撫州市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精撫州市2019—2020學(xué)年度上學(xué)期學(xué)生學(xué)業(yè)發(fā)展水平測(cè)試高二年級(jí)理科數(shù)學(xué)試題卷一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分。每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng))1。某社區(qū)有600個(gè)家庭，其中高收入家庭120戶,中等收入家庭420戶,低收入家庭60戶.為調(diào)查社會(huì)購(gòu)買力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為100戶的樣本,記作①;某學(xué)校高中二年級(jí)有15名男籃球運(yùn)動(dòng)員，要從中選出3人調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況,記作②.那么完成上述兩項(xiàng)調(diào)查應(yīng)采用的抽樣方法是()A。①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣②系統(tǒng)抽樣B.①分層抽樣②簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣C。①系統(tǒng)抽樣②分層抽樣D.①分層抽樣②系統(tǒng)抽樣【答案】B【解析】對(duì)于①，∵社會(huì)購(gòu)買力的某項(xiàng)指標(biāo),受到家庭收入的影響，而社區(qū)中各個(gè)家庭收入差別明顯，∴要從中抽一個(gè)樣本容量是100的樣本應(yīng)該用分層抽樣法；對(duì)于②，由于樣本容量不大，且抽取的人數(shù)較少，故采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法故選：B．2。某工廠對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測(cè).右圖是根據(jù)抽樣檢測(cè)后的產(chǎn)品凈重(單位：克）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是［96，106]，樣本數(shù)據(jù)分組為[96，98）,［98，100），［100，102）,[102,104),［104，106］，已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個(gè)數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是（)。A。90 B。75 C.60 D。45【答案】A【解析】樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的頻率為（0。050＋0。100)×2＝0.3，頻數(shù)為36，∴樣本總數(shù)為.∵樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的頻率為(0。100＋0。150＋0.125）×2＝0。75，∴樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)為120×0。75＝90。考點(diǎn)：頻率分布直方圖。3.假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限和所支出的維修費(fèi)用（萬(wàn)元)，有如下的統(tǒng)計(jì)資料：12345567810由資料可知對(duì)呈線性相關(guān)關(guān)系，且線性回歸方程為，請(qǐng)估計(jì)使用年限為20年時(shí)，維修費(fèi)用約為（）A。26.2 B。27 C.27。6 D.28.2【答案】C【解析】【分析】先由表格中數(shù)據(jù)求出，的平均值，再由回歸直線必過(guò)樣本中心求出，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】由題意可得:,，因此這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)是，由回歸直線必過(guò)樣本中心可得：，解得；因此線性回歸方程為，所以使用年限為20年時(shí)，維修費(fèi)用約為。故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸直線方程，熟記線性回歸直線必過(guò)樣本中心即可，屬于?？碱}型.4.如下圖,該程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果為（）A。7 B。15 C.31 D。63【答案】D【解析】試題分析：由題意可知，當(dāng)A=1時(shí)滿足條件執(zhí)行循環(huán)體,S=3，A=2;繼續(xù)判斷條件執(zhí)行循環(huán)體，S=7，A=3；繼續(xù)判斷條件執(zhí)行循環(huán)體，S=15，A=4；繼續(xù)判斷條件執(zhí)行循環(huán)體，S=31，A=5；判斷條件執(zhí)行循環(huán)體，S=63，A=6，滿足條件結(jié)束循環(huán),所以輸出S=63，答案選D.考點(diǎn)：算法與程序框圖5.命題“若，則”的否命題為（）A.若，則 B.若，則C。若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】直接利用否命題的定義求解即可?！驹斀狻恳?yàn)榉衩}是條件和結(jié)論都要否定，所以命題“若,則”的否命題為“若，則”，故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查否命題的基本概念，意在考查對(duì)基本概念的理解與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6。已如向量，且與互相垂直，則

