2024屆陜西省紫陽中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末考試模擬試題含解析

2024屆陜西省紫陽中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末考試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．中國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行數(shù)里，請公仔細算相還”.其意思為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地”，請問從第幾天開始，走的路程少于30里（）A．3 B．4 C．5 D．62．集合，則（）A． B． C． D．3．在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共線，則四邊形ABCD為()A．平行四邊形 B．矩形 C．梯形 D．菱形4．是()A．最小正周期為的偶函數(shù) B．最小正周期為的奇函數(shù)C．最小正周期為的偶函數(shù) D．最小正周期為的奇函數(shù)5．已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和圖2所示，為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，按學(xué)段用分層抽樣的方法抽取該地區(qū)的學(xué)生進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的初中生中近視人數(shù)分別為（）A．， B．， C．， D．，6．在中，，，，則（）A． B．或 C．或 D．7．為了了解我校今年準(zhǔn)備報考飛行員的學(xué)生的體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖（如圖），已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為，第2小組的頻數(shù)為12，則抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)是（）A．24 B．48 C．56 D．648．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，為單位圓上一點，以軸為始邊，為終邊的角為，，若將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，則點的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．9．已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，則（）A． B． C． D．10．我國古代著名的周髀算經(jīng)中提到：凡八節(jié)二十四氣，氣損益九寸九分六分分之一；冬至晷長一丈三尺五寸，夏至晷長一尺六寸意思是：一年有二十四個節(jié)氣，每相鄰兩個節(jié)氣之間的日影長度差為分；且“冬至”時日影長度最大，為1350分；“夏至”時日影長度最小，為160分則“立春”時日影長度為A．分 B．分 C．分 D．分二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若在區(qū)間（且）上至少含有30個零點，則的最小值為_____．12．由正整數(shù)組成的數(shù)列，分別為遞增的等差數(shù)列、等比數(shù)列，，記，若存在正整數(shù)（）滿足，，則__________．13．若數(shù)列滿足（）,且，，__.14．“”是“數(shù)列依次成等差數(shù)列”的______條件（填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）.15．兩平行直線與之間的距離為_______．16．已知實數(shù)，是與的等比中項，則的最小值是______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在邊長為2的菱形中，，為的中點.（1）用和表示；（2）求的值.18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，點，過點的直線與圓交于不同的兩點（不在y軸上)．（1）若直線的斜率為3，求的長度；（2）設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值，并求出該定值；（3）設(shè)的中點為，是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．19．設(shè)函數(shù)，定義域為．（1）求函數(shù)的最小正周期，并求出其單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求關(guān)于的方程的解集．20．在中，角，，所對的邊分別為，，，且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面積為，其外接圓的半徑為，求的周長.21．已知，.（1）求的值；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

由題意知，本題考查等比數(shù)列問題，此人每天的步數(shù)構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，由求和公式可得首項，進而求得答案．【題目詳解】設(shè)第一天的步數(shù)為，依題意知此人每天的步數(shù)構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，所以，解得，由，，解得,故選B．【題目點撥】本題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模能力．2、C【解題分析】

先求解不等式化簡集合A和B，再根據(jù)集合的交集運算求得結(jié)果即可.【題目詳解】因為集合，集合或，所以.故本題正確答案為C.【題目點撥】本題考查一元二次不等式，分式不等式的解法和集合的交集運算，注意認真計算，仔細檢查，屬基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】∵＝＋＋＝－8a－2b＝2，與不平行，∴四邊形ABCD為梯形．4、A【解題分析】

將函數(shù)化為的形式后再進行判斷便可得到結(jié)論．【題目詳解】由題意得，∵，且函數(shù)的最小正周期為，∴函數(shù)時最小正周期為的偶函數(shù)．故選A．【題目點撥】判斷函數(shù)最小正周期時，需要把函數(shù)的解析式化為或的形式，然后利用公式求解即可得到周期．5、A【解題分析】

