導數(shù)運算函數(shù)差積商

第5章導數(shù)及其應用INNOVATIVEDESIGN5.2.2函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系微信fjmath加入百度網盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉存，自動更新，永不過期課標要求能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則，求簡單函數(shù)的導數(shù).素養(yǎng)要求在利用導數(shù)的運算法則求函數(shù)的導數(shù)的過程中，發(fā)展學生的數(shù)學運算素養(yǎng).問題導學預習教材必備知識探究內容索引互動合作研析題型關鍵能力提升拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達成WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU問題導學預習教材必備知識探究11.思考令y＝f(x)＋g(x)，如何求該函數(shù)的導數(shù)？2.填空設兩個函數(shù)f(x)，g(x)可導，則f′(x)＋g′(x)f′(x)－g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)3.做一做

(多選)下列求導運算正確的是(

)BCHUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANMENGLITISHENG互動合作研析題型關鍵能力提升2例1

求下列函數(shù)的導數(shù).題型一利用導數(shù)運算法則求函數(shù)的導數(shù)解

法一可以先展開后再求導：y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝18x2＋4x－3.法二可以利用乘法的求導法則進行求導：y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3.利用導數(shù)運算法則的策略(1)分析待求導式子符合哪種求導法則，每一部分式子是由哪種基本初等函數(shù)組合成的，確定求導法則、基本公式.(2)如果求導式比較復雜，則需要對式子先變形再求導，常用的變形有乘積式展開變?yōu)楹褪角髮?，商式變乘積式求導，三角函數(shù)恒等變換后求導等.(3)利用導數(shù)運算法則求導的原則是盡可能化為和、差，能利用和、差的求導法則求導的，盡量少用積、商的求導法則求導.思維升華訓練1

求下列函數(shù)的導數(shù).(1)y＝(x2＋1)(x－1)；解

(1)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，∴y′＝3x2－2x＋1.角度1求導法則的逆向應用題型二求導法則的應用例2

已知f′(x)是一次函數(shù)，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1對一切x∈R恒成立，求f(x)的解析式.解

由f′(x)為一次函數(shù)可知，f(x)為二次函數(shù)，設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f′(x)＝2ax＋b，把f(x)，f′(x)代入關于x的方程得x2(2ax＋b)－(2x－1)·(ax2＋bx＋c)＝1，即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0，又該方程對一切x∈R恒成立，待定系數(shù)法就是用設未知數(shù)的方法分析所要解決的問題，然后利用已知條件解出所設未知數(shù)，進而將問題解決.待定系數(shù)法常用來求函數(shù)解析式，特別是已知具有某些特征的函數(shù).思維升華訓練2

設y＝f(x)是二次函數(shù)，方程f(x)＝0有兩個相等的實根，且f′(x)＝2x＋1.求y＝f(x)的函數(shù)表達式.解

∵f′(x)＝2x＋1，∴f(x)＝x2＋x＋c(c為常數(shù))，又∵方程f(x)＝0有兩個相等的實根，即x2＋x＋c＝0有兩個相等的實根，角度2求導法則在導數(shù)幾何意義中的應用(1)此類問題主要涉及切點、切點處的導數(shù)、切線方程三個主要元素，解題方法為把其他題設條件轉化為這三個要素間的關系，構建方程(組)求解.(2)準確利用求導法則求出函數(shù)的導數(shù)是解此類問題的第一步，也是解題的關鍵，務必做到準確.思維升華1，1課堂小結1.牢記導數(shù)的運算法則.2.掌握運用法則求導的方法

在運用法則求導時，對于復雜的函數(shù)可先化簡函數(shù)解析式再求導.3.注意1個易錯點 (f(x)g(x))′≠f′(x)g′(x).TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINGSUYANGDACHENG拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達成3BA3.下列運算中正確的是(

)A4.若函數(shù)f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，則f′(－1)等于(

) A.－1 B.－2 C.2 D.0B解析

f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(x)是奇函數(shù)，故f′(－1)＝－f′(1)＝－2.5.(多選)過點P(2，－6)作曲線f(x)＝x3－3x的切線，則切線方程為(

) A.3x＋y＝0 B.24x－y－54＝0 C.3x－y＝0 D.24x－y＋54＝0AB解析

設切點為(m，m3－3m)，f(x)＝x3－3x的導數(shù)為f′(x)＝3x2－3，則切線斜率k＝3m2－3，由點斜式方程可得切線方程為y－m3＋3m＝(3m2－3)(x－m)，將點P(2，－6)代入可得－6－m3＋3m＝(3m2－3)(2－m)，解得m＝0或m＝3.當m＝0時，切線方程為3x＋y＝0；當m＝3時，切線方程為24x－y－54＝0.6.函數(shù)f(x)＝exsinx的圖象在點(0，f(0))處切線的傾斜角為________.19.求下列函數(shù)的導數(shù)：10.已知拋物線f(x)＝ax2＋bx－7經過點(1，1)，且在點(1，1)處的切線方程為4x－y－3＝0，求a，b的值.

解

由拋物線f(x)＝ax2＋bx－7經過點(1，1)，

得1＝a＋b－7，即a＋b－8＝0.

因為f′(x)＝2ax＋b，且拋物線在點(1，1)處的切線方程為4x－y－3＝0，所以f′(1)＝4，即2a＋b－4＝0.A13.已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其導函數(shù)f′(x)＝2x－8.(1)求a，b的值；解

因為f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，所以f′(x)＝2ax＋b，又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.(2)設函數(shù)g(x)＝exsinx＋f(x)，求曲線g(x)在x＝0處的切線方程.解

由(1)可知，g(x)＝exsinx＋x2－8x＋3，所以g′(x)＝exsinx＋excosx＋2x－8，所以g′(0)＝e0sin0＋e0cos0＋2×0－8＝－7，又g(0)＝3，所以曲線g(x)在x＝0處的切線方程為y－3＝－7(x－0)，即7x＋y－3＝0.14.等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a8＝4，函數(shù)f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，則f′(0)＝________.

4096解析

因為f′(x)＝(x)′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)·(x－a2)·…·