山東省德州市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題(含答案)

高三數(shù)學(xué)期末試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.i B. C. D.13.已知p：，q：，若p是q的充分不必要條件，則m的取值范圍是（）A. B. C. D.4.蓋碗是由茶碗、茶蓋、茶船三件套組成，蓋碗又稱“三才碗”，蘊(yùn)含了古代哲人講的“天蓋之，地栽之，人育之”的道理.如圖是乾隆時(shí)期的山水人物方蓋碗的茶蓋和茶碗，近似看作兩個(gè)正四棱臺(tái)的組合體，其中茶碗上底面的邊長(zhǎng)為，下底面邊長(zhǎng)為，高為，則茶水至少可以喝（不足一碗算一碗）（）A.7碗 B.8碗 C.9碗 D.10碗5.實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.06.為了激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，某學(xué)校開展利用數(shù)學(xué)知識(shí)設(shè)計(jì)的比賽，其中某位同學(xué)利用函數(shù)圖象設(shè)計(jì)了如圖的，那么該同學(xué)所選的函數(shù)最有可能是（）A. B.C. D.7.設(shè)隨機(jī)變量，且，，則（）A.0.25 B.0.3 C.0.5 D.0.758.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全得得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列說法正確的是（）A.展開式中項(xiàng)的系數(shù)為1120B.樣本相關(guān)系數(shù)r越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱C.根據(jù)分類變量X與Y的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷零假設(shè)不成立，即可認(rèn)為X與Y獨(dú)立D.在回歸分析中，用最小二乘法求得的經(jīng)驗(yàn)回歸直線使所有數(shù)據(jù)的殘差和為零10.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線上，且，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)Q，則（）A. B.拋物線的準(zhǔn)線為直線C. D.的面積為11.已知函數(shù)在處取得最大值2，的最小正周期為π，將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，則下列結(jié)論正確的是（）A.是圖象的一條對(duì)稱軸 B.C.是奇函數(shù) D.方程有3個(gè)實(shí)數(shù)解12.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P滿足，其中，，則（）A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到平面的距離為C.當(dāng)時(shí)，平面 D.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積恒為三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題目橫線上）13.己知等差數(shù)列的公差為2，若，，成等比數(shù)列，則______.14.設(shè)函數(shù)，關(guān)于x的方程有三個(gè)不等實(shí)根，，，則的取值范圍是________________.15.已知中，M為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為_____.16.已知橢圓與雙曲線具有相同的左、右焦點(diǎn)、，點(diǎn)P為它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q在曲線上，若記曲線，的離心率分別為，，滿足，且直線與y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為__________.四、解答題（本大題共5小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.（10分）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明：.18.（12分）在中，角A、B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.（1）求角B；（2）D為邊上一點(diǎn)，，且，求的值.19.（12分）把矩形以所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，得到幾何體如圖所示.其中等腰梯形為下底面的內(nèi)接四邊形，且，點(diǎn)G為上底面一點(diǎn)，且，.（1）若P為的中點(diǎn)，求證：平面；（2）設(shè)，，試確定λ的值，使得直線與平面所成角的正弦值為.20.（12分）已知點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，在C上.（1）求C的方程；（2）已知兩點(diǎn)與，過點(diǎn)A的直線l與C交于P，Q兩點(diǎn)，且，試判斷是否為定值?若是，求出該值，若不是，說明理由.21.