定積分的概念

高等數(shù)

學定積分的概念一、定積分的思想二、定積分的定義三、定積分的幾何意義引例：求面積求規(guī)則圖形的面積S不規(guī)則的土地面積測量引例：求面積湖南省的面積1.曲邊梯形的概念曲邊梯形的概念引例：求面積2、曲邊梯形的面積

問題：如何求曲邊梯形的面積？曲邊梯形：由圍成的圖形其中,且在上連續(xù).引例：求面積未知/復雜情形已知/簡單情形特殊化7引例：求面積如何減小誤差？未知/復雜情形已知/簡單情形還原8引例：求面積abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個小矩形）（九個小矩形）伯鵑訛辣霖囤肯府撬腹咳未剁胰然尖觸灑禿睹隆史咕歌鎊轅撣肄刊繞坐飄A5-1定積分的概念與性質(zhì)A5-1定積分的概念與性質(zhì)引例：求面積Step1大化小步驟在a,b之間任意插入n-1個分點把區(qū)間[a,b]分成

n個小區(qū)間記區(qū)間

10(分割)引例：求面積Step2直代曲步驟在每個小區(qū)間即11(取近似)引例：求面積小矩形面積之和作為曲邊梯形面積的近似值，即Step3求和式步驟12引例：求面積

如何簡化？現(xiàn)象：底邊越小，矩形面積越接近曲邊梯形面積.

如何求出A的精確值？13=引例：求面積趨近于零時，曲邊梯形的面積為當分割無限加細時,即小區(qū)間的最大長度步驟Step4求極限14引例：求面積求曲邊梯形面積的思想：“分割、取近似、求和、取極限”是一個“化整為零，積零為整”的過程。15引例：求面積實際問題2（求變速直線運動的路程）設(shè)某物體作直線運動，已知速度是時間t

的一個連續(xù)函數(shù).內(nèi)所經(jīng)過的路程.變速直線運動特殊化勻速直線運動還原思路：16求物體在時間間隔“分割、取近似、求和、取極限”引例：求路程某時刻的速度Step1大化小Step2勻代變Step3求和式Step4取極限步驟17引例：求路程2.變速直線運動的路程：1.曲邊梯形的面積：上述兩個問題的共性:

解決問題的思想相同:“分割,取近似,求和,取極限”

所求量的數(shù)學模型相同:特殊和式的極限---定積分思想---定積分18引例：求面積與路程，即那么稱極限I為函數(shù)f(x)

設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界，若對[a,b]的任一種分法定義：任取并作乘積得和式如果當總有在[a,b]上的定積分，記為19這里記定積分的定義積分和被積函數(shù)被積表達式積分上限積分下限積分變量定積分的定義定積分的定義（1）定積分

f(x)dx

=b ba af

(u)du

，例如：31102102

x dx

u

du

．

banf

(x)dx

表示的是一個和式

f

(

i

)

xi

的極限，是一個確i

1定的數(shù)值，這個數(shù)只與被積函數(shù)

f

(x)

和積分區(qū)間[a,

b]

有關(guān)，而與積分變量所選取用什么字母表示無關(guān)，即定義說明定積分的定義定義說明

ba=

f

(x)dx

abf

(x)dx；當 時，

aaf(x)dx

0．（2）在定積分的定義中，積分下限a

是小于積分上限b

的，為了以后計算和應用方便，作如下規(guī)定：

當

a

b

時，a

b定積分的定義

baf(x)dx

．由曲線

y

f

(x)（

f

(x)

0

），直線

x

a

，

x

b

及

x

軸圍成的曲邊梯形的面積

A

，用定積分可表示為

A

=由定義可知:引例1和引例2可用定義表示如下物體以速度v

v(t)（

v(t)

0

）作直線運動，從時刻t

T1

到時刻t

T2

1T2Tv(t)dt

．所經(jīng)過的路程s

用定積分可表示為s

=定積分的幾何意義分

baf

(x)dx

baf

(x)dxA= ．若

f(x)

在區(qū)間[a,

b]

上連續(xù)，當

f

(x)

0

時，定積在幾何上表示的是由曲線

y

f

(x)

，直線x

a

，

x

b

及

x

軸圍成的曲邊梯形的面積A

，

即的下方，

baf

(x)dx在幾何上表示相應曲邊梯形面積的相反數(shù)，即

baf

(x)dx= ．當

f

(x)

0

時，如圖所示，曲邊梯形位于x

軸Aaby

f(

x)定積分的幾何意義

baf

(x)dx在幾何上表示

軸上方圖形的

baf(x)dx

A1

A2

A3

A4

．當

f

(x)

在區(qū)間[a,

b]

上有正有負時，x面積減去

x

軸下方圖形的面積．如圖所示，有定積分的幾何意義定積分幾何意義的應用例 1 利用定積分的幾何意義求定積分：

ba2dx

（

a

b

）.由定積分的幾何意義可知

ba2dx

=

A

2(b

a)

.定積分的概念 定積分的幾何意義