上海市封浜高中2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

上海市封浜高中2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數(shù)在區(qū)間上恒成立，則實數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．2．已知等差數(shù)列中，,則（）A． B．C． D．3．抽查10件產(chǎn)品，設(shè)“至少抽到2件次品”為事件，則的對立事件是（）A．至多抽到2件次品 B．至多抽到2件正品C．至少抽到2件正品 D．至多抽到一件次品4．若實數(shù)x,y滿足x2y2A．4，8 B．8，+5．已知向量，則與的夾角為（）A． B． C． D．6．過點且與圓相切的直線方程為（）A． B．或C．或 D．或7．已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和圖2所示，為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，按學(xué)段用分層抽樣的方法抽取該地區(qū)的學(xué)生進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的初中生中近視人數(shù)分別為（）A．， B．， C．， D．，8．設(shè)是公比為的無窮等比數(shù)列，若的前四項之和等于第五項起以后所有項之和，則數(shù)列是（）A．公比為的等比數(shù)列B．公比為的等比數(shù)列C．公比為或的等比數(shù)列D．公比為或的等比數(shù)列9．一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（）A．或 B．或 C．或 D．或10．已知函數(shù)，則（）A．2 B．-2 C．1 D．-1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)那么的值為．12．5人排成一行合影，甲和乙不相鄰的排法有______種．（用數(shù)字回答）13．某班委會由4名男生與3名女生組成，現(xiàn)從中選出2人擔(dān)任正副班長，其中至少有1名女生當(dāng)選的概率是______14．若存在實數(shù)使得關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是____.15．已知一組數(shù)據(jù)、、、、、，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為__________.16．化簡sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列的前項和，函數(shù)對任意的都有，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，是數(shù)列的前項和，是否存在正實數(shù)，使不等式對于一切的恒成立？若存在請求出的取值范圍；若不存在請說明理由．18．如圖，在中，點在邊上，為的平分線，．（1）求；（2）若,,求．19．已知圓與圓：關(guān)于直線對稱．（1）求圓的標準方程；（2）已知點，若與直線垂直的直線與圓交于不同兩點、，且是鈍角，求直線在軸上的截距的取值范圍．20．已知圓關(guān)于直線對稱，半徑為，且圓心在第一象限．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）若直線與圓相交于不同兩點、，且，求實數(shù)的值．21．兩地相距千米，汽車從地勻速行駛到地，速度不超過千米小時，已知汽車每小時的運輸成本(單位：元)由可變部分和固定部分兩部分組成：可變部分與速度的平方成正比，比例系數(shù)為，固定部分為元，(1)把全程運輸成本(元)表示為速度(千米小時)的函效:并求出當(dāng)時，汽車應(yīng)以多大速度行駛，才能使得全程運輸成本最小；(2)隨著汽車的折舊，運輸成本會發(fā)生一些變化，那么當(dāng)，此時汽車的速度應(yīng)調(diào)整為多大，才會使得運輸成本最小，

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形為正弦型函數(shù)，進一步利用恒成立問題的應(yīng)用求出結(jié)果.【題目詳解】函數(shù),由因為，所以，即，當(dāng)時，函數(shù)的最大值為，由于在區(qū)間上恒成立，故，實數(shù)的最小值是.故選：D【題目點撥】本題考查了兩角和的余弦公式、輔助角公式以及三角函數(shù)的最值，需熟記公式與三角函數(shù)的性質(zhì)，同時考查了不等式恒成立問題，屬于基出題2、C【解題分析】

,.故選C.3、D【解題分析】

由對立事件的概念可知，直接寫出其對立事件即可.【題目詳解】“至少抽到2件次品”的對立事件為“至多抽到1件次品”，故選D【題目點撥】本題主要考查對立事件的概念，熟記對立事件的概念即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.4、A【解題分析】

利用基本不等式得x2y2【題目詳解】∵x2y2≤(x2+y2)24∴x2故選A．【題目點撥】本題考查基本不等式求最值問題，解題關(guān)鍵是掌握基本不等式的變形應(yīng)用：ab≤(a+b)5、D【解題分析】

先求出的模長，然后由可求出答案.【題目詳解】由題意，，，所以與的夾角為.故選D.【題目點撥】本題考查了兩個向量的夾角的求法，考查了向量的模長的計算，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解題分析】

分別考慮斜率存在和不存在兩種情況得到答案.【題目詳解】如圖所示：當(dāng)斜率不存在時：當(dāng)斜率存在時：設(shè)故答案選C【題目點撥】本題考查了圓的切線問題，忽略掉斜率不存在是容易發(fā)生的錯誤.7、A【解題分析】

根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論?！绢}目詳解】由圖1得樣本容量為，抽取的初中生人數(shù)為人，則初中生近視人數(shù)為人，故選．【題目點撥】本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用。8、B【解題分析】

根據(jù)題意可得，帶入等比數(shù)列前和即可解決?！绢}目詳解】根據(jù)題意，若的前四項之和等于第五項起以后所有項之和，則，又由是公比為的無窮等比數(shù)列，則，變形可得，則，數(shù)列為的奇數(shù)項組成的數(shù)列，則數(shù)列為公比為的等比數(shù)列；故選：B．【題目點撥】本題主要考查了利用等比數(shù)列前項和計算公比，屬于基礎(chǔ)題。9、C【解題分析】

