六年級奧數(shù)行程走停、變速問題（ABC級）

變速變道問題屬于行程中的綜合題，用到了比例、分步、分段處理等多種處理問題等解題方法。對于

這種分段變速問題，利用算術(shù)方法、折線圖法和方程方法解題各有特點。

算術(shù)方法對于運動過程的把握非常細致，但必須一步一步來；

折線圖則顯得非常直觀，每一次相遇點的位置也易于確定；

方程的優(yōu)點在于無需考慮得非常仔細，只需要知道變速點就可以列出等量關(guān)系式，把大量的推理過程

轉(zhuǎn)化成了計算.

行程問題常用的解題方法有

(1)公式法

即根據(jù)常用的行程問題的公式進行求解，這種方法看似簡單，其實也有很多技巧，使用公式不僅包括

公式的原形，也包括公式的各種變形形式；有時條件不是直接給出的，這就需要對公式非常熟悉，可以推

知需要的條件；

⑵圖示法

在一些復雜的行程問題中，為了明確過程，常用示意圖作為輔助工具.示意圖包括線段圖和折線圖.圖

示法即畫出行程的大概過程，重點在折返、相遇、追及的地點.另外在多次相遇、追及問題中，畫圖分析

往往也是最有效的解題方法；

⑶比例法

行程問題中有很多比例關(guān)系，在只知道和差、比例時，用比例法可求得具體數(shù)值.更重要的是，在一

些較復雜的題目中，有些條件(如路程、速度、時間等)往往是不確定的，在沒有具體數(shù)值的情況下，只能

用比例解題；

⑷分段法

在非勻速即分段變速的行程問題中，公式不能直接適用.這時通常把不勻速的運動分為勻速的幾段，

在每一段中用勻速問題的方法去分析，然后再把結(jié)果結(jié)合起來；

⑸方程法

在關(guān)系復雜、條件分散的題目中，直接用公式或比例都很難求解時，設(shè)條件關(guān)系最多的未知量為未知

數(shù)，抓住重要的等量關(guān)系列方程常常可以順利求解.

7國心箴

學會畫線段圖解決行程中的走停問題

能夠運用等式或比例解決較難的行程題

能夠利用以前學習的知識理清變速變道問題的關(guān)鍵點

能夠利用線段圖、算術(shù)、方程方法解決變速變道等綜合行程題。

盛做］題叫榜

一'走停問題

【例1】一輛汽車原計劃6小時從A城到B城。汽車行駛了一半路程后，因故在途中停留了30分鐘。如

果按照原定的時間到達B城，汽車在后一半路程的速度就應(yīng)該提高12千米/時，那么A、B兩城

相距多少千米？

I3汽車行駛了一半路程即行駛了3小時，那么他后一半路程行駛了2.5小時，2.5小時比原來2.5

小時多行駛2.5x12=30千米?則原來的速度為33（3-2.5）=60（千米）.那么A、B兩地相距60x6=360

爭

（千米）

【鞏固】一輛汽車從甲地開往乙地，每分鐘行750米，預計50分鐘到達.但汽車行駛到路程的班時,

出了故障，用5分鐘修理完畢，如果仍需在預定時間內(nèi)到達乙地，汽車行駛余下的路程時，每

分鐘必須比原來快多少米？

當以原速行駛到全程的補時，總時間也用了形，所以還剩下50x（1-補）=20分鐘的路程；修理

完畢時還剩下20-5=15分鐘，在剩下的這段路程上，預計時間與實際時間之比為20:15=4:3,

界嗨路程一定，速度比等于時間的反比，實際的速度與預定的速度之比也為4:3,因此每分鐘應(yīng)

比原來快750x4/3-750=250米.

［例2］甲每分鐘走80千米，乙每分鐘走60千米.兩人在A,B兩地同時出發(fā)相向而行在E相遇，如果甲

在途中休息7分鐘，則兩人在F地相遇，己知為C為AB中點，而EC=FC,那么AB兩地相距多

少千米？

4份3份

>?<

A.3份JCEB

【考點】彳亍程問題之走停問題【難度】3星【題型】填空

【解析】由速度比甲：乙=4:3得AE:BE=4:3即假設(shè)AE為4份，則BE為3份.因為C為中點，且EC=FC

31

所以AF=3份.在速度比不變的情況下，同樣的時間甲走3份路程，乙應(yīng)該走3x2=2士份路程.那

44

17

么，在甲休息時，乙多走的7分鐘路程就相當于4份-22份=■!?份.AB總距離為：（60x7）

44

+2x7=1680千米

4

【鞏固】一輛大轎車與一輛小轎車都從甲地駛往乙地，大轎車的速度是小轎車速度的0.8倍.已知大轎車

比小轎車早出發(fā)17分鐘，它在兩地中點停了5分鐘后，才繼續(xù)駛往乙地；而小轎車出發(fā)后中途

沒有停，直接駛往乙地，最后小轎車卻比大轎車早4分鐘到達乙地.又知大轎車是上午10時從

甲地出發(fā).求小轎車追上大轎車的時間.

