2022-2023學年廣東省茂名市信宜一中高一（下）期末數(shù)學模擬試卷（一）

第1頁（共1頁）2022-2023學年廣東省茂名市信宜一中高一（下）期末數(shù)學模擬試卷（一）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。）（多選）1．（5分）已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足z（2﹣i）＝i2020，則下列說法正確的是（）A．復數(shù)z的模為 B．復數(shù)z的共軛復數(shù)為 C．復數(shù)z的虛部為 D．復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限2．（5分）國家射擊運動員甲在某次訓練中10次射擊成績（單位：環(huán)）如下：7，5，9，7，4，8，9，9，7，5，則下列關(guān)于這組數(shù)據(jù)說法不正確的是（）A．眾數(shù)為7和9 B．方差為s2＝3 C．平均數(shù)為7 D．第70百分位數(shù)為83．（5分）在△ABC中，已知D為AC上一點，若，則＝（）A． B． C． D．4．（5分）已知角α的終邊上有一點P（1，3），則的值為（）A．1 B． C．﹣1 D．﹣45．（5分）長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，AA1＝1，一繩子從A沿著表面拉到C1的最短距離是（）A． B．2 C．3 D．6．（5分）若α，β為銳角，，則sinβ等于（）A． B． C． D．7．（5分）函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到函數(shù)y＝cos2x的圖象（）A．向左平行移動個單位長度 B．向右平行移動個單位長度 C．向左平行移動個單位長度 D．向右平行移動個單位長度8．（5分）△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的分別為a，b，c，且（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，若a＝2，則△ABC的面積的最大值是（）A．1 B． C．2 D．2二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）（多選）9．（5分）下列等式成立的是（）A． B． C． D．（多選）10．（5分）已知向量＝（4，3﹣m），＝（1，m），則下列說法正確的是（）A．若，則m＝4 B．若，則∥ C．||的最小值為6 D．若與的夾角為銳角，則﹣1＜m＜4（多選）11．（5分）如圖，在棱長為1的正方體中，下列結(jié)論正確的是（）A．異面直線AC與BC1所成的角為60° B．直線AB1與平面ABC1D1所成角為45° C．二面角A﹣B1C﹣B的正切值為 D．四面體D1﹣AB1C的外接球的體積為（多選）12．（5分）函數(shù)f（x）＝3sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分圖象如圖所示，則（）A． B．f（x）圖象的一條對稱軸方程是 C．f（x）圖象的對稱中心是，k∈Z D．函數(shù)是偶函數(shù)三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13．（5分）一個梯形的直觀圖是一個如圖所示的等腰梯形，且A'B'＝1，O'C'＝3，O′A′＝2，則原梯形的面積為．14．（5分）向量，，則|﹣2|＝．15．（5分）已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面．給出下列命題：①若l?α，m?α，l∥β，m∥β，則α∥β；②若l⊥α且m⊥α，則l∥m；③若α∥β，l?α，m?β則l∥m；④l⊥α，m∥β，α⊥β，則l⊥m．其中正確命題的序號是．16．（5分）一個正四面體的四個頂點都在一個表面積為24π的球面上，則該四面體的體積為．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（10分）已知＝（1，2），＝（﹣3，2），當k為何值時，（1）k與平行？（2）k與垂直？18．（12分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝4，點D是AB的中點，AC⊥BC．（1）求證：AC1∥平面CDB1；（2）求點A到平面CDB1距離．19．（12分）4月23日“世界讀書日”來臨時，某校為了解中學生課外閱讀情況，隨機抽取了100名學生，并獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的數(shù)據(jù)，整理得到下表．