吉林省吉林市示范初中2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

吉林省吉林市示范初中2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知為銳角，，則（）A． B． C． D．2．已知等差數(shù)列前n項(xiàng)的和為，，，則（）A．25 B．26 C．27 D．283．已知圓心在軸上的圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則的方程為（）A． B．C． D．4．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a，b，c依次成等差數(shù)列，，，依次成等比數(shù)列，則的形狀為（）A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．鈍角三角形 D．直角邊不相等的直角三角形5．已知F為拋物線(xiàn)C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線(xiàn)l1，l2，直線(xiàn)l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為A．16 B．14 C．12 D．106．已知為不同的平面,為不同的直線(xiàn)則下列選項(xiàng)正確的是（）A．若,則 B．若,則C．若,則 D．若,則7．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值是（）A． B． C． D．8．已知平面向量，，，，且，則向量與向量的夾角為（）A． B． C． D．9．若點(diǎn)為圓C：的弦MN的中點(diǎn)，則弦MN所在直線(xiàn)的方程為（）A． B． C． D．10．已知是兩條不重合的直線(xiàn)，為兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若，是異面直線(xiàn)，那么與相交B．若//,，則C．若，則//D．若//，則二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．己知是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，，則______.12．若存在實(shí)數(shù)，使不等式成立，則的取值范圍是_______________.13．若正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值是________.14．終邊在軸上的角的集合是_____________________．15．等比數(shù)列中首項(xiàng)，公比，則______.16．若為冪函數(shù)，則滿(mǎn)足的的值為_(kāi)_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．如圖所示，某海輪以30海里/小時(shí)的速度航行，在A點(diǎn)測(cè)得海面上油井P在南偏東，向北航行40分鐘后到達(dá)點(diǎn)，測(cè)得油井P在南偏東，海輪改為北偏東的航向再行駛80分鐘到達(dá)C點(diǎn)，求P，C間的距離．19．設(shè)函數(shù)，其中，.（1）設(shè)，若函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，求的值；（2）若將的圖象向左平移個(gè)單位，或者向右平移個(gè)單位得到的圖象都過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求所有滿(mǎn)足條件的和的值；（3）設(shè)，，已知函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)依次為，且，，求的值.20．如圖1，已知菱形的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，，，將三角形沿線(xiàn)段折起到的位置，，如圖2所示．（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）求三棱錐的體積．21．已知數(shù)列滿(mǎn)足：，，.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記（），用數(shù)學(xué)歸納法證明：，

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】

先將展開(kāi)并化簡(jiǎn)，再根據(jù)二倍角公式，計(jì)算可得?！绢}目詳解】由題得，，整理得，又為銳角，則，，解得.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查兩角和差公式以及二倍角公式，是基礎(chǔ)題。2、C【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列的求和與通項(xiàng)性質(zhì)求解即可.【題目詳解】等差數(shù)列前n項(xiàng)的和為,故.故.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等差數(shù)列通項(xiàng)與求和的性質(zhì)運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】

由圓心在軸上設(shè)出圓心坐標(biāo),設(shè)出圓的方程,將,兩點(diǎn)坐標(biāo)代入,即可求得圓心坐標(biāo)和半徑,進(jìn)而得圓的方程.【題目詳解】因?yàn)閳A心在軸上,設(shè)圓心坐標(biāo)為,半徑為設(shè)圓的方程為因?yàn)閳A經(jīng)過(guò),兩點(diǎn)代入可得解方程求得所以圓C的方程為故選:A【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓的方程求法,關(guān)鍵是求出圓心和半徑,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】

