2022-2023學(xué)年云南省大理州高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2022-2023學(xué)年云南省大理州高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（5分）設(shè)集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＞a}，若A?B，則a的范圍是（）A．a(chǎn)≥2 B．a(chǎn)≤1 C．a(chǎn)≥1 D．a(chǎn)≤22．（5分）下列刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度的是（）A．平均數(shù) B．方差 C．中位數(shù) D．眾數(shù)3．（5分）若f（x）＝（x+a+1）（x2+a﹣1）為奇函數(shù)，則a＝（）A．1或﹣1 B．1 C．0 D．﹣14．（5分）若復(fù)數(shù)z滿足z?（2+i）＝1，則關(guān)于復(fù)數(shù)z的說法正確的是（）A．復(fù)數(shù)z的實(shí)部為 B．復(fù)數(shù)z的虛部為 C．復(fù)數(shù)z的模長為 D．復(fù)數(shù)z對應(yīng)的復(fù)平面上的點(diǎn)在第一象限5．（5分）某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有85%的學(xué)生喜歡足球或游泳，70%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（）A．15% B．63% C．67% D．70%6．（5分）某校高一年級900名學(xué)生的數(shù)學(xué)測試成績分布直方圖如圖所示，則該校高一年級學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均值為（）A．121.2 B．120.4 C．119 D．1157．（5分）將函數(shù)向右平移φ（φ＞0）個單位長度后得到一個關(guān)于對稱的函數(shù)，則實(shí)數(shù)φ的最小值為（）A． B． C． D．8．（5分）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，則BE與平面EFG所成角的正弦值為（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題所給的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分）（多選）9．（5分）已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．（多選）10．（5分）若，，則（）A． B． C． D．（多選）11．（5分）下列說法錯誤的是（）A．若角α＝1rad，則角α為第二象限角 B．將表的分針撥快15分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度是90° C．若角α為第一象限角，則角也是第一象限角 D．在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y＝tanx與y＝sinx的圖象有1個交點(diǎn)（多選）12．（5分）下列選項(xiàng)中，正確的有（）A．log23＞log34 B．2022lg2233＝2023lg2022 C．2lg2+2lg5＜2 D．ln3+三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．（5分）已知cosα＝，那么cos2α＝．14．（5分）某校為了解高一年級學(xué)生的每周平均運(yùn)動時間（單位：小時），采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣調(diào)查，所得樣本數(shù)據(jù)如下：性別抽樣人數(shù)樣本平均數(shù)男2012女3010則總樣本平均數(shù)是．15．（5分）已知三棱錐P﹣ABC的四個頂點(diǎn)均在同一個球面上，底面ABC滿足，PA⊥平面ABC，PA＝2，則其外接球的半徑為．16．（5分）在△ABC中，O為其外心，，若BC＝2，則cos∠COB＝．四、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（10分）如圖，角θ的頂點(diǎn)與平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)P，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（其中y0＞0）．（1）求sinθ的值；（2）若將OP繞原點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到角α，求tanα的值．18．（12分）如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為矩形，DE∥CF，CD⊥DE．求證：（1）平面BCF∥平面ADE；（2）平面ADE⊥平面CDEF．19．（12分）一名學(xué)生騎自行車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有3個交通崗，假設(shè)他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是．求：（1）這名學(xué)生在上學(xué)途中只遇到1次紅燈的概率；（2）這名學(xué)生在上學(xué)途中至少遇到了2個紅燈的概率．