組號分組頻數(shù)頻率1[0.5）50.052[5，10）a0.353[10，15）30b4[15，20）200.205[20，25）100.10（1）求a，b的值，并在如圖中作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；（用陰影涂色）（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)及中位數(shù)（精確到0.01）；（3）現(xiàn)從第4，5組中用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取6人參加校中華詩詞比賽，經(jīng)過比賽后，第4組得分的平均數(shù)x＝7，方差s2＝2，第5組得分的平均數(shù)y＝7，方差t2＝1，則這6人得分的平均數(shù)a和方差σ2分別為多少（方差精確到0.01）？20．（12分）請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并作答．①＝；②2ccosC＝acosB+bcosA；③△ABC的面積為c（asinA+bsinB﹣csinC）．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且_____．（1）求C；（2）若D為AB中點，且c＝2，CD＝，求a，b．21．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD＝2，AB＝3，AD＝，∠DAB＝90°，△BCD為正三角形，E是CD的中點，DE＝PE，PD⊥BC．（1）求證：平面PDE⊥平面PBC；（2）求二面角P﹣BC﹣D的余弦值；（3）求四棱錐P﹣ABCD的體積．22．（12分）已知向量，，設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）的最大值；（2）已知在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足，求sinB?sinC的取值范圍．

2022-2023學年廣東省茂名市信宜一中高一（下）期末數(shù)學模擬試卷（一）參考答案與試題解析一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。）（多選）1．（5分）已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足z（2﹣i）＝i2020，則下列說法正確的是（）A．復數(shù)z的模為 B．復數(shù)z的共軛復數(shù)為 C．復數(shù)z的虛部為 D．復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限【分析】利用復數(shù)的運算法則、幾何意義、共軛復數(shù)與純虛數(shù)的定義即可判斷出正誤．【解答】解：z（2﹣i）＝i2020，∴z（2﹣i）（2+i）＝i2020（2+i），∴5z＝2+i，∴z＝+i，∴|z|＝＝，故A錯，復數(shù)z的共軛復數(shù)為，故B錯；復數(shù)z的虛部為，故C正確；復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為，在第一象限，故D正確．故選：CD．【點評】本題考查了復數(shù)的運算法則、幾何意義、純虛數(shù)的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）國家射擊運動員甲在某次訓練中10次射擊成績（單位：環(huán)）如下：7，5，9，7，4，8，9，9，7，5，則下列關(guān)于這組數(shù)據(jù)說法不正確的是（）A．眾數(shù)為7和9 B．方差為s2＝3 C．平均數(shù)為7 D．第70百分位數(shù)為8【分析】由眾數(shù)，方差，平均數(shù)的求法判斷ABC，再由第70百分位數(shù)的定義判斷D．【解答】解：結(jié)合數(shù)據(jù)得眾數(shù)為7和9，故A正確，平均數(shù)是＝＝7，故C正確，s2＝（32+22+22+12+22+22+22）＝3，故B正確，10次射擊成績從小到大排列分別是：4，5，5，7，7，7，8，9，9，9，∵10×70%＝7，∴第70百分位數(shù)為＝8.5，故D錯誤，故選：D．【點評】本題考查了眾數(shù)，方差，平均數(shù)以及第70百分位數(shù)的定義，是基礎(chǔ)題．3．（5分）在△ABC中，已知D為AC上一點，若，則＝（）A． B． C． D．【分析】作圖，根據(jù)向量三角形法則進行表示即可【解答】解：如圖，＝＝+＝（）+＝+，故選：D．【點評】本題考查平面向量基本定理，涉及向量三角形法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）已知角α的終邊上有一點P（1，3），則的值為（）A．1 B． C．﹣1 D．﹣4【分析】由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義求得sinα和cosα的值，再利用誘導公式進行化簡所給的式子，可得結(jié)果．【解答】解：∵角α的終邊上有一點P（1，3），∴x＝1，y＝3，r＝|OP|＝，∴sinα＝＝，cosα＝＝，則＝＝＝1，故選：A．