A。 B. C. D?！敬鸢浮緽【解析】根據(jù)題意，，因?yàn)椋?，則，即，故選7.已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余3件為合格品。現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，至少有一件次品的概率為（）A。0.4 B。0.6 C.0.7 D。0.8【答案】C【解析】【分析】利用組合知識(shí),由古典概型概率公式可得結(jié)果?！驹斀狻?件產(chǎn)品中任取2件共有10種取法,2件都是次品的情況有3種,至少有一件次品的取法由10-3=7種，至少有一件次品的概率為，故選：C.【點(diǎn)睛】在求解有關(guān)古典概型概率的問(wèn)題時(shí)，首先求出樣本空間中基本事件的總數(shù)，其次求出概率事件中含有多少個(gè)基本事件，然后根據(jù)公式求得概率.8。已知橢圓（）的左右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在一點(diǎn)使得，則這橢圓的離心率的取值范圍為（）A。 B。 C. D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】利用正弦定理，結(jié)合橢圓的定義以及焦半徑的取值范圍列出關(guān)于的不等式，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】由正弦定理得因?yàn)?，即，又，故選：D。【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義與幾何性質(zhì)，考查了正弦定理的應(yīng)用,屬于中檔題.求離心率范圍問(wèn)題應(yīng)先將用有關(guān)的一些量表示出來(lái)，再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于的不等式，從而求出的范圍。9。設(shè)向量，若，則的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)模的公式可得點(diǎn)在以為圓心,以1為半徑的圓上及圓的內(nèi)部，結(jié)合表示的是圖中直線上方且在圓內(nèi)的弓形，求出圓的面積與弓形的面積利用幾何概型可得結(jié)果?！驹斀狻恳?yàn)?且,所以,點(diǎn)在以為圓心，以1為半徑的圓上及圓的內(nèi)部，表示的是圖中直線上方且在圓內(nèi)的弓形，而圓的面積為，，的概率為，故選：B?！军c(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型中的面積類型，基本方法是：分別求得構(gòu)成事件A的區(qū)域面積和試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域面積，兩者求比值，即為概率．10.已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與該拋物線交于，兩點(diǎn)，且，則直線的方程為(）A. B. C。 D.【答案】B【解析】【分析】作與準(zhǔn)線垂直，垂足為；作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，作于,利用拋物線的定義以及勾股定理，可求出直線的斜率，再由點(diǎn)斜式可得結(jié)果.【詳解】作與準(zhǔn)線垂直，垂足為；作與準(zhǔn)線垂直,垂足為，作于，因?yàn)?，?所以可設(shè)，則，，可得，直線的斜率為，又因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，所以直線的方程為，故選：B?！军c(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義和幾何性質(zhì)，屬于中檔題.與焦點(diǎn)、準(zhǔn)線有關(guān)的問(wèn)題一般情況下都與拋物線的定義有關(guān),解決這類問(wèn)題一定要注意點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離的轉(zhuǎn)化：（1）將拋線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離；（2）將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，使問(wèn)題得到解決。11.如圖，在正四棱柱中，是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且記與平面所成的角為，則的最大值為A. B。 C。 D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】建立以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)，利用，轉(zhuǎn)化為，得出，利用空間向量法求出的表達(dá)式,并將代入的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的最大值．【詳解】如下圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、，設(shè)點(diǎn)，則，，，，,則，得，平面的一個(gè)法向量為，所以，，當(dāng)時(shí),取最大值，此時(shí)，也取最大值,且，此時(shí),，因此，，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，考查直線與平面所成角的最大值的求法，對(duì)于這類問(wèn)題，一般是建立空間坐標(biāo)系，在動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)內(nèi)引入?yún)?shù)，將最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問(wèn)題求解,考查運(yùn)算求解能力,屬于難題．12.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上不與左右頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，，分別為的內(nèi)心和重心,當(dāng)軸時(shí)，橢圓的離心率為()A. B. C. D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】結(jié)合圖像，利用點(diǎn)坐標(biāo)以及重心性質(zhì),得到G點(diǎn)坐標(biāo),再由題目條件軸,得到點(diǎn)橫坐標(biāo)，然后兩次運(yùn)用角平分線的相關(guān)性質(zhì)得到的比值,再結(jié)合與相似，即可求得點(diǎn)縱坐標(biāo)，也就是內(nèi)切圓半徑，再利用等面積法建立關(guān)于的關(guān)系式,從而求得橢圓離心率.【詳解】如圖，令點(diǎn)在第一象限（由橢圓對(duì)稱性,其他位置同理），連接，顯然點(diǎn)在上，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn),連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，軸,過(guò)點(diǎn)作垂直于軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn),,則，因?yàn)闉榈闹匦模?