決勝2021高考數(shù)學(xué)中高檔題分項(xiàng)演練09 極坐標(biāo)與參數(shù)方程【解析版】

決勝2021高考數(shù)學(xué)中高檔題分項(xiàng)演練

專題09極坐標(biāo)與參數(shù)方程

x=tcosa

1.（2021?吉林長春市?高三二模（理））在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為《.（/為參數(shù)）,

y=tsina

以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。2的極坐標(biāo)方程為p2—20cos6=3.

（1）求曲線G的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）曲線C與G相交于A8兩點(diǎn)，求4H。四的值.

【答案】（1）e=a（0cR）；（x-1）2+y2=4；（2）3.

【解析】

（1）曲線G參數(shù)方程消去參數(shù)，，可得到C的普通方程，進(jìn)而將其轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程即可，利用極坐標(biāo)方

程與直角坐標(biāo)方程間的關(guān)系，可將c2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程：

（2）結(jié)合曲線G、的極坐標(biāo)方程，可得p2-2cosa?P-3=0,設(shè)AB兩點(diǎn)所對應(yīng)的極徑分別為月,0，

可求得。。的值，進(jìn)而可得到的值.

【詳解】

（1）曲線G的普通方程為=0,

即極坐標(biāo)方程為6=a（夕eR）

曲線。2的直角坐標(biāo)方程為k+/-28=3,

即（X-l）2+y2=4.

⑵曲線C2的極坐標(biāo)方程為p1-2cosd6—3=0,代入6=a,

可得gj=-3,

則|。4|.|0卸=|月閡=3.

2.（2021?山西臨汾市?高三一模（理））在直角坐標(biāo)系xQy中，曲線G的參數(shù)方程為《.’（。為

y=sm（p

參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為0=2sin8.

（1）求曲線G的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;

（2）已知曲線C3的極坐標(biāo)方程為e=a（0<a<7t/eR）,點(diǎn)A是曲線C,與G的交點(diǎn)，點(diǎn)3是曲線C3與

的交點(diǎn)，A,B均異于極點(diǎn)，且|4四=2血，求a的值.

【答案】（1）（X—1了+丁2=1；x2+（y-l）2=l；（2）0=子

【解析】

（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系式，把參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.

（2）利用極徑和三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換求出結(jié)果.

【詳解】

x=1+cosd）

（1）曲線G的參數(shù)方程為1./（9為參數(shù)）.

y—sin（/）

轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為：（x-iy+y2=i.

曲線。2的極坐標(biāo)方程為。=2sin6.

轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為：x2+（y-1）2=l.

（2）曲線G的參數(shù)方程為《.’（。為參數(shù)）.

y=sin°

轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為：Q=2COS8,

曲線。2的極坐標(biāo)方程為夕=2sin8.

曲線C3的極坐標(biāo)方程為。=。（0<々<不，夕wR）,

點(diǎn)A是曲線C3與G的交點(diǎn)，點(diǎn)B是曲線C3與C2的交點(diǎn),

A，8均異于極點(diǎn)，且|A8|=20,

夕=2sin。夕=2cos8

0=a[0=a

整理得:MM=|夕]一聞二|2sina-2cosa|

解得a=—.

4

x=4cos0+cosa

3.（2021?陜西寶雞市?高三二模（文））在平面直角坐標(biāo)系北少中，曲線G的方程為《「.'八?

y=3sin〃+sina

（9eR,。為參數(shù)）.

（1）求曲線G的普通方程并說明曲線G的形狀.

（2）以。為極點(diǎn)，工軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為0sin求

曲線G的對稱中心到曲線G的距離的最大值.

【答案】⑴曲線G的普通方程為（x—4cose『+（y—3sin6）2=1,曲線G是以（4cose,3sin。）為圓心，

1為半徑的圓；（2）也.

2

【解析】

（I）利用三角函數(shù)的性質(zhì)，曲線G的方程消去曲線G的參數(shù)a，可得曲線G的普通方程以及G的形狀；

（2）將曲線G的極坐標(biāo)方程化為普通方程，設(shè)出曲線G的對稱中心即為圓心，利用點(diǎn)線距公式結(jié)合正弦

函數(shù)的性質(zhì)，得出距離的最大值.