I小轎車晚于大轎車從甲地出發(fā)，先于大轎車到達乙地，說明兩車一定在中間某時間相遇.如圖

13-4,A（甲地）與B（乙地）中點記為C.則相遇地點可能在AC之間，可能在C點，也可能在CB之

間.另一方面，大轎車先出發(fā)17分鐘，晚到4分鐘，中間又停了5分鐘，一共比小轎車多走16

分，而大轎車的速度是小轎車的0.8倍.從這里可以求出從A到B大、小轎車在不停的情況下各

需要多少時間，再根據(jù)三種情況按順序判斷相遇地點在哪里.大轎車的速度是小轎車的0.8倍，

可以知道大轎車不停頓地從A到B所用的時間是小轎車的1.25倍；而由分析得出小轎車比大轎

車少用16分鐘，用差倍問題可以得出走完全程小轎車需要用時：16+（1.25-1）=64分鐘.大轎車用

時：64x1.25=80分鐘.大轎車從A到C用時80+2=40分鐘，在C停留5分鐘，離開C時10時45

分.而小轎車在10時17分出發(fā)，經(jīng)過64+2=32分鐘到達C,即10時49分到達C也就是說，

小轎車在C時，與大轎車相差大轎車4分鐘行駛的路程.而另一方面，小轎車10時17+64分，

即11時21分到達B,此時大轎車距小轎車相差也是大轎車4分鐘的行駛的路程，只不過這一次

小轎車在前面.小轎車由在大轎車后面大轎車4分鐘的路程，變?yōu)榇筠I車前距大轎車4分鐘路程，

易知小轎車一定在這兩個時刻的中點與大轎車相遇，即10點49分與11時21分的中點相遇.即

11時5分小轎車追上大轎車.

【例3】甲、乙兩人分別從相距35.8千米的兩地出發(fā)，相向而行.甲每小時行4千米，但每行30分

鐘就休息5分鐘；乙每小時行12千米，則經(jīng)過小時分的時候兩人相遇.

經(jīng)過2小時15分鐘的時候，甲實際行了2小時，行了4x2=8千米，乙則行了12x2^=27千

4

米，兩人還相距35.8-27-8=0.8千米，此時甲開始休息，乙再行0.8+12x60=4分鐘就能與甲相

遇.所以經(jīng)過2小時19分的時候兩人相遇.

【鞏固】甲乙兩人同時從A地出發(fā)，以相同的速度向B地前進。甲每行5分鐘休息2分鐘；乙每行210

米休息3分鐘。甲出發(fā)后50分鐘到達B地，乙到達B地比甲遲了10分鐘。已知兩人最后一次

的休息地點相距70米，兩人的速度是每分鐘行多少米？

50

【例4】甲乙二人從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，甲每分鐘行80米，乙每分鐘行60米.出發(fā)一段時間

后，二人在距離中點120米處相遇.如果甲出發(fā)后在途中某地停留了一會兒，二人還將在距中點

120米處相遇.問：甲在途中停留了多少分鐘？

第一次，甲比乙多走的路程S注=120x2=240米，根據(jù)公式S皮=(匕-匕)*，，可知兩人的相

遇時間為240+(80-60)=12min,兩地相距(80+60)x12=1680米；兩次相遇地點關(guān)于中點對

稱，則可知，乙第二次比第一次多走的路程也是S氈=120x2=240米，所以乙比第一次多用了

240+60=4分鐘；甲第二次比第一次少走的路程也是240米，甲比第一次少用了240+80=3分

鐘，所以甲在途中停留了4+3=7分鐘.

【鞏固】甲、乙兩人同時從A、B兩點出發(fā)，甲每分鐘行80米，乙每分鐘行60米，出發(fā)一段時間后，

兩人在距中點的C處相遇；如果甲出發(fā)后在途中某地停留了7分鐘，兩人將在距中點的D處

相遇，且中點距C、D距離相等，問A、B兩點相距多少米？

甲、乙兩人速度比為80:60=4:3,相遇的時候時間相等，路程比等于速度之比，相遇時甲走了

全程的47，乙走了全程的第二次甲停留，乙沒有停留，且前后兩次相遇地點距離中點相等，

所以第二次乙行了全程的的，甲行了全程的y7.由于甲、乙速度比為4:3,根據(jù)時間一定，路

程切x利比等于速度之比，所以甲行走期間乙走了，所以甲停留期間乙行了“7-37、利=皿，所

以A、B兩點的距離為60x7+1/4=1680(米).

