【數(shù)學(xué)】河南省許濟(jì)洛平2024屆高三上學(xué)期第二次質(zhì)量檢測(cè)試題（解析版）

河南省許濟(jì)洛平2024屆高三上學(xué)期第二次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.若復(fù)數(shù)z滿足，則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由得，故，其實(shí)部，虛部為，故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，故選：A.2.已知集合則=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不等式，等價(jià)于，解得，即，不等式，等價(jià)于，解得，即，所以.故選：B.3.為更好地滿足民眾個(gè)性化、多元化、便利化的消費(fèi)需求，豐富購(gòu)物體驗(yàn)和休閑業(yè)態(tài)，某市積極打造夜間經(jīng)濟(jì).為不斷創(chuàng)優(yōu)夜間經(jīng)濟(jì)發(fā)展環(huán)境、推動(dòng)消費(fèi)升級(jí)，有關(guān)部門(mén)對(duì)某熱門(mén)夜市開(kāi)展“服務(wù)滿意度調(diào)查”，隨機(jī)選取了100名顧客進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，對(duì)夜市服務(wù)進(jìn)行評(píng)分(滿分100分)，根據(jù)評(píng)分情況繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，估計(jì)這組數(shù)據(jù)的第55百分位數(shù)為（）A.65 B.72 C.72.5 D.75【答案】D【解析】由題中頻率分布直方圖知區(qū)間，，三個(gè)區(qū)間頻率為，所以第數(shù)所在區(qū)間為，且設(shè)為，則，解得，故D正確.故選：D.4.已知圓O:與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M是直線上任意一點(diǎn).設(shè)，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】如圖，由題可知直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)N.當(dāng)直線與圓相離時(shí)，設(shè)M為直線上任意點(diǎn)，連接MA，MB，設(shè)MA（或MB）與圓O交于C點(diǎn)，連接CB（CA），則，由外角性質(zhì)，總有；如圖，當(dāng)直線與圓相切或相交時(shí)，在直線上均存在點(diǎn)M，使.綜上，等價(jià)于直線與圓O:相離，則.注意到是的真子集，則p是q的充分不必要條件.故選：A5.已知?jiǎng)t（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，所以.故選：C6.斜率為1的直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，且與C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積是，則（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】B【解析】由題意知拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，得，，設(shè)，則，故，又點(diǎn)O到直線的距離為，則，即，故，故選：B7.設(shè)，，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，因此，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，因此，即所以.故選：D8.小明參加答題闖關(guān)游戲，答題時(shí)小明可以從A，B，C三塊題板中任選一個(gè)進(jìn)行答題，答對(duì)則闖關(guān)成功.已知他選中A，B，C三塊題板的概率分別為0.2，0.3，0.5，且他答對(duì)A，B，C三塊題板中題目的概率依次為0.91，0.92，0.93.則小明闖關(guān)失敗的概率是（）A0.24 B.0.14 C.0.077 D.0.067【答案】C【解析】由題意，小明闖關(guān)失敗的概率.故選：C.二、選擇題9.已知函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，其中，則（）A.直線為函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸B.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)镈.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象【答案】ACD【解析】由函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，則，得，即，，又，得，所以．對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，所以直線為函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸，故A正確；對(duì)于B，令，，解得，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，則，所以，故C正確；對(duì)于D，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到，故D正確．故選：ACD．10.大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)《易傳》“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，大衍數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量的總和.大衍數(shù)列從第一項(xiàng)起依次為0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….記大衍數(shù)列的前項(xiàng)和為，其通項(xiàng)公式.