2024屆北京市西城區(qū)161中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2024屆北京市西城區(qū)161中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時(shí)，不等式左邊（）A．增加了一項(xiàng)B．增加了兩項(xiàng)，C．增加了A中的一項(xiàng)，但又減少了另一項(xiàng)D．增加了B中的兩項(xiàng)，但又減少了另一項(xiàng)2．已知，函數(shù)的最小值是（）A．4 B．5 C．8 D．63．已知函數(shù)滿足下列條件：①定義域?yàn)?；②?dāng)時(shí)；③.若關(guān)于x的方程恰有3個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是A． B． C． D．4．如圖，函數(shù)與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)P，Q，R滿足，，M為QR的中點(diǎn)，，則A的值為（）A． B． C． D．5．已知、是平面上兩個(gè)不共線的向量，則下列關(guān)系式：①；②；③；④.正確的個(gè)數(shù)是()A．4 B．3 C．2 D．16．已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則使得為直角三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．7．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是A． B． C． D．8．如圖，在四邊形ABCD中，，，，，.則（）A． B． C．4 D．39．在邊長為2的菱形中，，是的中點(diǎn)，則A． B． C． D．10．已知，若關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．光線從點(diǎn)射向y軸，經(jīng)過y軸反射后過點(diǎn)，則反射光線所在的直線方程是________.12．若圓與圓的公共弦長為，則________.13．中,三邊所對(duì)的角分別為,若,則角______.14．________15．已知，若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，求的值.16．已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足：.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）令，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．已知.(1)求的值;(2)求的值.19．已知為銳角，.（1）求的值；（2）求的值．20．某工廠共有200名工人，已知這200名工人去年完成的產(chǎn)品數(shù)都在區(qū)間（單位：萬件）內(nèi)，其中每年完成14萬件及以上的工人為優(yōu)秀員工，現(xiàn)將其分成5組，第1組、第2組第3組、第4組、第5組對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為，，，，，并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.（1）選取合適的抽樣方法從這200名工人中抽取容量為25的樣本，求這5組分別應(yīng)抽取的人數(shù)；（2）現(xiàn)從（1）中25人的樣本中的優(yōu)秀員工中隨機(jī)選取2名傳授經(jīng)驗(yàn)，求選取的2名工人在同一組的概率.21．已知等差數(shù)列中，，，數(shù)列中，，其前項(xiàng)和滿足：．（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】

根據(jù)題意，分別寫出和時(shí)，左邊對(duì)應(yīng)的式子，進(jìn)而可得出結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，左邊，當(dāng)時(shí)，左邊，所以，由遞推到時(shí)，不等式左邊增加了，；減少了；故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，熟記數(shù)學(xué)歸納法，會(huì)求增量即可，屬于基礎(chǔ)題型.2、A【解題分析】試題分析：由題意可得，滿足運(yùn)用基本不等式的條件——一正，二定，三相等，所以，故選A考點(diǎn)：利用基本不等式求最值；3、D【解題分析】

分析：先根據(jù)條件確定函數(shù)圖像，再根據(jù)過定點(diǎn)（1，0）的直線與圖像關(guān)系確定實(shí)數(shù)k的取值范圍.詳解：因?yàn)椋?dāng)時(shí)；所以可作函數(shù)在上圖像，如圖，而直線過定點(diǎn)A（1，0）,根據(jù)圖像可得恰有3個(gè)實(shí)數(shù)解時(shí)實(shí)數(shù)k的取值范圍為,選D.點(diǎn)睛：對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．4、D【解題分析】

用周期表示出點(diǎn)坐標(biāo)，從而又可得點(diǎn)坐標(biāo)，再求出點(diǎn)坐標(biāo)后利用求得，得．【題目詳解】記函數(shù)的周期，則，因?yàn)?，∴，是中點(diǎn)，則，∴，解得，∴，由得，∵，∴，，，∴，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查求三角函數(shù)的解析式，掌握正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5、C【解題分析】

根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷，即可得到答案．【題目詳解】①.，滿足交換律，正確.②.,滿足分配律，正確.③.,所以不正確.④.,

，可正可負(fù)可為0，所以④不正確.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題6、D【解題分析】

分、、是直角三種情況討論，求出點(diǎn)的軌跡，將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的軌跡圖形與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，即可得出正確選項(xiàng).【題目詳解】①若為直角，則，設(shè)點(diǎn)，，，則，即，此時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，圓與圓的圓心距為，，則圓與圓的相交，兩圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為；②若為直角，由于直線的斜率為，則直線的斜率為，直線的方程為，即，圓的圓心到直線的距離為，則直線與圓相交，直線與圓有個(gè)公共點(diǎn)；③若為直角，則直線的方程為，圓的圓心到直線的距離為，直線與圓相離，直線與圓沒有公共點(diǎn).綜上所述，使得為直角三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查符合條件的直角三角形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，解題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓、圓與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)之和的問題，同時(shí)也考查了軌跡方程的求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想以及分類討論思想的應(yīng)用，屬于難題.7、B【解題分析】

利用三角函數(shù)圖像平移原則，結(jié)合誘導(dǎo)公式，即可求解.【題目詳解】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角圖像變換，誘導(dǎo)公式，熟記變換原則，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】

在中，由正弦定理得到的長，在中，先得到的值，再利用余弦定理，求出的長.【題目詳解】在中，由正弦定理，得，因?yàn)椋?，所以，在中，由余弦定理得所?故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，屬于簡(jiǎn)單題.9、D【解題分析】