【詳解】

%=4cos6+cosa

（1）曲線G的方程為〈。.八.（BeR，。為參數(shù)）可知

y=3sin，+sina

x-4cos6=cosa

\.八.（6eR，。為參數(shù)）

y-3sin，=sina

消去參數(shù)a得曲線G的普通方程為（x—4cos6『+（y—3sind）2=1

.?.曲線G是以（4cosa3sin6）為圓心，1為半徑的圓.

（2）將曲線G的極坐標(biāo)方程為psin［。一（）=0，即。sing—/7cos（9=。，

化為直角坐標(biāo)方程為x-y=0

曲線G的對稱中心即為圓心（4cos6,3sine）

...曲線C,的對稱中心到曲線C,的距離小…二鞏包口|

V2V2

?.?一1Wsin(6-e)W1

...曲線G的對稱中心到曲線。2的距離的最大值為逆

2

4.(2021?內(nèi)蒙古呼和浩特市?高三一模(理))在花語中，四葉草象征幸運(yùn).已知在極坐標(biāo)系下，方程

0=2sin26?對應(yīng)的曲線如圖所示,我們把這條曲線形象地稱為“四葉草”.

兀

(1)當(dāng)“四葉草”中的0,-時(shí),求以極點(diǎn)為圓心的單位圓與“四葉草''交點(diǎn)的極坐標(biāo);

(2)已知A為“四葉草”上的點(diǎn)，求點(diǎn)A到直線/：psin16+ij=3距離的最小值以及此時(shí)點(diǎn)A的極坐標(biāo).

【答案】(1)和卜,丘"；(2)最小值為1,

【解析】

(1)直接利用單位圓p=1與方程p=2sin26聯(lián)立即可求解；

(2)將直線/的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，觀察發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A(2,

到直線/的距離即為最小值

【詳解】

(1)以極點(diǎn)為圓心的單位圓的極坐標(biāo)方程為：0=1,

所以聯(lián)立'=1.CC，°，；得。==或。=型，

、夕=2sin26\_2J1212

所以所求交點(diǎn)的極坐標(biāo)為和。，2?

(2)直線/：夕sin(e+()=3的直角坐標(biāo)方程為x+y=30,

“四葉草"p=2sin20極徑的最大值為2,且可于點(diǎn)《2,（處取得,

連接OA且與直線x+y=3夜垂直且交于點(diǎn)M（3,：

所以點(diǎn)A與點(diǎn)M的距離的最小值為1.

4

X=——+/COS。

5.（2021?全國高三專題練習(xí)（文））在平面直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程為＜

y=---i-rsina

3

為參數(shù)，a為直線/的傾斜角），以原點(diǎn)。為極點(diǎn)、x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方

4

程為22

3-cos26

（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程;

<47

(2)若點(diǎn)P,直線/與曲線C相交于AB兩點(diǎn)，且⑸=2而，求直線/的方程.

I33

【答案】(1)5+y?=1；(2)x—y—1=0或69x—15y+57=().

【解析】

（1）利用極坐標(biāo)轉(zhuǎn)直角坐標(biāo)的公式求得曲線C的直角坐標(biāo)方程.

（2）聯(lián)立直線/的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義以及向量運(yùn)算

求得tana也即直線/的斜率，由此求得直線/的方程.

【詳解】

(1)由22=x2+y2，x?sin6=y,

44

又/=即2p2+2p2sir？6=4,

3—cos282+2sin2^

得2f+4y2=4,即C的直角坐標(biāo)方程為：—+y2=l

4

x=——+fcosa

3尤2(4V<7V

(2)將J

代入C：一十9=］有——4-rcosa+2---\-tsina二，

2■I3)I3)2

y=--+tsina

化簡得(3COS?a+Gsin?產(chǎn)-4(2cose+7sina),+32=0①,

設(shè)AN兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為。/2,則

_4（2cos6Z+7sina）_32

4+'2=o2~77，

3cosa+6sina3cosa+6sina

由麗=2萬，得「2小」+1）」+&+2,

幫2G%

因此（2co：a+7sina）2=2即5tan2a-28tana+23=0,

6cosa+12sin~a2

23

解得tana=—或1,經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)①對應(yīng)的△〉0,直線/的方程為x-y—l=0或69x—15y+57=（）.

