8、92、3、42、3、72、4、62、4、92、5、82、6、72、7、93、4、53、8、43、5、73、6、94、5、94、6、85、6、75、7、96、7、87、8、9符合題意的全部四位數(shù)是，6×27＝162(個)例3證明：任意10個連續(xù)的自然數(shù)一定能找出4個a、b、c、d，使(a－b)×(c－d)能被56整除。假設使(a－b)×(c－d)能被56整除，只要a－b能被8(或7)整除，c－d能被7(或8)整除。在10個連續(xù)自然數(shù)中，必有兩數(shù)的差為8，其余8個數(shù)中必有兩數(shù)的差為7。設10個連續(xù)自然數(shù)為：n、n＋1、n＋2、…、n＋9，那么(n＋8)－n＝8，(n＋9)－(n＋2)＝7。這里a＝n＋8，b＝n，c＝n＋9，d＝n＋2，或a＝n＋9，b＝n＋2，c＝n＋8，d＝n?；蛘?n＋9)－(n＋1)＝8，(n＋7)－n＝7。這里a＝n＋9，b＝n＋1，c=n＋7，d=n，或a=n＋7，b=n，c=n＋9，d=n＋1。例4任意連續(xù)4n個自然數(shù)的和除以2的商是第一個數(shù)與最后一個數(shù)和的n倍。證明：設任意的連續(xù)自然數(shù)m，m＋1，m＋2，……當n＝1時，因為m＋(m＋1)＋(m＋2)＋(m＋3)＝4m＋6，所以＝2m＋3＝［m＋(m＋3)］×1。當n＝2時，因為m＋(m＋1)＋(m＋2)＋…＋(m＋4×2－1)＝8m＋(1＋2＋…＋7)＝8m＋28。所以＝4m＋14＝［m＋(m＋7)］×2。當m＝3時，因為m＋(m＋1)＋(m＋2)＋…＋(m＋4×3－1)＝12m＋(1＋2＋…＋11)＝12m＋66。所以＝6m＋33＝［m＋(m＋11)］×3。＝［m1＋(m＋k－1)k］×n。這里m1＝9，(m＋k－1)k＝40，原式＝(9＋40)×8＝392。53.相似運算例1在0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中，任選一個數(shù)字，把它與9相乘，得到一個積，把這個積再乘上12345679，答案所有數(shù)位上的數(shù)字總是和選擇的那個數(shù)字一樣。比方說，選擇5，5×9＝45。兩邊都除以5，12345679×9=111111111。對于任何其它數(shù)字，可進行同樣的推理。用數(shù)字a乘等式兩邊，12345679×(a×9)＝(111111111)a＝aaaaaaaaa。例2任意選出小于10的三個不同的自然數(shù)，如1、6、8。從中任取兩個，組成二位數(shù)16、18、61、68、81、86。其和為330。1＋6＋8＝15。兩位數(shù)的和除以一位數(shù)的和，設a、b、c表示任意三個不同的小于10的自然數(shù)，組成兩位數(shù)，10a＋b10a＋c10b＋a10b＋c10c＋a10c＋b其和為22a＋22b＋22c＝22(a＋b＋c)遇到類似的運算，可不假思索地寫出22。填充、判斷、選擇題〔一〕1.想平均數(shù)例如，美國小學數(shù)學奧林匹克，第三次(1982年1月)題3：求三個連續(xù)自然數(shù)，使第一個和第三個之和等于118。()由于三個數(shù)是連續(xù)自然數(shù)，所以第一個和第三個數(shù)的平均數(shù)是第二個數(shù)，即118÷2＝59。另兩個數(shù)是58和60。2.想中間數(shù)判斷方法：

3.接近某數(shù)法兩個分數(shù)與1的差大的分數(shù)??；被減數(shù)不變，減數(shù)越大差數(shù)越小。例2下面的正確排列是()。只有(B)正確。填充、判斷、選擇題〔二〕4.拆數(shù)例如，99999992＋19999999的和是()。原式＝9999999×9999999＋19999999＝9999999×(10000000—1)＋(10000000＋9999999)＝99999990000000—9999999＋10000000＋9999999＝5.插數(shù)就是把兩個分數(shù)的分子、分母各擴大2倍，使原來分子和分母都“相挨〞這種方法簡便，一次成功，正確率高，所填分數(shù)的分子分母又最小。6.奇偶數(shù)法根本關系：奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)。奇數(shù)的任何次方，冪是奇數(shù)。奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)。