【點評】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，誘導公式，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，AA1＝1，一繩子從A沿著表面拉到C1的最短距離是（）A． B．2 C．3 D．【分析】按三種不同方式展開長方體的側(cè)面，計算平面圖形中三條線段的長，比較得正確選項．【解答】解：長方體ABCD﹣A1B1C1D1的表面可如圖三種方法展開后，A、C1兩點間的距離分別為：＝3，＝2，＝．三者比較得3是從點A沿表面到C1的最短距離．故選：C．【點評】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查分類討論思想，考查計算能力，屬于中檔題．6．（5分）若α，β為銳角，，則sinβ等于（）A． B． C． D．【分析】由已知cosα，sin（α+β），然后由sinβ＝sin（α+β﹣α）結(jié)合兩角差的正弦公式可求．【解答】解：因為α，β為銳角，，所以cos，sin（α+β）＝，則sinβ＝sin（α+β﹣α）＝sin（α+β）cosα﹣sinαcos（α+β），＝＝．故選：A．【點評】本題主要考查了兩角差的正弦公式及同角基本關(guān)系在三角求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到函數(shù)y＝cos2x的圖象（）A．向左平行移動個單位長度 B．向右平行移動個單位長度 C．向左平行移動個單位長度 D．向右平行移動個單位長度【分析】直接利用函數(shù)的圖象的平移變換的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：函數(shù)的圖象向右平移個單位，可得到函數(shù)y＝cos2x的圖象，故選：D．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)的平移變換，主要考查學生的轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的分別為a，b，c，且（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，若a＝2，則△ABC的面積的最大值是（）A．1 B． C．2 D．2【分析】由已知利用正弦定理可得a2＝b2+c2﹣bc，由余弦定理可得cosA＝，結(jié)合范圍A∈（0，π），可求A的值；再利用余弦定理，基本不等式可求bc≤4，當且僅當b＝c＝2時，取等號，利用三角形的面積公式即可求解．【解答】解：由（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，利用正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c，即a2＝b2+c2﹣bc，所以由余弦定理可得：cosA＝＝，而A∈（0，π），所以A＝；因為a＝2，所以可得：4＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，即bc≤4，當且僅當b＝c＝2時，取等號，所以S△ABC＝bcsinA≤×4×＝，即△ABC面積的最大值為．故選：B．【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）（多選）9．（5分）下列等式成立的是（）A． B． C． D．【分析】利用倍角公式變形求解A與C，利用兩角和與差的三角函數(shù)計算判斷B與D．【解答】解：，故A正確；＝sin40°cos60°+cos40°sin60°＝sin100°＝sin80°，故B錯誤；＝，故C正確；tan15°＝tan（45°﹣30°）＝＝＝2﹣，故D正確．故選：ACD．【點評】本題考查倍角公式的應(yīng)用，考查兩角和與差的三角函數(shù)，是基礎(chǔ)的計算題．（多選）10．（5分）已知向量＝（4，3﹣m），＝（1，m），則下列說法正確的是（）A．若，則m＝4 B．若，則∥ C．||的最小值為6 D．若與的夾角為銳角，則﹣1＜m＜4【分析】由題意利用兩個向量平行、垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論．【解答】解：∵向量＝（4，3﹣m），＝（1，m），若，則＝4+m（3﹣m）＝0，求得m＝4或m＝﹣1，故A錯誤；若m＝，則向量＝（4，），＝（1，），由＝，可得∥，故B正確；∵+2＝（6，3+m），∴|+2|＝≥6，當且僅當m＝﹣3時，取等號，故|+2|的最小值為6；故C正確；若與的夾角為銳角，＞0，且與不共線，即＝4+m（3﹣m）＞0，且≠，求得﹣1＜m＜4且m≠，故D錯誤，故選：BC．【點評】本題主要考查兩個向量平行、垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量坐標形式的運算法則，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（5分）如圖，在棱長為1的正方體中，下列結(jié)論正確的是（）A．