根據(jù)a，b，c依次成等差數(shù)列，，，依次成等比數(shù)列，利用等差、等比中項(xiàng)的性質(zhì)可知，根據(jù)基本不等式求得a=c，判斷出a=b=c，推出結(jié)果．【題目詳解】由a，b，c依次成等差數(shù)列，有2b=a+c(1)由，，成等比數(shù)列,有(2)，由(1)(2)得，又根據(jù)，當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立，∴可得a=c，∴，綜上可得a=b=c，所以△ABC為等邊三角形.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角形的形狀判斷，結(jié)合等差、等比數(shù)列性質(zhì)及基本不等式關(guān)系可得三邊關(guān)系，從而求解，考查綜合分析能力，屬于中等題.5、A【解題分析】設(shè)，直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程，得，∴，同理直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)滿(mǎn)足，由拋物線(xiàn)定義可知，當(dāng)且僅當(dāng)（或）時(shí)，取等號(hào).點(diǎn)睛:對(duì)于拋物線(xiàn)弦長(zhǎng)問(wèn)題，要重點(diǎn)抓住拋物線(xiàn)定義，到定點(diǎn)的距離要想到轉(zhuǎn)化到準(zhǔn)線(xiàn)上，另外，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)聯(lián)立，求判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系是通法，需要重點(diǎn)掌握.考查最值問(wèn)題時(shí)要能想到用函數(shù)方法和基本不等式進(jìn)行解決.此題還可以利用弦長(zhǎng)的傾斜角表示，設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，則，則，所以.6、C【解題分析】

通過(guò)對(duì)ABCD逐一判斷，利用點(diǎn)線(xiàn)面的位置關(guān)系即可得到答案.【題目詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，有可能異面，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，可能相交或異面，故錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，顯然故正確；對(duì)于D選項(xiàng)，也有可能，故錯(cuò)誤.所以答案選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的空間想象能力，難度不大.7、D【解題分析】

首先計(jì)算出，根據(jù)三角函數(shù)定義可求得正弦值和余弦值，從而得到結(jié)果.【題目詳解】由三角函數(shù)定義知：，，則：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查任意角三角函數(shù)的求解問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

根據(jù)可得到：，由此求得；利用向量夾角的求解方法可求得結(jié)果.【題目詳解】由題意知：，則設(shè)向量與向量的夾角為則本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查向量夾角的求解，關(guān)鍵是能夠通過(guò)平方運(yùn)算將模長(zhǎng)轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛄康臄?shù)量積，從而得到向量的位置關(guān)系.9、A【解題分析】

根據(jù)題意，先求出直線(xiàn)PC的斜率，根據(jù)MN與PC垂直求出MN的斜率，由點(diǎn)斜式，即可求出結(jié)果.【題目詳解】由題意知，圓心的坐標(biāo)為，則，由于MN與PC垂直，故MN的斜率，故弦MN所在的直線(xiàn)方程為，即.故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查求弦所在直線(xiàn)方程，熟記直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程即可，屬于常考題型.10、D【解題分析】

采用逐一驗(yàn)證法，結(jié)合線(xiàn)面以及線(xiàn)線(xiàn)之間的位置關(guān)系，可得結(jié)果.【題目詳解】若，是異面直線(xiàn),與也可平行，故A錯(cuò)若//，，也可以在內(nèi)，故B錯(cuò)若也可以在內(nèi)，故C錯(cuò)若//，則，故D對(duì)故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線(xiàn)面以及線(xiàn)線(xiàn)之間的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、-1【解題分析】

由等差數(shù)列的結(jié)合，代入計(jì)算即可.【題目詳解】己知是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，所以，得，由等差中項(xiàng)得，所以.故答案為-1【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和等差中項(xiàng)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12、；【解題分析】

不等式轉(zhuǎn)化為，由于存在，使不等式成立，因此只要求得的最小值即可．【題目詳解】由題意存在，使得不等式成立，當(dāng)時(shí)，，其最小值為，∴．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式能成立問(wèn)題，解題關(guān)鍵是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．不等式能成立與不等式恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化區(qū)別：在定義域上，不等式恒成立，則，不等式能成立，則，不等式恒成立，則，不等式能成立，則．轉(zhuǎn)化時(shí)要注意是求最大值還是求最小值．13、【解題分析】

將配湊成，由此化簡(jiǎn)的表達(dá)式，并利用基本不等式求得最小值.【題目詳解】由得，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故填：.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查利用基本不等式求和式的最小值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.14、【解題分析】

