河南省駐馬店市部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義即可求解【詳解】由題意知，所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)在第二象限．故B正確.故選：B.2.若集合，則集合的子集的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】先將集合A化簡，再判斷得解.【詳解】，所以集合A的子集的個(gè)數(shù)為4．故選：C.3.雙曲線的上頂點(diǎn)到其一條漸近線的距離為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)與漸近線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式，可得答案.【詳解】因?yàn)殡p曲線的上頂點(diǎn)為，漸近線方程為，所以雙曲線的上頂點(diǎn)到其一條漸近線的距離為.故選：A.4.已知，則（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】對(duì)、化簡后可得具體的值，對(duì)有.【詳解】，故．故選：D.5.用2個(gè)0，2個(gè)1和1個(gè)2組成一個(gè)五位數(shù)，則這樣的五位數(shù)有（）A.8個(gè) B.12個(gè) C.18個(gè) D.24個(gè)【答案】C【解析】【分析】分首位為2、1計(jì)算出每種情況的結(jié)果數(shù)，再相加即可.【詳解】當(dāng)首位為2時(shí)，這樣的五位數(shù)有個(gè)；當(dāng)首位為1時(shí)，這樣的五位數(shù)有個(gè).綜上，這樣的五位數(shù)共有個(gè).故選：C.6.若點(diǎn)是圓:上一點(diǎn),則最小值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓外一定點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的平方的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】圓:可化為表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方,因?yàn)?，所以的最小值?故選：B.7.某圓錐的軸截面是一個(gè)邊長為4的等邊三角形，在該圓錐中內(nèi)接一個(gè)圓柱，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意作圖，根據(jù)圓錐與圓柱的幾何性質(zhì)，可得到答案.【詳解】由題意作圖如下：由題設(shè)可知該圓錐的高．設(shè)在該圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為的圓柱，該圓柱的底面半徑為，由，則，即，所以，故該圓柱的側(cè)面積，當(dāng)時(shí)，側(cè)面積取得最大值．故選：C.8.已知是拋物線上的一點(diǎn)，直線，過點(diǎn)作與的夾角為的直線，交于點(diǎn).設(shè)為點(diǎn)到軸的距離，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由拋物線的定義將轉(zhuǎn)化為，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則由角所在直角三角形將轉(zhuǎn)化，再由定點(diǎn)到定直線距離求出最小值即可.【詳解】設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，由拋物線的定義得.設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，如圖，過作，垂足為，過點(diǎn)作與的夾角為的直線，交于點(diǎn)，在中，，則，所以，，又的最小值為點(diǎn)到的距離，即的最小值為，所以的最小值為.故選：B.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式，可對(duì)A、B判斷；由，可得，利用基本不等式“1”的應(yīng)用即可對(duì)C、D判斷.【詳解】對(duì)A、B：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)C：若，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故C正確.對(duì)D：若，則，所以，由及，可知，則當(dāng)，即時(shí)，，故D正確.故選:ACD．10.古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割率，黃金分割率的值也可以用表示．下列結(jié)果等于黃金分割率的值的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】利用三角恒等變換，即可化簡，即可求解.【詳解】，故A正確；故B正確；，故C錯(cuò)誤；．故D錯(cuò)誤；故選：AB11.已知函數(shù)，且對(duì)恒成立，則（）A.B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.若方程在上有2個(gè)實(shí)數(shù)解，則D.的圖象與直線恰有5個(gè)交點(diǎn)【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，首先由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱求出參數(shù)即可驗(yàn)證；對(duì)于B，直接代入函數(shù)表達(dá)式檢驗(yàn)即可；對(duì)于C，利用換元法得函數(shù)值范圍結(jié)合函數(shù)方程的根的個(gè)數(shù)即可驗(yàn)證；對(duì)于D，直接畫出圖形，通過數(shù)形結(jié)合即可驗(yàn)證.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閷?duì)恒成立，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，即，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏嫌?個(gè)實(shí)數(shù)解，所以，解得，故C正確；對(duì)于D，直線經(jīng)過點(diǎn)與，而與分別是函數(shù)的零點(diǎn)與其圖象的最高點(diǎn)，如圖所示：結(jié)合圖象可知的圖象與直線恰有5個(gè)交點(diǎn)，故D正確.故選：BCD．12.在邊長為1的正方體中，動(dòng)點(diǎn)滿足．下列說法正確的是（）A.四面體的體積為B.若，則的軌跡長度為C.異面直線與所成角的余弦值的最大值為D.有且僅有三個(gè)點(diǎn)，使得【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A，由題意可得點(diǎn)的軌跡在內(nèi)，利用等體積法轉(zhuǎn)換即可；對(duì)于B，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧，利用解三角形知識(shí)求出圓心角弧度即可；對(duì)于C，由題意為異面直線與所成的角，故只需求出其正弦值的最小值即可；對(duì)于D，由題意點(diǎn)在以為直徑的圓上，由此即可判斷.【詳解】如圖所示，連接，由，可得點(diǎn)的軌跡在內(nèi)（包括邊界）．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，故A正確．易知平面，設(shè)與平面相交于點(diǎn)．由于，則點(diǎn)到平面的距離為．若，則，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，如圖所示，在中，，，設(shè)，由余弦定理得，解得，則，所以的軌跡長度為，故B錯(cuò)誤．因?yàn)?，所以為異面直線與所成的角，則，所以，故C正確．由三垂線定理可知，又平面，要使得，則點(diǎn)在以為直徑的圓上，所以存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得，故D錯(cuò)誤．故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是利用空間向量推得的所在位置，從而得解.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，則__________．【答案】【解析】【分析】先求得等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，從而求得.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由，可得，即，所以．故答案為：14.