根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論。【題目詳解】由圖1得樣本容量為，抽取的初中生人數(shù)為人，則初中生近視人數(shù)為人，故選．【題目點撥】本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用。6、B【解題分析】

利用正弦定理求出，然后利用三角形的內(nèi)角和定理可求出.【題目詳解】由正弦定理得，得，，，則或.當(dāng)時，由三角形的內(nèi)角和定理得；當(dāng)時，由三角形的內(nèi)角和定理得.因此，或.故選B.【題目點撥】本題考查利用正弦定理和三角形的內(nèi)角和定理求角，解題時要注意大邊對大角定理來判斷出角的大小關(guān)系，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】

根據(jù)頻率分布直方圖可知從左到右的前3個小組的頻率之和，再根據(jù)頻率之比可求出第二組頻率，結(jié)合頻數(shù)即可求解.【題目詳解】由直方圖可知，從左到右的前3個小組的頻率之和為，又前3個小組的頻率之比為，所以第二組的頻率為，所以學(xué)生總數(shù)，故選B.【題目點撥】本題主要考查了頻率分布直方圖，頻率，頻數(shù)，總體，屬于中檔題.8、C【解題分析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，求得點的坐標(biāo)．【題目詳解】為單位圓上一點，以軸為始邊，為終邊的角為，，若將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，則點的橫坐標(biāo)為，點的縱坐標(biāo)為，故點的坐標(biāo)為.故選C.【題目點撥】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，考查基本的運算求解能力．9、A【解題分析】

根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)知：，得到答案.【題目詳解】已知數(shù)列為等比數(shù)列故答案選A【題目點撥】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于簡單題.10、B【解題分析】

首先“冬至”時日影長度最大，為1350分，“夏至”時日影長度最小，為160分，即可求出,進而求出立春”時日影長度為.【題目詳解】解：一年有二十四個節(jié)氣，每相鄰兩個節(jié)氣之間的日影長度差為分，且“冬至”時日影長度最大，為1350分；“夏至”時日影長度最小，為160分．，解得，“立春”時日影長度為：分．故選B．【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，利用等差數(shù)列的性質(zhì)直接求解．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

首先求出在上的兩個零點，再根據(jù)周期性算出至少含有30個零點時的值即可【題目詳解】根據(jù)，即，故，或，∵在區(qū)間（且）上至少含有30個零點，∴不妨假設(shè)（此時，），則此時的最小值為，（此時，），∴的最小值為，故答案為：【題目點撥】本題函數(shù)零點個數(shù)的判斷，解決此類問題通常結(jié)合周期、函數(shù)圖形進行解決。屬于難題。12、262【解題分析】

根據(jù)條件列出不等式進行分析，確定公比、、的范圍后再綜合判斷.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，等差數(shù)列公差為，因為，，所以；又因為，分別為遞增的等差數(shù)列、等比數(shù)列，所以且；又時顯然不成立，所以，則，即；因為，，所以；因為，所以；由可知：，則，；又，所以，則有根據(jù)可解得符合條件的解有：或；當(dāng)時，，解得不符，當(dāng)時，解得，符合條件；則.【題目點撥】本題考查等差等比數(shù)列以及數(shù)列中項的存在性問題，難度較難.根據(jù)存在性將變量的范圍盡量縮小，通過不等式確定參變的取值范圍，然后再去確定符合的解，一定要注意帶回到原題中驗證，看是否滿足.13、1【解題分析】

由數(shù)列滿足，即，得到數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的極限的求法，即可求解．【題目詳解】由題意，數(shù)列滿足，即，又由，，所以數(shù)列的奇數(shù)項構(gòu)成首項為1，公比為，偶數(shù)項構(gòu)成首項為，公比為的等比數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時，可得，當(dāng)為偶數(shù)時，可得．所以．故答案為：1.【題目點撥】本題主要考查了等比數(shù)列的定義，以及無窮等比數(shù)列的極限的計算，其中解答中得出數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成公比為的等比數(shù)列是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．14、必要非充分【解題分析】