選取向量為基底，用基底表示，然后計(jì)算．【題目詳解】由題意，，．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的數(shù)量積，平面向量的線性運(yùn)算，解題關(guān)鍵是選取基底，把向量用基底表示．10、A【解題分析】

將不等式化為，可知滿足不等式，不滿足不等式，由此可確定個(gè)整數(shù)解為；當(dāng)和時(shí)，解不等式可知不滿足題意；當(dāng)時(shí)，解出不等式的解集，要保證整數(shù)解為，則需，解不等式組求得結(jié)果.【題目詳解】由得：當(dāng)時(shí)，成立必為不等式的一個(gè)整數(shù)解當(dāng)時(shí)，不成立不是不等式的整數(shù)解個(gè)整數(shù)解分別為：當(dāng)時(shí)，，不滿足題意當(dāng)時(shí)，解不等式得：或不等式不可能只有個(gè)整數(shù)解，不滿足題意當(dāng)時(shí)，，解得：，即的取值范圍為：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)不等式整數(shù)解的個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍問題，關(guān)鍵是能夠利用特殊值確定整數(shù)解的具體取值，從而解不等式，根據(jù)整數(shù)解的取值來確定解集的上下限，構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、（或?qū)懗桑窘忸}分析】

光線從點(diǎn)射向y軸，即反射光線反向延長線經(jīng)過關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，則反射光線通過和兩個(gè)點(diǎn)，設(shè)直線方程求解即可?！绢}目詳解】由題意可知，所求直線方程經(jīng)過點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則所求直線方程為，即.【題目點(diǎn)撥】此題的關(guān)鍵點(diǎn)在于物理學(xué)上光線的反射光線和入射光線關(guān)于鏡面對(duì)稱，屬于基礎(chǔ)題目。12、【解題分析】將兩個(gè)方程兩邊相減可得，即代入可得，則公共弦長為，所以，解之得，應(yīng)填．13、【解題分析】

利用余弦定理化簡(jiǎn)已知條件，求得的值，進(jìn)而求得的大小.【題目詳解】由得，由于，所以.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

根據(jù)極限的運(yùn)算法則，合理化簡(jiǎn)、運(yùn)算，即可求解.【題目詳解】由極限的運(yùn)算，可得.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了極限的運(yùn)算法則的應(yīng)用，其中解答熟記極限的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得和的值，從而可得的值.【題目詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，，則.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

分析：先根據(jù)三角形面積公式求出母線長,再根據(jù)母線與底面所成角得底面半徑，最后根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求結(jié)果.詳解：因?yàn)槟妇€，所成角的余弦值為，所以母線，所成角的正弦值為，因?yàn)榈拿娣e為，設(shè)母線長為所以，因?yàn)榕c圓錐底面所成角為45°，所以底面半徑為因此圓錐的側(cè)面積為三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解題分析】

（1）利用當(dāng)時(shí)，求證即可；（2）先結(jié)合（1）求得，再由，然后累加求和即可.【題目詳解】解：（1）因?yàn)椋?，②?②得：，即，又，即，則，即數(shù)列是以6為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）得，則，即，則，即，故.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用定義法證明等比數(shù)列，重點(diǎn)考查了公式法求和及裂項(xiàng)求和法求和，屬中檔題.18、（1）；（2）【解題分析】

試題分析：（1）利用正切的兩角和公式求的值；（2）利用第一問的結(jié)果求第二問，但需要先將式子化簡(jiǎn)，最后變形成關(guān)于的式子，需要運(yùn)用三角函數(shù)的倍角公式將化成單角的三角函數(shù)，然后分子分母都除以，然后代入的值即可．試題解析：（1）由（2）考點(diǎn)：1.正切的兩角和公式；2.正余弦的倍角公式.19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由二倍角公式，結(jié)合題意，可直接求出結(jié)果；（2）先由題意求出，，根據(jù)，由兩角差的正弦公式，即可求出結(jié)果.【題目詳解】（1）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)闉殇J角，所以，，又，所以，，所以.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角恒等變換給值求值的問題，熟記二倍角公式，以及兩角差的正弦公式即可，屬于?？碱}型.20、（1）第1組：2；第2組：8,；第3組：9；第4組：3；第5組：3（2）【解題分析】

（1）根據(jù)頻率之和為列方程，解方程求得的值.然后根據(jù)分層抽樣的計(jì)算方法，計(jì)算出每組抽取的人數(shù).（2）利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.【題目詳解】（1）：，.用分層抽樣比較合適.第1組應(yīng)抽取的人數(shù)為，第2組應(yīng)抽取的人數(shù)為，第3組應(yīng)抽取的人數(shù)為，第4組應(yīng)抽取的人數(shù)為，第5組應(yīng)抽取的人數(shù)為.（2）（1）中25人的樣本中的優(yōu)秀員工中，第4組有3人，記這3人分別為，第5組有3人，記這3人分別為.從這6人中隨機(jī)選取2名，所有的基本事件為：，，，，，，，，，，，，，，，共有15個(gè)基本事件.選取的2名工人在同一組的基本事件有，，，，，共6個(gè)，故選取的2名工人在同一組的概率為.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查補(bǔ)全頻率分布，考查分層抽樣，考查古典概型的計(jì)算