［例5］某公共汽車線路中間有10個站。車有快車及慢車兩種，快車車速是慢車車速的1.2倍。慢車每

站都停，快車則只停靠中間1個站，每站停留時間都是3分。當某次慢車發(fā)出40分后，快車從

同一始發(fā)站開出，兩車恰好同時到達終點。問：快車從起點到終點共用多少時間？

68分.慢車比快車多停9個站，即多停27分，所以慢車比快車行駛的時間多40-27=13（分）.

因為快車速度是慢車的L2倍，所以快車追上慢車多行13分的路程需要13+（121）=65（分）。

再加上快車停車的3分，快車從起點到終點共用65+3=68（分）.

【鞏固】甲、乙兩地鐵路線長1000公里，列車從甲行駛到乙的途中停6站（不包括甲、乙），在每站停車

5分鐘，不計在甲乙兩站的停車時間，行駛?cè)坦灿?1.5小時?；疖囂崴?0%后，如果停靠車站

及停車時間不變，行駛?cè)坦灿枚嗌傩r？

6站，共停5x6=30分鐘=0.5小時,

原來速度為1000+（11.5-0.5）=UU2千米/小時

11

現(xiàn)在速度為呼"x（i+io%）=ioo千米/小時

11

行駛?cè)绦枰?0004-100=10小時

加上停止的0.5小時，行駛?cè)坦灿?0.5小時

【例6】龜兔賽跑，全程6千米，兔子每小時跑15千米，烏龜每小時跑3千米，烏龜不停的跑，但兔子

邊跑邊玩，它先跑1分鐘后玩20分鐘，又跑2分鐘后玩20分鐘，再跑3分鐘后玩20分鐘……

問它們誰勝利了？勝利者到終點時，另一個距離終點還有多遠？

烏龜不停的跑，所以烏龜跑完全程需要6+3=2（小時），即120分鐘，由于兔子邊跑邊玩，

120=20x5+0+2+3+4+5）+5,也就是兔子一共跑了1+2+3+4+5+5=20（分鐘），跑了

20*60x15=5（千米），即烏龜?shù)竭_終點時，兔子剛剛跑了5千米，所以烏龜勝利了，領(lǐng)先兔子

6-5=1（千米）

【鞏固】龜兔賽跑，全程5.2千米，兔子每小時跑20千米，烏龜每小時跑3千米.烏龜不停地跑；但兔

子卻邊跑邊玩，它先跑了1分鐘然后玩15分鐘，又跑2分鐘然后玩15分鐘，再跑3分鐘然后玩

15分鐘，.……那么先到達終點的比后到達終點的快多少分鐘?

斯】烏龜?shù)竭_終點所需時間為5.2+3x60=104分鐘.

兔子如果不休息，則需要時間5.2+20x60=15.6分鐘.

而兔子休息的規(guī)律是跑1、2、3、...分鐘后，休息15分鐘.

因為15.6=1+2+3+4+5+0.6,所以兔子休息了5x15=75分鐘，即兔子跑到終點所需時間為

15.6+75=90.6分鐘.

顯然，兔子先到達，先烏龜104-90.6=13.4分鐘達到終點.

二、變速問題

［例1］甲、乙二人在同一條圓形跑道上作特殊訓練：他們同時從同一地出發(fā)，沿相反方向跑，每人跑

完第一圈到達出發(fā)點后立即回頭加速跑第二圈，跑第一圈時，乙的速度是甲的速度的2.甲跑

3

第二圈的速度比第一圈提高了4，乙跑第二圈的速度提高了1,已知沿跑道看從甲、乙兩人第

35

二次相遇點到第一次相遇點的最短路程是190米，問這條跑道長多少米？

】從起跑由于跑第一圈時，乙的速度是甲的速度的三，所以第一次相遇的地方在距起點?（或者三）

355

處.由于甲的速度比乙快，所以甲先跑完第一圈，甲跑完第一圈時，乙跑了2圈，此時乙距出發(fā)

3

點還有:圈，根據(jù)題意，此時甲要回頭加速跑，即此時甲與乙方向相同，速度為乙的|'1+5+：=2

倍.所以乙跑完剩下的1圈時甲又跑了2圈，此時甲距出發(fā)點還有"!?圖，而乙又要回頭跑，所以

333

此時兩人相向而行，速度比為（1+：）:=5:3,所以兩人第二次相遇點距離出發(fā)點

lx—兩次相遇點間隔2+J.=21,注意到1_21=吧＜衛(wèi)，所以最短距離為工圈，所

35+38584040404040

以跑道長190+竺=400米.

