2024屆浙江省余姚市數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

2024屆浙江省余姚市數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)，則A．-1 B．1 C．ln2 D．-ln22．在ΔABC中，如果A=45°，c=6，A．無(wú)解 B．一解 C．兩解 D．無(wú)窮多解3．已知變量，之間的線性回歸方程為，且變量，之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）681012632A．變量，之間呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系B．的值等于5C．變量，之間的相關(guān)系數(shù)D．由表格數(shù)據(jù)知，該回歸直線必過(guò)點(diǎn)4．若平面向量a與b的夾角為60°，|b|=4，(aA．2B．4C．6D．125．某幾何體的三視圖如下圖所示（單位：cm）則該幾何體的表面積（單位：）是（）A． B． C． D．6．將的圖像怎樣移動(dòng)可得到的圖象（）A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位7．閱讀如圖所示的程序，若運(yùn)該程序輸出的值為100，則的面的條件應(yīng)該是（）A． B． C． D．8．若直線與圓相切，則的值為A．1 B． C． D．9．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，-4），則的值為（）A． B． C． D．10．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則（）A．10 B．7 C．12 D．3二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若向量與的夾角為，與的夾角為，則______.12．已知，，，的等比中項(xiàng)是1，且，，則的最小值是______.13．若數(shù)列滿足,,則______．14．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則__________．15．函數(shù)f（x）＝2cos（x）﹣1的對(duì)稱軸為_____，最小值為_____．16．如果，，則的值為________（用分?jǐn)?shù)形式表示）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，某學(xué)校在一次考試中隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的成績(jī)，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五組，繪制了如圖所示頻率分布直方圖.求：(Ⅰ)圖中m的值；(II)估計(jì)全年級(jí)本次考試的平均分；(III)若從樣本中隨機(jī)抽取分?jǐn)?shù)在[80，100]的學(xué)生兩名，求所抽取兩人至少有一人分?jǐn)?shù)不低于90分的概率.18．在某市高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)中，全市共有名學(xué)生參加了本次考試，其中示范性高中參加考試學(xué)生人數(shù)為人，非示范性高中參加考試學(xué)生人數(shù)為人.現(xiàn)從所有參加考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取人，作檢測(cè)成績(jī)數(shù)據(jù)分析.（1）設(shè)計(jì)合理的抽樣方案（說(shuō)明抽樣方法和樣本構(gòu)成即可）；（2）依據(jù)人的數(shù)學(xué)成績(jī)繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，據(jù)此估計(jì)本次檢測(cè)全市學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分；19．一汽車廠生產(chǎn)，，三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào)，某月的產(chǎn)量如下表(單位：輛)：按類用分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有類轎車10輛．轎車轎車轎車舒適型100150標(biāo)準(zhǔn)型300450600（1）求的值；（2）用分層抽樣的方法在類轎車中抽取一個(gè)容量為5的樣本．將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；（3）用隨機(jī)抽樣的方法從類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測(cè)它們的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2把這8輛轎車的得分看作一個(gè)總體，從中任取一個(gè)得分?jǐn)?shù)，

記這8輛轎車的得分的平均數(shù)為，定義事件，且函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，求事件發(fā)生的概率．20．如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為4的正三角形，側(cè)面是矩形，分別是線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若平面平面，，求三棱錐的體積.21．已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿足：且．（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列．（2）若，證明：對(duì)一切正整數(shù)n，都有

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】

先把化為，再根據(jù)公式和求解.【題目詳解】故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查對(duì)數(shù)、指數(shù)的運(yùn)算，注意觀察題目之間的聯(lián)系.2、C【解題分析】

