九年級數(shù)學（第21章 二次函數(shù)與反比例函數(shù)）21.3 二次函數(shù)與一元二次方程（滬科版 學習、上課課件）

21.3二次函數(shù)與一元二次方程第21章二次函數(shù)與反比例函數(shù)逐點導講練課堂小結作業(yè)提升課時講解1課時流程2二次函數(shù)與一元二次方程之間的關系二次函數(shù)圖象法求解一元二次方程二次函數(shù)與一元二次不等式之間的關系知識點二次函數(shù)與一元二次方程之間的關系知1－講11.二次函數(shù)圖象與x軸的交點橫坐標與一元二次方程根的關系一般地，從二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象可知：如果拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸有交點，交點的橫坐標是x0，那么當x＝x0時，函數(shù)值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一個根.知1－講2.

二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系與區(qū)別一元二次方程ax2＋bx＋c＝0與二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c之間的內在聯(lián)系列表如下：b2－4ac

的符號b2－4ac＞0b2－4ac＝0b2－4ac＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情況沒有實根知1－講二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象a>0a<0拋物線與x軸的交點(x1，0)，(x2，0)沒有交點知1－講拓寬視野1.已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，求當y＝m時自變量x的值，可以解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m；反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m可以看成是已知y＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值y＝m，求自變量x的值.方程ax2＋bx＋c＝m的解是拋物線y＝ax2＋bx＋c與直線y＝m的交點的橫坐標.2.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的關系密切，二者可以相互轉化.知1－練例1[中考·樂山]已知關于x的一元二次方程x2＋x－m＝0．(1)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍；解題秘方：由判別式即可列不等式得到答案；

知1－練(2)二次函數(shù)y＝x2＋x－m的部分圖象如圖21.3-1所示，求一元二次方程x2＋x－m＝0的解．解題秘方：根據(jù)拋物線的對稱性可得拋物線與x

軸的另一個交點，即可得到答案．知1－練

知2－講知識點二次函數(shù)圖象法求解一元二次方程21.

利用二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸的交點求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解(1)作出二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象，確定圖象與x軸的交點的橫坐標；(2)函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解；知2－講二次函數(shù)圖象法求解一元二次方程(3)當函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標不是整數(shù)時，可通過不斷縮小解所在的范圍估計一元二次方程的解.知2－講方法提醒估計一元二次方程的解的方法：在難以讀出交點的坐標時，我們可以通過不斷縮小解所在范圍估計一元二次方程的解.知2－講

知2－講2.