40

【鞏固】甲、乙兩人沿400米環(huán)形跑道練習跑步，兩人同時從跑道的同一地點向相反方向跑去.相遇后甲

比原來速度增加4米/秒，乙比原來速度減少4米/秒，結(jié)果都用25秒同時回到原地.求甲原

來的速度.

I因為相遇前后甲、乙的速度和沒有改變，如果相遇后兩人合跑一圈用25秒，則相遇前兩人合跑

一圈也用25秒.

(法1)甲以原速。跑了25秒的路程與以(/+4)的速度跑了25秒的路程之和等于400米，

25%+25(5+4)=400,解得l=6米/秒.

(法2)由跑同樣一段路程所用的時間一樣，得到4+4=4,即二者速度差為4；而二者速度和為

4十七=哭=16,這是個典型的和差問題.可得4為：(16-4)+2=6米/秒.

【例7】一輛大貨車與一輛小轎車同時從甲地開往乙地，小轎車到達乙地后立即返回，返回時速度提高

50%o出發(fā)2小時后，小轎車與大貨車第一次相遇，當大貨車到達乙地時，小轎車剛好走到甲、

乙兩地的中點。小轎車在甲、乙兩地往返一次需要多少時間？

I此題的關(guān)鍵是分析清楚題目中所提到的小轎車返回時速度提高50%所帶來的變化，所以可以先假

設(shè)小轎車返回時速度不發(fā)生變化會是什么樣，然后再進行對比分析.如果小轎車返回時速度不提

高，那么大貨車到達乙地時，小轎車又走了甲、乙兩地距離的1+(1+50%)=1,所以，從甲地

23

到乙地小轎車與大貨車的速度比為：(l+i)：l=4:3,小轎車到達乙地時，大貨車走了全程的三，

34

還差L.小轎車從乙地返回甲地時，與大貨車的速度比為4x(1+50%):3=2:1,小轎車從乙地返

4

回到與大貨車相遇時，大貨車又走了全程的_Lx_!-----L,即相遇時大貨車共走了全程的

41+212

三+'=金，那么大貨車從甲地到乙地需要2+?=U.小時，小轎車從甲地到乙地需要=2小

412665545

99

時，小轎車往返一次需要-+-+(1+50%)=3小時.

55

【鞏固】甲、乙兩地間平路占1，由甲地去往乙地，上山路千米數(shù)是下山路千米數(shù)的2,一輛汽車從甲地

53

到乙地共行了10小時，已知這輛車行上山路的速度比平路慢20%,行下山路的速度比平路快

20%,照這樣計算，汽車從乙地回到甲地要行多長時間？

】根據(jù)題意，可以把甲、乙兩地之間的距離看作25,這樣兩地間的平路為5,從甲地去往乙地，上

山路為20x3=8,下山路為20x2—=12；再假設(shè)這輛車在平路上的速度為5,則上山時的

2+32+3

速度為4,下山時的速度為6,于是，由甲地去乙地所用的總時間為：8+4+5+5+12+6=5；從

乙地回到甲地時，汽車上山、下山的速度不變，但是原來的上山路變成了此時的下山路，原來的

下山路變成了此時的上山路，所以回來時所用的總時間為：12+4+5+5+8+6=5°.由于從甲

3

I,

地到乙地共行了10小時，所以從乙地回來時需要10+5x51=10*小時.

33

【例8】某校在400米環(huán)形跑道上進行1萬米比賽，甲、乙兩名運動員同時起跑后，乙的速度始終保持

不變，開始時甲比乙慢，在第15分鐘時甲加快速度，并保持這個速度不變，在第18分鐘時甲

追上乙并且開始超過乙。在第23分鐘時甲再次追上乙，而在23分50秒時甲到達終點。那么，

乙跑完全程所用的時間是多少分鐘？

I本題中乙的速度始終保持不變，甲則有提速的情況，但是甲提速后速度就保持不變，所以可以從

甲提速后的情況著手進行考慮.根據(jù)題意可知，甲加速后，每過23-18=5（分鐘）比乙多跑一

圈，即每分鐘比乙多跑400+5=80（米）.由于第18分鐘時甲、乙處于同一位置，則在23分50

秒時甲到達終點時，乙距終點的距離就是此時甲、乙之間的距離，即乙距離終點還有

80x^23^-18|=-^（41）,即乙在23分50秒內(nèi)跑了,0000-詈;米，由于乙的速度始終保

持不變，所以乙每分鐘跑

[10000--^^^+23—=400（米）.所以，乙跑完全程需要10000+400=25（分鐘）.