（12分）輕食是餐飲的一種形態(tài)，輕的不僅僅是食材分量，更是食材烹飪方式簡(jiǎn)約，保留食材本來(lái)的營(yíng)養(yǎng)和味道，近年來(lái)隨著消費(fèi)者健康意識(shí)的提升及美顏經(jīng)濟(jì)的火熱，輕食行業(yè)迎來(lái)快速發(fā)展.某傳媒公司為了獲得輕食行業(yè)消費(fèi)者行為數(shù)據(jù)，對(duì)中國(guó)輕食消費(fèi)者進(jìn)行抽樣調(diào)查.統(tǒng)計(jì)其中400名中國(guó)輕食消費(fèi)者（表中4個(gè)年齡段的人數(shù)各100人）食用輕食的頻率與年齡得到如下的頻數(shù)分布表.使用頻率偶爾1次3015510每周次40403050每周次25404530每天1次及以上552010（1）若把年齡在的消費(fèi)者稱為青少年，年齡在的消費(fèi)者稱為中老年，每周食用輕食的頻率不超過3次的稱為食用輕食頻率低，不低于4次的稱為食用輕食頻率高，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷食用輕食頻率的高低與年齡是否有關(guān)聯(lián)；（2）從每天食用輕食1次及以上的樣本消費(fèi)者中按照表中年齡段采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣，從中抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中年齡在與的人數(shù)分別為X，Y，，求ξ的分布列與期望；（3）已知小李每天早餐、晚餐都食用輕食，且早餐與晚餐在低卡甜品、全麥夾心吐司、果蔬汁3種輕食中選擇一種，已知小李在某天早餐隨機(jī)選擇一種輕食，如果早餐選擇低卡甜品、全麥夾心吐司、果蔬汁，則晚餐選擇低卡甜品的概率分別為，，，求小李晚餐選擇低卡甜品的概率.參考公式：，.附：α0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82822.（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍.數(shù)學(xué)試題參考答案1.B2.A3.C4.C5.A6.A7.A8.C9.ACD10.ACD11.AD12.ACD13.14.15.1616.16.【詳解】由題設(shè)，又，直線與y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，中，綜上，，整理得，可得或（舍），由，則，由橢圓性質(zhì)知：當(dāng)Q為短軸頂點(diǎn)時(shí)取到最大，此時(shí)，由，則，即，故.17.解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，則，當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，顯然，符合，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是（2）由（1）知，.所以.18.解：（1）因?yàn)椋?，由正弦定理可得，又，所以，整理得，因?yàn)?，，所以，又，，所以，?（2）由（1）知，因?yàn)椋?，記，則，在中，由正弦定理得，得，在中，有，因?yàn)?，所以，得，在中，由余弦定理可得，即，所?19.解：（1）證明：因?yàn)闉橹睆?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，P為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋矫?，平面，所以平?（2）因?yàn)榈妊菪螢榈酌姘雸A的內(nèi)接四邊形，，所以，所以，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，在底面半圓過點(diǎn)垂直于平面作直線為x軸，分別以，為y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由于，，由（1）可知，故，，，，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即.令，則，由，，，可得，所以，設(shè)直線與平面所成角為θ，，則，即得，解得或，符合，故或.20.解：（1）由已知可得，且C的另一焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)為，所以有，所以，所以，所以C的方程為.（2）設(shè)l：，代入C整理可得：，設(shè)，，則①，②，由，可得，③，由①②③可得：，恒成立，所以，為定值.21.解：（1）補(bǔ)全的列聯(lián)表如下：1青少年中老年合計(jì)食用輕食頻率低12595220食用輕食頻率高75105180合計(jì)200200400所以，所以有99%的把握認(rèn)為食用輕食頻率的高低與年齡有關(guān)（2）由數(shù)表知，利用分層抽樣的方法抽取的8人中，年齡在，內(nèi)的人數(shù)分別為1，2，依題意，ξ的所有可能取值分別為為0，1，2，所以，，，所以ξ的分布列為：ξ012P所以ξ的數(shù)學(xué)期望為.（3）記小李在某天早餐選擇低卡甜品、全麥夾心吐司、果蔬汁，分別為事件A，B，C，晚餐選擇低卡甜品為事件D，則，，，，，，所以，，所以小李晚餐選擇低卡甜品的概率為.22.解：（1）由得，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且x無(wú)限趨近于0時(shí)，，又，故只有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)