河北省衡水中學(xué)2023屆高三年級上冊期末數(shù)學(xué)（解析版）

2022—2023高三上學(xué)期期末考試

數(shù)學(xué)試卷

滿分150分，考試時間120分鐘

考生注意：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)城內(nèi).

2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用23鉛筆把答題卡上對

應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題

區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8個小題，每題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

M=Ly=ln(X-1)(X-4)lI2n

1,若集合1log3(x-l)。條-{yly叫，則()

A.2GMcNB.M<jN={a\ae[-2,2]u(4,+a))}

C.N-{a\ae(-a7,2)u(2,+??)}D.低A1)cN={a|a

【答案】B

【解析】

【分析】先求出集合M,N,然后再逐個分析判斷即可.

(x—l)(x—4)

-----;......->0(x-l)(%-4)log(%-l)>0

【詳解】由，Og3(X-l)，得3，

X-1W1

Iog3(x-l)#0

解得x>4或1<x<2,

所以M={x[x>4或1cx<2},

因為QN={y[>4},

所以N={My2<4}={M—2Wy<2},

對于A,因為MN=(l,2),所以2《McN,所以A錯誤，

對于B,因為“={x|x>4或l<x<2},N={y|—2"W2},

所以MUN=[-2,2]U(4,+a>),所以B正確，

對于C,因為N={"-2<y<2},所以C錯誤,

對于D,因為M={x|x>4或l<x<2},所以條”=(-8,1]1，[2,4],

因為N={y[—2<y<2},所以他M)cN=[-2,l]U{2},所以D錯誤,

故選：B

2.若z-i=l-|z-l|i,則|z—洲=()

A.1B.72C.2D-i

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)2=。+例，利用復(fù)數(shù)相等求出a,b,即可求解.

【詳解】設(shè)2=4+歷，(a,)wR,i為虛數(shù)單位).

因為z-i=l-|z-l|i,

a—1a=1

所以a+(/?—1)1=1一［僅一1)-+5勺，所以，,解得：〈

b-l=

1-1

所以z=l+-i,z=l——i,

22

所以|z—源=|i|=l

故選：A

,一一UUIOuuuuuu

3.在AABC中，。為重心，。為BC邊上近C點(diǎn)四等分點(diǎn)，DO=mAB+nAC'則，"+〃=()

1「15

A.-B.—C.一D.-|

333

【答案】B

【解析】

【分析】連接A。延長交3c于￡點(diǎn)，則E點(diǎn)為8C的中點(diǎn)，連接A。、0D,利用向量平面基本定理表

示。?？傻么鸢?

【詳解】連接A。延長交BC于E點(diǎn)，則E點(diǎn)為8C的中點(diǎn)，連接A。、0D,

uuuruunuumumuur7Ul?3uuruun71uunuuu

所以。O=ZM+AO=D8+8A+—AE=2C8—A8+—X—(A8+AC

3432

3uuuHimULBI1UUUUUBI.uun5101

-\AB-AC\-AB+-{AB+AC^=^—AB——AC,

4312

,15151

所以根=—,〃=---,m+n=---------=——.

121212123

故選：B.

A

;

4.一個燈罩可看作側(cè)面有布料的圓臺，在原形態(tài)下測得的布料最短寬度為13,將其壓扁變?yōu)閳A環(huán)，測得

布料最短寬度為5,則燈罩占空間最小為()

325

A.17571B.---兀C.100兀D.不存在

3

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)圓臺的上、下底面圓的半徑分別為r,R,￡4線長為/,高為人由題意可知R-r=5,/=13,

則〃=12,利用圓臺的體積公式求出體積表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】設(shè)圓臺的上、下底面圓的半徑分別為r,R,母線長為/,高為〃

由題意可知R—r=5,/=13,則/?=J/—(H—7)2=12

則圓臺的體積為V=g?！?R2+/+Rr)=；7txl2x(5+r)2+產(chǎn)+(5+r)廠］=4兀(3/+15/-+25)

=12兀(r+g)+25兀

當(dāng)r>0時，V單調(diào)遞增，故V不存在最小值.

故選：D.

