第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分

PAGEPAGE24第4章數(shù)值積分與數(shù)值微分§1數(shù)值積分的基本概念與基本方法一、問(wèn)題的提出在數(shù)學(xué)分析中，計(jì)算定積分的基本方法是求的原函數(shù)，根據(jù)牛頓—萊布尼茲公式求出定積分的值。然而，在科學(xué)或工程計(jì)算中，可能遇到下述不能或不宜用牛頓—萊布尼茲公式求定積分的問(wèn)題：（1）被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示如，或被積函數(shù)很復(fù)雜，求原函數(shù)困難.（2）問(wèn)題中需要計(jì)算許多次被積函數(shù)或積分區(qū)間不同的定積分.（3）問(wèn)題中被積函數(shù)的表達(dá)式是未知的，而只能通過(guò)測(cè)量或?qū)嶒?yàn)等方式得到一些離散點(diǎn)處的函數(shù)值。基于上述原因，需要研究數(shù)值積分方法。數(shù)值積分的近似公式其中僅依賴于節(jié)點(diǎn)而與無(wú)關(guān)。二、有關(guān)求積公式的幾個(gè)概念1．代數(shù)精度由于性態(tài)良好的函數(shù)（高階光滑）可以用多項(xiàng)式近似，因此，可以用求積公式對(duì)多項(xiàng)式的計(jì)算精度來(lái)衡量公式的質(zhì)量。定義1如果某個(gè)求積公式對(duì)于次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式都能精確成立，但對(duì)于次多項(xiàng)式不精確成立，則稱該求積公式具有次代數(shù)精度。代數(shù)精度高的求積公式，意味著在不考慮輸入數(shù)據(jù)以及計(jì)算過(guò)程的舍入誤差的情況下，可以得到高精度的計(jì)算結(jié)果。2．求積公式的收斂性定義2在求積公式中，若其中，則稱求積公式是收斂的。3．求積公式的穩(wěn)定性一個(gè)求積公式是數(shù)值穩(wěn)定的，是指當(dāng)輸入數(shù)據(jù)的誤差很小時(shí)，輸出數(shù)據(jù)的誤差也很小。三、插值型求積公式給定一組節(jié)點(diǎn)，設(shè)在這些節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為已知。如果被積函數(shù)用插值多項(xiàng)式近似，即其中為L(zhǎng)agrange插值基函數(shù)。對(duì)上式兩邊積分，得求積公式式中。稱上述求積公式為插值型公式。定理1具有個(gè)插值節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式其中，為L(zhǎng)agrange插值基函數(shù)，至少具有次代數(shù)精度。下面的定理給出了插值型求積公式數(shù)值穩(wěn)定的一個(gè)充分條件。定理2若插值型求積公式中系數(shù)，則此求積公式是數(shù)值穩(wěn)定的?！?牛頓——科特斯公式一、科特斯（Cotes）系數(shù)將區(qū)間分為等分，步長(zhǎng)，選取等距節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造插值型求積公式上述公式稱為牛頓——科特斯公式，稱為科特斯系數(shù)。科特斯系數(shù)滿足（1）當(dāng)時(shí)，上述公式稱為梯形公式（2）當(dāng)時(shí)，上述公式稱為辛普森公式（3）當(dāng)時(shí)，上述公式稱為科特斯公式這里。當(dāng)時(shí)，科特斯系數(shù)有正有負(fù)，計(jì)算不穩(wěn)定，因此的牛頓—科特斯公式是不用的。從另一個(gè)角度看，由于高次插值多項(xiàng)式可能出現(xiàn)龍格現(xiàn)象，不能保證計(jì)算精度。那么，從代數(shù)精度的角度，應(yīng)采用高次插值多項(xiàng)式，而從求積公式的數(shù)據(jù)穩(wěn)定性的角度，應(yīng)采用低次多項(xiàng)式插值，兩者是否矛盾？事實(shí)上，代數(shù)精度是在不考慮計(jì)算過(guò)程的誤差的情況下衡量求積公式的質(zhì)量的，但計(jì)算過(guò)程中必然有誤差，選擇算法必須在滿足精度的前提下考慮計(jì)算速度。