I3J60

【鞏固】甲、乙兩人在400米圓形跑道上進行10000米比賽.兩人從起點同時同向出發(fā)，開始時甲的速度

為每秒8米，乙的速度為每秒6米.當甲每次追上乙以后，甲的速度每秒減少2米，乙的速度每

秒減少0.5米.這樣下去，直到甲發(fā)現(xiàn)乙第一次從后面追上自己開始，兩人都把自己的速度每秒

增加。.5米，直到終點.那么領(lǐng)先者到達終點時，另一人距終點多少米？

【解析】對于這道題只能詳細的分析逐步推算，以獲得解答.

先求出當?shù)谝淮渭鬃飞弦視r的詳細情況，因為甲乙同向，所以為追擊問題.

甲、乙速度差為8-6=2米/秒，當甲第一次追上乙時，甲應(yīng)比乙多跑了一圈400米，即甲跑了

400+2x8=1600米，乙跑了4082x6=1200米.

相遇后，甲的速度變?yōu)?-2=6米/秒，乙的速度變?yōu)?-05=5.5米/秒?顯然，甲的速度大于乙，

所以仍是甲超過乙.

當甲第二次追上乙前，甲、乙速度差為6-5.5=0.5米/秒，追上乙時，甲應(yīng)在原基礎(chǔ)上再比乙多跑

一圈400米，于是甲又跑了40go.5x6=4800米，乙又跑了4010.5x5.5=4400米.

甲第二次追上乙后，甲的速度變?yōu)?-2=4米/秒，乙的速度變?yōu)?.595=5米/秒.顯然，現(xiàn)在

乙的速度大于甲，所以變?yōu)橐页^甲.

當乙追上甲時，甲、乙速度差為5-4=1米/秒，乙追上甲時，乙應(yīng)比甲多跑一圈400米，于是甲

又跑了4081x4=1600米，乙又跑了400-^1x5=2000米..

這時甲的速度變?yōu)?+0.5=4.5米/秒，乙的速度變?yōu)?+0.5=55米/秒并以這樣的速度跑完剩下的全程.

在這過程中甲共跑了1600+4800+1600=8000米，乙共跑了1200+4400+2000=7600米.

甲還剩下10000-8000=2000米的路程，乙還剩下10000-7600=2400米的路程.

顯然乙先跑完全程，此時甲還剩下2000-4.5x—=—=362米的路程.

5.51111

即當領(lǐng)先者到達終點時，另一人距終點36—米.

II

評注：此題考察了我們的分析問題的能力，也考察了我們對追擊這一基本行程問題的熟練程度.

【例9】小芳從家到學校有兩條一樣長的路，一條是平路，另一條是一半上坡路，一半下坡路.小芳上

學走這兩條路所用的時間一樣多.已知下坡的速度是平路的1.6倍，那么上坡的速度是平路速度

的多少倍？

I設(shè)小芳上學路上所用時間為2,那么走一半平路所需時間是1.由于下坡路與一半平路的長度相

同，根據(jù)路程一定，時間比等于速度的反比，走下坡路所需時間是1+1.6=』，因此，走上坡路

8

需要的時間是2-』=/,那么，上坡速度與平路速度的比等于所用時間的反比，為=

888

所以，上坡速度是平路速度的2倍.

11

【鞏固】王老師每天早上晨練，他第一天跑步1000米，散步1600米，共用25分鐘；第二天跑步2000

米，散步800米，共用20分鐘。假設(shè)王老師跑步的速度和散步的速度均保持不變?求：（1）王老

師跑步的速度；（2）王老師散步800米所用的時間。

I（1）第二天跑步2000米，散步800米，共用20分鐘，那么跑步4000米，散步1600米，共用

40分鐘，又已知跑步1000米，散步1600米，共用25分鐘，所以王老師跑步4000-1000=3000（米）,

用時40-25=15（分鐘），即王老師跑步的速度為3000445=200（米/分鐘）

（2）因為王老師跑步2000米，散步800米，共用時20分鐘，所以王老師散步800米，用時

2000

20-20-10=10（分）

200

【例10】甲、乙兩人同時同地同向出發(fā)，沿環(huán)形跑道勻速跑步.如果出發(fā)時乙的速度是甲的2.5倍，當乙

第一次追上甲時，甲的速度立即提高25%,而乙的速度立即減少20%,并且乙第一次追上甲的

地點與第二次追上甲的地點相距100米，那么這條環(huán)形跑道的周長是米.