異面直線AC與BC1所成的角為60° B．直線AB1與平面ABC1D1所成角為45° C．二面角A﹣B1C﹣B的正切值為 D．四面體D1﹣AB1C的外接球的體積為【分析】對于A，連接A1C1，A1B，由AC∥A1C1，得A1C1與BC1所成的角即是異面直線AC與BC1所成的角，由△A1C1B為等邊三角形，得到∠A1C1B＝60°；對于B，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線AB1與平面ABC1D1所成角為30°；對于C，求出平面BB1C的法向量和平面AB1C的法向量，利用向量法求出二面角A﹣B1C﹣B的正切值為；對于D，由四面體D1﹣AB1C是棱長為的正四面體，能求出四面體D1﹣AB1C的外接球的體積．【解答】解：對于A，連接A1C1，A1B，由題意可得AC∥A1C1所以A1C1與BC1所成的角，即是異面直線AC與BC1所成的角，因為△A1C1B為等邊三角形，所以∠A1C1B＝60°，所以A正確；對于B，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，A（1，0，0），B1（1，1，1），B（1，1，0），D1（0，0，1），＝（0，1，1），＝（0，1，0），＝（﹣1，0，1），設(shè)平面ABC1D1的法向量＝（x，y，z），則，取x＝1，得＝（1，0，1），設(shè)直線AB1與平面ABC1D1所成角為θ，則sinθ＝＝＝，∴θ＝30°，∴直線AB1與平面ABC1D1所成角為30°，故B錯誤；對于C，平面BB1C的法向量＝（0，1，0），C（0，1，0），＝（0，1，1），＝（﹣1，1，0），設(shè)平面AB1C的法向量＝（a，b，c），則，取a＝1，得＝（1，1，﹣1），設(shè)二面角A﹣B1C﹣B的平面角為θ，則cosθ＝＝，sinθ＝＝，∴二面角A﹣B1C﹣B的正切值為tanθ＝＝，故C正確；對于D，平面AB1C的法向量＝（1，1，﹣1），＝（﹣1，0，1），點D1到平面AB1C的距離d＝＝，∵四面體D1﹣AB1C是棱長為的正四面體，設(shè)四面體D1﹣AB1C的外接球的半徑為R，則R2＝[]2+（）2，解得R＝，∴四面體D1﹣AB1C的外接球的體積V＝＝，故D正確．故選：ACD．【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查邏輯思維能力，是中檔題．（多選）12．（5分）函數(shù)f（x）＝3sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分圖象如圖所示，則（）A． B．f（x）圖象的一條對稱軸方程是 C．f（x）圖象的對稱中心是，k∈Z D．函數(shù)是偶函數(shù)【分析】首先根據(jù)題意得到，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)和平移變換依次判斷選項即可得到答案．【解答】解：由函數(shù)f（x）＝3sin（ωx+φ）的圖象知：，所以T＝π，即，解得ω＝2，所以f（x）＝3sin（2x+φ）．因為，所以，k∈Z，即，k∈Z．因為0＜φ＜π，所以，，故A錯誤．由于，為最小值，可得f（x）圖象的一條對稱軸方程是，故B正確．令，k∈Z，解得，k∈Z，可得f（x）的對稱中心是，k∈Z，故C錯誤．設(shè)，根據(jù)g（x）的定義域為R，g（﹣x）＝3cos（﹣2x）＝3cos2x＝g（x），可得g（x）為偶函數(shù)，故D正確．故選：BD．【點評】本題主要考查根據(jù)函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數(shù)的解析式，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13．（5分）一個梯形的直觀圖是一個如圖所示的等腰梯形，且A'B'＝1，O'C'＝3，O′A′＝2，則原梯形的面積為8．【分析】將梯形直觀圖O'A'B'C'還原為直角梯形OABC，求出其面積即可．【解答】解：因為∠A'O'C'＝45°，根據(jù)斜二測畫法規(guī)則知，所以在原圖形中，∠AOC＝90°，如圖，梯形OABC是直角梯形，OC∥AB，且OA＝4，AB＝1，OC＝3，梯形OABC的面積為S＝＝＝8．故答案為：8．【點評】本題主要考查了平面圖形的直觀圖，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）向量，，則|﹣2|＝．【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標運算，先求出向量的坐標，再利用向量的模長公式即可求出．【解答】解：∵﹣2＝（4，﹣1），∴|﹣2|＝＝，故答案為：．【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積的坐標運算，模長公式，是基礎(chǔ)題．15．