20．（12分）已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＝3，．若asin2B＝bsinA．（1）求B；（2）若點(diǎn)D滿足，求BD的長．21．（12分）如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝1，AD＝2，AB＝4，點(diǎn)E是棱AB上一點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)E在AB上移動時，三棱錐D﹣D1CE的體積是否變化？若變化，說明理由；若不變，求這個三棱錐的體積；（2）當(dāng)點(diǎn)E移動到AB中點(diǎn)時，求直線D1E與A1D成角的余弦值．22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝log2x+t（t為正常數(shù)），且f（t）＝3．（1）求f（x）的解析式；（2）若函數(shù)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

2022-2023學(xué)年云南省大理州高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（5分）設(shè)集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＞a}，若A?B，則a的范圍是（）A．a(chǎn)≥2 B．a(chǎn)≤1 C．a(chǎn)≥1 D．a(chǎn)≤2【分析】根據(jù)題意，A?B，在數(shù)軸上表示集合A，分析a的值，可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，A?B，而A＝{x|1＜x＜2}，在數(shù)軸上表示可得，必有a≤1，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查集合間的包含關(guān)系的運(yùn)用，難點(diǎn)在于端點(diǎn)的分析，有時需要借助數(shù)軸來分析，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）下列刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度的是（）A．平均數(shù) B．方差 C．中位數(shù) D．眾數(shù)【分析】利用平均數(shù)、方差、中位數(shù)、眾數(shù)的定義直接求解．【解答】解：在A中，平均數(shù)是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量，它不能刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度，故A不正確；在B中，方差是衡量隨機(jī)變量或一組數(shù)據(jù)時離散程度的度量，它能刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度，故B正確；在C中，中數(shù)是按順序排列在一起的一組數(shù)據(jù)中居于中間位置的數(shù)，它不能刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度，故C不正確；在D中，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，它不能刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度，故D不正確．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查平均數(shù)、方差、中位數(shù)、眾數(shù)的定義的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時要熟練掌握基本概念．3．（5分）若f（x）＝（x+a+1）（x2+a﹣1）為奇函數(shù)，則a＝（）A．1或﹣1 B．1 C．0 D．﹣1【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的定義可得關(guān)于a與x的恒等式，分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，而f（x）＝x3+（a﹣1）x+（a+1）x2+（a2﹣1），則f（﹣x）＝﹣x3﹣（a﹣1）x+（a+1）x2+（a2﹣1），若f（x）＝（x+a+1）（x2+a﹣1）為奇函數(shù)，則f（﹣x）＝﹣f（x），即x3+（a﹣1）x+（a+1）x2+（a2﹣1）＝﹣x3+（a﹣1）x+（a+1）x2+（a2﹣1），則有，分析可得a＝﹣1．故選：D．【點(diǎn)評】必然考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和定義，涉及函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）若復(fù)數(shù)z滿足z?（2+i）＝1，則關(guān)于復(fù)數(shù)z的說法正確的是（）A．復(fù)數(shù)z的實(shí)部為 B．復(fù)數(shù)z的虛部為 C．復(fù)數(shù)z的模長為 D．復(fù)數(shù)z對應(yīng)的復(fù)平面上的點(diǎn)在第一象限【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念、幾何意義及模的計(jì)算公式計(jì)算可得．