如圖，設(shè)跑道周長為1,出發(fā)時甲速為2,則乙速為5.假設(shè)甲、乙從A點同時出發(fā)，按逆時針

方向跑.由于出發(fā)時兩者的速度比為2:5,乙追上甲要比甲多跑1圈，所以此時甲跑了

2s

1+(5-2)x2=-，乙跑，了一；此時雙方速度發(fā)生變化，甲的速度變?yōu)?x(1+25%)=2.5,乙的速

33

度變?yōu)?*(1-20%)=4,此時兩者的速度比為2.5:4=5:8；乙要再追上甲一次，又要比甲多跑1

明，則此次甲跑了1+(8-5)X5=H這個三就是甲從第一次相遇點跑到第二次相遇點的路程.從

33

環(huán)形跑道上來看，第一次相遇點跑到第二次相遇點之間的距離，既可能是3-1=2個周長，又可

33

能是2-3=2.個周長.

33

2I

那么，這條環(huán)形跑道的周長可能為100+-=150米或100+-=300米.

33

【鞏固】如圖所示，甲、乙兩人從長為400米的圓形跑道的A點背向出發(fā)跑步。跑道右半部分(粗線部分)

道路比較泥濘，所以兩人的速度都將減慢，在正常的跑道上甲、乙速度均為每秒8米，而在泥濘

道路上兩人的速度均為每秒4米。兩人一直跑下去，問：他們第99次迎面相遇的地方距A點還

有米。

A

I本題中，由于甲、乙兩人在正常道路和泥濘道路上的速度都相同，可以發(fā)現(xiàn)，如果甲、乙各自繞

著圓形跑道跑一圈，兩人在正常道路和泥濘道路上所用的時間分別相同，那么兩人所用的總時間

也就相同，所以，兩人同時出發(fā)，跑一圈后同時回到A點，即兩人在A點迎面相遇，然后再從A

點出發(fā)背向而行，可以發(fā)現(xiàn)，兩人的行程是周期性的，且以一圈為周期.在第一個周期內(nèi)，兩人

同時出發(fā)背行而行，所以在回到出發(fā)點前肯定有一次迎面相遇，這是兩人第一次迎面相遇，然后

回到出發(fā)點是第二次迎面相遇；然后再出發(fā)，又在同一個相遇點第三次相遇，再回到出發(fā)點是第

四次相遇......可見奇數(shù)次相遇點都是途中相遇的地點，偶數(shù)次相遇點都是A點.本題要求的是第

99次迎面相遇的地點與A點的距離，實際上要求的是第一次相遇點與A點的距離.對于第一次

相遇點的位置，需要分段進行考慮：由于在正常道路上的速度較快，所以甲從出發(fā)到跑完正常道

路豺，乙才跑了200+8x4=100米，此時兩人相距100米，且之間全是泥濘道路，此時兩人速度

相同，所以再各跑50米可以相遇.所以第一次相遇時乙跑了100+50=150米，這就是第一次相

遇點與A點的距高，也是第99次迎面相遇的地點與A點的距離.

【例11】丁丁和樂樂各拿了一輛玩具甲蟲在400米跑道上進行比賽，丁丁的玩具甲蟲每分鐘跑30米，樂

樂的玩具甲蟲每分鐘跑20米，但樂樂帶了一個神秘遙控器，按第一次會使丁丁的玩具甲蟲以原

來速度的10%倒退1分鐘，按第二次會使丁丁的玩具甲蟲以原來速度的20%倒退1分鐘，以此

類推，按第N次，使丁丁的玩具甲蟲以原來的速度的NxlO%倒退1分鐘，然后再按原來的速

度繼續(xù)前進，如果樂樂在比賽中最后獲勝，他最少按次遙控器。

40

I樂樂的玩具甲蟲跑完全程需要400+20=20分鐘，丁丁的玩具甲蟲跑完全程需要400+30=—分

3

鐘，樂樂要想取勝，就必須使丁丁的玩具甲蟲因倒退所耽誤的總時間趣過20-竺■■史分鐘.樂

n33

樂第一次按遙控器后，丁丁耽誤的時間為倒退的1分鐘及電完這1分鐘倒退路程所花費的時間，

為1+10%XI=1」分鐘；樂樂第二次按遙控器后，丁丁就誤的時間為1+20%X】=1.2分鐘；......樂

樂第"次按遙控器后，丁丁耽誤的時間為l+mxlO%x1=1+O.I”分鐘,所以相當于要使

1.1+1.2+1.3+"'大于一—6一,由于1+1+1.+21+.g,而

333

1*1+1.+21+.3+4?所以樂樂要想取勝，至少要按6次遙控器.