（5分）已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面．給出下列命題：①若l?α，m?α，l∥β，m∥β，則α∥β；②若l⊥α且m⊥α，則l∥m；③若α∥β，l?α，m?β則l∥m；④l⊥α，m∥β，α⊥β，則l⊥m．其中正確命題的序號是②．【分析】在①中，α與β相交或平行；在②中，由線面垂直的性質(zhì)定義得l∥m；在③中，l與m平行或?qū)妫辉冖苤?，l與m相交、平行或異面．【解答】解：由l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，知：在①中，若l?α，m?α，l∥β，m∥β，則α與β相交或平行，故①錯誤；在②中，若l⊥α且m⊥α，則由線面垂直的性質(zhì)定義得l∥m，故②正確；在③中，若α∥β，l?α，m?β，則l與m平行或?qū)妫盛坼e誤；在④中，l⊥α，m∥β，α⊥β，則l與m相交、平行或異面，故④錯誤．故答案為：②．【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．16．（5分）一個正四面體的四個頂點都在一個表面積為24π的球面上，則該四面體的體積為．【分析】先根據(jù)球的表面積得球的半徑，再將正四面體放到正方體中，將正四面體的體積轉(zhuǎn)為正方體的體積與三棱錐的體積即可求解．【解答】解：∵正四面體的外接球表面積為S＝4πR2＝24π，∴球的半徑R＝，如圖，將正四面體S﹣ABC放置到正方體中，則正四面體的外接球直徑2R即為正方體的體對角線CD長，設(shè)正方體的棱長為a，則根據(jù)正方體的體對角線公式可得：CD2＝（2R）2＝3a2，∴24＝3a2，∴a＝，∴該四面體S﹣ABC的體積為正方體的體積減去三棱錐D﹣ABS體積的4倍，即該四面體的體積為＝，故答案為：．【點評】本題考查正四面體的外接球問題，球的表面積公式，分割補形法，屬基礎(chǔ)題．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（10分）已知＝（1，2），＝（﹣3，2），當k為何值時，（1）k與平行？（2）k與垂直？【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合向量共線的性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：＝（1，2），＝（﹣3，2），則3，2）＝（7，﹣2），，（1）ka+b與平行，則（﹣2）×（k﹣3）﹣7（2k+2）＝0，解得；（2）與垂直，則7（k﹣3）+（2k+2）×（﹣2）＝0，解得．【點評】本題主要考查平面向量的共線與垂直，屬于基礎(chǔ)題．18．（12分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝4，點D是AB的中點，AC⊥BC．（1）求證：AC1∥平面CDB1；（2）求點A到平面CDB1距離．【分析】（1）設(shè)BC1∩B1C＝M，連接DM，證明AC1∥DM，從而得解；（2）先得出點A到平面CDB1的距離等于點B到平面CDB1的距離，再證明平面CDB1⊥平面ABB1A1，過點B作BH⊥DB1于H，計算BH即可．【解答】解：（1）證明：設(shè)BC1∩B1C＝M，連接DM，D點是AB的中點，M點是BC1的中點，DM是△ABC1的中位線，所以AC1∥DM，AC1?平面CDB1，DM?平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1；（2）因為DM是△ABC1的中位線，所以點A到平面CDB1的距離等于點B到平面CDB1的距離，因為AC＝BC＝4，點D是AB的中點，所以CD⊥AB，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，又CD?平面ABC，所以AA1⊥CD，又AA1∩AB＝A，AA1，AB?平面ABB1A1，所以CD⊥平面ABB1A1，又CD?平面CDB1，所以平面CDB1⊥平面ABB1A1，過點B作BH⊥DB1于H，因為平面CDB1∩平面ABB1A1＝DB1，則BH就是點B到平面CDB1的距離，，BB1＝4，由勾股定理知，所以，∴A到平面CDB1距離為．【點評】本題考查線面平行的判定，點到平面的距離計算等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．19．（12分）4月23日“世界讀書日”來臨時，某校為了解中學生課外閱讀情況，隨機抽取了100名學生，并獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的數(shù)據(jù)，整理得到下表．