6.（2021?甘肅高三一模（文））在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,2）,直線G的方程為：

\c.（其中f為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C,的極坐

y-2+fsina

標(biāo)方程為：pcos20+4A/3cos^-x?=0.

（1）將直線G的方程化為普通方程，曲線Q的方程化為直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線G過點(diǎn)。（百,-1）且交曲線G于A,B兩點(diǎn),設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，求IPMI.

【答案】（1）xsina—ycosa+2cosa=0,y2=；（2）.

【解析】

x-pcos?

（1）根據(jù)參數(shù)方程，消去參數(shù)，即可求解；將曲線G的極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以P，根據(jù)（y=psin。即

jr+y二p~

可求解.

2

（2）將點(diǎn)代入可得。=§乃，將直線的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程，設(shè)A，B,M對應(yīng)的參數(shù)分別

為4，t2,t0,得出f=上上=一比I,利用參數(shù)的幾何意義即可求解.

23

【詳解】

x=tcosa

解：（1）由直線G的參數(shù)方〈c.a為參數(shù)），

y=2+fsina

消去參數(shù)f可得其普通方程為：xsina-ycosa+2cosa=0.

曲線G的極坐標(biāo)方程pcos20+46cos。一P=0,即為22cos20+46Pcos0-p2=Q^

化為直角坐標(biāo)方程為：y2=4y/3x.

2

(2)直線￡過點(diǎn)Q(省,-l),所以Gsintz+cosa+2cosc=0，所以tana=-G，所以a=§乃.直

1

x=—/

2

線G的參數(shù)方程為＜代入y2=45/3x,

y=2+-^—/

2

可得3/+167^+16=0.

設(shè)A,B,M對應(yīng)的參數(shù)分別為6,,%，則%=上追=—隨，

23

所以|PM|=,|=孚.

%=1+cosa,

7.（2021?河南新鄉(xiāng)市?高三二模（文））在直角坐標(biāo)系九。y中，曲線C的參數(shù)方程為〈（。為

y=sma

參數(shù)），直線/：x+y=Y2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

2

（1）寫出曲線C的普通方程及直線/的極坐標(biāo)方程；

⑵直線加：。=4（4《0,；（）與曲線。和直線/分別交于A,B（A,3均異于點(diǎn)0）兩點(diǎn)，求

?|0網(wǎng)的取值范圍.

【答案】⑴曲線C:（x—l）2+y2=i,直線/：0sin（8+?）=g；（2）孝，夜.

【解析】

（1）根據(jù)消參法，將曲線C的方程化為普通方程，由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)關(guān)系X=pcos。，y=0sin。，將

直線普通方程化為極坐標(biāo)方程即可.

⑵由（1）知：|OA|=2cos60,\OB\=1———,即可求|OA|[OB|的范圍.

乙yo111IC7Q）

【詳解】

cosa=x-1

x=1+cosa

(1)由參數(shù)方程為《(。為參數(shù))，得＜sina=y

y=sma

cosa+sina=1

???曲線。的普通方程為（X—if+/=1.

由普通方程為x+y=5~，而x=pcos。，y=0sin（9,

二直線/的極坐標(biāo)方程為20cos6+2/?sin6-=(),即psinf^+―j=—.

2

（2）?.?曲線。的極坐標(biāo)方程為。=2cos。,

J?1

直線I的極坐標(biāo)方程為/?（sin。+cos。）=，即夕—V2（sin^+cos^）

,??網(wǎng)即回藍(lán):黑獷舟，“恒）,則例3的取值范圍為隹立.

8.（2021?林芝市第二高級中學(xué)高三一模（理））在直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的直角坐標(biāo)方程為

、片lfx=3+3cos0

yn-'Px+Z百，曲線C的參數(shù)方程為《..，（。為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸正半軸

3[y-3sin0

為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求直線/和C的極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直線/與曲線C交于MN兩點(diǎn)，求|MN|.

【答案】⑴直線/的極坐標(biāo)方程為psin（6+工）=3,曲線C的極坐標(biāo)方程為夕=6cos。；（2）3石.

6

【解析】

（1）根據(jù)I=入056廣=必由仇/+尸=夕2,代入直線宜角坐標(biāo)方程，即可求得/的極坐標(biāo)方程；根據(jù)

曲線C的參數(shù)方程，可得曲線C的直角坐標(biāo)方程，化簡整理，即可得答案.