3

【鞏固】唐老鴨和米老鼠進行5000米賽跑.米老鼠的速度是每分鐘125米，唐老鴨的速度是每分鐘100

米.唐老鴨有一種能使米老鼠停止或減速的遙控器，每次使用都能使米老鼠進入"麻痹"狀態(tài)1分

鐘，1分鐘后米老鼠就會恢復正常，遙控器需要1分鐘恢復能量才能再使用.米老鼠對"麻痹"狀

態(tài)也在逐漸適應(yīng)，第1次進入"麻痹"狀態(tài)時，米老鼠會完全停止，米老鼠第2次進入"麻痹"狀態(tài)

時，就會有原速度5%的速度，而第3次就有原速度10%的速度第20次進入"麻痹"狀態(tài)時

已有原速度95%的速度了，這以后米老鼠就再也不會被唐老鴨的遙控器所控制了.唐老鴨與米

老鼠同時出發(fā)，如果唐老鴨要保證不敗，它最晚要在米老鼠跑了多少米的時候第一次使用遙控器?

5000+125=40（分鐘），5000+100=50（分鐘），所以米老鼠正常情況下要40分鐘跑完全程，唐老

鴨要50分鐘跑完全程.若唐老鴨使米老鼠麻痹20次，由于5%+10%+…+95%=9.5,則在這麻

痹的20分鐘內(nèi)，米老鼠實際跑的路程為正常狀態(tài)下9.5分鐘跑的路程.這樣，米老鼠一共需要

40-9.5+20=50.5分鐘才能到達終點.由于唐老鴨只需要50分鐘，所以若使唐老鴨保持不敗，

并不需要使米老鼠麻痹20次，即可以盡量晚的第一次使用遙控器.根據(jù)題意，第20次使用可以

使米老鼠多損失0.05分鐘，第19次使用可以使米老鼠多損失0.1分鐘，第18次使用可以使米老

鼠多損失0.15分鐘，第17次使用可以使米老鼠多損失0.2分鐘，總計正好是

0.05+0/+0.15+0.2=0.5分鐘.所以只需要使米老鼠麻痹16次，唐老鴨就能保持不敗.這樣米

老鼠也要50分鐘.由于還要留出15分鐘的遙控器恢復能量的時間，所以第一次使用遙控器的時

候后面剩下的時間不能少于16+15=31分鐘，此時米老鼠已經(jīng)跑出了125x（50-31）=2375（米），所

以唐老鴨最晚要在米老鼠跑了2375米的時候第一次使用遙控器.

【例12］如圖所示，有A、B、C、。四個游樂景點，在連接它們的三段等長的公路他、BC、CD上,

汽車行駛的最高時速限制分別是120千米、40千米和60千米。一輛大巴車從A景點出發(fā)駛向D

景點，到達。點后立刻返回；一輛中巴同時從。點出發(fā)，駛向3點。兩車相遇在C景點，而當

中巴到達B點時，大巴又回到了C點，已知大巴和中巴在各段公路上均以其所能達到且被允許

的速度盡量快地行駛，大巴自身所具有的最高時速大于60千米，中巴在與大巴相遇后自身所具

有的最高時速比相遇前提高了12.5%,求大巴客車的最高時速。

ABCD

1111

由于BC、CD三段公路等長，不妨設(shè)AB=5C=CD=60千米，大巴從C—D—C用

60x2+60=2（小時），此時中巴從C-8,速度為60+2=30（千米/小時），所以中巴從D-C

的速度為304-（1+12.5%）=—（千米/小時）,用時為60+四=?（小時），這也是大巴從A一B一C

334

用的時間.大巴在3C上最少用60+40=3（小時），所以大巴在上最多用=3（小時）.大

2424

4

巴的最高時速為60+±=80（千米）.