【解答】解：因?yàn)閦?（2+i）＝1，所以，所以復(fù)數(shù)z的實(shí)部為，虛部為，故A正確，B錯誤；，故C錯誤；復(fù)數(shù)z對應(yīng)的復(fù)平面上的點(diǎn)為，位于第四象限，故D錯誤．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有85%的學(xué)生喜歡足球或游泳，70%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（）A．15% B．63% C．67% D．70%【分析】根據(jù)韋恩圖中集合的關(guān)系運(yùn)算即可．【解答】解：由題意可得如下所示韋恩圖：所求比例為：70%+82%﹣85%＝67%．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了韋恩圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）某校高一年級900名學(xué)生的數(shù)學(xué)測試成績分布直方圖如圖所示，則該校高一年級學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均值為（）A．121.2 B．120.4 C．119 D．115【分析】根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解．【解答】解：由頻率分布直方圖可得平均數(shù)為95×0.005×10+105×0.018×10+115×0.030×10+125×0.022×10+135×0.015×10+145×0.010×10＝120.4．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）將函數(shù)向右平移φ（φ＞0）個單位長度后得到一個關(guān)于對稱的函數(shù)，則實(shí)數(shù)φ的最小值為（）A． B． C． D．【分析】利用兩角和的正弦公式化簡f（x），再根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到平移后的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性求出φ的取值，即可得解．【解答】解：因?yàn)?，故將函?shù)向右平移φ（φ＞0）個單位長度，即可得到函數(shù)的圖象．由函數(shù)關(guān)于對稱，所以，所以，又φ＞0，所以．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查三角恒等變換，函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．8．（5分）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，則BE與平面EFG所成角的正弦值為（）A． B． C． D．【分析】連接BD、AC，且EF、BD分別交AC于H、O，證明BD∥平面EFG，再利用面面垂直的判定得平面EFG⊥平面HCG，再作出OK⊥HG，利用面面垂直的性質(zhì)有OK⊥平面EFG，最后根據(jù)線面角的定義計(jì)算相關(guān)長度即可．【解答】解：如圖，連接BD、AC，且EF、BD分別交AC于H、O．∵四邊形ABCD是正方形，E、F分別為AB和AD的中點(diǎn)，故EF∥BD，H為AO的中點(diǎn)，∵EF?平面EFG，BD?平面EFG，∴BD∥平面EFG，∴BD到平面EFG的距離就是點(diǎn)B到平面EFG的距離．∵BD⊥AC，EF∥BD，∴EF⊥AC，即EF⊥HC，∵GC⊥平面ABCD，EF?平面ABCD，∴EF⊥GC，∵HC∩GC＝C，∴EF⊥，∵HC∩GC＝C，HC，GC?平面HCG，∴EF⊥平面HCG，∵EF?平面EFG，∴平面EFG⊥平面HCG，作OK⊥HG交HG于點(diǎn)K，∵OK?平面HCG，平面EFG∩平面HCG＝HG，∴OK⊥平面EFG，∴線段OK的長就是點(diǎn)B到平面EFG的距離．∵正方形ABCD的邊長為2，GC＝2，∴．∵GC⊥平面ABCD，HC?平面ABCD，∴GC⊥HC，∴在Rt△HCG中，，根據(jù)Rt△HKO∽Rt△HCG，有，得，∵O∈BD，BD∥平面EFG，∴OK的長即為點(diǎn)B到平面EFG的距離，∴，即BE與平面EFG成角的正弦值為．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查直線與平面所成角的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題所給的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分）（多選）9．（5分）已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【分析】利用線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，求出的坐標(biāo)，再逐項(xiàng)分析判斷作答．【解答】解：因?yàn)橄蛄浚?，則，，因此，A錯誤，B正確；由，知C錯誤；，D正確．故選：BD．【點(diǎn)評】本題主要考查平面向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（5分）若，，則（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)對立事件的概率公式判斷A，由于無法確定A、B是否相互獨(dú)立及P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），即可判斷B、C、D．