（2）由（1）可得曲線C的直角坐標(biāo)方程，與直線聯(lián)立，可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)弦長公式，即可求得答

案.

【詳解】

(1)因?yàn)閤=pcos。,y=psin。,/+尸=/??,

所以夕sinB=—即G/?sin6+pcosO=6

TT

整理可得直線/的極坐標(biāo)方程為：psin(^+-)=3；

6

由題意得，曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x-3)2+y2=9,即V+V-Gx：。,

所以曲線。的極坐標(biāo)方程為：p2—6pcose=0,即Q=6COS6.

(2)由(I)可得曲線C的直角坐標(biāo)方程為/+/-6%=0,

與直線y=-gx+2>A,聯(lián)立，得2/一15X+18=O，

3

解得玉=6,%2=]，

所以|MN|=TiTF|王—々|=xg=3百.

[06,

龍=2----1

9

9.(2021?寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高三一模(理))已知在平面直角坐標(biāo)系龍。孫中，曲線&：\:(/為

y=l+2

[2

參數(shù))，在以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2的極坐標(biāo)方程為。=4cos夕

(1)寫出曲線G的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程;

(2)已知M(2』)，曲線G，G相交于A,B兩點(diǎn),試求點(diǎn)M與弦45的中點(diǎn)N的距離.

【答案】(1)°(sine+t)=羋，(%-2)2+/=4：(2)專.

【解析】

(1)消去參數(shù)得到直角坐標(biāo)方程，再寫出其極坐標(biāo)方程，根據(jù)公式將曲線G的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)

方程；

(2)求出G到直線G的距離，再由勾股定理計(jì)算可得;

【詳解】

[凡

X—9L--------1

2

解：⑴曲線G：〈1（f為參數(shù)）

V=1d---1

[2

消去參數(shù)f,得x—y-3=0

其極坐標(biāo)方程為Hcos￡+sine）=3,即夕sin（6+?）=竽

曲線。2：P=4cos。，即p2=4pcos0,BPx24-y2-4x=0,

所以曲線G的直角坐標(biāo)方程為（X—2）2+丁=4.

⑵C2（2,0）到G：x+y=3的距離d=|GM==y-

XC2M=1,M|=yj\C2Mf-\C2Nf=

10.（2021?江西高三其他模擬（理））在平面直角坐標(biāo)系xOv中，已知曲線C的參數(shù)方程為

x=2costz-2sina

\（a為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐

y=cosa+sina

仁_q=40.

標(biāo)方程為「sin

（1）求曲線C和直線/的直角坐標(biāo)方程;

18

（2）過原點(diǎn)。引一條射線分別交曲線。和直線/于A,3兩點(diǎn)，求:前+才的最大值?

m\0B\

【答案】⑴—+2t=i,x+y_8=0；⑵7+而

8216

【解析】

（1）消去參數(shù)即可得到曲線C的直角坐標(biāo)方程，再由X=QCOS6,y=『sine代入即可得到直線/的直角

坐標(biāo)方程；

/、z、1818

（2）在極坐標(biāo)系內(nèi)，可設(shè)A（8，e）,5（夕2，。），則口加+石/二力+力，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)

|CzA||C/n|P\Pi

算可得;

【詳解】

x=2cosa-2sin。

解：（1）由曲線。的參數(shù)方程＜（。為參數(shù)）得:

y=cosa+sin。

—+y2=（cosa-sina『+（cos6z+sin<z）2=2

22

.??曲線C的直角坐標(biāo)方程為三+2=1.

82

又由=4夜，Qcose+/7sin6=8

將x=pcos。，y=psin。代入上式，

得直線/的直角坐標(biāo)方程為x+y-8=0.

（2）在極坐標(biāo)系內(nèi)，可設(shè)A（g,6）,B（p?,

.p,2cos20p：sin20,,.

則2----------p匕!------=],p、cosen+sinen=8o

82

22

__1___I___8____1__|__8__cos6?+4sin6>+l+sin26（

|OA|2\OBfP；P2____________8

7+y/13sin（28-°）7+

-------------------------<----------

16-16

（當(dāng)sin（28-°）=l時(shí)取等號，符合題意）

1定+8的最大值為7*7h-

|。4|\0B\16

ii.（2021?河南焦作市?高三二模（文））在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線《的參數(shù)方程為■5a

y=3+—f

I5

aVio

x=-3--——■s

以（s為參數(shù)）.