計(jì)算出csinA的值，然后比較a、csin【題目詳解】由題意得csinA=6×2【題目點(diǎn)撥】本題考查三角形解的個(gè)數(shù)的判斷，解題時(shí)要熟悉三角形解的個(gè)數(shù)的判斷條件，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.3、C【解題分析】分析：根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式，求得樣本中心為，代入回歸直線的方程，即可求解，得到樣本中心，再根據(jù)之間的變化趨勢(shì)，可得其負(fù)相關(guān)關(guān)系，即可得到答案.詳解：由題意，根據(jù)上表可知，即數(shù)據(jù)的樣本中心為，把樣本中心代入回歸直線的方程，可得，解得，則，即數(shù)據(jù)的樣本中心為，由上表中的數(shù)據(jù)可判定，變量之間隨著的增大，值變小，所以呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系，由于回歸方程可知，回歸系數(shù)，而不是，所以C是錯(cuò)誤的，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查了數(shù)據(jù)的平均數(shù)的計(jì)算公式，回歸直線方程的特點(diǎn)，以及相關(guān)關(guān)系的判定等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用，其中熟記回歸分析的基本知識(shí)點(diǎn)是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力.4、C【解題分析】∵(a+2b)·(a-3b)=-72，∴5、C【解題分析】

通過(guò)三視圖的觀察可得到該幾何體是由一個(gè)圓錐加一個(gè)圓柱得到的，表面積由一個(gè)圓錐的表面積和一個(gè)圓柱的側(cè)面積組成【題目詳解】圓柱的側(cè)面積為，圓錐的表面積為，其中，，。選C【題目點(diǎn)撥】幾何體的表面積一定要看清楚哪些面存在，哪些面不存在6、C【解題分析】

因?yàn)閷⑾蜃笃揭苽€(gè)單位可以得到，得解.【題目詳解】解：將向左平移個(gè)單位可以得到，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)圖像的平移變換，屬基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】

根據(jù)輸出值和代碼，可得輸出的最高項(xiàng)的值，進(jìn)而結(jié)合當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的特征得判斷框內(nèi)容.【題目詳解】根據(jù)循環(huán)體，可知因?yàn)檩敵龅闹禐?00，所以由等差數(shù)列求和公式可知求和到19停止，結(jié)合當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)特征，可知滿足條件時(shí)返回執(zhí)行循環(huán)體，因而判斷框內(nèi)的內(nèi)容為，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的代碼應(yīng)用，根據(jù)輸出值選擇條件，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，∵直線與圓相切，∴圓心到直線的距離，即，解得，故選D.9、A【解題分析】

先求出的值，即得解.【題目詳解】由題得，，所以.故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)的坐標(biāo)定義，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】

由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式解得，由，得，由此能求出的值。【題目詳解】解：差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，解得，解得，故選：C。【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據(jù)向量平行四邊形法則作出圖形，然后在三角形中利用正弦定理分析.【題目詳解】如圖所示，，，所以在中有：，則，故.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的平行四邊形法則的運(yùn)用，難度一般.在運(yùn)用平行四邊形法則時(shí)候，可以適當(dāng)將其拆分為三角形，利用解三角形中的一些方法去解決問(wèn)題.12、4【解題分析】

，的等比中項(xiàng)是1，再用均值不等式得到答案.【題目詳解】，的等比中項(xiàng)是1當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為4【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比中項(xiàng)，均值不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.13、【解題分析】

利用遞推公式再遞推一步,得到一個(gè)新的等式,兩個(gè)等式相減,再利用累乘法可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,利用所求的通項(xiàng)公式可以求出的值.【題目詳解】得,,所以有,因此.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查了累乘法,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.14、【解題分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，又，所以.15、﹣3【解題分析】

利用余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，余弦函數(shù)的最值，求得結(jié)論．【題目詳解】解：對(duì)于函數(shù)，令，求得，根據(jù)余弦函數(shù)的值域可得函數(shù)的最小值為，故答案為：；．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，余弦函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

先求出，可得，再代值計(jì)算即可.【題目詳解】.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式、累乘相消法，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(I)0.045;(II)75;(III)0.7【解題分析】