因?yàn)檩S，所以點(diǎn)橫坐標(biāo)也為，，因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，則有，又因?yàn)?，所以可得，又由角平分線的性質(zhì)可得，，而所以得,所以，,所以，即，因?yàn)榧?，解得，所以答案為A?！军c(diǎn)睛】本題主要考查離心率求解，關(guān)鍵是利用等面積法建立關(guān)于的關(guān)系式,同時(shí)也考查了重心坐標(biāo)公式，以及內(nèi)心的性質(zhì)應(yīng)用，屬于難題。橢圓離心率求解方法主要有：(1)根據(jù)題目條件求出，利用離心率公式直接求解.（2）建立的齊次等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知空間單位向量，，兩兩互相垂直，且,則______.【答案】3【解析】【分析】利用單位向量的模為1、垂直向量數(shù)量積為0,以及向量數(shù)量積的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可?！驹斀狻恳?yàn)閱挝幌蛄?，，兩兩互相垂?且，所以，故答案為:3.【點(diǎn)睛】向量數(shù)量積的運(yùn)算主要掌握兩點(diǎn)：一是數(shù)量積的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方14.如圖是某賽季甲乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖，則甲乙兩人比賽得分的中位數(shù)之和是．【答案】64【解析】試題分析:由圖可知甲的得分共有9個(gè)，中位數(shù)為28,∴甲的中位數(shù)為28，乙的得分共有9個(gè)，中位數(shù)為36，∴乙的中位數(shù)為36，則甲乙兩人比賽得分的中位數(shù)之和是64考點(diǎn):莖葉圖與中位數(shù)15.橢圓：的左焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn).當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最大時(shí)，則的值等于______?！敬鸢浮?【解析】【分析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為E,由橢圓的定義得△FAB的周長(zhǎng):AB+AF+BF=AB+(2a?AE）+(2a?BE）=4a+AB?AE?BE，利用三角形兩邊之和與第3邊的關(guān)系即可得結(jié)果?！驹斀狻吭O(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為E。如圖:由橢圓定義得△FAB的周長(zhǎng)為：AB+AF+BF=AB+(2a?AE）+(2a?BE)=4a+AB?AE?BE;∵AE+BEAB;∴AB?AE?BE0，當(dāng)AB過(guò)點(diǎn)E時(shí)取等號(hào)；∴AB+AF+BF=4a+AB?AE?BE4a;即直線x=m過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)E時(shí)△FAB的周長(zhǎng)最大；此時(shí)直線x=m=c=4；故答案為：4。【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義與幾何性質(zhì)，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力，屬于中檔題。16.已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面底面，且，則該四棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_____?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥吭O(shè)正方形的中心，三角形的外心，取的中點(diǎn),分別以,為鄰邊作一個(gè)矩形，可證明，點(diǎn)就是該外接球的球心，求出球半徑，進(jìn)而可得結(jié)果?！驹斀狻吭O(shè)正方形的中心，三角形的外心，取的中點(diǎn)，連，，則,，分別以，為鄰邊作一個(gè)矩形，如圖，因?yàn)閭?cè)面底面，則平面，平面，則，所以點(diǎn)就是該外接球的球心,由，可得，在中，，外接圓的表面積為,故答案為：.【點(diǎn)睛】要求外接球的表面積和體積,關(guān)鍵是求出球的半徑，求外接球半徑的常見(jiàn)方法有:①若三條棱兩垂直則用（為三棱的長(zhǎng))；②若面（)，則（為外接圓半徑)；③可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球；④特殊幾何體可以直接找出球心和半徑（球心在過(guò)底面多邊形的外心且與底面垂直的直線上).三、(本大題共6小題，第17題10分，第18－22題每小題12分,共70分）17.已知命題:關(guān)于的不等式無(wú)解；命題：指數(shù)函數(shù)是上的增函數(shù).（1)若命題為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2）若滿足為假命題且為真命題的實(shí)數(shù)取值范圍是集合，集合，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）利用判別式求得為真時(shí)的取值范圍.根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得為真時(shí)的取值范圍.由于為真命題，所以真真，求兩個(gè)的范圍的交集，得到最終的取值范圍。（2）求得假真時(shí)的取值范圍，即集合，根據(jù)列不等式組，解不等式組求得的取值范圍?！驹斀狻拷?（1)由為真命題知,解得，所以的范圍是，由真命題知,,，取交集得到.綜上，的范圍是.（2）由（1）可知，當(dāng)為假命題時(shí)，；為真命題，則解得：則的取值范圍是即，而，可得，解得：所以,的取值范圍是【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)命題的真假性，求參數(shù)的取值范圍，考查一元二次不等式解集為空集的條件,考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查子集的概念和運(yùn)用，屬于中檔題。