為參數(shù)），直線4的參數(shù)方程為,

二3w

y=3+------s

10

(1)設(shè)4與4的夾角為a，求tana；

(2)設(shè)4與工軸的交點(diǎn)為A,&與％軸的交點(diǎn)為8,以A為圓心，|A8|為半徑作圓，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),

x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求圓A的極坐標(biāo)方程.

9,

【答案】(1)；(2)p~—2/?cos^=8.

【解析】

(1)設(shè)直線4和4的傾斜角分別為夕和/，求出3尸、tan/的值，利用兩角差的正切公式可求得tana

的值；

(2)求出點(diǎn)A、8的坐標(biāo)，可求得進(jìn)而可求得圓A的方程，再利用直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程之

間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可求得圓A的極坐標(biāo)方程.

【詳解】

(1)設(shè)直線4和4的傾斜角分別為4和/，

3?

由參數(shù)方程知tan￡=——，tan/=-3,所以，4和7均為鈍角，且￡>7,

4

(c、tan/?-tan/9

則tana山(￡-/)=立嬴麗廠3

34

(2)令3+1=0,解得/=—5,所以，一3—不=1,所以A(1,O),

令3+今，$=0,解得s=—廂，所以，一3—零s=—2,所以B(—2,0),??.|AB|=|1+2|=3,

所以圓A的直角坐標(biāo)方程為(x—1)2+V=9,即V+/-2x=8,

所以圓A的極坐標(biāo)方程為夕2-20COS。=8.

x=3cosa

12.(2021?全國高三專題練習(xí)(理))在中面直角坐標(biāo)系X”中，曲線C的參數(shù)方程為《為

y=sin?

參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，N軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線：與曲線C交于點(diǎn)T,將射線07繞

極點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°交曲線C于點(diǎn)N.

(1)求曲線。的極坐標(biāo)方程；

(2)求DTON面積的范圍.

93

【答案】（1）/?2（3*l+8sin2^=9；（2）一,二

,7L102.

【解析】

（1）先消去參數(shù)得出普通方程，再將x=pcose,y=psin。代入即可得出；

（2）設(shè)T的極坐標(biāo)為（8,夕），N的極坐標(biāo)為。，則化筒可得§TON=2和（：.29）2，即

可求出范圍.

【詳解】

2

（1）由曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)。可得普通方程為三+丁=1,

9-

2)

將x=pcose,y=psin0代入可得°儂*sin6=b

整理可得曲線C的極坐標(biāo)方程為p2(l+8sin20)=9-.

(2)設(shè)廠的極坐標(biāo)為(月,0)，N的極坐標(biāo)為(烏,9+|^|，

c299

29P?-7x'=Z

則~.;~~.~.-2|l+8cos"(p,

l+8sin>l+8osin-|+y"

119

??3TON~—P\Pr~-X-[22

22^i+8sin^)(l+8cos(p^

__________9_________9

2j9+64sin%cos2。2^9+(4sin2^)2'

3

當(dāng)sin2。=0時(shí)，STON取得最大值為y,

9

當(dāng)sin2e=±l時(shí)，Sgw取得最小值為歷，

「93]

故：]TQV面積的范圍為—.

13.（2021?黑龍江哈爾濱市?哈爾濱三中高三一模（文））在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)曲線。的參數(shù)方程

x=2cos。

為《.八(。為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，工軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.直線/的極坐標(biāo)方

y=sin9

程為/9(2cos8+3sin6)=8.

(1)求曲線。的普通方程和直線/的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)夕是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)尸到直線/的距離的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】⑴—+/=1，2x+3y-8=0；(2)辿，P(f,1T

4-13(55；

【解析】

(1)利用消參法得到曲線C的普通方程，利用極坐標(biāo)公式求出直線/的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P(2cosasin(9),求出點(diǎn)尸到直線/的距離為d=W二5sl害+0)1即得解

【詳解】

X門

--COS0

(1)由曲線。的參數(shù)方程得《2,

y-sin0

兩式平方相加得曲線C的普通方程為L+V=1；

4.