5.若六位老師前去某三位學(xué)生家中輔導(dǎo)，每一位學(xué)生至少有一位老師輔導(dǎo)，每一位老師都要前去輔導(dǎo)且僅

能輔導(dǎo)一位同學(xué)，由于就近考慮，甲老師不去輔導(dǎo)同學(xué)1,則有()種安排方法

A.335B.100C.360D.340

【答案】C

【解析】

【分析】把6位老師按照4,1,1或3,2,1或2,22人數(shù)分為三組；每種分組再分同學(xué)1安排的幾位

老師輔導(dǎo)解答.

【詳解】把6位老師按照4,I,1或3,2,1或2,2,2人數(shù)分為三組;

①把6為老師平均分為3組的不同的安排方法數(shù)有=15

在把這三組老師安排給三位不同學(xué)生輔導(dǎo)不同安排方案數(shù)為：A；=6,

根據(jù)分步計數(shù)原理可得共有不同安排方案為:=15x6=90

1弓,”30

如果把甲老師安排去輔導(dǎo)同學(xué)1的方法數(shù)為:

所以把6位老師平均安排給三位學(xué)生輔導(dǎo)且甲老師不安排去輔導(dǎo)同學(xué)1的方法數(shù)為90-30=60

②把6位老師按照4,1,1分為3組給三位學(xué)生輔導(dǎo)的方法數(shù)為:

若1同學(xué)只安排了一位輔導(dǎo)老師則=50

若1同學(xué)安排了四位輔導(dǎo)老師則C：A；=10

所以把6位老師按照4,1,1分為3組給三位學(xué)生輔導(dǎo)，

甲老師不安排去輔導(dǎo)同學(xué)1的方法數(shù)為60

③把6位老師按照3,2,I分為3組給三位學(xué)生輔導(dǎo)的方法數(shù)為;

若1同學(xué)只安排了一位輔導(dǎo)老師則C；C；C；?A；=100

若1同學(xué)只安排了兩位輔導(dǎo)老師則C；C：C，A；=8()

若1同學(xué)只安排了三位輔導(dǎo)老師則C；C；C；=6()

所以把6位老師按照3,2,1分為3組給三位學(xué)生輔導(dǎo)，

甲老師不安排去輔導(dǎo)同學(xué)1的方法數(shù)為60+80+100=240

綜上把6位老師安排給三位學(xué)生輔導(dǎo)，甲老師不安排去輔導(dǎo)同學(xué)1的方法數(shù)為240+60+60=360

故選：C

6.已知函數(shù)〃x)=sin[s+*3>0)將其向右平移|■個單位長度后得到g(x),若g(x)在pTt

上.有三個極大值點(diǎn)，則/(X)一定滿足的單調(diào)遞增區(qū)間為()

4兀2兀4兀2兀

A.

39939

3兀5兀571771

C.D.

13T319T9

【答案】A

【解析】

717171

［分析］根據(jù)平移變換得函數(shù)g(X)=sinCDX——力+一,3>0),由g(x)在兀上有三個極大值點(diǎn),

36

結(jié)合正弦函數(shù)圖象可得＜電，再求。x+B的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，由此可判斷答案.

226

71.(兀兀

【詳解】解：有題意可得g(x)=/X-y=sincox--69+一,3>0),

【36

兀兀71兀2兀兀71

由XE—,71得ZI尤一—CD+—G一,--CDd--，由于g(x)在兀上有三個極大值點(diǎn),

36636

-9兀,2兀兀13K小汨13,19

所以--<---CD~\---V---，解得---<69<--，

236222

4兀2兀?！?7乃2乃冗、

當(dāng)一彳豆'6yx+—￡［---刃+―,——①+一］

6576576

47乃2%

而［----G+—,—69+自口一分),故A正確,

57657

4兀2兀兀r447127171、

當(dāng)X￡---,—,①x+—￡I---0)~\——,——CDA——I

39396396396

=r4萬71271乃1r63乃51萬、必

而［----0)-\---,---CD~\--J<z［-----,----),故B不正確,

3963967878

3兀571?！?77157Tn、

當(dāng)“e后石-69X+—€［—啰+―,—力+一］,

6136136

■347157V兀、「5"298］、一一.w

而r［—口+一，一69+，故C不正確,

136136378

5兀7Ji71571717"兀、

當(dāng)x￡—?—,S+一￡rI——69H——,——CD~\——I,

19196196196

.「5萬717萬%.214〃11?、心

而1—3+—,—69+丁］u［，F(xiàn)-)，故D不正確,

1961961143

故選：A.

