2024屆湖南省湘鋼一中數(shù)學高一下期末調(diào)研模擬試題含解析

2024屆湖南省湘鋼一中數(shù)學高一下期末調(diào)研模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．記動點P是棱長為1的正方體的對角線上一點，記．當為鈍角時，則的取值范圍為()A． B． C． D．2．若都是正數(shù)，則的最小值為().A．5 B．7 C．9 D．133．已知，滿足，則（）A． B． C． D．4．在銳角中ΔABC，角A,B所對的邊長分別為a,b.若2asinA．π12B．π6C．π5．已知實數(shù)，，，則（）A． B． C． D．6．圓x-12+y-3A．1 B．2 C．2 D．37．過點且與直線垂直的直線方程是（）A． B． C． D．8．化簡（）A． B． C． D．9．已知三條相交于一點的線段兩兩垂直且在同一平面內(nèi)，在平面外、平面于，則垂足是的（）A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心10．已知集合，則().A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在直角坐標系中，已知任意角以坐標原點為頂點，以軸的非負半軸為始邊，若其終邊經(jīng)過點，且，定義：，稱“”為“的正余弦函數(shù)”，若，則_________．12．函數(shù)，的值域為________13．已知，且為第三象限角，則的值等于______；14．在數(shù)列中，按此規(guī)律，是該數(shù)列的第______項15．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則為______三角形．16．若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也為等差數(shù)列，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，若正項數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列_________也是等比數(shù)列.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，求函數(shù)的值域.18．已知函數(shù)，且．（1）求的值；（2）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．19．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，與交于點，，分別為，的中點.（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求證：∥平面；（Ⅲ）求證：平面.20．已知函數(shù)，為實數(shù)．（1）若對任意，都有成立，求實數(shù)的值；（2）若，求函數(shù)的最小值．21．已知函數(shù)，其中．（1）當時，求的最小值；（2）設(shè)函數(shù)恰有兩個零點，且，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

建立空間直角坐標系，利用∠APC不是平角，可得∠APC為鈍角等價于cos∠APC＜0，即

，從而可求λ的取值范圍．【題目詳解】

由題設(shè)，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，

則有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），（0，0，1）

∴

=（1，1，-1），∴

=（λ，λ，-λ），

∴

=

+

=（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1）

=

+

=（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1）

顯然∠APC不是平角，所以∠APC為鈍角等價于cos∠APC＜0

∴

∴（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）（λ-1）=（λ-1）（3λ-1）＜0，得

＜λ＜1

因此，λ的取值范圍是（

，1），故選B.

點評：本題考查了用空間向量求直線間的夾角，一元二次不等式的解法，屬于中檔題．2、C【解題分析】

把式子展開，合并同類項，運用基本不等式，可以求出的最小值.【題目詳解】因為都是正數(shù)，所以，（當且僅當時取等號），故本題選C.【題目點撥】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了數(shù)學運算能力.3、A【解題分析】

根據(jù)對數(shù)的化簡公式得到,由指數(shù)的運算公式得到=，由對數(shù)的性質(zhì)得到>0,，進而得到結(jié)果.【題目詳解】已知,=,>0,進而得到.故答案為A.【題目點撥】本題考查了指對函數(shù)的運算公式和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；比較大小常用的方法有：兩式做差和0比較，分式注意同分，進行因式分解為兩式相乘的形式；或者利用不等式求得最值，判斷最值和0的關(guān)系.4、D【解題分析】試題分析：∵2a考點：正弦定理解三角形5、C【解題分析】

先得出，，，然后利用在上的單調(diào)性即可比較出的大小.【題目詳解】因為所以，，因為且在上單調(diào)遞增所以故選：C【題目點撥】利用函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值大小的時候，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi).6、C【解題分析】

先計算圓心到y(tǒng)軸的距離，再利用勾股定理得到弦長.【題目詳解】x-12+y-32=2圓心到y(tǒng)軸的距離d=1弦長l=2r故答案選C【題目點撥】本題考查了圓的弦長公式，意在考查學生的計算能力.7、D【解題分析】

由已知直線方程求得直線的斜率，再根據(jù)兩直線垂直，得到所求直線的斜率，最后用點斜式寫出所求直線的方程.【題目詳解】已知直線的斜率為：因為兩直線垂直所以所求直線的斜率為又所求直線過點所以所求直線方程為：即：故選：D【題目點撥】本題主要考查了直線與直線的位置關(guān)系及直線方程的求法，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】

減法先變?yōu)榧臃?，利用向量的三角形法則得到答案.【題目詳解】故答案選A【題目點撥】本題考查了向量的加減法，屬于簡單題.9、D【解題分析】

根據(jù)題意，結(jié)合線線垂直推證線面垂直，以及根據(jù)線面垂直推證線線垂直，即可求解?！绢}目詳解】連接BH，延長BH與AC相交于E，連接AH，延長AH交BC于D，作圖如下：因為，故平面PBC，又平面PBC，故；因為平面ABC，平面ABC，故；又平面PAH，平面PAH故平面PAH，又平面PAH，故，即；同理可得：，又BE與AD交于點H，故H點為的垂心.故選：D.【題目點撥】本題考查線線垂直與線面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，屬綜合中檔題.10、B【解題分析】