由題得2夕英)§夕+3夕$山8=8,

所以直線/直角坐標(biāo)方程為2x+3y-8=0.

(2)由參數(shù)方程設(shè)點(diǎn)P(2cos?,sin6),

則點(diǎn)尸到直線/的距離為d=…+簪夕-母=R-5雌+°)|

V13V13

其中tan"=g,

所以d2,此時(shí)sin6=?,cos^=—.

1355

所以點(diǎn)P到直線/的距離的最小值為生叵.

13

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為di.1

14.（2020?貴州貴陽市?高三其他模擬（理））在直角坐標(biāo)系x0y中，曲線G的方程為土+乙=1,以坐標(biāo)

62

-JT

原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為夕cos（0+?）=3.

（I）求曲線G的參數(shù)方程和曲線G的直角坐標(biāo)方程;

（II）設(shè)點(diǎn)M在G上，點(diǎn)N在G上，求|MN|的最小值及此時(shí)點(diǎn)M的直角坐標(biāo).

x=V6cosa廠（3J2,及、

【答案】（I）[（a為參數(shù)），x—y-3四=0;（H）1,

y=v2sintz122,

【解析】

（i）根據(jù)橢圓的參數(shù)方程公式直接書寫曲線G的參數(shù)方程，先將曲線G的極坐標(biāo)方程展開，再根據(jù)極坐

標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化公式即可求解；

（II）根據(jù)曲線G的參數(shù)方程設(shè)出M的直角坐標(biāo)，根據(jù)題意得的最小值即為M到G的距離d（a）的

最小值，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式并結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求解即可得答案.

【詳解】

22

（I）?.?曲線G的方程為土+上=1，

62

x=V6cosa

（Q為參數(shù)），

{y=\l2sina

TT

?.?曲線G的極坐標(biāo)方程為夕cos（e+3）=3,

即°cos8cos￡-psin6sin：=3,pcosO-psmO=2>\[2.

即x—y-3&=0,這就是曲線的直角坐標(biāo)方程.

（II）由題意，可設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（#cosa,夜sina）.

因?yàn)镃2是直線，所以|網(wǎng)的最小值即為M到。2的距離d（a）的最小值.

k/6cosa-^sina-3V2（兀、3

d（a}=-----------------7=----------------=2sina——+—

'）V2I3j2

冗

當(dāng)且僅當(dāng)。=—w+2E（%eZ）時(shí)，d（e）取得最小值，最小值為1,

6

（30⑶

此時(shí)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為

24,

x=t-+-Z--4

15.（2021?江西高三其他模擬（文））在平面直角坐標(biāo)系X。），中，曲線。的參數(shù)方程為?

y=2t——

為參數(shù)，月1>0）,以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為

pcos（e+?]=i.

（1）寫出曲線c和直線/的直角坐標(biāo)方程；

（2）若極坐標(biāo)方程為6=鼻（夕eR）的直線與曲線C交于異于原點(diǎn)的點(diǎn)A,與直線/交于點(diǎn)8,且直線/交

x軸于點(diǎn)M，求□ABM的面積.

【答案】（1）C:/=4x,/：x—由y—2=（）；（2）2^.

3

【解析】

（1）利用平方關(guān)系化簡得出曲線C的直角坐標(biāo)方程，利用極坐標(biāo)與普通方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得出直線/的

直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)A、8的極坐標(biāo)分別為1。2弓｝求出自、0，再由三角形的面積公式求出口40”

和口50〃的面積，相加即可得出口4?知的面積.

【詳解】

24,

x=r+--4

（1）曲線C的參數(shù)方程為〈二（f為參數(shù)，且r>0）,

4/44

由，>0，可得了二產(chǎn)+-7—422.卜2?一4=0,y=2t一一wR,

*2\Jt

尸=4產(chǎn)+，-16=4（產(chǎn)+*—4）=4%，故曲線C直角坐標(biāo)方程為V=4%.

口rfZ1冗.門*冗

直線/的極坐標(biāo)方程為夕cose+2=1,即p\cos6/COSy-sine/Siny=1,

即pcose—Gpsine—2=0,故直線/的直角坐標(biāo)方程為x—Gy—2=0：

（2）曲線C的極坐標(biāo)方程為22sin26=40cos6,即外布。=485。，

乃32Q

所以，/?,sin2y=4cosy,即48=2,解得乃=§,即|。川=§.