則（）參考公式：A.是數(shù)列中的項(xiàng) B.C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)A：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，解得，不符題意；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，解得，符合題意，故A正確；對(duì)B：，故B正確；對(duì)C：由題意知，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：故D正確；故選：ABD.11.在的展開(kāi)式中，若第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則（）A.展開(kāi)式中的系數(shù)為B.展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)的和為C.展開(kāi)式中系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第項(xiàng)D.從展開(kāi)式中任取2項(xiàng)，取到的項(xiàng)都是的整數(shù)次冪的概率為【答案】BD【解析】由題知展開(kāi)式，其中第項(xiàng)與第項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，得，得對(duì)A：由展開(kāi)式，得，所以得的系數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：由的展開(kāi)式中，令，得展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)的和為，故B正確；對(duì)C：展開(kāi)式中的系數(shù)加絕對(duì)值后為，第項(xiàng)系數(shù)為，第項(xiàng)系數(shù)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：由，共有項(xiàng)，其中當(dāng)時(shí)，為整數(shù)，所以在展開(kāi)式中任取項(xiàng)，取到的項(xiàng)都是的整數(shù)次冪的概率為，故D正確.故選：BD.12.已知?jiǎng)t（）A.當(dāng)時(shí)，無(wú)最大值B.當(dāng)時(shí)，無(wú)最小值C.當(dāng)時(shí)，的值域是(-∞，2]D.當(dāng)時(shí)，的值域是[2，+∞)【答案】AD【解析】對(duì)于AB選項(xiàng)，，.，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故無(wú)最大值，則A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于CD選項(xiàng)，.當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，則此時(shí)；當(dāng)時(shí)，注意到，則.令.注意到，均在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增.因，，則，使.則.即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.注意到，則，則，又，則，即在上單調(diào)遞減，則，綜上，當(dāng)時(shí)，的值域是[2，+∞).故C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD.三、填空題13.已知雙曲線的離心率為則_____.【答案】1【解析】依題意，雙曲線的離心率，所以.故答案為：114.在平行四邊形中，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則______________.【答案】【解析】，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，，則，有，，，，，.故答案為：15.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是棱(不包含端點(diǎn))上一動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】由題知以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，，，，設(shè)，，得，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，所以點(diǎn)到平面的距離，又因?yàn)椋?，由題知，所以為等邊三角形，其面積，所以三棱錐的體積，故答案為：.16.已知定義在上的函數(shù)滿足為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為_(kāi)______________.【答案】【解析】令，所以，因?yàn)椋裕?jiǎn)得，所以在上是偶函數(shù)，因?yàn)椋驗(yàn)楫?dāng)，，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所有在上單調(diào)遞減，由，得，又因?yàn)?，所以，所以，解得或，所以不等式的解集?故答案為：.四、解答題17.已知的三個(gè)角的對(duì)邊分別為，且（1）求B；（2）若，求的面積.解：（1）在中，因?yàn)橛烧叶ɡ砜傻茫核运哉淼糜?，所以，所以得因?yàn)椋?；?）由（1）知，，又，在中，由余弦定理，得，所以，解得或（舍去），所以的面積.18.已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）已知設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為當(dāng)n∈時(shí)，，求實(shí)數(shù)λ的范圍.條件:①，且等差數(shù)列；②；③請(qǐng)從這三個(gè)條件中任選一個(gè)，并將其序號(hào)填寫(xiě)在答題卡對(duì)應(yīng)位置，并完成解答.解：（1）若選①，因數(shù)列中，，所以數(shù)列{}為等比數(shù)列.設(shè){}的公比為q，則，由題意得，又，可得，即，則有，因?yàn)?，解得，故；若選②，因?yàn)?，所?所以.