7.已知a=?e°99,0=ln100e-0.01

夯e,ln?=c-Inc(c0.99),則()

A.h>a>1.01>cB.b>a>c>\.0\

C.tz>Z?>1.01>cD.a>h>ol.Ol

【答案】D

【解析】

【分析】變形a，b,構(gòu)造函數(shù)/(尤)=^——x+lnx比較。，。的大小，構(gòu)造函數(shù)g(x)=x-lnx比較瓦e的

x

大小，利用極值點(diǎn)偏移的方法判斷1.01,c的大小作答.

理?99

【詳解】依題意，a=J,Z?=e-0.01-ln0.99=e-l+0.99-ln0.99,

0.99

人//、e'...e'(x—1)1(e'—x)(x—1)

令/(x)=-—x+\nx,frt(x)=—----1+-=-----y——->

XXXX

當(dāng)O<X<1時，ev>l>x>01即/(無)<o,函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

「0.99

/(0.99)>/(l)=e-l,即^——0.99+ln0.99>e-l,因此a>b,

0.99

令g(x)=x-lnx,g，(x)=l—L當(dāng)0<x<l時，g'(x)<0,當(dāng)x>l時，g'(x)>0,

x

函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，g(0.99)>g⑴=1,而/?=6—l+g(0.99)>e>1.01,

函數(shù)g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，顯然g(e)=e-1,g(3=-+1,

ee

則方程8(幻=人/€(1,』+1]有兩個不等實根內(nèi),毛，0<X,<1<x2,有g(shù)(X])=g(X2)=3

e

Ina=c-Inc<=>0.99-In0.99=c-Inc<=>g(0.99)=g(c),而CH0.99,則有C>1,

令/?(x)=g(x)-g(2-x),0cx<1,//(x)=^,(x)+^,(2-x)=l--+l--^—=-^-^-<0,

x2-xx(2-x)

即函數(shù)力(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，當(dāng)xe(o,l)時，h(x)>h(V)=0,即g(x)>g(2-x),

因此g(xj>g(2-M),即有g(shù)(%2)=g(X1)>8(2-玉)，而馬>1,2-玉>1,g(x)在(l,+o。)上單調(diào)遞增，

于是得馬>2-玉，即玉+々>2,取西=0.99,x2=c,于是得c>2-0.99=1.01,

又g(c)=g(0.99)<gp)<g(e),g(x)在(L+o。)上單調(diào)遞增，從而1.01<c<e，

e

所以a>匕>c>1.01,D正確.

故選：D

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：某些數(shù)或式大小關(guān)系問題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，細(xì)心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，抓

住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡的作用.

8.若已知函數(shù)/(x)=e，+",g(x)=lnx+3，加e(0,+oo),若函數(shù)/(x)=/(x)-g(x)存在零點(diǎn)(參

考數(shù)據(jù)In2no.70),則攵的取值范圍充分不必要條件為()

C.[e2-2,e31)D.(el3,e2-2)

【答案】C

【解析】

【分析】因為求的是充分不必要條件，而非充要條件，所以采用特殊值法，只要滿足/(l)Wg(l),則有

尸(x)=/(x)-g(x)存在零點(diǎn)，求出人J時&的取值范圍，即為一個充分條件，再由選項依次判斷

a

即可.

【詳解】當(dāng)a=0時，/(x)=e"〃的圖象恒在g(x)=lnx+kz上方，

l+tz

???若滿足了(l)wg(l),即e*"Wlnl+k/，kN.,

則/(x)與g(x)的圖象必有交點(diǎn),即尸(x)=〃x)—g(x)存在零點(diǎn).

令〃(x)上(x>0),"(x)=e'”(：T),

XX

有當(dāng)0cx<1時，〃'(x)<0,〃(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>l時,"(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增.

/.A(x)>/i(l)=e2.

即當(dāng)攵女2時，一定存在a=lG(0,+?),滿足/⑴4g(l),即網(wǎng)x)=/(x)—g(x)存在零點(diǎn)，

因此kG32,+8)是滿足題意k的取值范圍的一個充分條件.

由選項可得，只有卜2233」)是卜2,+8)的子集，所以[e22,e3」)是人的取值范圍的一個充分不必要條件.