組號分組頻數(shù)頻率1[0.5）50.052[5，10）a0.353[10，15）30b4[15，20）200.205[20，25）100.10（1）求a，b的值，并在如圖中作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；（用陰影涂色）（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)及中位數(shù)（精確到0.01）；（3）現(xiàn)從第4，5組中用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取6人參加校中華詩詞比賽，經(jīng)過比賽后，第4組得分的平均數(shù)x＝7，方差s2＝2，第5組得分的平均數(shù)y＝7，方差t2＝1，則這6人得分的平均數(shù)a和方差σ2分別為多少（方差精確到0.01）？【分析】（1）由頻數(shù)分布表列方程能求出a，b．由此能作出頻率分布直方圖；（2）由頻率分布直方圖能求出該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計值，中位數(shù)的估計值；（3）根據(jù)平均數(shù)和方差的公式求解即可．【解答】解：（1）由表格可知，5+a+30+20+10＝100，∴a＝35，∵0.05+0.35+b+0.20+0.10＝1，∴b＝0.30，則頻率分布直方圖如下：（2）由頻率分布直方圖可知，該組數(shù)據(jù)眾數(shù)的估計值為7.50．易知中位數(shù)應(yīng)在[10，15]內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則0.05+0.35+（x﹣10）×0.06＝0.5，解得x≈11.67，故中位數(shù)的估計值為11.67；（3）因為第4組和第5組的頻數(shù)之比為2：1，所以從第4組抽取4人，第5組抽取2人，由第4組得分的平均數(shù)x＝7，方差s2＝2，第5組得分的平均數(shù)，方差t2＝1，則這6人得分的平均數(shù)，方差σ2＝[s2+（x﹣）2]+[t2+（y﹣）2]＝[2+（7﹣7）2]+[1+（7﹣7）2]＝≈1.67，即這6人得分的平均數(shù)為7，方差為1.67．【點評】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了平均數(shù)和方差的計算，屬于中檔題．20．（12分）請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并作答．①＝；②2ccosC＝acosB+bcosA；③△ABC的面積為c（asinA+bsinB﹣csinC）．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且_____．（1）求C；（2）若D為AB中點，且c＝2，CD＝，求a，b．【分析】若選①，（1）由已知利用正弦定理可得a2+b2﹣c2＝ab，利用余弦定理可得cosC＝，結(jié)合C的范圍即可求解C的值．（2）方法一，由題意利用三角形的中線定理可得：b2+a2＝8，又由余弦定理可得4＝a2+b2﹣ab，聯(lián)立方程可求a，b的值；方法二，由cos∠ADC＝﹣cos∠CDB，由余弦定理可得a2+b2＝8，4＝a2+b2﹣ab，聯(lián)立即可解得a＝b＝2．若選②，（1）由正弦定理化簡已知等式可得：2sinCcoC＝sinC，結(jié)合sinC≠0，可求cosC＝，結(jié)合范圍C∈（0，π），可求C的值．（2）解法同上；若選③，（1）由已知利用三角形的面積公式，正弦定理可得cosC＝，結(jié)合C的范圍，可求C的值．（2）解法同上；【解答】解：若選①，（1）∵＝，∴由正弦定理可得：＝，整理可得：a2+b2﹣c2＝ab，∴cosC＝＝，∵C∈（0，π），∴C＝．（2）方法一，∵C＝，D為AB中點，且c＝2，CD＝，∴AD＝BD＝1，∴由三角形的中線定理可得：b2+a2＝2（AD2+CD2），即b2+a2＝2（1+3）＝8，①又∵由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，可得：4＝a2+b2﹣ab，②∴由①②可得ab＝4，進而解得a＝b＝2．方法二：∵C＝，D為AB中點，且c＝2，CD＝，可得AD＝BD＝1，又cos∠ADC＝﹣cos∠CDB，∴由余弦定理可得＝﹣，可得a2+b2＝8，又∵由余弦定理可得4＝a2+b2﹣ab，∴聯(lián)立解得a＝b＝2．若選②（1）∵2ccosC＝acosB+bcosA，∴由正弦定理可得：2sinCcosC＝sinAcosB+sinBcosA＝sin（A+B）＝sinC，∵sinC≠0，∴可得cosC＝，∵C∈（0，π），∴C＝．（2）解法同上；若選③（1）∵△ABC的面積為c（asinA+bsinB﹣csinC）＝absinC，∴由正弦定理可得：（a2+b2﹣c2）＝abc，即：2abcosC＝ab，可得cosC＝，∵C∈（0，π），∴C＝．（2）解法同上；【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的中線定理，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．21．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD＝2，AB＝3，AD＝，∠DA