求解一元二次不等式的解集，化簡集合的表示，最后運用集合交集的定義，結(jié)合數(shù)軸求出.【題目詳解】因為，所以，故本題選B.【題目點撥】本題考查了一元二次不等式的解法，考查了集合交集的運算，正確求解一元二次不等式的解集、運用數(shù)軸是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】試題分析：根據(jù)正余弦函數(shù)的定義，令，則可以得出，即.可以得出，解得，.那么，，所以故本題正確答案為.考點：三角函數(shù)的概念.12、【解題分析】

先求的值域,再求的值域即可.【題目詳解】因為,故,故.故答案為：【題目點撥】本題主要考查了余弦函數(shù)的值域與反三角函數(shù)的值域等,屬于基礎(chǔ)題型.13、【解題分析】

根據(jù)條件以及誘導公式計算出的值，再由的范圍計算出的值，最后根據(jù)商式關(guān)系：求得的值.【題目詳解】因為，所以，又因為且為第三象限角，所以，所以.故答案為：.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)中的給值求值問題，中間涉及到誘導公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，難度一般.三角函數(shù)中的求值問題，一定要注意角的范圍，避免出現(xiàn)多解.14、【解題分析】

分別求出，，，結(jié)果構(gòu)成等比數(shù)列，進而推斷數(shù)列是首相為2，公比為2的等比數(shù)列，進而求得數(shù)列的通項公式，再由求得答案．【題目詳解】，，，依此類推可得，，，即.，解得.故答案為：7.【題目點撥】本題考查利用數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式，求解的關(guān)鍵在于推斷是等比數(shù)列，再用累加法求得數(shù)列的通項公式，考查邏輯推理能力和運算求解能力.15、等腰或直角【解題分析】

根據(jù)正弦定理化簡得到，得到，故或，得到答案.【題目詳解】利用正弦定理得到：，化簡得到即故或故答案為等腰或直角【題目點撥】本題考查了正弦定理和三角恒等變換，漏解是容易發(fā)生的錯誤.16、【解題分析】

利用類比推理分析，若數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當時，數(shù)列也是等比數(shù)列．【題目詳解】由數(shù)列是等差數(shù)列，則當時，數(shù)列也是等差數(shù)列．類比上述性質(zhì)，若數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當時，數(shù)列也是等比數(shù)列．故答案為：【題目點撥】類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）由二倍角公式將表達式化一得到，，令，得到單調(diào)區(qū)間；（2）時，，根據(jù)第一問的表達式得到值域.詳解：（1）由令得：所以，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（2）當時，所以，函數(shù)的值域是：.點睛：本題求最值利用三角函數(shù)輔助角公式將函數(shù)化為的形式，利用三角函數(shù)的圖像特點得到函數(shù)的值域.18、（1）；（2）最小正周期為,單調(diào)遞增區(qū)間為，.【解題分析】

（1）因為，所以，化簡解方程即得．（2）由（1）可得求出函數(shù)的最小正周期，再利用復合函數(shù)和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間得解.【題目詳解】解：（1）因為，所以，所以，即，解得．（2）由（1）可得，則的最小正周期為．令，，解得，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，．【題目點撥】本題主要考查三角恒等變換和三角求值，考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析【解題分析】

（I）通過證明平面來證得平面平面.（II）取中點，連接，通過證明四邊形為平行四邊形，證得，由此證得∥平面.（III）通過證明平面證得，通過計算證明證得，由此證得平面.【題目詳解】證明：（Ⅰ）因為平面，所以.因為，，所以平面.因為平面，所以平面平面.（Ⅱ）取中點，連結(jié)，因為為的中點所以，且.因為為的中點，底面為正方形，所以，且.所以，且.所以四邊形為平行四邊形.所以.因為平面且平面，所以平面.（Ⅲ）在正方形中，，因為平面，所以.因為，所以平面.所以.在△中，設(shè)交于.因為，且分別為的中點，所以.所以.設(shè)，由已知，所以.所以.所以.所以，且為公共角，所以△∽△.所以.所以.因為，所以平面.【題目點撥】本小題主要考查線面垂直、面面垂直的證明，考查線面平行的證明，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)二次函數(shù)的解析式寫出對稱軸即可；（2）根據(jù)對稱軸是否在定義域內(nèi)進行分類討論，由二次函數(shù)的圖象可分別得出函數(shù)的最小值．【題目詳解】（1）對任意，都有成立，則函數(shù)的對稱軸為，即，解得實數(shù)的值為．（2）二次函數(shù)，開口向上，對稱軸為①若，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，的最小值為；②若，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，的最小值為；③若，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值為；綜上可得:【題目點撥】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，應(yīng)用了分類討論的思想，屬于中檔題．21、(1)；(2)【解題分析】

（1）當時，利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得到函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最小值；（2）分段討論討論函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)的根的個數(shù)，函數(shù)在時，至多有一個零點，函數(shù)在時，可能僅有一個零點，可能有兩個零點，分別求出的取值范圍，可得解．【題目詳解】（1）當時，函數(shù)，當時，，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上為增函數(shù)，且；當時，，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，又由函數(shù)，當時，函數(shù)取得最小值為；故當時，最小值為．（2）因為函數(shù)恰有兩個零點，所以（?。┊敃r，函數(shù)有一個零點，令得，因為時，，所以時，函數(shù)有一個零點，設(shè)零點為且，此時需函數(shù)在時也恰有一個零點，令，即，得，令，設(shè)，，因為，所以，，，當時，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增；當時，，所以，即，所以在上單調(diào)遞減；而當時，，又時，，所以要使在時恰有一個零點，則需，要使函數(shù)恰有兩個零點，且，設(shè)在時的零點為，則需，而當時，，所以當時，函數(shù)恰有兩