當(dāng)時(shí)，有，且，.所以數(shù)列{}是首項(xiàng),公比的等比數(shù)列，所以；若選③，由，所以，所以.當(dāng)時(shí)，，所以所以，數(shù)列{}為以首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，所以；（2）由（1）可知:數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和，則，兩式相減可得:，所以.不等式,注意到數(shù)列為遞增數(shù)列，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，取，可得；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，取，可得.綜上，實(shí)數(shù)λ取值范圍是.19.黨的二十大以來(lái)，國(guó)家不斷加大對(duì)科技創(chuàng)新的支持力度，極大鼓舞了企業(yè)持續(xù)投入研發(fā)的信心.某科技企業(yè)在國(guó)家一系列優(yōu)惠政策的大力扶持下，通過(guò)不斷的研發(fā)和技術(shù)革新，提升了企業(yè)收益水平.下表是對(duì)2023年1~5月份該企業(yè)的利潤(rùn)y(單位：百萬(wàn))的統(tǒng)計(jì).月份1月2月3月4月5月月份編號(hào)x12345利潤(rùn)y(百萬(wàn))712131924（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表，求該企業(yè)的利潤(rùn)y與月份編號(hào)x的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)，并判斷它們是否具有線性相關(guān)關(guān)系（，則認(rèn)為y與x的線性相關(guān)性較強(qiáng)，，則認(rèn)為y與x的線性相關(guān)性較弱.）；（2）該企業(yè)現(xiàn)有甲、乙兩條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品.為對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)控，質(zhì)檢人員先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從甲、乙兩條流水線上分別抽取了5件、3件產(chǎn)品進(jìn)行初檢，再?gòu)闹须S機(jī)選取3件做進(jìn)一步的質(zhì)檢，記抽到“甲流水線產(chǎn)品”的件數(shù)為，試求的分布列與期望.附：相關(guān)系數(shù)解：（1）由統(tǒng)計(jì)表數(shù)據(jù)可得:所以所以相關(guān)系數(shù)，因此，兩個(gè)變量具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性.（2）由題意知，的可能取值為因?yàn)?，，所以的分布列為：所?0.如圖，在多面體中，四邊形為菱形，且∠ABC=60°，AE⊥平面ABCD，AB=AE=2DF，AEDF.（1）證明：平面AEC⊥平面CEF；（2）求平面ABE與平面CEF夾角的余弦值.（1）證明：如圖，取EC的中點(diǎn)H，連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)HO、HF.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，則AC⊥BD.又AE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以AE⊥BD.因?yàn)锳E?平面AEC，AC?平面AEC，且AE∩AC=A，所以BD⊥平面AEC.因?yàn)镠、O分別為EC、AC的中點(diǎn)，所以HO∥EA，且又AE∥DF，且.所以HO∥DF，且HO=DF，所以四邊形HODF為平行四邊形，所以HF∥OD，即HF∥BD，所以HF⊥平面AEC.因?yàn)镠F?平面CEF，所以平面AEC⊥平面CEF.（2）解：取CD中點(diǎn)M，連接AM.因?yàn)榱庑蜛BCD中，∠ABC=60°，所以ACD為正三角形，又M為CD中點(diǎn)，所以AM⊥CD，因?yàn)锳B∥CD，所以AM⊥AB.因?yàn)锳E⊥平面ABCD，AB，AM?平面ABCD，所以AE⊥AB，AE⊥AM.如圖，以A為原點(diǎn)，AB，AM，AE所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)AB=AD=AE=2DF=2，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1，0)，，E(0，0，2)，因?yàn)锳M⊥平面ABE，所以為平面ABE的一個(gè)法向量，設(shè)平面CEF的法向量為，因?yàn)椋?，不妨令，?設(shè)平面ABE與平面CEF夾角為θ，則，所以平面ABE與平面CEF夾角的余弦值為.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的圖象在點(diǎn)處的切線方程;（2）當(dāng)時(shí)，證明：.（1）解：當(dāng)時(shí)，，則所以，又因?yàn)?，故所求切線方程為，即.（2）證明：因?yàn)榈亩x域是，所以當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，設(shè)則在上恒成立，所以在上是增函數(shù)，則，又因?yàn)?，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，所以在上存在唯一零點(diǎn)，也是在上的唯一零點(diǎn)，所以，即，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以由于，所以，，，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，，即成立.22.已知橢圓E的左、右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.（1）求橢圓的方程;（2）點(diǎn)，分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，過(guò)直線上任意一點(diǎn)作直線和，分別交橢圓于，兩點(diǎn).證明：直線過(guò)定點(diǎn).（1）解：由題意知，