工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)課件

第四無窮小量與第四無窮小量與無窮大無窮小量及其無窮小的等價(jià)代無窮大３,４(3)(4),6（6）7習(xí)題習(xí)題無窮小量及其1、無窮小量的概定義4.1（無窮小量及其1、無窮小量的概定義4.1（無窮小量當(dāng)xx0x)時(shí)以零為極限的函數(shù)x)稱為當(dāng)xx0x)的無窮小量.簡稱為無窮小例如:當(dāng)x時(shí)1exx2x3sin又lim10,1是當(dāng)x時(shí)的無窮小xx注無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)2、無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系limf2、無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系limf(x)Af(x)A(定理x其中x)是當(dāng)xx0時(shí)的無窮小limf(x)x證limf(x)A令xf(x)xf(x)A(x)是xx0時(shí)的無窮小3.無窮小的運(yùn)算性定理自變量相同變化趨勢的無窮小量有如下性質(zhì)有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和是無窮小3.無窮小的運(yùn)算性定理自變量相同變化趨勢的無窮小量有如下性質(zhì)有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和是無窮小設(shè)ix)(i1,k)是無窮limix)0(i1,kkki(由極限四則運(yùn)算法則，知(0iikkilimi(lim(iii注無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和未必是無窮nnn例如n時(shí)n定理有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小設(shè)x)是當(dāng)xx0時(shí)的無窮小f是在x0處局部有界的函數(shù)，則x)fx)是當(dāng)x定理有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小設(shè)x)是當(dāng)xx0時(shí)的無窮小f是在x0處局部有界的函數(shù)，則x)fx)是當(dāng)xx0時(shí)的無窮小.由已知，f在x0處是局部有界的證故M0,10,使當(dāng)0x1時(shí),恒有fx)M又是當(dāng)xx0時(shí)的無窮小0,時(shí),恒有x0,使當(dāng)0.202M時(shí),x則當(dāng)0min{1,2Mf當(dāng)xx時(shí),f為無窮小f0M例 當(dāng)x時(shí),xsin1x2arctan都是無窮小xx兩個(gè)無窮小的商是否也是無窮小呢？不一定例如x時(shí)xx2sinxx兩個(gè)無窮小的商是否也是無窮小呢？不一定例如x時(shí)xx2sinxx2sin1都是無窮小x3xx但2x3sinxsinlim xlimsinx不存在xxxxx上述情反映了不同無窮小趨于0的“快慢”程度不同為刻畫不同無窮小趨于0的“速度”，人們引入窮小階的概念定義4.2(無窮小的設(shè)是同一過程中的兩個(gè)無窮小,且定義4.2(無窮小的設(shè)是同一過程中的兩個(gè)無窮小,且(1)若lim0,稱是比高階的無窮小,記作o((2)若limC(C0),稱與是同階的無窮小(3)若lim1,稱與是等價(jià)的無窮小,記作~(4)若limC(C0,k0),稱是的k階無窮小特別地，若(C(C0，kxx0(x0稱是xx0時(shí)的k階無窮小證明:當(dāng)x0時(shí),4xtan3x為x的四階無窮小例lim4x證明:當(dāng)x0時(shí),4xtan3x為x的四階無窮小例lim4xtan3xtan證34x)4xxx故當(dāng)x0時(shí),4xtan3x為x的四階無窮小設(shè)x)與x)是等價(jià)無窮小，證明o(例limlim即o(于是o(當(dāng)x0時(shí)容易證明sinx當(dāng)x0時(shí)容易證明sinxxo(tanxxo(由例2ln(1x)xo(ex1xo(cosx11x2o(x22sinx~ arcsinx~ tanx~arctanx~x, ln(1x)~x, ex1~x,1cosx~1x2，n1x1~1x 無窮小的等價(jià)代定理4.4(無窮小的等價(jià)代換定理設(shè),,都是自變量有相同變化趨勢的無窮小若~無窮小的等價(jià)代定理4.4(無窮小的等價(jià)代換定理設(shè),,都是自變量有相同變化趨勢的無窮小若~~且lim存在,則limlimlimlim()limlimlimlim證limtan22lim(2例 1x01cos2當(dāng)x0時(shí),1cosx~1x2tan2x~22求limtanxsinx例sin32當(dāng)x0時(shí)tanx~求limtanxsinx例sin32當(dāng)x0時(shí)tanx~sinx~錯(cuò)(2sin2x~2解當(dāng)x0時(shí)tanxsinxtanx(1cosx)~1x321x312原式(2注意對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換limtan5xcosx1例sin3xlimtan5xlimcosx1.解sin3sin3limtan5xcosx1例sin3xlimtan5xlimcosx1.解sin3sin31553lim .3x031tanx1x21)例tanxsin1tanx11x1原式lim lim3 解x12x0tanx1cos3無窮大絕對值無限增大的變量稱為無窮大量.簡稱無窮大limf無窮大絕對值無限增大的變量稱為無窮大量.簡稱無窮大limf(x)xM0,0,0limf(x)時(shí)xf(x)M0,0,當(dāng)X，fx)其它情形f(x)(,)limf(x)(,)f(x)(,),f(x)(,)xx00無窮小與無窮大的關(guān)定理在自變量的相同無窮小與無窮大的關(guān)定理在自變量的相同變化趨勢下，有下述結(jié)論1(1)若fx)是無窮小量fx0，是無窮大f(1(2)若fx)是無窮大量是無窮小量f(有了這個(gè)定理關(guān)于無窮大的討論歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論f(x)設(shè)limfx0,證xMf(x)設(shè)limfx0,證xM0,0,使得當(dāng)0x11f(x)fx)恒,M從Mf(1當(dāng)xx時(shí)為無窮大0f(同理可證（2）（3）（4）注意兩個(gè)無窮大量的代數(shù)和不一定是無窮大量無窮大量與有界量的乘積不一定是無窮大量如limfx,則直xx0是函如limfx,則直xx0是函定xyf(x).yf(例如limx1)sinxxOx0yf(x1sinx所以x1是曲線y小1、無窮小與無窮大是相對小1、無窮小與無窮大是相對于過程而言的無窮?。ù螅┦亲兞?不能與很?。ù螅┑幕煜闶俏ㄒ坏臒o窮小的數(shù)3、無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮無界變量未必是無窮大5、無窮小的比較高(低)階無窮小等價(jià)無窮小無窮小的階6、無窮小的等價(jià)代換可使所求極限變得簡單而易計(jì)算但應(yīng)注意適用條件思考1、任何兩個(gè)無窮小量都可以比較階嗎解不思考1、任何兩個(gè)無窮小量都可以比較階嗎解不是的xf(x)1g(x)sin都是無窮小xxg(x)limsin但不存在且不為無窮f(xfx)和gx)不能比較y1sin2、無界變量是無窮大量例如,當(dāng)x時(shí),fx)xsin是一個(gè)無界變量y1sin2、無界變量是無窮大量例如,當(dāng)x時(shí),fx)xsin是一個(gè)無界變量,但不是無窮大xx111一方面，M0,xk(k2k2當(dāng)kM22fxk2k2M所以f10,另一方面,0k10 當(dāng)k時(shí)k但fxk2ksin0M0f不是無窮大3fx0，limf(x)3fx0，limf(x)問：能否保證有A0的結(jié)論？試舉例說明解不能保證f(x)f(x)1x例x有xlimf(x)lim1Ax4、無窮多個(gè)無窮小的乘