高中數(shù)學(xué)集合總結(jié)+題型分類+完美解析

集合【知識清單】1.性質(zhì)：確定性、互易性、無序性.2.元素和集合的關(guān)系：屬于“”、不屬于“”.3.集合和集合的關(guān)系：子集（包含于“”）、真子集（真包含于“”）.4.集合子集個數(shù)=；真子集個數(shù)=.5.交集：并集：補(bǔ)集：6.空集是任何非空集合的真子集；是任何集合的子集.題型一、集合概念解決此類型題要注意以下兩點：=1\*GB3①要時刻不忘運(yùn)用集合的性質(zhì)，用的最多的就是互易性；=2\*GB3②元素與集合的對應(yīng)，如數(shù)對應(yīng)數(shù)集，點對應(yīng)點集.【No.1定義&性質(zhì)】1.下列命題中正確的個數(shù)是（）=1\*GB3①方程的解集為=2\*GB3②集合與的公共元素所組成的集合是=3\*GB3③集合與集合沒有公共元素A.0B.1C.2D.3分析：=1\*GB3①中的式子是方程但不是一個函數(shù)，所以我們要求的解集不是的值所構(gòu)成的集合，而是和的值的集合，也就是一個點.答案：A詳解：在=1\*GB3①中方程等價于，即。因此解集應(yīng)為，錯誤；在=2\*GB3②中，由于集合的元素是，所以當(dāng)時，.同理，中，錯誤；在=3\*GB3③中，集合即，而，畫出數(shù)軸便可知這兩個集合可能有公共的元素，錯誤.故選A.2.下列命題中，（1）如果集合是集合的真子集，則集合中至少有一個元素；

（2）如果集合是集合的子集，則集合的元素少于集合的元素；（3）如果集合是集合的子集，則集合的元素不多于集合的元素；（4）如果集合是集合的子集，則集合和不可能相等．錯誤的命題的個數(shù)是（）A．0B．1C．2D．3分析：首先大家要理解子集和真子集的概念，如果集合是集合的子集，那么中的元素個數(shù)要小于或等于中元素的個數(shù)；如果集合是集合的真子集，那么中的元素個數(shù)要小于中元素的個數(shù).答案：詳解：（1）如果集合是集合的真子集，則集合中至少有一個元素，故（1）正確；如果集合是集合的子集，則集合的元素少于或等于集合的元素，故（2）不正確；（3）如果集合是集合的子集，則集合的元素不多于集合的元素，故（3）正確；

（4）如果集合是集合的子集，則集合和可能相等，故（4）不正確．故選．3.設(shè)、為兩個非空實數(shù)集，P中含有0，2，5三個元素，中含有1，2，6三個元素，定義集合中的元素是，其中,，則中元素的個數(shù)是（）A.9B.8C.7D.6分析：因為，，所以中的元素是中的元素和中元素兩兩相加而得出的，最后得出的集合還要考慮集合的互易性.答案：B詳解：當(dāng)時，依次取1,2,6，得的值分別為1,2,6；當(dāng)時，依次取1,2,6，得的值分別3,4,8；當(dāng)時，依次取1,2,6，得的值分別6,7,11；=1\*GB3①0；=2\*GB3②0；=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤；=6\*GB3⑥；=7\*GB3⑦；=8\*GB3⑧其中正確的是（）=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=8\*GB3⑧B.=1\*GB3①=2\*GB3②=4\*GB3④=5\*GB3⑤C.=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=6\*GB3⑥D(zhuǎn).=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=7\*GB3⑦分析：本題需要大家分清，，三個符號的意義和區(qū)別：--“屬于”，用于表示元素和集合的關(guān)系；，--“包含于和真包含于”，用于表示集合和集合之間的關(guān)系.答案：A詳解：=1\*GB3①錯誤，應(yīng)為；=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=8\*GB3⑧正確；=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥=7\*GB3⑦應(yīng)為；2.若為全集，下面三個命題中真命題的個數(shù)是（）（1）若（2）若（3）若A．個B．個C．個D．個分析：本題應(yīng)先簡化后面的式子，然后再和前面的條件對比.答案：D詳解：（1）；（2）；（3）證明：∵,即，而，∴；同理，∴；----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【No.2子集、真子集】3.從集合的子集中選出4個不同的子集，須同時滿足以下兩個條件：=1\*GB3①，都要選出；=2\*GB3②對選出的任意兩個子集和，必有或.那么共有種不同的選法.分析：由=1\*GB3①可以知道選出的子集中一定有和，我們要求得只剩兩個集合。根據(jù)=2\*GB3②（以為例）可以從討論中有1個或2個元素有幾種選法來確定的選法.注意中不可能有3種元素，因為這樣中會出現(xiàn)和中的元素，與題意和性質(zhì)不符.答案：36詳解：由題意知，集合必有子集和，只需考慮另外兩個集合如果中含有一個元素，有4種選法，相應(yīng)的，集合中有6中選法，共24種；如果中含有兩個元素，有6種選法，相應(yīng)的，集合中有2中選法，共12種；即總共有36種選擇。4.已知集合，那么滿足的集合有（）A．1個B．2個C．3個D．4個分析：本題求的是集合的子集個數(shù)答案：詳解：根據(jù)題意，，則或，則集合，其中有個元素，則其子集有個，滿足的集合有4個，故選．5.若集合，，且．則滿足條件的集合的個數(shù)為（）A．3個B．4個C．7個D．8個分析：集合，，說明同時是兩個集合的子集.答案：詳解：根據(jù)題意，集合，，且．即為的子集，而中有3個元素，共有個子集；即滿足條件的的個數(shù)為8；故選．----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【No.3集合間的運(yùn)算】6．設(shè)全集,集合，,那么等于________________.分析：首先要注意本題要求的是點集，集合的含義是不含有的直線上的點集，表示的就是；表示.答案：詳解：，代表直線上，但是挖掉點，代表直線外，但是包含點；代表直線外，代表直線上，∴.7.已知，，則,則（）A.21B.8C.6D.7分析：從入手得，既是的元素又是的元素，那么代入便可以求出和的值.答案：A詳解：由已知得，所以是方程和的根，故將代入得，；.所以.8.已知方程有兩個不相等的實根，.設(shè)，，，若，試求，的值。分析：對的含義的理解是本題的關(guān)鍵，；詳解：由，那么集合C中必定含有1，4，7，10中的2個。又因為，則A中的1，3，5，7，9都不在C中，從而只能是因此，，.======================================================================題型三、集合含參解決此類型題應(yīng)注意：=1\*GB3①遇到子集需從和不是兩方面討論，如.=2\*GB3②會解各種類型的不等式.=3\*GB3③如果方程中的最高次項系數(shù)含有參數(shù)，要記得對參數(shù)是否為0進(jìn)行討論.【No.1集合vs.集合】1.設(shè)，，若,則的值為（）A.1B.2C.3D.4分析：因為，所以中必含元素，中必不含元素.答案：B詳解：因為，所以，解得.時，，滿足．所以實數(shù)的值為2．或代入成立同理代入無解，故舍去.綜上2.已知集合，集合（1）若，求的值；（2）若，且，求的取值范圍．分析：（1）中得出和中不等式的解相同，那我們算出集合的解集，再由韋達(dá)定理求出即可；由可得．