故選：C.

二、多選題：本題共4個小題，每題5分，共20分.在每個小題給出的四個選項中，有多項

是符合題目要求的.全部選對5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.

9.在正方體ABC。一4耳GA中，AB=2,E,￡G分別為棱中點(diǎn)，H為CC、近C三等分點(diǎn),

尸在面A4,。。上運(yùn)動，則()

A.BC"/平面RFG

UL1ULlUUUUU

B.若GP=RGF'(pGH卬,(pqR)，則C點(diǎn)到平面燈汨的距離與尸點(diǎn)位置有關(guān)

C.BD,1EG

uuuuuuuuuo/i^

D.若GP=NGF+(pGH(內(nèi)(p€百，則p點(diǎn)軌跡長度為J—

【答案】BCD

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量逐一解答即可.

【詳解】解：根據(jù)題意建立如圖所示的坐標(biāo)系：

因為正方體的邊長為2,

所以A(0,0,0),A(0,0,l),4(2,0,0),￡以,2,0),￡>,(0,2,0),B(2,0,2),C(2,2,2),D(0,2,2),

4

E(2,0,l),F(l,0,2),G(2,l,2),H(2,2《)，

tLM-UlUUUUUUU

對于A,因為3G=(0,2,—2),FDt=(-1,2,-2),FG=(1,1,0),

—x+2y—2z—0

設(shè)平面的法向量為〃=(x,y,z),貝!!有《\

x+y=0

2

y-—z

則有彳3，

y=-x

取;=(-2,2,3),

IUUUUIULUI

因為"BCL-Z#。，所以“J.8G不成立，

所以BG〃平面AFG不成立，故錯誤；

UUUUUUUUIT2

對于B,設(shè)P(O,yo，Zo),則GP=(-2,%T,ZO-2)，GF=(-1,-1,0)>GH=(0,l,--),

UUUUUUUUU

又因為GP=+貝汨(4,0eR)，

—2=—u.

24

所以jx)_i=_〃+e，所以有z0=一§%+§，

所以尸點(diǎn)軌跡為如圖所示的線段,

在平面內(nèi)作出與平行的直線NC1,

易知MDt與NC、的距離等于平面ADD^與平面BCQBi的距離為2,

因為NC|與8H不平行,

所以與3”不平行,

所以點(diǎn)尸到BH的距離不是定值,

所以sPBH不是定值，

又因為^p-BCH=VJBPH，

1121

即§X]x2x§x2=§SYPBH。,("為。點(diǎn)到平面PBH的距離)，

,4

所以力=行一不是定值，

所以C點(diǎn)到平面尸8〃的距離與尸點(diǎn)位置有關(guān)，故正確；

UUUUllllUUUUUU

對于C,因為3〃=(一2,2,-2),￡G=(O4,1)，BD、?EG=2—2=0,

UUUUUU

所以BRLEG,即有故正確；

244

對于D,由B可知產(chǎn)點(diǎn)軌跡為4=-,%+§，令%=0，則4=1；

令Z。=2,則%=2,

所以2點(diǎn)軌跡的長度為巧?^=2乎，故正確.

故選：BCD

10.若數(shù)列｛4｝有+4a,=an+i-2,S“為｛a“+2｝前”項積，圾｝有d一%=2b也2,則()

A.｛log』log“(??+2)]｝為等差數(shù)列(%>0)B.可能5“=(―1)"M+2廣|

C.十為等差數(shù)列D.也｝第"項可能與〃無關(guān)

【答案】BD

【解析】

【分析】結(jié)合遞推式a；+4a“=a”+「2,取《=-2,求｛凡｝的通項公式判斷選項A錯誤，求S,,判斷B,

由遞推式，一乙川=2。也用，取a=0,判斷C,求數(shù)列｛d｝的通項公式判斷D.

【詳解】因為片+4%=a,+1-2,所以(a“+2)=a,用+2,所以當(dāng)〃22,〃eN*時，a?+2>0,

若q=一2,則a“=-2,〃eN*,log”(a“+2)不存在，A錯誤；

因為q=-2時，％,=—2,〃eN*,所以4+2=0,所以S.=0,又(―1)”(q+2)*T=0,所以可能

S,=(_1)"(4+2)2"T,B正確；

因為b“一bz=2b也+i，取偽=0,則d=0,〃eN",此時，不存在，C錯誤；D正確；

un

故選：BD.