4

【鞏固】從甲市到乙市有一條公路，它分成三段.在第一段上，汽車速度是每小時40千米；在第二段上,

汽車速度是每小時90千米；在第三段上，汽車速度是每小時50千米.己知第一段公路的長恰好

是第三段的2倍，現(xiàn)有兩汽車分別從甲、乙兩市同時出發(fā)，相向而行，1小時20分后，在第二

段從甲到乙方向的1處相遇.那么，甲、乙兩市相距多少千米？

3

illII

ABECD

I如圖所示，A、8、C、。分別為三段路的端點，E為兩車相遇的地點.由于AB為CO的兩倍,

而汽車在A8上的速度為40千米/時，在CZ3上的速度為50千米/時，所以汽車在AB上與在C。上

o111

所用的時間之比為一:一=5:2,即在A8上比在C。上多用了一的時間；由于BE=-BC,所以

4050

BE=-EC,而汽車在整個BC段上速度都是相同的，所以汽車在EC上所用的時間是汽車在8E

上所用的時間的2倍，即多用了1倍的時間.由于兩輛汽車同時出發(fā)，在￡處相遇，兩車所用的

時間相同，所以在C。上所用的時間的一倍等于在8E上所用的時間，可以得到在CD上所用的時

間與在BE上所用的時間之比為2:3,那么可以得到在AB、BE、EC、C。四段上所用的時間

之比為5:3:6:2.汽車在A8與BC段上所用的時間之比為5:9,速度之比為40:90=4:9,所以

A8與BC段的長度之比為（5x4）:（9x9）=20:81.由于汽車從A到E用了1小時20分鐘，所以

在A8段上所用的時間為」*工=工小時，A8段的長度為40、』=當千米，那么從A到。的

35+3663

*上工100（811、北山

距離為---x1+—+—=185千米.

3I202）

【例2】甲、乙兩人同時從山腳開始爬山，到達山頂后就立即下山。他們兩人下山的速度都是各自上山

速度的2倍。甲到山頂時，乙距山頂還有400米：甲回到山腳時，乙剛好下到半山腰。求從山

腳到山頂?shù)木嚯x。

I2400米.如果兩人下山的速度與各自上山的速度相同，則題中相應(yīng)的條件應(yīng)變?yōu)椤凹紫律铰纷吡?

時，乙下山路走了

因為甲到山頂時比乙多走400米，所以甲下山路走了1時，應(yīng)比乙多走400X（1+L]=600（米）。

從山腳到山頂?shù)木嚯x為600+2400（米）.

【鞏固】甲、乙兩人同時從山腳開始爬山，到達山頂后就立即下山。他們兩人下山的速度都是各自上山速

度的2倍。開始后1時，甲與乙在離山頂400米處相遇，當甲回到山腳時，乙剛好下到半山腰。

問：乙比甲晚多少時間回到山腳？

］17分,如果兩人下山的速度與各自上山的速度相同，則題中相應(yīng)的條件應(yīng)變?yōu)椤?時后，乙離山

頂差400米，甲走了下山路200米”和"甲下山路走了1時，乙下山路走了!”.

24

甲的速度是乙的速度的［+；1+（1+：）=，同時甲比乙多走3（X）0+600-3600（米），山路

長3（X）0+400-3400跺）.

再回到“兩人下山的速度都是各自上山速度的2倍”.從上山到下山，甲需沙1+34。。=12

36003600x212

ZX7於3400340017171717/旺、（

（時），乙需----+-------=—（時），乙比甲多用一-------（時）=17（分）

300（）3000x2101（）1260

［例3］如圖21/八至B是下坡，8至C是平路，C至D是上坡.小張和小王在上坡時步行速度是每小時

4千米，平路時步行速度是每小時5千米，下坡時步行速度是每小時6千米.小張和小王分別從

A和。同時出發(fā)，1小時后兩人在E點相遇.已知E在8c上，并且E至C的距離是B至C距離

的工.當小王到達人后9分鐘，小張到達D.那么4至。全程長是多少千米？

5

BC

圖21-1

]BE是BC的士,CE是BC的;說明DC這段下坡，比AB這段下坡所用的時間多，也就是DC這

55

一段，比A8這一段長，因此可以在DC上取一段DF和A8一樣長，如下圖：

另外，再在圖上畫出一點G,使EG和EC一樣長，這樣就表示出，小王從F到C.小張從8到G.

小王走完全程比小張走完全程少用9分鐘，這時因為小張走C至F是上坡，而小王走F至C是下

皮（他們兩人的其余行程走下坡、平路、上坡各走一樣多）.

因此，小王從F至C,走下坡所用時間是外■《-1>18（分鐘）.

因此得出小張從B至G也是用18分鐘，走GE或CE都用6分鐘.走8至C全程（平路陵30分鐘.

從A至日下坡所用時間是60*18-6=36（分鐘）；

從D至C下坡所用時間是60-6=54（分鐘）；

A至。全程長是（36+54）x2+30x2=11.5千米.

6060

【鞏固】游樂場的溜冰滑道如下圖。溜冰車上坡每分行400米，下坡每分行600米.已知從A點到B點

需3.7分，從B點到A點