通過等差數(shù)列的下標(biāo)公式，得到必要條件，通過舉特例證明非充分條件，從而得到答案.【題目詳解】因為數(shù)列依次成等差數(shù)列，所以根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)公式，可得，當(dāng)，時，滿足，但不能得到數(shù)列依次成等差數(shù)列所以綜上，“”是“數(shù)列依次成等差數(shù)列”的必要非充分條件.故答案為：必要非充分.【題目點撥】本題考查必要非充分條件的證明，等差數(shù)列通項的性質(zhì)，屬于簡單題.15、【解題分析】

先根據(jù)兩直線平行求出，再根據(jù)平行直線間的距離公式即可求出．【題目詳解】因為直線的斜率為，所以直線的斜率存在，，即，解得或．當(dāng)時，，即，故兩平行直線的距離為．當(dāng)時，，，兩直線重合，不符合題意，應(yīng)舍去．故答案為：．【題目點撥】本題主要考查平行直線間的距離公式的應(yīng)用，以及根據(jù)兩直線平行求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

通過是與的等比中項得到，利用均值不等式求得最小值.【題目詳解】實數(shù)是與的等比中項，，解得．則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號．故答案為:．【題目點撥】本題考查了等比中項，均值不等式，1的代換是解題的關(guān)鍵.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)-1【解題分析】

（1）由平面向量基本定理可得：.（2）由數(shù)量積運算可得：，運算可得解.【題目詳解】解：（1）.（2）.【題目點撥】本題考查了平面向量基本定理及數(shù)量積運算，屬基礎(chǔ)題.18、（1）；（2）見解析；（3）見解析【解題分析】

（1）求出圓心O到直線的距離，已知半徑通過勾股定理即可算出弦長的一半，即可算出弦長。（2）設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立圓的方程通過韋達定理化簡即可。（3）設(shè)點，根據(jù)，得，表示出，的關(guān)系，再聯(lián)立直線和圓的方程得到，與k的關(guān)系，代入可解出k，最后再通過有兩個交點判斷即可求出k值?！绢}目詳解】（1）由直線的斜率為3，可得直線的方程為所以圓心到直線的距離為所以（2）直線的方程為，代入圓可得方程設(shè)，則所以為定值，定值為0（3）設(shè)點，由，可得：，即，化得：由（*）及直線的方程可得：，代入上式可得：，可化為：求得：又由（*）解得：所以不符合題意，所以不存在符合條件的直線.【題目點撥】此題考查圓錐曲線，一般采用設(shè)而不求通過韋達定理表示，將需要求解的量用斜率k表示，起到消元的作用，計算相對復(fù)雜，屬于較難題目。19、（1）最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【解題分析】

（1）利用兩角差的余弦公式、二倍角降冪公式以及輔助角公式將函數(shù)的解析式化簡為，由周期公式可得出函數(shù)的最小正周期，由，解出的范圍得出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由，得出，解出該方程可得出結(jié)果.【題目詳解】（1），所以，函數(shù)的最小正周期為，由，得，因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）令，得，或，解得或，因此，關(guān)于的方程的解集為.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)基本性質(zhì)的求解，解題時要將三角函數(shù)解析式利用三角恒等變換思想進行化簡，然后再利用相應(yīng)公式或圖象進行求解，考查分析問題和運算求解能力，屬于中等題.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）由由正弦定理得，進而得到，求得，即可求解；（Ⅱ）由（Ⅰ）和正弦定理，求得，再由余弦定理得，利用三角形的面積公式，求得，進而求得的值，得出三角形的周長.【題目詳解】（Ⅰ）由題意，因為，由正弦定理，得，即，由，得，又由，則，所以，解得，又因為，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，且外接圓的半徑為，由正弦定理可得，解得，由余弦定理得，可得，因為的面積為，解得，所以，解得：，所以的周長.【題目點撥】本題主要考查了三角恒等變換的應(yīng)用，以及正弦定理、余弦定理和三角形的面積