11.已知拋物線C：x2=2py,過點(diǎn)P（0,p）直線/cC={A,8},A8中點(diǎn)為g,過A,8兩點(diǎn)作拋物

線的切線《,/2,4門/2=。2，/1門、軸=乂拋物線準(zhǔn)線與0尸交于M,下列說法正確的是（）

A.軸B.O為PN中點(diǎn)

為近&四等分點(diǎn)

c.AQ21BQ2D.M

【答案】AD

【解析】

【分析】設(shè)直線/的斜率為攵，不妨設(shè)p>o,直線/的方程為丁=丘+〃，A（玉，x）,3（>2，必），與拋物

線方程聯(lián)立求出玉+々，玉工2，弘+%，得Qt（pk,pk2+P）,令％=2pk-dp2k2+2p2,求出弘，

求出y=￡,可得直線/,的方程、直線4的方程，由心金X&BQ=竿可判斷C；聯(lián)立直線4、直線/2的

方程可得。2（9，—P）可判斷A；令x=0由>一,=1（0-玉）得尸（0,〃）可判斷B；由P（o,p）、M點(diǎn)、

的縱坐標(biāo)為一^、Q（9，-P）可判斷D.

【詳解】由題意直線/的斜率存在，設(shè)為上，不妨設(shè)〃>0,4（%,%）,8（々,%），

y=kx+p

則直線/的方程為y=H+P，與拋物線方程聯(lián)立c,

/=2py

可得Y-2PH—2〃2=0,A=4p2/+8p2>0,

22

所以占+*2=224，xtx2=-2p,y,+y2=2pk+2p,所以Q（pk,pk?+p）,

222

不妨令XI-2pk—yjpk+2p,x2-2pk+Jp*+2p?,

2122222

所以X-2pk+p-k^jrk+2p,y2-2pk+p+k^Jpk+2p，

2

由〉=二得丁'=土，所以直線4的方程為y-y=—（x-x（）,

2pPp

直線4的方程為丫一%=上（工一工2），

所以原QX&BQ==-2^-1,故C錯誤;

P'P'

五(f)

P解得＜x=pk

由，,,可得

[y=kxi-yl

＞一＞2=—(x-x2)

x=pk

y=kgpk7P2k2+2〃2)—(2〃2?+p-kyjp2k2+2p2j=-p

所以。2(P%，-P)，

所以。2。，X軸，故A正確;

令x=0所以由y-X=%(O—%)得丁=—y=_2p爐—p+A必五二，所以

A^(0,-2pk2-p+kylp2k2+2p2],而P((),p),且

—2pk2—p+kyjp2k~+2p~+p=-2pk2+ky]p2k2+2p2=0=左=0，故B錯誤;

因為P(0,〃)，M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為Q2(pk,-p),

所以一々一(一。)=措，故M為PQ近。2四等分點(diǎn)，故D正確.

故選：AD

兀

12.已知奇函數(shù)/(x),XGR,且/(力=/(兀一x),當(dāng)xe0,—時，,f'(x)cosx+/(x)sinx>0,

.2)

當(dāng)xf四時，-2,下列說法正確的是()

2cosx

A./(x)是周期為2兀的函數(shù)

B.是最小正周期為2兀的函數(shù)

COSX

C.關(guān)于中心對稱

cosx12/

D,直線y=履與/L0若有3個交點(diǎn),44

COSX54'3兀

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)奇函數(shù)/(x),xeR,且〃力=/(兀一x),可確定函數(shù)/(力的周期，即可判斷A；設(shè)

司確定函數(shù)g(x)的奇偶性與對稱性即可判斷函數(shù)B,C；根據(jù)/'(x)cosx+/(x)sinx>0可

判斷函數(shù)g(x)在XG0,外上的單調(diào)性，結(jié)合對稱性與周期性即可得函數(shù)g(x)的大致圖象，根據(jù)直線

y=履與旦0若有3個交點(diǎn)，列不等式即可求攵的取值范圍，即可判斷D.