由題意可知：點在反射光線上．設(shè)反射光線所在的直線方程為：，利用直線與圓的相切的性質(zhì)即可得出．【題目詳解】由題意可知：點在反射光線上．設(shè)反射光線所在的直線方程為：，即．由相切的性質(zhì)可得：，化為：，解得或．故選．【題目點撥】本題考查了直線與圓相切的性質(zhì)、點到直線的距離公式、光線反射的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．10、B【解題分析】

根據(jù)分段函數(shù)的表達式，直接代入即可得到結(jié)論．【題目詳解】由分段函數(shù)的表達式可知，則，故選：．【題目點撥】本題主要考查函數(shù)值的計算，根據(jù)分段函數(shù)的表達式求解是解決本題的關(guān)鍵，屬于容易題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】試題分析：因為函數(shù)所以==．考點：本題主要考查分段函數(shù)的概念，計算三角函數(shù)值．點評：基礎(chǔ)題，理解分段函數(shù)的概念，代入計算．12、72【解題分析】

先對其中3個人進行全排列有種，再對甲和乙進行插空有種，利用乘法原理得到排法總數(shù)為.【題目詳解】先對其中3個人進行全排列有種，再對甲和乙進行插空有種，利用乘法原理得到排法總數(shù)為種，故答案為72【題目點撥】本題考查排列、組合計數(shù)原理的應(yīng)用，考查基本運算能力.13、【解題分析】試題分析：∵從7人中選2人共有C72=21種選法，從4個男生中選2人共有C42=6種選法∴沒有女生的概率是=，∴至少有1名女生當(dāng)選的概率1-=．考點：本題主要考查古典概型及其概率計算公式．點評：在使用古典概型的概率公式時，應(yīng)該注意：（1）要判斷該概率模型是不是古典概型；（2）要找出隨機事件A包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù)．14、【解題分析】

先求得的取值范圍，將題目所給不等式轉(zhuǎn)化為含的絕對值不等式，對分成三種情況，結(jié)合絕對值不等式的解法和不等式恒成立的思想，求得的取值范圍.【題目詳解】由于，故可化簡得恒成立.當(dāng)時，顯然成立.當(dāng)時，可得，，可得且，可得，即，解得.當(dāng)時，可得，可得且，可得，即，解得.綜上所述，的取值范圍是.【題目點撥】本小題主要考查三角函數(shù)的值域，考查含有絕對值不等式恒成立問題，考查存在性問題的求解策略，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.15、【解題分析】

利用平均數(shù)公式可求得結(jié)果.【題目詳解】由題意可知，數(shù)據(jù)、、、、、的平均數(shù)為.故答案為：.【題目點撥】本題考查平均數(shù)的計算，考查平均數(shù)公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、1【解題分析】原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β＝cos2β(sin2α＋cos2α)＋sin2β＝1.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)，;(2).【解題分析】分析：（1）利用的關(guān)系，求解；倒序相加求。（2）先用錯位相減求，分離參數(shù)，使得對于一切的恒成立，轉(zhuǎn)化為求的最值。詳解：（1）時滿足上式，故∵=1∴∵①∴②∴①+②，得.（2）∵，∴∴①，②①－②得即要使得不等式恒成立，恒成立對于一切的恒成立，即，令，則當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故所以為所求.點睛：1、，一定要注意，當(dāng)時要驗證是否滿足數(shù)列。2、等比乘等差結(jié)構(gòu)的數(shù)列用錯位相減。3、數(shù)列中的恒成立問題與函數(shù)中的恒成立問題解法一致。18、(1)(2)【解題分析】

（1）令，正弦定理，得，代入面積公式計算得到答案.（2）由題意得到，化簡得到，，再利用面積公式得到答案.【題目詳解】(1)因為的平分線，令在中，，由正弦定理，得所以.(2)因為，所以，又由,得，，因為，所以所以.【題目點撥】本題考查了面積的計算，意在考查學(xué)生靈活利用正余弦定理和面積公式解決問題的能力.19、（1）；（2）【解題分析】

（1）根據(jù)兩圓對稱，直徑一樣，只需圓心對稱即可得圓C的標準方程；（2）設(shè)直線l的方程為y＝﹣x+m與圓C聯(lián)立方程組，利用韋達定理，設(shè)而不求的思想即可求解b范圍，即截距的取值范圍．【題目詳解】（1）圓的圓心坐標為，半徑為2設(shè)圓的圓心坐標為，由題意可知解得：由對稱性質(zhì)可得，圓的半徑為2，所以圓的標準方程為：（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得：，設(shè)直線與圓的交點，，由，得，（1）因為為鈍角，所以，且直線不過點即滿足，且又，，所以（2）由（1）式（2）式可得，滿足，即，因為，所以直線在軸上的截距的取值范圍是【題目點撥】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理的合理運用．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）由題得和，解方程即得圓的方程；（Ⅱ）取的中點，則，化簡得，即得m的值.【題目詳解】（Ⅰ）由，得圓的圓心為，圓關(guān)于直線對稱，①．圓的半徑為，②又圓心在第一象限，，，由①②解得，，故圓的方程為．（Ⅱ）取的中點，則，，，即，又，解得．【題目點撥】本題主要考查圓的方程的求法，考查直線和圓的位置關(guān)系和向量的運算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.21、（1），當(dāng)汽車以的速度行駛，能使得全稱運輸成本最?。唬?）.【解題分析】

（1）計算出汽車的行駛時間為小時，可得出全程運輸成本為，其中，代入，