人教版八年級數(shù)學(xué)上冊（第十一章 三角形）11.2 與三角形有關(guān)的角（學(xué)習(xí)、上課資料）

11.2與三角形有關(guān)的角第十一章三角形逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時講解1課時流程2三角形內(nèi)角和定理直角三角形的性質(zhì)與判定三角形的外角知識點(diǎn)三角形內(nèi)角和定理知1－講11.

定理三角形三個內(nèi)角的和等于180°.幾何語言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.知1－講2.

三角形內(nèi)角和定理的證明思路思路一：利用“兩直線平行，內(nèi)錯角或同位角相等”將三角形的三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化為一個平角，如圖11.2-1①②所示.知1－講思路二：利用“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”將三角形的三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化為兩平行線間的一組同旁內(nèi)角，如圖11.2-2①②所示.知1－講特別解讀1.三角形內(nèi)角和定理揭示了三角形三個內(nèi)角之間的數(shù)量關(guān)系.2.三角形的三個內(nèi)角中最多只有一個鈍角或直角，或者說至少有兩個銳角.知1－練例1

解題秘方：緊扣三角形內(nèi)角和定理建立方程(組)求解.知1－練解：設(shè)∠B＝∠C＝m°.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴40＋m＋m＝180，解得m＝70.∴∠B＝∠C＝70°.(1)已知∠A＝40°，∠B＝∠C，求∠B，∠C的度數(shù)；知1－練

(2)已知∠A－∠B＝16°，∠C＝54°，求∠A，∠B

的度數(shù)；知1－練

三角形中求角的度數(shù)問題一般用方程思想求解.當(dāng)角之間存在數(shù)量關(guān)系時，一般根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°列方程(組)求解.知1－練1-1.在△ABC中，若∠A＝80°，∠B＝∠C，則∠B

等于()A.10° B.30°C.50° D.80°C知1－練1-2.如圖，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，且DE//BC，則∠AED的度數(shù)是()A.40° B.60°C.80° D.120°B知1－練1-3.在△ABC中，∠A＝∠B＋20°，∠C＝∠A＋50°，求△ABC各內(nèi)角的度數(shù).解：∵∠A＝∠B＋20°，∠C＝∠A＋50°，∴∠C＝∠B＋20°＋50°＝∠B＋70°.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＋20°＋∠B＋70°＋∠B＝180°.∴∠B＝30°.∴∠A＝50°，∠C＝100°.知1－練一個零件的形狀如圖11.2-3，按規(guī)定∠A

應(yīng)等于90°，∠ABD，∠ACD應(yīng)分別是34°和18°.李叔叔量得∠BDC＝146°，請你幫李叔叔判斷這個零件是否合格，并說明理由.解題秘方：建立三角形的模型利用三角形內(nèi)角和定理求出角度，再用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行驗(yàn)證.例2知1－練解：這個零件不合格.理由如下：如圖11.2-3，連接BC.在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°.∵∠A＝90°，∠ACD＝18°，∠ABD＝34°，∴∠DCB＋∠DBC＝38°.在△DCB

中，∠BDC＋∠DCB＋∠DBC＝146°＋38°＝184°≠180°，∴這個零件不合格.知1－練2-1.某地有A，B，C三個村莊，如圖，B村莊在C村莊的正西方向，A村莊在B村莊的北偏東20°方向，同時A村莊又在C村莊的北偏西45°方向，那么，在A村莊看B，C兩個村莊的視角∠BAC為多少？解：由題意知∠ABC＝90°－∠PBA＝70°，∠ACB＝90°－∠ACQ＝45°.由三角形內(nèi)角和定理得∠A＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－70°－45°＝65°，即在A村莊看B，C兩個村莊的視角∠BAC為65°.知1－練知2－講知識點(diǎn)直角三角形的性質(zhì)與判定21.直角三角形的性質(zhì)直角三角形的兩個銳角互余.幾何語言：在△ABC中，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.知2－講2.