(Ⅰ)根據(jù)頻率之和為1，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，即可求出結(jié)果；(II)每組的中間值乘以該組頻率，再求和，即可得出結(jié)果；(III)用列舉法列舉出總的基本事件，以及滿足條件的基本事件，基本事件的個(gè)數(shù)比即為所求的概率.【題目詳解】(Ⅰ)由題意可得：(Ⅱ)各組的頻率分別為0.05，0.25，0.45，0.15，0.1，所以可估計(jì)全年級(jí)的平均分為；(Ⅲ)分?jǐn)?shù)落在[80，90)的人數(shù)有3人，設(shè)為a，b，c，落在[90，100的人數(shù)有2人，設(shè)為A、B，則從中隨機(jī)抽取兩名的結(jié)果有{ab}，(ac}，{a4}，(aB}，{bc}，(bA}，(bB)，{cA}，{cB)，{AB}共10種，其中至少有一人不低于90分的有7種，故概率為0.7.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查由頻率分布直方圖求參數(shù)，以及求均值的問(wèn)題，同時(shí)考查古典概型的問(wèn)題，熟記古典概型的概率公式，以及均值的求法即可，屬于常考題型.18、（1）見(jiàn)解析；（2）92.4【解題分析】

（1）根據(jù)總體的差異性選擇分層抽樣，再結(jié)合抽樣比計(jì)算出非示范性高中和示范性高中所抽取的人數(shù)；（2）將每個(gè)矩形底邊的中點(diǎn)值乘以相應(yīng)矩形的面積所得結(jié)果，再全部相加可得出本次測(cè)驗(yàn)全市學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分．【題目詳解】（1）由于總體有明顯差異的兩部分構(gòu)成，故采用分層抽樣，由題意，從示范性高中抽取人，從非師范性高中抽取人；（2）由頻率分布直方圖估算樣本平均分為推測(cè)估計(jì)本次檢測(cè)全市學(xué)生數(shù)學(xué)平均分為【題目點(diǎn)撥】本題考查分層抽樣以及計(jì)算頻率分布直方圖中的平均數(shù)，著重考查學(xué)生對(duì)幾種抽樣方法的理解，以及頻率分布直方圖中幾個(gè)樣本數(shù)字的計(jì)算方法，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）400；（2）；（3）【解題分析】

（1）由分層抽樣按比例可得；（2）把5個(gè)樣本編號(hào)，用列舉法列出任取2輛的所有基本事件，得出至少有1輛舒適型轎車的基本事件，計(jì)數(shù)后可得概率．（3）求出，確定事件所含的個(gè)數(shù)后可得概率．【題目詳解】（1）由題意，解得；（2）C類產(chǎn)品中舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型產(chǎn)品數(shù)量比為，因此5人樣品中舒適型抽取了2輛，標(biāo)準(zhǔn)型抽取了3輛，編號(hào)為，任取2輛的基本事件有：共10個(gè)，其中至少有1輛舒適型轎車的基本事件有共7個(gè)，所求概率為．（3）由題意，滿足的有共6個(gè)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，則，解得，再去掉，還有4個(gè)，∴所求概率為．【題目點(diǎn)撥】本題考查分層抽樣，考查古典概型，解題關(guān)鍵是用列舉法寫出所有的基本事件．20、（1）見(jiàn)解析（2）【解題分析】

（1）取中點(diǎn)為，連接，由中位線定理證得，即證得平行四邊形，于是有，這樣就證得線面平行；（2）由等體積法變換后可計(jì)算．【題目詳解】證明：（1）取中點(diǎn)為，連接，是平行四邊形，平面，平面，∴平面解：（2）是線段中點(diǎn)，則【題目點(diǎn)撥】本題考查線面平行的判定，考查棱錐的體積．線面平行的證明關(guān)鍵是找到線線平行，而棱錐的體積常常用等積變換，轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)與底．21、（1）證明見(jiàn)解析．（2）證明見(jiàn)解析．【解題分析】

（1）根據(jù)所給遞推公式，將式子變形，即可由等差數(shù)列定義證明數(shù)列為等差數(shù)列.（2）根據(jù)數(shù)列為等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)