將點(diǎn)5的極坐標(biāo)代入直線/的極坐標(biāo)方程得夕2cos號=1，可得4=-2,即|0即=2,

直線/與x軸的交點(diǎn)為M（2,0）,

c_?Idl/wl?乃_18cV3_4\/3

S4AOM=5l°A|,|OMsin§=5X§x2x-y-=—^―,

S^BOM=；|。郎|。"忖!1爺=；x2x2x^=百，

[0

X-------1

2

16.（2021?吉林吉林市?高二三模（文））在直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為《「（’為

y=,ld--V--2-1

I2

參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，8軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為。=4sin。

（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程

（2）己知點(diǎn)尸的直角坐標(biāo)為（0,1）,/與曲線。交于A3兩點(diǎn)，求|B4|+|PB|

【答案】（1）x2+y2-4y=0.（2）/.

【解析】

X=OCOS0

（1）由1.八轉(zhuǎn)化為可化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；

y=psm0

（2）宜線參數(shù)方程代入曲線。的直角坐標(biāo)方程，應(yīng)用韋達(dá)定理得32,利用參數(shù)的幾何意義求解.

【詳解】

X——ocos。

（1）由/?=4sin。得夕2=4psin。，又《'所以f+>2=4y即/+y一4,=。

y=psmff

（2）把直線參數(shù)方程方程/+y2一4了=0,得/_J5f_3=0，

%+，2=逝,阜2=一3，由于32=一3<0，所以異號.

|PA|+|P8|=用+.=總一寸=4+，2）2―4格=7（V2）2-4x（-3）=JiZ.

17.（2021?河南焦作市?高三三模（文））在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/過定點(diǎn)尸（3,0）,傾斜角為

1

X=E+一

?0<a<|,曲線。的參數(shù)方程為<1,（f為參數(shù)）；以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極

t

V=-----1

22t

軸，建立極坐標(biāo)系.

（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程;

（2）已知直線/交曲線C于M，N兩點(diǎn)，且歸加卜儼葉:與，求/的參數(shù)方程.

x^3+—t

2

【答案】（1）P2cos?6-402sin?6=4；（2）<「a為參數(shù)）.

但

y=——t

2

【解析】

1

x=t+-

x="cos6

（1）由《，，消去f,得到普通方程，再由，,八代入求得極坐標(biāo)方程.

t1

■y------y=psmO

-22r

x=3+rcoscz..

（2）設(shè)/的參數(shù)方程為《（，為參數(shù)），代入Y—4y2=4,由韋達(dá)定理得到秘2,然后由

y=tsma

宿|二4求解.

【詳解】

一

（1）由，得〈

￡_J_

2y=t--

2~2t

I11

t+-=廠9+2d--—廠9+2——=4，

tv

.?./一（2＞丫=4,即4）2=4,

x=pcosO

又〈

y=psinO

/.p1cos20-4p2sin2^=4,

即曲線C的極坐標(biāo)方程為p2cos20-4p2sin20=4；

（2）設(shè)/的參數(shù)方程為《（f為參數(shù)），代入V—4V=4整理得,

y=tsma

（cos2a-4sin2（z）r2+6fcosa+5=0,

設(shè)方程的兩根分別為小，2,

5

則tt=

}2cos26f-4sin2a

則歸時(shí)卜歸時(shí)=也|=510

cos2a-4sin2aT

解得，cosa=+^-.

2

門兀71

0<a<一,cc——

24

X=3H------1

2

故/的參數(shù)方程為〈L(，為參數(shù)).

憶

y=——t

2

x=3cosa

18.（2021?江西高三其他模擬（理））在直角坐標(biāo)系X。），中，曲線C的參數(shù)方程為＜.(。為參數(shù)),

y=sma

以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為夕cos=1.

（1）求曲線C的普通方程和直線/的直角坐標(biāo)方程;

11

（2）若直線/與曲線C交于“，N兩點(diǎn)，設(shè)尸（2,0）,求西+網(wǎng)的值?

2X6

【答案】（1）—+/1,冗-底-2=0,(2)*

9-5

【解析】

（1）直接消去參數(shù)。，可得到曲線C的普通方程，先pcos