18。已知橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2）已知直線與橢圓交于,,且已知線段的中點(diǎn)為，求直線的方程?！敬鸢浮?1);（2）。【解析】【分析】（1）設(shè)橢圓方程為，代入點(diǎn)可得m和n的方程組,解方程可得結(jié)果;（2）檢驗(yàn)可得M在橢圓內(nèi)，設(shè)是以M為中點(diǎn)的弦的兩個(gè)端點(diǎn),A,B的坐標(biāo)代入橢圓方程,相減，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線的斜率公式計(jì)算可得斜率，再由點(diǎn)斜式方程可得所求直線方程.【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為,因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，則有，，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)由可知M在橢圓內(nèi).設(shè)是以M為中點(diǎn)的弦的兩個(gè)端點(diǎn)，,則,，兩式相減得化為，整理得，則所求直線方程為,即.【點(diǎn)睛】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓的方程及“點(diǎn)差法"的應(yīng)用，屬于中檔題.對(duì)于有關(guān)弦中點(diǎn)問(wèn)題常用“點(diǎn)差法”，其解題步驟為:①設(shè)點(diǎn)（即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)）；②代入(即代入圓錐曲線方程)；③作差（即兩式相減，再用平方差公式分解因式);④整理（即轉(zhuǎn)化為斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式），然后求解。19。如圖，已知四棱錐的底面為棱形，且面，，，,且，分別為,的中點(diǎn)。（1）求證:面；（2）求二面角余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析;（2)?！窘馕觥俊痉治觥?1）先利用線面垂直的性質(zhì)證明,再由菱形的性質(zhì)可得，根據(jù)線面垂直的判定定理可得結(jié)果;（2)建立空間直角坐標(biāo)系，取的中點(diǎn),連，易證面，可得平面的一個(gè)法向量為，利用向量垂直數(shù)量積為零求出平面的法向量,利用空間向量加角余弦公式可求出二面角的余弦值?！驹斀狻浚?）∵平面∴又∵在菱形中，對(duì)角線為與∴又∵∴面（2）平面內(nèi)，過(guò)作直線與垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,，，，，，∴中點(diǎn),中點(diǎn)則取的中點(diǎn)，連,則，所以面，所以面的一個(gè)法向量為,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則∴令，則，∴令二面角的平面角為，易知該二面角為銳角∴.【點(diǎn)睛】空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：（1)觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離。20.某樂(lè)園按時(shí)段收費(fèi)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：每玩一次不超過(guò)小時(shí)收費(fèi)10元,超過(guò)小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)元（不足小時(shí)的部分按小時(shí)計(jì)算)．現(xiàn)有甲、乙二人參與但都不超過(guò)小時(shí),甲、乙二人在每個(gè)時(shí)段離場(chǎng)是等可能的．為吸引顧客，每個(gè)顧客可以參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)．(1)用表示甲乙玩都不超過(guò)小時(shí)的付費(fèi)情況，求甲、乙二人付費(fèi)之和為44元的概率；（2）抽獎(jiǎng)活動(dòng)的規(guī)則是：顧客通過(guò)操作按鍵使電腦自動(dòng)產(chǎn)生兩個(gè)［0，1］之間的均勻隨機(jī)數(shù)，并按如右所示的程序框圖執(zhí)行．若電腦顯示“中獎(jiǎng)”，則該顧客中獎(jiǎng)；若電腦顯示“謝謝”,則不中獎(jiǎng)，求顧客中獎(jiǎng)的概率．【答案】(1)(2)【解析】試題分析：（1）設(shè)甲付費(fèi)a元，乙付費(fèi)b元，其中a，b=10,18，26，34，由此利用列舉法能求出“甲、乙二人付費(fèi)之和為44元”的概率；（2）由已知0≤x≤1，0≤y≤1點(diǎn)（x，y）在正方形OABC內(nèi)，作出條件的區(qū)域，由此能求出顧客中獎(jiǎng)的概率試題解析：（1）設(shè)甲付費(fèi)元，乙付費(fèi)元，其中．則甲、乙二人的費(fèi)用構(gòu)成的基本事件空間為：共16種情形．其中，這種情形符合題意．故“甲、乙二人付費(fèi)之和為元”的概率為（2）由已知點(diǎn)如圖的正方形內(nèi)，由條件得到的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分由，令得；令得；由條件滿足的區(qū)域面積．設(shè)顧客中獎(jiǎng)的事件為，則顧客中獎(jiǎng)的概率考點(diǎn)：1.古典概型概率;2.幾何概型概率21。已知三棱錐（如圖1）的平面展開(kāi)圖(如圖2）中，四邊形為邊長(zhǎng)為的正方形,，均為正三角形,在三棱錐中。(1）求證：平面平面；（2）若點(diǎn)在棱上，滿足，，點(diǎn)在棱上，且，求得取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2).【解析】【分析】（1）設(shè)AC的中點(diǎn)為O,連接BO，PO，先證明PO⊥AC，PO⊥OB，可得PO⊥平面ABC，從而可得結(jié)論；（2）以O(shè)C，OB，OP所在直線分別為x軸,y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)，求出與的坐標(biāo)，令，得，化為,利用單調(diào)性可得結(jié)果?！驹斀狻浚?)設(shè)AC的中點(diǎn)為O，連接BO,PO．

由題意，得PA＝PB＝PC＝，