數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)7.5正態(tài)分布 課件

選修三《第七章

隨機(jī)變量及其分布》

7.5正態(tài)分布離散型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用分布列描述，

(兩點(diǎn)分布、超幾何分布、二項(xiàng)分布等)

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用什么來(lái)描述？人的身高、體重、肺活量；電視機(jī)的壽命；小麥的株高、穗長(zhǎng)、單位面積產(chǎn)量；零件的尺寸；某地每年7月的平均氣溫、降水量；居民的月均用水量……它們的取值往往充滿某個(gè)區(qū)間甚至整個(gè)實(shí)軸問(wèn)題：自動(dòng)流水線包裝的食鹽，每袋標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為400g.由于各種不可控的因素，任意抽取一袋食鹽的質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之間或多或少會(huì)存在一定的誤差(實(shí)際質(zhì)量減去標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量).用X表示這種誤差，則X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量.檢測(cè)人員在一次產(chǎn)品檢驗(yàn)中，隨機(jī)抽取了100袋食鹽，獲得誤差X(單位：g)的觀測(cè)值如下：(1)如何描述這100個(gè)樣本誤差數(shù)據(jù)的分布？(1)如何描述這100個(gè)樣本誤差數(shù)據(jù)的分布？可用頻率分布直方圖描述這組誤差數(shù)據(jù)的分布，如圖所示.其中每個(gè)小矩形的面積表示誤差落在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的頻率，觀察圖形可知：誤差觀測(cè)值有正有負(fù)，并大致對(duì)稱地分布在X=0的兩側(cè)，而且小誤差比大誤差出現(xiàn)得更頻繁.隨著樣本數(shù)據(jù)量越來(lái)越大，讓分組越來(lái)越多，組距越來(lái)越小，由頻率的穩(wěn)定性可知，頻率分布直方圖的輪廓就越來(lái)越穩(wěn)定，接近一條光滑的鐘形曲線.頻率分布折線圖光滑的鐘形曲線可用圖中的鐘形曲線(曲線與水平軸之間的區(qū)域的面積為1)來(lái)描述袋裝食鹽質(zhì)量誤差的概率分布.例如，任意抽取一袋食鹽，誤差落在[-2，-1]內(nèi)的概率，可用圖中黃色陰影部分的面積表示.(2)如何構(gòu)建適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ涂坍嬚`差X的分布？(3)由函數(shù)知識(shí)知，右圖中的鐘形曲線是一個(gè)函數(shù).那么，這個(gè)函數(shù)是否存在解析式呢？100個(gè)數(shù)據(jù)(食鹽質(zhì)量誤差)100個(gè)數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖輪廓n(n>>100)個(gè)數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖輪廓接近一條光滑的鐘型曲線正態(tài)密度曲線新知1：正態(tài)密度函數(shù)新知2：正態(tài)密度曲線(σ越小,峰值越高,曲線越高瘦,X的分布越集中)新知3：正態(tài)分布參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置，參數(shù)σ反映了隨機(jī)變量的分布相對(duì)于均值的離散程度.在實(shí)際問(wèn)題中，參數(shù)μ和σ可以分別用樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì).鞏固：正態(tài)曲線1.如圖所示，是一個(gè)正態(tài)曲線．試根據(jù)該圖象寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機(jī)變量的均值和方差．鞏固：正態(tài)密度函數(shù)P86-例.李明上學(xué)有時(shí)坐公交車,有時(shí)騎單車,他各記錄了50次坐公交車和騎單車所花的時(shí)間,經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到:坐公交車平均用時(shí)30min,樣本方差為36;騎單車平均用時(shí)34min,樣本方差為4.假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布.(1)估計(jì)X，Y的分布中的參數(shù)；(2)根據(jù)(1)中的估計(jì)結(jié)果，利用信息技術(shù)工具畫出X和Y的分布密度曲線；解：(1)隨機(jī)變量X的樣本均值為30，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為6，