【解答】解：因?yàn)?，，所以，故A正確；由于無法確定A、B是否相互獨(dú)立，故無法確定P（AB）的值，但是P（AB）≥0，故B錯誤；又，故C正確，D錯誤．故選：AC．【點(diǎn)評】本題主要考查對立事件、和事件的公式，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（5分）下列說法錯誤的是（）A．若角α＝1rad，則角α為第二象限角 B．將表的分針撥快15分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度是90° C．若角α為第一象限角，則角也是第一象限角 D．在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y＝tanx與y＝sinx的圖象有1個交點(diǎn)【分析】根據(jù)象限角的概念判斷A，根據(jù)任意角的定義判斷B，利用特例判斷C，根據(jù)正弦、正切函數(shù)的性質(zhì)判斷D．【解答】解：對于A：因?yàn)?，所以角α為第一象限角，故A錯誤；對于B：將表的分針撥快15分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度是﹣90°，故B錯誤；對于C：若α＝﹣300°為第一象限角，則位于第三象限，故C錯誤；對于D：在內(nèi)，令tanx＝sinx，即，顯然sinx＞0，所以cosx＝1，則x＝2kπ，k∈Z，即tanx＝sinx無解，又y＝tanx與y＝sinx均為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以在內(nèi)，方程tanx＝sinx也無解，又tan0＝sin0＝0，所以在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y＝tanx與y＝sinx的圖象有1個交點(diǎn)（0，0），故D正確．故選：ABC．【點(diǎn)評】本題以命題的真假為載體考查了弧度制、象限角的概念、三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)等知識點(diǎn)，是基礎(chǔ)題．（多選）12．（5分）下列選項(xiàng)中，正確的有（）A．log23＞log34 B．2022lg2233＝2023lg2022 C．2lg2+2lg5＜2 D．ln3+【分析】由log23＞log2＝＝log3＞log34易得A正確；令μ＝2022lg2233，則lgμ＝lg2022lg2233＝lg2233×lg2022，令λ＝2023lg2022，則lgλ＝lg2023lg2022＝lg2022×lg2023，可判斷B；由2lg2+2lg5＞2計(jì)算可判斷C；函數(shù)y＝x+在（0，2]上為減函數(shù)，又ln3＜ln4，所以ln3+＞ln4+，化簡可判斷D．【解答】解：對于A：由log23＞log2＝＝log3＞log34，所以log23＞log34，故A正確；對于B：令μ＝2022lg2233，則lgμ＝lg2022lg2233＝lg2233×lg2022，令λ＝2023lg2022，則lgλ＝lg2023lg2022＝lg2022×lg2023，所以lgμ＞lgλ，所以μ＞λ，故B錯誤；對于C：2lg2+2lg5＞2＝2＝2＝2，所以2lg2+2lg5＞2，故C錯誤；對于D：因?yàn)楹瘮?shù)y＝x+在（0，2]上為減函數(shù)，又ln3＜ln4，所以ln3+＞ln4+＝ln22+＝2ln2+＝2ln2+，故D正確．故選：AD．【點(diǎn)評】本題考查對數(shù)的運(yùn)算與函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．（5分）已知cosα＝，那么cos2α＝﹣．【分析】由已知結(jié)合二倍角公式即可直接求解．【解答】解：因?yàn)閏osα＝，則cos2α＝2cos2α﹣1＝2×﹣1＝﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)評】本題主要考查了二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）某校為了解高一年級學(xué)生的每周平均運(yùn)動時間（單位：小時），采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣調(diào)查，所得樣本數(shù)據(jù)如下：性別抽樣人數(shù)樣本平均數(shù)男2012女3010則總樣本平均數(shù)是10.8．【分析】根據(jù)給定條件，利用平均數(shù)公式計(jì)算作答．【解答】解：依題意，總樣本平均數(shù)是．故答案為：10.8．【點(diǎn)評】本題考查了平均數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題．15．（5分）已知三棱錐P﹣ABC的四個頂點(diǎn)均在同一個球面上，底面ABC滿足，PA⊥平面ABC，PA＝2，則其外接球的半徑為．【分析】根據(jù)PA⊥平面ABC，底面為等邊三角形，可知球心的位置，利用勾股定理即可求解．【解答】解：設(shè)H為底面正△ABC的中心，取PA中點(diǎn)M，過點(diǎn)H作OH∥PA，且，連接OM，OA，由于PA⊥平面ABC，所以O(shè)H⊥平面ABC，故OA＝OB＝OC，由于OH＝AM，OH∥AM，所以四邊形MOHA為正方形，故，因此OA＝OB＝OC＝OP，因此O為外接球的球心，如圖，設(shè)外接球的半徑為R，由題可知，則，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查三棱錐的外接球問題，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．