三、幾種低階求積公式的余項(xiàng)1、梯形公式的余項(xiàng)注意到在上非正（保號(hào)），應(yīng)用積分第二中值定理即得。2、辛普森公式的余項(xiàng)為了研究辛普森公式的余項(xiàng)，根據(jù)在三點(diǎn)處的函數(shù)值構(gòu)造次數(shù)不超過(guò)3的多項(xiàng)式，使等于用辛普森公式計(jì)算出的函數(shù)的積分值（近似值）。為此，令，構(gòu)造滿足其中條件是為了使余項(xiàng)出現(xiàn)，滿足保號(hào)條件。由于辛普森公式具有3次代數(shù)精度（偶數(shù)階牛頓——科特斯公式），它對(duì)求積是精確的（這是構(gòu)造的原因），即而，（是的二重根）故注意到在上不變號(hào)，由積分第二中值定理可得。3、科特斯公式的余項(xiàng)?！?復(fù)化求積公式上節(jié)已經(jīng)指出高階牛頓——科特斯公式是不穩(wěn)定的，因此，不能通過(guò)提高插值函數(shù)的階的方法提高求積精度。為了提高精度，用分段低次插值函數(shù)作為被積函數(shù)的近似函數(shù)，這樣建立的求積公式稱為復(fù)化求積公式。最常用的復(fù)化求積公式是復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普森公式。一、復(fù)化梯形公式將分成個(gè)長(zhǎng)度相等的小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為，分點(diǎn)的坐標(biāo)為，則在每個(gè)子區(qū)間上，用線性插值，得所以上述求積公式稱為復(fù)化梯形公式。其余項(xiàng)為假設(shè),則由介值定理，存在，使，從而。可以看出。2、復(fù)化辛普森公式將子區(qū)間二等分，記中點(diǎn)為，在子區(qū)間上使用二次插值，得余項(xiàng)為可以看出。此外，由于中求積系數(shù)均為正數(shù)，故復(fù)化辛普森公式是數(shù)值穩(wěn)定的。為了用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)方便，通常將分成等分，可以寫出與上面類似的辛普森公式?！?隆貝格求積公式復(fù)化求積公式的兩難：（1）步長(zhǎng)取得太大，精度難以保證；（2）步長(zhǎng)太小，則計(jì)算量太大，有時(shí)不必要。解決思路：采用變步長(zhǎng)方法。即在步長(zhǎng)逐步分半的過(guò)程中，反復(fù)使用復(fù)化求積公式，直到所得的積分值滿足精度要求為止。一、梯形法的遞推化將區(qū)間進(jìn)行等分，設(shè)節(jié)點(diǎn)為，，則梯形法求積公式為再將每一個(gè)子區(qū)間二等分，記相應(yīng)的中點(diǎn)為，則此時(shí)梯形法求積公式為于是有遞推公式。注意：上述遞推公式中不變。二、隆貝格算法梯形法較簡(jiǎn)單，但精度較差，收斂速度慢。下面考察梯形法、辛普森法和科特斯法，當(dāng)步長(zhǎng)減半時(shí)誤差的變化情況。即，當(dāng)減半時(shí)，梯形法、辛普森法和科特斯法的誤差大致上分別減至原有誤差的和。由上述討論，可得移項(xiàng)整理可得說(shuō)明當(dāng)很小時(shí)，也很小。因此，實(shí)踐中常給定計(jì)算精度，用作為停止計(jì)算的準(zhǔn)則。進(jìn)一步，由于可以期望，用計(jì)算積分值可能得到更好的結(jié)果。定理4梯形法二分后的兩個(gè)積分值的線性組合等于辛普森法積分值，即.用同樣方法，依據(jù)科特斯公式可導(dǎo)出隆貝格公式：在變步長(zhǎng)過(guò)程中，應(yīng)用上述公式，就能將粗糙的梯形公式逐步加工成精度較高的辛普森公式、科特斯公式和隆貝格公式。三、理查德外推法理查德外推法是一種用精度較低的近似公式組合成精度較高的近似公式的方法，在數(shù)值計(jì)算的許多問(wèn)題中都有應(yīng)用。將區(qū)間等分后，設(shè)子區(qū)間的長(zhǎng)度為，用梯形法計(jì)算的積分值記為。定理5設(shè)，則有（1）其中，系數(shù)與無(wú)關(guān)。利用公式（1），可得（2）記，則（消去了項(xiàng)）（3）其中也與無(wú)關(guān)。由（3）得（4）記，則又可消去項(xiàng)，得如此進(jìn)行下去，每加速一次，誤差的量級(jí)便提高2階。一般地，記，則有遞推公式上述方法稱為理查德外推加速法。以表示二分后的梯形值，