隨機(jī)變量Y的樣本均值為34，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2，

用樣本均值估計(jì)參數(shù)μ，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)參數(shù)σ，

可得X~N(30，62)，Y~N(34，22).鞏固：正態(tài)密度函數(shù)P86-例.李明上學(xué)有時(shí)坐公交車,有時(shí)騎單車,他各記錄了50次坐公交車和騎單車所花的時(shí)間,經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到:坐公交車平均用時(shí)30min,樣本方差為36;騎單車平均用時(shí)34min,樣本方差為4.假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布.(3)如果某天有38min可用，李明應(yīng)選擇哪種交通工具?

如果某天只有34min可用，又應(yīng)該選擇哪種交通工具?請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1)X~N(30，62)，Y~N(34，22).若有38min可用，則騎單車不遲到的概率大，應(yīng)選擇騎單車；若只有34min可用，則坐公交車不遲到的概率大，應(yīng)選擇坐公交車.(3)應(yīng)選擇在給定時(shí)間內(nèi)不遲到的概率大的交通工具.由圖知，P(X≤38)<P(Y≤38)，P(X≤34)>P(Y≤34).正態(tài)分布的應(yīng)用

正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計(jì)中占有重要地位，它廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實(shí)踐之中.

在現(xiàn)實(shí)生活中，很多隨機(jī)變量都服從或近似服從正態(tài)分布.例如，某些物理量的測(cè)量誤差，某一地區(qū)同年齡人群的身高、體重、肺活量等，一定條件下生長(zhǎng)的小麥的株高、穗長(zhǎng)、單位面積產(chǎn)量，自動(dòng)流水線生產(chǎn)的各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)(如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容)，某地每年7月的平均氣溫、平均濕度、降水量等，一般都近似服從正態(tài)分布.新知4：3σ原則

3

原則：在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(,2)的隨機(jī)變量X只取(

-3

,

+3

)之間的值.盡管正態(tài)變量X的取值范圍是R，但X的取值幾乎總是落在區(qū)間[

-3

,

+3

]內(nèi)；取值落在此區(qū)間以外的概率大約只有0.0027，為小概率事件，通常認(rèn)為這種情況幾乎不可能發(fā)生.鞏固：正態(tài)曲線和3σ原則P87-1.設(shè)隨機(jī)變量X～N(0,1)，則X的密度函數(shù)為_(kāi)______________,P(X≤0)=_________，P(|X|≤1)=________,P(X<1)=_________，P(X>1)=________.(精確到0.0001.)0.50.68270.84140.1586方法：把普通的待求區(qū)間向(μ?σ，μ+σ)，(μ?2σ，μ+2σ)，(μ?3σ，μ+3σ)這三個(gè)區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用3個(gè)特殊概率、0.5、1等求出相應(yīng)概率.鞏固：正態(tài)曲線和3σ原則P87-2.某市高二年級(jí)男生的身高X(單位：cm)近似服從正態(tài)分布N(170,52)，隨機(jī)選擇一名本市高二年級(jí)的男生，求下列事件的概率：(1)P(165<X≤175)=___________(2)P(X≤165)=__________(3)P(X>175)=__________0.68270.158650.15865P87-4.袋裝食鹽標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為400g，規(guī)定誤差的絕對(duì)值不超過(guò)4g就認(rèn)為合格.假設(shè)誤差服從正態(tài)分布，隨機(jī)抽取100袋食鹽，誤差的樣本均值為0，樣本方差為4，請(qǐng)你估計(jì)這批袋裝食鹽的合格率.鞏固：正態(tài)曲線和3σ原則練習(xí).在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績(jī)X服從一個(gè)正態(tài)分布N(90，100)，若這次考試共有2000名考生，試估計(jì)考試成績(jī)?cè)赱80，100]間的考生大約有________人.析：2000×0.6827=1365P91-12.某城市高中數(shù)學(xué)統(tǒng)考，假設(shè)考試成績(jī)服從正態(tài)分布