函數(shù)的奇偶性+第1課時 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第一冊

3.1.3函數(shù)的奇偶性新授課3.1函數(shù)的概念與性質(zhì)第1課時1.了解函數(shù)奇偶性的概念和幾何意義2.能判斷具體函數(shù)的奇偶性問題1：請寫出點(diǎn)(x,y)分別關(guān)于y軸、x軸、原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo).問題2：填寫下表，觀察自變量之間的對稱關(guān)系，并回答當(dāng)自變量互為相反數(shù)時，函數(shù)值具備什么關(guān)系？x-3-2-112314911149當(dāng)自變量互為相反數(shù)時，函數(shù)值相等知識點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性上述兩個函數(shù)，當(dāng)自變量取互為相反數(shù)的兩個值x和-x時，對應(yīng)的函數(shù)值相等，即

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D,如果對D內(nèi)的任意一個x,都有-x∈D,且則稱y=f(x)為偶函數(shù).f(-x)=f(x),自然語言描述：函數(shù)f(x)的自變量取互為相反數(shù)的兩個值時，對應(yīng)的函數(shù)值相等思考：如果y=f(x)是偶函數(shù)，其圖像具有什么特征呢？圖像關(guān)于y軸對稱的函數(shù)一定是偶函數(shù).偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱；偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱問題3：

和

在自變量取互為相反數(shù)的兩個值時,對應(yīng)的函數(shù)值有什么特點(diǎn)？當(dāng)自變量互為相反數(shù)時，函數(shù)值互為相反數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D,如果對D內(nèi)的任意一個x,都有-x∈D,則稱y=f(x)為奇函數(shù).且f(-x)=-f(x),點(diǎn)P(x,f(x))與Q(-x,f(-x))都是函數(shù)y=f(x)圖像上的點(diǎn)，如果y=f(x)是奇函數(shù)，則點(diǎn)Q又可以寫成Q(-x,-f(x)),反之，結(jié)論也成立，即圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)一定是奇函數(shù).因此點(diǎn)P和點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱；O1y1x奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱思考：所有函數(shù)都具有奇偶性嗎？

如果一個函數(shù)是偶函數(shù)或是奇函數(shù),則稱這個函數(shù)具有奇偶性.一個函數(shù)的奇偶性有四種可能：奇函數(shù)可以看出,當(dāng)n是正整數(shù)時,函數(shù)f(x)=x是偶函數(shù),函數(shù)g(x)=x2是奇函數(shù).非奇非偶函數(shù)既奇又偶函數(shù)偶函數(shù)例1

判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性：解：(1)因為函數(shù)的定義域為R,所以x∈R時，-x∈R.（1）f(x)=x+x3+x5；（2）f(x)=x2+1；所以函數(shù)f(x)=x+x3+x5是奇函數(shù).又因為f(-x)=(-x)+(-x)3+(-x)5=-(x+x3+x5)=-f(x)，(2)因為函數(shù)的定義域為R,所以x∈R時，-x∈R.所以函數(shù)f(x)=x2+1是偶函數(shù).又因為f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x)，（3）f(x)=x+1；（4）f(x)=x2，x∈[-1,3].例1

判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性：(3)因為函數(shù)的定義域為R,所以x∈R時，-x∈R.（3）f(x)=x+1；（4）f(x)=x2，x∈[-1,3].所以函數(shù)f(x)=x+1是非奇非偶函數(shù).又因為f(-1)=0，f(1)=2，(4)因為函數(shù)的定義域為[-1,3],而3∈[-1,3]，但-3?[-1,3],所以函數(shù)f(x)=x2，x∈[-1,3]是非奇非偶函數(shù).所以f(-1)≠-f(1)且f(-1)≠f(1)，判斷函數(shù)奇偶性的一般步驟:1.觀察函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，如果不對稱，就是非奇非偶函數(shù)；

2.如果對稱，根據(jù)的f(x)表達(dá)式計算f(-x)的表達(dá)式，然后在觀察上述兩個表達(dá)式關(guān)系的基礎(chǔ)上做出判斷.總結(jié)歸納下列函數(shù)具有奇偶性的是()A．f(x)=x-1 B．C．f(x)＝x2 D．f(x)＝x2＋2x＋1C練一練思考：（1）函數(shù)f(x)和g(x)的定義域相同，且都是偶函數(shù)，判斷函數(shù)f(x)+g(x)、f(x)-g(x)、f(x)g(x)的奇偶性.（2）函數(shù)f(x)和g(x)的定義域相同，且都是奇函數(shù)，f(x)+g(x)、f(x)-g(x)、f(x)g(x)的奇偶性何函數(shù)？（3）函數(shù)f(x)和g(x)的定義域相同，且一個是奇函數(shù)，一個是偶函數(shù)，f(x)g(x)的奇偶性又如何函數(shù)？較復(fù)雜的函數(shù)奇偶性判斷(1)偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù)；(2)奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù);(3)奇(偶)數(shù)個奇函數(shù)的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù)；(4)一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積為奇函數(shù).總結(jié)歸納例2

已知奇函數(shù)f(x)的定義域為D,且0∈D,求證：f(0)=0解：因為f