COSX

【詳解】解：因為〃X)=/(兀一X),所以“X)的圖象關(guān)于對稱，又因為/(X)為奇函數(shù)，所以

“X)=-/(一同，則同卜

則向I,故/(x)是周期為2兀的函數(shù)，故A正確；

設(shè)岡，其定義域為岡，則

/（X）

0，所以g(x)關(guān)于弓,0

中心對稱，即

127COSX

關(guān)于o中心對稱，故c正確:

Za,所以g(x)為上的奇函數(shù)，結(jié)合因可得

岡,即0-

故是周期為無的函數(shù)，故B錯誤;

COSX

當(dāng)xe，所以岡，故g(x)在xe0《上單調(diào)遞增，由于g(x)

關(guān)于中心對稱，所以g")在兀上單調(diào)遞增,

且當(dāng)xfg時，-2,又函數(shù)g(x)的周期為無，則可得g(x)大致圖象如下:

2cosx

44(441F44

——<k<,故&一-一u一,一故D錯誤.

兀3兀I兀3無」|_5兀3兀

故選：AC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.+中常數(shù)項是_________.(寫出數(shù)字)

\xJ

【答案】百1

【解析】

【分析】將岡看作一項，利用展開式的通項，找兩項中的常數(shù)項即可求解.

【詳解】囚的展開式的通項公式是囚

令

所以司的展開式中常數(shù)項為:

a

故答案為：||.

14.若(DC：(x—ay+(y—b)2=l,?！?gt;：(x—6p+(y-8)2=4,M,N分別為OC,。。上一動點(diǎn)，|加|

最小值為4,則3a+4/?取值范圍為.

【答案】[15,85]

【解析】

【分析】先根據(jù)|肱v|的最小值求出|cq=7,即(”6)2+0-8)2=49,再使用柯西不等式求出取值范

圍.

【詳解】由于|“V|最小值為4,圓C的半徑為1,圓。的半徑為2,故兩圓圓心距離|。4=4+1+2=7,

g|J(?-6)2+(Z?-8)2=49,

由柯西不等式得:[(a-6)2+(^-8)2]-(32+42)>[3(a-6)+4(b-8)]\

當(dāng)且僅當(dāng)土心="，即。="力=留時，等號成立，

3455

即(3。+4人一50/<25x49,解得：1543a+4Z?W85.

故答案為：[15,85]

V2V2cib

15.已知雙曲線々一4=1,耳，心分別為雙曲線左右焦點(diǎn)，尸2作斜率為--的直線交y=-x于點(diǎn)A,

a~b~ba

連接AK交雙曲線于點(diǎn)8,若AB=Ag=6耳，則雙曲線的離心率.

【答案】V6

【解析】

【分析】首先求出A心的方程，聯(lián)立兩直線方程，即可取出A點(diǎn)坐標(biāo)，由AB=A^=86,即可得到8為

A、6的中點(diǎn)，得到3點(diǎn)坐標(biāo)，再代入雙曲線方程，即可求出|臼一|,從而求出雙曲線的離心率.

【詳解】解：依題意問，所以AB：囚

回一回一

囚囚

由,解得,即，所以

又AB=AK=3G，所以B為A、6的中點(diǎn),

所以岡

所以k的取值范圍為岡

故答案為：a

四、解答題：本題共六個小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.己知。為ZXABC外心，S為Z\ABC面積，，?為。。半徑，且滿足

uuruun32鳳

AO+4產(chǎn)(2-cos2A-cos2----J

3

（1）求NA大小;

（2）若。為BC上近C三等分點(diǎn)（即8=且4。=血，求S最大值.

71

【答案】（1）

3

(2)

【解析】

【分析】（1）由向量的運(yùn)算整理可得0,結(jié)合正弦定理、余弦定理和面積公式運(yùn)算求解;

124

（2）根據(jù)題意結(jié)合向量可得a,再結(jié)合數(shù)量積可得2=—。2+—6。+—。2,利用基本不

999

等式可得國二I，再結(jié)合面積公式即可得結(jié)果.

【小問1詳解】

取的中點(diǎn)M,N,連接，則同

可得：岡

a

UlTUUI1#=哈，可得

由C8ZO+4/(2—cos?A-cos28)—

a

,即

121/22iJl3zC].人

—c—b+ci+b—ci——xbesinA?