16．（5分）在△ABC中，O為其外心，，若BC＝2，則cos∠COB＝．【分析】根據(jù)向量的模長公式，結(jié)合外心的性質(zhì)即可求解．【解答】解：由可得，平方可得，由于O為△ABC外心，所以，所以．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了平面向量基本定理，屬基礎(chǔ)題．四、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（10分）如圖，角θ的頂點(diǎn)與平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)P，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（其中y0＞0）．（1）求sinθ的值；（2）若將OP繞原點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到角α，求tanα的值．【分析】（1）由三角函數(shù)定義求得cosθ，再由平方關(guān)系求得sinθ作答．（2）根據(jù)給定條件得α＝θ+45°，利用兩角和的正切公式求解作答．【解答】解：（1）依題意，由三角函數(shù)定義得，且θ為第二象限的角，故sinθ＞0，所以．（2）由（1）可知，，而α＝θ+45°，所以．【點(diǎn)評】本題主要考查任意角的三角函數(shù)定義，兩角和的正切公式，屬于基礎(chǔ)題．18．（12分）如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為矩形，DE∥CF，CD⊥DE．求證：（1）平面BCF∥平面ADE；（2）平面ADE⊥平面CDEF．【分析】（1）首先由矩形的性質(zhì)得到BC∥AD，從而證明BC∥平面ADE，再證CF∥平面ADE即可；（2）依題意可得CD⊥AD，即可得到CD⊥平面ADE，從而得證．【解答】證明：（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以BC∥AD，又因?yàn)锽C?平面ADE，AD?平面ADE，所以BC∥平面ADE，又DE∥CF，CF?平面ADE，DE?平面ADE，所以CF∥平面ADE，因?yàn)锽C∩CF＝C，BC，CF?平面BCF，所以平面BCF∥平面ADE；（2）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以CD⊥AD，又CD⊥DE，AD∩DE＝D，AD，DE?平面ADE，所以CD⊥平面ADE，又CD?平面CDEF，所以平面ADE⊥平面CDEF．【點(diǎn)評】本題主要考查了面面平行和面面垂直的判定，屬于中檔題．19．（12分）一名學(xué)生騎自行車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有3個交通崗，假設(shè)他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是．求：（1）這名學(xué)生在上學(xué)途中只遇到1次紅燈的概率；（2）這名學(xué)生在上學(xué)途中至少遇到了2個紅燈的概率．【分析】（1）根據(jù)題意，由相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，這名學(xué)生在上學(xué)途中至少遇到了2個紅燈包括兩種情況，分別計(jì)算其概率，然后相加，即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）設(shè)事件A為這名學(xué)生在上學(xué)途中只遇到1次紅燈，則，故這名學(xué)生在上學(xué)途中只遇到1次紅燈的概率為；（2）設(shè)事件B為這名學(xué)生在上學(xué)途中至少遇到了2個紅燈，則這名學(xué)生在上學(xué)途中只遇到了2個紅燈的概率為，這名學(xué)生在上學(xué)途中遇到了3個紅燈的概率為，所以，故這名學(xué)生在上學(xué)途中至少遇到了2個紅燈的概率為．【點(diǎn)評】本題主要考查了獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于中檔題．20．（12分）已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＝3，．若asin2B＝bsinA．（1）求B；（2）若點(diǎn)D滿足，求BD的長．【分析】（1）利用正弦定理邊化角，并結(jié)合二倍角公式化簡運(yùn)算，得解；（2）結(jié)合（1）中所得與余弦定理求出c，再利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，求解即可．【解答】解：（1）由asin2B＝bsinA及正弦定理，得2sinAsinBcosB＝sinBsinA，因?yàn)椋詓inA＞0，sinB＞0，所以，即．（2）由（1）及余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，得13＝9+c2﹣3c，即c2﹣3c﹣4＝0，而c＞0，解得c＝4，又，所以＝．【點(diǎn)評】本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，余弦定理，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．21．（12分）如圖，長方