某學(xué)校組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)測試，成績的頻率分布直方圖如下，數(shù)據(jù)的分組依次是，則可估計(jì)這次數(shù)學(xué)測試成績的第40百分位數(shù)是_________．【答案】65【解析】【分析】利用百分位數(shù)的定義求解.【詳解】解：成績在的頻率是，成績在的頻率為，所以第40百分位數(shù)一定在內(nèi)，所以這次數(shù)學(xué)測試成績的第40百分位數(shù)是，故答案為：6515.若為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，則__________．【答案】4【解析】【分析】首先得出是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，所以，然后由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以是函?shù)圖象的對(duì)稱中心，則為線段的中點(diǎn)，可得，則．故答案為：4.16.關(guān)于的方程有3個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】將方程變形為，然后令，將問題轉(zhuǎn)化為方程和共有3個(gè)不同實(shí)數(shù)根，利用導(dǎo)數(shù)研究的圖象，結(jié)合圖象分析即可求解.【詳解】由，可得．令，則，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又當(dāng)趨于時(shí)，趨于0，當(dāng)趨于時(shí)，趨于，當(dāng)時(shí)，，故可作的草圖如圖，記方程的兩根為，，易知，若是方程的根，則，不滿足題意.因?yàn)榉匠逃?個(gè)不等實(shí)數(shù)根，所以，或，當(dāng)時(shí)，得，所以，即異號(hào)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，則有，得．故的取值范圍為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題難點(diǎn)在于對(duì)原方程進(jìn)行恒等變形，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，然后轉(zhuǎn)化為方程和共有3個(gè)不同實(shí)數(shù)根，結(jié)合圖象即可解得.四?解答題：本題共6小題，共70分?解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.在中，為邊上一點(diǎn)．（1）若，求的面積；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得AC，AB，再利用三角形面積公式求解；（2）由求解.【小問1詳解】解：由余弦定理得，即，解得，所以的面積為．【小問2詳解】因?yàn)?，所以，所以?8.在直四棱柱中，，，．（1）證明：平面平面．（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由題意只需證明平面即可，而通過解三角形知識(shí)可得，由線面垂直的性質(zhì)可得，結(jié)合線面垂直、面面垂直的判定定理即可得證.（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，由法向量夾角的余弦公式即可得解.【小問1詳解】由題意可知底面，因?yàn)榈酌?，所以．在梯形中，，，可得，又，所以，又，由余弦定理可得，所以，故．因?yàn)?，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．【小?詳解】由題意底面，底面，所以，又因?yàn)?，，所以，所以兩兩互相垂直，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，．所以．取為平面的一個(gè)法向量．設(shè)平面法向量為，則，得取，則，得，所以．故平面與平面夾角的余弦值為．19.一只螞蟻位于數(shù)軸處，這只螞蟻每隔一秒鐘向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位長度，設(shè)它向右移動(dòng)的概率為，向左移動(dòng)的概率為.（1）已知螞蟻2秒后所在位置對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為非負(fù)數(shù)，求2秒后這只螞蟻在處的概率；（2）記螞蟻4秒后所在位置對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)為，求的分布列與期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）記螞蟻2秒后所在位置對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為非負(fù)數(shù)為事件，記2秒后這只螞蟻在處的概率為事件，則由題意可知事件包括2秒內(nèi)一直向可移動(dòng)和一次向右移動(dòng)與一次向左移動(dòng)，事件為2秒內(nèi)一次向右移動(dòng)與一次向左移動(dòng)，然后利用獨(dú)立事件的概率公式求出，再利用條件概率公式可求得結(jié)果；（2）由題意知可能的取值為，然后求出相應(yīng)的概率，從而可求出的分布列與期望.【小問1詳解】記螞蟻2秒后所在位置對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為非負(fù)數(shù)為事件，記2秒后這只螞蟻在處的概率為事件，則故所求的概率為.【小問2詳解】由題意知可能的取值為，則，則的分布列為02420.已知數(shù)列滿足．（1）若為等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；（2）記的前項(xiàng)和為，不等式對(duì)恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意結(jié)合等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解.（2）由分組求和法將的表達(dá)式求出來，分是奇數(shù)，偶數(shù)兩種情形討論，結(jié)合表達(dá)式恒成立的理論即可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，兩式相減得．因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以的公差．又，所以，解得，則，即的通項(xiàng)公式為．【小問2詳解】由（1）得，所以不等式可化為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，則，即，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則．綜上，的取值范圍為．21.已知橢圓的上?下頂點(diǎn)分別是，點(diǎn)（異于兩點(diǎn)）在橢圓上，直線與的斜率之積為，橢圓的長軸長為6．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，且直線與相交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)斜率之積和點(diǎn)P在橢圓上整理可得；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程消去y，利用P，Q坐標(biāo)表示出直線與的方程，求解出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后用韋達(dá)定理化簡即可得證.【小問1詳解】由題意可得，設(shè)，則，所以．因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，則．因?yàn)?，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】設(shè)，顯然直線不垂直于軸，設(shè)直線的方程為．由消去得．因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，所以．設(shè)直線的方程為，直線的方程為，所以．由（1）知，可得因此，即點(diǎn)在直線上．【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線的綜合問題的處理思路：聯(lián)立方程消元，利用韋達(dá)定理表示出已知和所求，然后化簡整理即可.22.已知，，是關(guān)于x的方程的三個(gè)不同的根，且.（1）求a的取值范圍；（2）證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，得到a的取值范圍；（2）由（1）知，分別證，，得到答案.【小問1詳解】令，則則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，所以，即，所以a的取值范圍為.【小問2詳解】證明：由（1）可知，下面證明，.①證明.令，因