2223

整理得尸+c2-a2=，^x2/?csinA,

3

由余弦定理cosA=2*......—=—sin/l，可得tanA=，

2bc3

,/Ae(O,7i),故A=1.

【小問2詳解】

由題意可得：AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB}=-AB+-AC,

33、'33

uum2(?iu.il2uu?、2Iuun，Aumuum4uuu，

則AO=-AB+-AC=-AB+-ABAC+-AC，

(33J999

I74

可得：2=-^+-bc+-b2,則18—2兒=。2+4〃24兒，當(dāng)且僅當(dāng)/=4〃，即。=幼時等號成立,

999

即II，則5=,。。5[!1=

142M~~2224

18.張老師在2022年市統(tǒng)測后統(tǒng)計了1班和3班的數(shù)學(xué)成績?nèi)缦聢D所示

數(shù)學(xué)成績各班分布情況

n(ad-be)2

(a+b)(b+d)(c+d)(a+c)

n-a+b+c+d,

p(犬W%)0.0500.0250.0100.0050.001

k。3.8415.0246.6357.87910.828

（1）根據(jù)卡方獨(dú)立進(jìn)行檢驗，說明是否有99.9%的把握數(shù)學(xué)成績與班級有關(guān)；

（2）現(xiàn)在根據(jù)分層抽樣原理，從1班和3班中抽取10人，再讓數(shù)學(xué)評價優(yōu)秀的同學(xué)輔導(dǎo)一位數(shù)學(xué)評價一

般的同學(xué)，每個人必有一人輔異，求在抽到甲輔導(dǎo)乙的情況下丙輔導(dǎo)丁的概率.

（3）以頻率估計概率，若從全年級中隨機(jī)抽取3人，求至少抽到一人數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的概率.

（4）以頻率估計概率，若從三班中隨機(jī)抽取8人，求抽到x人數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的分布列（列出通式即可）

及期望E（X）,并說明x取何值時概率最大.

【答案】（1）有，理由見解析

1

(2)-

4

（4）分布列見解析，0,x=2時，概率最大，理由見解析

【解析】

【分析】（1）計算卡方，與10.828比較后得到結(jié)論；

（2）先根據(jù)分層抽樣求出1班和3班抽到的學(xué)生分布情況，再根據(jù)條件概率求出概率；

（3）計算出1班和3班的總?cè)藬?shù)，以及數(shù)學(xué)評價優(yōu)秀的學(xué)生總?cè)藬?shù)，求出相應(yīng)的頻率作為全校數(shù)學(xué)評價

優(yōu)秀的概率，求出隨機(jī)抽取3人，抽到0人數(shù)學(xué)評價優(yōu)秀的概率，再利用對立事件求概率公式計算出答案；

（4）由題意得到x從而求出分布列，數(shù)學(xué)期望，并利用不等式組，求出x=2時，概率最大.

【小問1詳解】

以100x（10x20-40x30）250、“。

K=-----------------=——>lU.oZo,

40x60x50x503

故有99.9%的把握數(shù)學(xué)成績與班級有關(guān)；

【小問2詳解】

1班有40+20=60人，3班有10+30=40人，

故抽取10人，從1班抽取人數(shù)為1Ox—^—=6,從3班抽取人數(shù)為10x,40-=4,

60+4060+40

由于1班數(shù)學(xué)評價優(yōu)秀和一般人數(shù)比為4:2,故抽取的6人中有4人數(shù)學(xué)評價優(yōu)秀，2人評價一般，

而3班數(shù)學(xué)評價優(yōu)秀和一般的人數(shù)之比為1:3,故抽取的4人中有1人數(shù)學(xué)評價優(yōu)秀，3人評價一般，

設(shè)抽到甲輔導(dǎo)乙為事件4抽到丙輔導(dǎo)丁為事件B,

則網(wǎng)4）=與='p（A8）=二=

A；5V7A-；20V1'P⑷2054

【小問3詳解】

1班和3班總?cè)藬?shù)為100人，其中兩班學(xué)生數(shù)學(xué)評價優(yōu)秀的總?cè)藬?shù)為10+40=50,

故頻率為————,

1002

以頻率估計概率，全年級的數(shù)學(xué)評價優(yōu)秀的概率為

從全年級中隨機(jī)抽取3人，抽到0人數(shù)學(xué)評價優(yōu)秀的概率為="，

17

所以從全年級中隨機(jī)抽取3人，至少抽到一人數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的概率為1--=一.