由于終邊在y軸的非負(fù)半軸上的角的集合為而終邊在y軸的非正半軸上的角的集合為，終邊在軸上的角的集合是，所以，故答案為.15、9【解題分析】

根據(jù)等比數(shù)列求和公式，將進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后得到關(guān)于和的等式，結(jié)合，討論出和的值，得到答案.【題目詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列中首項(xiàng)，公比，所以成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，共項(xiàng)，所以整理得因?yàn)樗钥傻?，等式右邊為整?shù)，故等式左邊也需要為整數(shù)，則應(yīng)是的約數(shù)，所以可得，所以，當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)，所以，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列求和的基本量運(yùn)算，涉及分類(lèi)討論的思想，屬于中檔題.16、【解題分析】

根據(jù)冪函數(shù)定義知，又，由二倍角公式即可求解.【題目詳解】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以，即,因?yàn)?所以，即，因?yàn)椋裕?故填.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了冪函數(shù)的定義，正弦的二倍角公式，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)；(2)【解題分析】

（1）由，構(gòu)造是以為首項(xiàng)，為公比等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)果；（2）由（1）得，利用裂項(xiàng)相消可求.【題目詳解】（1）由得：，即，且數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列數(shù)列的通項(xiàng)公式為：（2）由（1）得：【題目點(diǎn)撥】關(guān)系式可構(gòu)造為，中檔題。18、海里【解題分析】

在中，利用正弦定理可求得BP的長(zhǎng)，在直角三角形中，利用勾股定理，可求P、C間的距離．【題目詳解】在中，，，，由正弦定理知得，∴.在中，，又，∴，∴可得P、C間距離為（海里）【題目點(diǎn)撥】本題的考點(diǎn)是解三角形的實(shí)際應(yīng)用，主要考查將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，可把條件和問(wèn)題放到三角形中，利用正弦定理及勾股定理求解．19、（1）；（2），；（3）【解題分析】

（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸對(duì)應(yīng)三角函數(shù)最值以及計(jì)算的值；（2）根據(jù)條件列出等式求解和的值；（3）根據(jù)圖象利用對(duì)稱(chēng)性分析待求式子的特點(diǎn)，然后求值.【題目詳解】（1），因?yàn)槭且粭l對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)應(yīng)最值；又因?yàn)?，所以，所以，則；（2）由條件知：，可得，則，又因?yàn)椋?，則，故有：，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，令，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，令，所以，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)椋?；?）分別作出（部分圖像）與圖象如下：因?yàn)椋使灿袀€(gè)；記對(duì)稱(chēng)軸為，據(jù)圖有：，，，，，則，令，則，又因?yàn)?，所以，由于與僅在前半個(gè)周期內(nèi)有交點(diǎn)，所以，則.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合運(yùn)用，難度較難.對(duì)于三角函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，可將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，通過(guò)數(shù)形結(jié)合去解決問(wèn)題會(huì)更方便.20、（Ⅰ）見(jiàn)證明；（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）折疊前，AC⊥DE；，從而折疊后，DE⊥PF，DE⊥CF，由此能證明DE⊥平面PCF．再由DC∥AE，DC＝AE能得到DC∥EB，DC＝EB．說(shuō)明四邊形DEBC為平行四邊形．可得CB∥DE．由此能證明平面PBC⊥平面PCF．（Ⅱ）由題意根據(jù)勾股定理運(yùn)算得到，又由（Ⅰ）的結(jié)論得到，可得平面，再利用等體積轉(zhuǎn)化有，計(jì)算結(jié)果.【題目詳解】（Ⅰ）折疊前，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?；所以折疊后，，,又，平面，所以平面因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以．又點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以．所以四邊形為平行四邊形．所以．又平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．（Ⅱ）圖1中，由已知得，，所以圖2中，，又所以，所以又平面，所以又，平面，所以平面，所以．所以三棱錐的體積為．【題目點(diǎn)撥】本題考查線(xiàn)面垂直、面面垂直的證明，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、