n(n＋1)必是偶數(shù)，因為n和(n＋1)必為一奇一偶。偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)。偶數(shù)的任何次方，冪是偶數(shù)。在整除的前提下：奇數(shù)÷奇數(shù)=奇數(shù)偶數(shù)÷偶數(shù)=偶數(shù)偶數(shù)÷奇數(shù)=偶數(shù)例130個餃子五碗裝，裝單不裝雙()。因為奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，故無解。例2兩個連續(xù)偶數(shù)的和是82，這兩個數(shù)是()。(1)相鄰的兩偶數(shù)相差2。由和差問題解依次為(82—2)÷2＝40，40＋2＝42。(2)相鄰的兩個自然數(shù)相差1。82÷2—1=40，40＋2=42?；蛘?1＋1=42。例31＋3＋5＋……＋25＝()。由“從1開始的連續(xù)奇數(shù)的和，等于所有奇數(shù)個數(shù)的平方〞。知例4用質數(shù)的和表示，23＝()＋()。奇數(shù)＝奇數(shù)＋偶數(shù)，質數(shù)中只有2是偶數(shù)。23—2＝21是合數(shù)。此題無解。只有與2的差是質數(shù)的奇數(shù)。才能表示為兩個質數(shù)的和，這類奇數(shù)是無限的。例如：5＝2＋3，39＝2＋37，……例5有六個六位數(shù)：(1)987654；(2)987653；(3)987652；(4)987651；(5)987650；(6)987649。從中選出兩個，使這兩個數(shù)的乘積能被6整除，有()種選法。(1)和(4)的各位數(shù)字和分別是39和36，都能被3整除，前者又能被2整除。偶數(shù)×奇數(shù)＝偶數(shù)，能被2和3整除的數(shù)就能被6整除。有七種選法：(1)和(2)；(1)和(3)；(1)和(4)；(1)和(5)；(1)和(6)；(4)和(3)；(4)和(5)。例61989年“從小愛數(shù)學〞邀請賽試題：三個不同的最簡真分數(shù)的分子都是質數(shù)，分母都是小于20的合數(shù)，要使這三個分數(shù)的和盡可能大，這三個分數(shù)是____、____、____。要使其和最大，那么每個數(shù)應是同分母的真分數(shù)中最大的真分數(shù)。分子應依次是20以內的最大的質數(shù)，分母是分子加1的偶數(shù)。即例7三個連續(xù)自然數(shù)的最小公倍數(shù)是360。這三個數(shù)是____、____、____。三個連續(xù)自然數(shù)只能有：A.奇數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)；B.偶數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)。這兩種可能。假設是情況A，那么一定是兩兩互質，最小公倍數(shù)是它們的乘積。由360＝23×32×5知兩兩互質的數(shù)只能是8、9、5。但它們不是連續(xù)的。情況B中，最大及最小數(shù)都是偶數(shù)，2是其最大公約數(shù)，三個數(shù)的乘積是它們最小公倍數(shù)的2倍。360×2=24×32×5。所求數(shù)是23＝8，32＝9，2×5＝10。填充、判斷、選擇題〔三〕7.由合數(shù)想例1能被十個最小自然數(shù)整除的最小四位數(shù)是()。這個合數(shù)，一定是三個合數(shù)和一個質數(shù)的乘積。例21989×20002000—2000×19891989＝()合數(shù)的20002000和19891989，有相同的質因數(shù)。原式＝1989×(2000×10001)－2000×(1989×10001)＝0。例3第二屆“華羅庚金杯〞少年數(shù)學邀請賽決賽試題第一試7題：在下面的算式中，所有分母都是四位數(shù)。請在每個方格里各填入一個數(shù)，使等式成立。由式右的分子為1，知式左的兩個分數(shù)相加的和可約分。假設是同分母分數(shù)相加約分后，式右的分母不可是四位數(shù)，只能是異分母。從分析合數(shù)1988入手：(1)1988＝4×7×71。1988是4的倍數(shù)，如果式左兩個分數(shù)的分子之和為4，那么可約成分子是1的最簡分數(shù)。(2)由4×7=28，28＋43＝71，知例4最大公約數(shù)是1，兩兩均不互質，且大于50而小于100的三個數(shù)是()、()、()。解