88

【小問4詳解】

由題意得：3班的數(shù)學(xué)評價優(yōu)秀概率為鎂=!，

404

故x

岡一.-----------

所以分布列為11,I臼卜

數(shù)學(xué)期望因，

x=2時，概率最大，理由如下：

令岡，解得：回

因為|囚|，所以x=2.

7T

19.在AABC中，ZBAC=-,A、B、C、。四點(diǎn)共球，R（已知）為球半徑，。為球心，0'為_/3。外

3

接圓圓心，「（未知）為。0'半徑.

（1）求（匕_88）1mx和此時0到面ABC距離/?；

（2）在（匕-88）,皿的條件下，面0AB（可以無限延伸）上是否存在一點(diǎn)K,使得KCL平面0AB?若存

在，求出K點(diǎn)距00'距離4和K到面A8C距離“2,若不存在請給出理由.

【答案】⑴（匕皿）3為第N，此時/，』，

2

（2）存在K,滿足KCJ_平面0AB,理由見解析；d.=—/?.d=-/?.

1323

【解析】

（分析］⑴設(shè)線段O'O的延長線與球的交點(diǎn)為2,則yA-BCD4%「ABC，設(shè)NOAO'=6,表示。一ABC

的體積，通過換元，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值.

（2）取A8的中點(diǎn)E，連接0E,CE,過。作KCJ.0E,根據(jù)線面垂直判定定理證明KUL平面0AB,

再通過解三角形求4，4?

【小問1詳解】

當(dāng)點(diǎn)。為線段O'O的延長線與球的交點(diǎn)時，點(diǎn)。到平面ABC的距離最大，

所以匕-88=VD-ABC<\-ABC，由球的截面性質(zhì)可得。0，平面ABC,

由(1)點(diǎn)。與點(diǎn)A重合，AB=AC=BC=V3/?=^-=R.又

333

取AB的中點(diǎn)E，連接。E,CE,則OE_LAB,CE_LA8,

OEcCE=E,OE,CEu平面。CE,所以AB_Z平面OCE,

過C作KCLOE,垂足為K,

因為I岡|平面。CE,所以|岡I，

V|1,I臼|平面I四I，所以I岡I平面岡I，

由⑴囚，舊I,岡，

g[g-

所以，，

所以岡，

因為岡，

所以囚I，所以囚，所以網(wǎng)，

所以Iw],所以。為目的中點(diǎn)，

又|岡所以E到直線00'的距離為因,

過K作|岡一垂足為〃，故點(diǎn)K到00'的距離為耳，

所以K到直線00'的距離為問，

因為I岡|平面ABC，。'為垂足，所以點(diǎn)。到平面ABC的距離為岡，

過K作可~]，垂足為N,則|可所以|囚|平面ABC,

故點(diǎn)K到平面ABC的距離為耳，又岡

2

所以點(diǎn)K到平面ABC的距離為d——R.

3

20.在高中的數(shù)學(xué)課上，張老師教會了我們用如下方法求解數(shù)列的前“項和：形如a,,=(2“+l)(g)的數(shù)

,2"

列，我們可以錯位相減的方法對其進(jìn)行求和；形如如=(2"+])(2.1+1)的數(shù)歹我們可以使用裂項相消

的方法對其進(jìn)行求和.李華同學(xué)在思考錯位相減和裂項相消后的本質(zhì)后對其進(jìn)行如下思考：

錯位相減：設(shè)w1),Sn-a,+a2-\---t-an-ax+---\-q"~'^,qSn-at[q+q~

(q-1)S“=4(qH---kq"-1------q"')=q[(<?H----Fq")-(id----')]=4(q"-1)

c，"一1

S"-~a\

q-i

綜上：當(dāng)中間項可以相消時，可將求解s“的問題用錯位相減化筒

L,111或k"一》為公比為

裂項相消:設(shè)〃if7G7

/?+1

1的等比數(shù)列；

①當(dāng)左=，時，7-1

nnn+1

②當(dāng)[總一，]為公比為1的等比數(shù)列時，尤=伍+1)+Lbn=-一一—

InJnnn+1

故可為簡便計算省去②的討論，sn=k「kn+l=——

n+l