直角三角形的表示直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC.注意：“Rt△”后必須緊跟表示直角三角形的三個頂點(diǎn)的大寫字母，不能單獨(dú)使用．如“直角三角形的邊”不能寫成“Rt△的邊”.3.直角三角形的判定有兩個角互余的三角形是直角三角形.知2－講特別解讀在直角三角形中，若已知兩個銳角之間的數(shù)量關(guān)系，可結(jié)合兩個銳角互余求出每個銳角的大小，不需要再利用三角形內(nèi)角和定理求解.知2－練如圖11.2-4，AB，CD相交于點(diǎn)O，AC⊥CD于點(diǎn)C，若∠BOD＝35°，則∠A＝_______.解題秘方：根據(jù)直角三角形中兩銳角之間的數(shù)量關(guān)系求出角的度數(shù).例355°知2－練解：∵∠BOD＝35°，∴∠AOC＝35°.又∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°.∴∠A＝90°－∠AOC＝90°－35°＝55°.知2－練3-1.把一把直尺與一塊三角板按如圖所示的方式放置，若∠1＝45°，則∠2的度數(shù)為()A.65°B.60°C.45°D.30°C知2－練如圖11.2-5，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，∠BEF的平分線與∠DFE的平分線相交于點(diǎn)P.求證：△EFP是直角三角形.例4知2－練解題秘方：如果三角形中有兩個角的和等于90°(互余)就可證明該三角形為直角三角形.知2－練

知2－練4-1.已知∠A＝37°，∠B＝53°，則△ABC為()A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.以上都不對C知2－練如圖11.2-6，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B.求證：CD⊥AB.例5知2－練解題秘方：利用直角三角形的性質(zhì)與判定求出CD，AB的夾角為直角.證明：∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.∵∠ACD＝∠B，∴∠A＋∠ACD＝90°.∴∠CDA＝90°.∴CD⊥AB.知2－練5-1.如圖，點(diǎn)E是△ABC的邊AC上的一點(diǎn)，ED⊥AB于點(diǎn)D，∠AED＝∠B.求證：△ACB是直角三角形.證明：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°.∴∠A＋∠AED＝90°.∵∠AED＝∠B，∴∠A＋∠B＝90°.∴△ABC是直角三角形．知3－講知識點(diǎn)三角形的外角31.

定義三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.特別解讀1.

位置：在三角形的外部.2.與相鄰內(nèi)角是鄰補(bǔ)角.3.

三角形每一個頂點(diǎn)處都有兩個外角，它們是對頂角，因此三角形共有六個外角，通常每一個頂點(diǎn)處取一個外角．知3－講2.

外角性質(zhì)(三角形內(nèi)角和定理的推論)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.常見應(yīng)用：(1)已知一個外角及與它不相鄰的兩個內(nèi)角中的一個，可求另一個；(2)證明一個角等于另兩個角的和或差；(3)作為中間關(guān)系式證明兩個角相等.知3－講3.拓展性質(zhì)(1)三角形的一個外角大于與它不相鄰的任一內(nèi)角；(2)三角形的外角和等于360°.知3－練如圖11.2-7，△ABC的外角∠CAE的平分線AD交BC的延長線于D，∠B＝35°，∠DAE＝60°，求∠ACD的度數(shù).例6知3－練解題秘方：利用三角形外角的性質(zhì)，將∠ACD

轉(zhuǎn)化為∠B＋∠BAC進(jìn)行求解.解：∵AD是∠CAE的平分線，∠DAE＝60°，∴∠CAE＝2∠DAE＝2×60°＝120°.∴∠BAC＝180°－∠CAE＝180°－120°＝60°.∵∠ACD是△ABC的一個外角，∴∠ACD＝∠BAC＋∠B=60°＋35°＝95°.知3－練6-1.如圖，已知D是△ABC的邊BC延長線上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，∠A＝35°，∠ACD＝83°.知3－練(1)求∠B的度數(shù)；(2)若∠D＝42°，求∠AFE的度數(shù).解：∵∠A