利用二次函數(shù)y＝ax2的圖象與直線y＝－bx－c

的交點求方程ax2＋bx＋c＝0的解(1)將一元二次方程ax2＋bx＋c＝0化為ax2＝－bx－c

的形式；(2)在平面直角坐標系中畫出拋物線y＝ax2

和直線y＝－bx－c，并確定拋物線與直線的交點的橫坐標；(3)交點的橫坐標即為一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解.知2－練利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的近似解(結果精確到0.1).例2解題秘方：畫出二次函數(shù)y＝－x2＋2x＋5的圖象，利用二次函數(shù)的圖象求方程的近似解.知2－練解：整理方程，得－x2＋2x＋5＝0.作函數(shù)y＝－x2＋2x＋5的圖象如圖21.3-2所示.知2－練由圖象可知，拋物線與x軸交點的橫坐標分別在－2和－1，3和4之間，即方程－x2+2x－3＝－8的兩個實數(shù)解分別在－2和－1，3和4之間，用取平均數(shù)的方法不斷縮小解的取值范圍，從而確定方程的近似解.由圖象可知，當x＝3時，y>0；當x＝4時，y<0，取3和4的平均數(shù)3.5，當x＝3.5時，y＝－0.25，與x＝3時的函數(shù)值異號，所以方程的這個解在3和3.5之間.知2－練取3和3.5的平均數(shù)3.25，當x＝3.25時，y＝0.9375，與x＝3.5時的函數(shù)值異號，所以方程的這個解在3.25和3.5之間.取3.25和3.5的平均數(shù)3.375，當x＝3.375時，y＝0.359375，與x＝3.5時的函數(shù)值異號，所以方程的這個解在3.375和3.5之間.知2－練由此方法可得到原方程的一個近似解為3.4.用同樣的方法可得到原方程的另一個近似解為－1.4.所以方程－x2＋2x－3＝－8的近似解為x1≈－1.4，x2≈3.4.知2－練解題通法用圖象法求一元二次方程的近似解：用圖象法求一元二次方程的近似解時，一般先作出相應的二次函數(shù)的圖象，確定其圖象與x軸交點的橫坐標的大致范圍，即一元二次方程的解的大致范圍；然后利用取平均數(shù)的方法縮小解所在的范圍，通過反復計算求出滿足精確度要求的近似解.知2－練特別提醒用圖象法解一元二次方程是數(shù)形結合思想的具體應用，通過畫函數(shù)圖象解一元二次方程是數(shù)的直觀化的體現(xiàn)，但由于作圖或觀察存在誤差，因此通過這種方法求得的方程的解一般是近似的.知3－講知識點二次函數(shù)與一元二次不等式之間的關系3求不等式ax2＋bx＋c>0(a

≠0)的解集，就是求x為何值時，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值y>0；求不等式ax2＋bx＋c<0(a

≠0)的解集，就是求x為何值時，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值y<0.列表如下：(以a>0為例)知3－講b2－4ac

的符號b2－4ac＞0b2－4ac＝0b2－4ac＜0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸的交點個數(shù)知3－講ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根沒有實數(shù)根知3－講一元二次不等式的解集ax2＋bx＋c

＞0(a>0)x<x1

或x>x2全體實數(shù)ax2＋bx＋c<0(a>0)x1<x<x無解無解知3－講深度理解二次函數(shù)與一元二次不等式的關系：二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象在x軸上方的部分對應的自變量取值范圍就是ax2＋bx＋c>0的解集，在x軸下方的部分對應的自變量取值范圍就是ax2＋bx＋c<0的解集.當拋物線開口向上且與x軸無交點時，ax2＋bx＋c>0的解集是全體實數(shù)，ax2＋bx＋c<0無解；當拋物線開口向下且與x軸無交點時，ax2＋bx＋c>0無解，ax2＋bx＋c<0的解集是全體實數(shù).知3－練二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖21.3-3所示，根據(jù)圖象解答下列問題：例3知3－練(1)方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根為_____________，不等式ax2＋bx＋c>0的解集為________；解題秘方：根據(jù)拋物線與x軸的交點即可得出方程與不等式的解或解集；解：∵拋物線開口向下，拋物線與x軸的交點為(1，0)，(3，0)，∴方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根為x1＝1，x2＝3；不等式ax2＋bx＋c>0的解集為1<x<3.x1＝1，x2＝31<x<3知3－練(2)若關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝k有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍為_______；解題秘方：結合函數(shù)圖象，利用直線y＝k與拋物線有2個交點得到k的取值范圍；k<2知3－練解：∵拋物線的頂點的縱坐標為2，∴拋物線y＝ax2＋bx＋c與直線y＝2只有一個公共點，∴當k<2時，拋物線y＝ax2＋bx＋c

與直線y＝k有兩個公共點，即方程ax2＋bx＋c＝k有兩個不相等的實數(shù)根時，滿足條件的k的取值范圍為k<2.知3－練(3)若關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－t＝0在1<x<4的范圍內有實數(shù)根，求t的取值范圍．解題秘方：根據(jù)待定系數(shù)法求得拋物線的表達式，結合函數(shù)圖象，寫出t的取值范圍．知3－練解：設拋物線的表達式為y＝a(x－2)2＋2，把點(1，0)的坐標代入得0＝a＋2，∴a＝－2