題目中只要看到類似這種子集問題，必然要先討論B是否為，因為是任何集合的子集，所以也是一種情況必須要討論.詳解：（1）由得，所以集合．

由知，的解集為，所以方程的兩根分別為1和3．由韋達(dá)定理可知，，解得，，即為所求．

由知，．

①當(dāng)時，有，解得；

②當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，其圖象的對稱軸為，

解得綜上①②可知，實數(shù)的取值范圍是----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【No.2集合vs.不等式】3.設(shè)集合，B=.若，則實數(shù)，必滿足（）分析：做這種題首先要先會解絕對值不等式，然后再比較端點即可.答案：D詳解：

因為，且則有或即或即，選D.4.集合，，(1)若,求實數(shù)的取值范圍;(2)當(dāng)時,求的非空真子集個數(shù);(3)當(dāng)時,沒有元素使與同時成立,求實數(shù)的取值范圍.分析：此問題解決要注意：(1)中的分類討論；(2)集合的非空真子集的個數(shù)=；(3)當(dāng)時,沒有元素使與同時成立能得出與沒有交集，當(dāng)中還要考慮是否為.詳解：(1)當(dāng)即時,滿足.當(dāng)即時,要使成立,需可得.綜上所得實數(shù)的取值范圍.(2)當(dāng)時,,所以,的非空真子集個數(shù)為.(3)∵,且,,又沒有元素使與同時成立則①若即,得時滿足條件;②若,則要滿足條件有:或解之,得.綜上有或.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【No.3集合vs.方程】5.已知集合,滿足,求所取的一切值.分析：這類題目給的條件中方程的最高次項系數(shù)含有字母,一般需分類討論.要從和兩個方面進(jìn)行解題.詳解：因,當(dāng)時,,成立.又當(dāng)時,,要成立,則有或,或.綜上所述,或或.6．已知集合．(1)若中有兩個元素，求實數(shù)的取值范圍；(2)若中至多有一個元素，求實數(shù)的取值范圍．分析：中元素的個數(shù)代表方程的根的個數(shù)，不過首先要討論是否為0.詳解：(1)∵中有兩個元素，∴方程有兩個不等的實數(shù)根，∴，即∴，且.(2)當(dāng)時，；當(dāng)時，若關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，，即；若關(guān)于的方程無實數(shù)根，則，即；故所求的a的取值范圍是或.7.已知集合，，若，求實數(shù)的取值范圍．分析：與第7題類似，第7題是先討論是否為0，而本題的答案中先討論的是是否為，在這種類型題中，兩種方法兼可.詳解：，∵，∴，①當(dāng)，若，不成立；若，則，或；②當(dāng)或，若，，成立；若，則，或，經(jīng)檢驗，成立；③當(dāng)，則，無解，不成立．綜上：或或．======================================================================題型四、韋恩圖像解決此類型題應(yīng)注意：會用韋恩圖表示集合關(guān)系與運(yùn)算1．某班有36名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，每名同學(xué)至多參加兩個小組．已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26,15,13，同時參加數(shù)學(xué)和物理小組的有6人，同時參加物理和化學(xué)小組的有4人，則同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有多少人？分析：解此類題型最簡便的方法就是用韋恩圖像法.解析：設(shè)單獨加數(shù)學(xué)的同學(xué)為x人，參加數(shù)學(xué)化學(xué)的為y人，單獨參加化學(xué)的為z人．依題意，解得∴同時參加數(shù)學(xué)化學(xué)的同學(xué)有8人，答：同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有8人．2.設(shè)全集是實數(shù)集，函數(shù)的定義域為，，則如圖所示陰影部分所表示的集合是（

）A．B．C．D．分析：本題要注意y的定義域：答案：C詳解：由題意易得，，而陰影部分表示，選C．3.設(shè)全集U=R，，，則右圖中陰影部分表示的集合為（）A.B.C.D.分析：由圖可知所求為，還要注意解,集合時應(yīng)遵循指對運(yùn)算的規(guī)則.答案：B詳解：，因為是增函數(shù)，所以，故，，.陰影部分表示的集合為.======================================================================題型五、創(chuàng)新題型解決此類型題應(yīng)注意：要充分理解題目中給出的新定義.1.對于集合、，定義：，，

設(shè)，，則=

（

）A．B．C．D．分析：創(chuàng)新題型一般都是根據(jù)題中所給的出的式子算出結(jié)果。那么由題意得，，，.A集合所求的是的值域，B集合所求的是的定義域.答案：C詳解：本題考查集合的運(yùn)算由得；由得，則；由得，，由得.故正確答案為C.2.定義集合與的運(yùn)算“*”為:.設(shè)是偶數(shù)集,,則=（）A．B．C．D．分析：整體算上去比較復(fù)雜，所以要分開先計算.答案：詳解：首先求出，的并集再去掉交集即得.同理可得3.定義一個集合的所有子集組成的集合叫做集合的冪集，記為，用表示有限集的元素個數(shù)，給出下列命題：①對于任意集合，都有；②存在集合，使得；③用表示空集，若，則；④若，則；⑤若，則其中正確的命題個數(shù)為（

）A．4B．3C．2D．1分析：已知冪集為子集所組成的集合，表示有限集的元素個數(shù)，那么需要根據(jù)集合的概念和運(yùn)算對命題進(jìn)行分析.答案：B詳解：對于命題①，，因此，命題①正確；對于命題②，若集合的元素個數(shù)為，則集合的子集共個，若，則，解得，命題②錯誤；對于命題③，若，由于，，因此，，所以，則，命題③錯誤；對于命題④，若，對集合的任意子集，即對任意，則，則，因此，命題④正確；對于命題⑤，設(shè)，則，則集合的子集個數(shù)為，即，集合的子集個數(shù)為，即，因此，命題⑤正確，故正確的命題個數(shù)為，選B.======================================================================PS：課后練習(xí)一、選擇題1.下列命題中正確的是（）數(shù)0不能構(gòu)成集合數(shù)0構(gòu)成的集合是0數(shù)0構(gòu)成的集合是數(shù)0構(gòu)成的集合的元素是02..構(gòu)成集合，則中元素的個數(shù)最多是（）A.6B.5C.4D.33.下列表示方法正確的是（）4.集合的所有真子集的個數(shù)為（）A.3B.7C.15D.315.已知方程與的解集分別為A與B，且，則（）A.14B.11C.7D.26.若，則的取值集合為（)B.C.D.設(shè)全集,，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A．B．C．D．設(shè)全集，，，則圖中陰影部分表示的集合為(

)A．B．C．D．9.給定集合,，定義一種新運(yùn)算：,又已知,，則等于（）B.C.D.10.設(shè)P和Q是兩個集合，定義集合，如果，，那么等于()A．B．C．D．11.定義，設(shè)集合，，，則集合的所有元素之和為（）A.3B.9C.18D.27二、填空題1.下列命題正確的是.(1)空集沒有子集.(2)空集是任何一個集合的真子集.(3)任一集合必有兩個或兩個以上子集.(4)若,那么凡不屬于集合的元素,則必不屬于.2.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希⒅赋鍪怯邢藜€是無限集？①由所有非負(fù)奇數(shù)組成的集合；②平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第三象限的點組成的集合；③所有周長等于的三角形組成的集合；④方程的實數(shù)根組成的集合．3.用列舉法表示集合為4．50名學(xué)生參加甲、乙兩項體育活動，每人至少參加了一項，參加甲項的學(xué)生有30名，參加乙項的學(xué)生有25名，則僅參加了一項活動的學(xué)生人數(shù)為________．5.集合，，則=.三、解答題1.已知集合,,要使,求滿足條件的集合P.2.設(shè)集合，，（1）當(dāng)時，