人教A版 數(shù)學(xué)必修第二冊(cè) 第六章 單元測(cè)試卷(解析版)

第六章平面向量及其應(yīng)用單元測(cè)試卷

考試時(shí)間120分鐘滿分150分

一.單選題：本題共8小題，每題5分，共40分.在給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.

1.（2021?衡水十四中高一月考）下列說法錯(cuò)誤的是（

A.向量礪的長(zhǎng)度與向量血的長(zhǎng)度相等零向量與任意非零向量平行

C.長(zhǎng)度相等方向相反的向量共線方向相反的向量可能相等

【答案】D

【解析】A.向量礪與向量荷的方向相反，長(zhǎng)度相等，故A正確；B.規(guī)定零向量與任意非零向量平行，故B正確；

C.能平移到同一條直線的向量是共線向量，所以長(zhǎng)度相等，方向相反的向量是共線向量，故C正確；D.長(zhǎng)度相等,

方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正確.

2.已知向量￡=（1,一3）,石則3+2》=（）

【答案】A

【解析】因?yàn)?=（1,—3）3=卜,；］,所以％+2五=（1,一3）+（6,1）=（7,-2）.

3.在△ABC中，AO為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則麗=

3——1一1一3——

A.-AB一一ACB.-AB一一AC

4444

3——1一1一3——

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

【答案】A

【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得

BE=-BA+-BD=-BA+-BC^-BA+-(BA+AC}=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

222424、724444

-3—1—

所以=---AC,故選A.

44

3兀

4.已知向量2,5的夾角為丁，|2|=也，出1=1，則135—引=（

A.4B.5C.4&D.572

【答案】B

【解析】因?yàn)闊o(wú)5=1劃—1518S多=夜xlx（-*）=T'所以13*5|=J（31-5）2=物2―6萬(wàn)石+戶

=J18+6+l=5.

5.EIABC的三內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c.設(shè)向量p=(a+c,〃)，q={b-a,c-a).若p//q,

則C等于()

冗C幾C兀

A.-B.-C.一

632

【答案】B

【解析】因?yàn)橄蛄縫=(a+c,“,q=(b-a,c-a),~p!!q<

所以(a+c)(c-a)-Z?僅—a)=0,整理得：b2+a2-c2=ab

h2+a2-c271

所以cosC-解得C=

lab2ab2T

6.已知向量5不共線，且通=Z+2S,5c=—5l+?,CD=la-2b＞則一定共線的三點(diǎn)是（）

A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D

【答案】A

【解析】VBD=BC+CD=2a+4b>明=一荏=—￡—豆，；?麗=一2麗，；?4民。三點(diǎn)共線.

7.（2021.山東師大附中高一）在口ABC中,若lgsinA-lgcosB-lgsinC=lg2,則該三角形的形狀是（）

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

sin/A

【解析】?*,1gsinA-1gcosB-1gsinC=1g2,/.----------=2,

cossinC

,-e——acsinAaa

由正弦理可得-----=-----，-----=cosB=—,

sinAsinCsinCc2c

.?.cos6=幺二——=—,整理得。2=/,。=匕，，根鳥。的形狀是等腰三角形，故選A.

lac2c

8.“勾3股4弦5”是勾股定理的一個(gè)特例.根據(jù)記載，西周時(shí)期的數(shù)學(xué)家商高曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的

問題，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理早了500多年，如圖，在矩形ABC。中，口ABC滿足“勾3股4弦5”，且48=3,

E為AO上一點(diǎn)，8E1AC.若礪=4麗+〃配，則％+〃的值為（）

E

AD

B

916

A.---BC.—D.1

25-i25

【答案】B

【解析】由題意建立如圖所示直角坐標(biāo)系

因?yàn)锳8=3,BC=4,則3（。），A（0,3）,C（4,0）,麗=（0,3）,前=（4,一3）,設(shè)詼=（a,3）,因?yàn)锽E1AC,

“由BA—ABE+,得9

所以衣?詼=4。-9=0,解得（0,3）=—,3j+//（4,—3）,

4

9八

—2+4//=0,257

所以《4"，解得，v），所以九+4=不，故選：B.

3A—3〃=3,4二----，

25

二.多選題:本題共4小題，每題5分，共20分.再給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對(duì)得5分,

部分選對(duì)得3分,有選錯(cuò)的得0分.

9.（2020.山東濰坊一中高一期中）有下列說法，其中錯(cuò)誤的說法為（）.

A.若a〃B，B〃c，則q〃c

B.若說.而=麗.正=記.西，則尸是三角形A8C的垂心

c.兩個(gè)非零向量萬(wàn)，5,若歸一同=同+|方|,則1與5共線且反向

D.若則存在唯一實(shí)數(shù)2使得o=

【答案】AD

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)B時(shí)，￡與之不一定共線，故A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B,由瓦流一二，得-=0，

所以麗，畫，P8J.C4,同理尸AJ.CB，PC±BA.故P是三角形ABC的垂心，所以B正確；對(duì)于選項(xiàng)C,

兩個(gè)非零向量1,5,若上一@=同+忖,則不與5共線且反向，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)辦=6，：,工3時(shí)，

顯然有萬(wàn)〃B，但此時(shí)九不存在，故D錯(cuò)誤.故選：AD

10.設(shè)向量￡=（2,0）,Z>=（1,1）,則（）

A.u—bB.（a-b）//bC.（a—D.“與坂的夾角為了

【答案】CD

rr

【解析】因?yàn)閆=（2,0）,方=（1,1）,所以同=咽=血，所以"比故A錯(cuò)誤；因?yàn)椤?（2,0）,力=（1,1）,所

rrrr1"

以小一刀=（1,-1）,所以,叫與「不平行，故B錯(cuò)誤；又卜一司為=1-1=0,故C正確；

rfa-b2A/2兀

又cos<a,8>=卬彳=而=/-,所以￡與坂的夾角為a，故D正確.故選：CD.

11對(duì)于AABC,有如下判斷，其中正確的判斷是（）

A.若sin2A=sin28,則AABC為等腰三角形

B.若A>3,則sinA>sin8

C.若a=8,c=10,8=60°，則符合條件的AABC有兩個(gè)

D.若sir?A+sin?8<sir?。，則A4BC是鈍角三角形

【答案】BD

【解析】在A48c中，對(duì)于A,若sin2A=sin28,則2A=28或2A+28=萬(wàn)，當(dāng)A=8時(shí)，AABC為等腰三角

形；當(dāng)4+8=2時(shí)，A48C為直角三角形，故A不正確，對(duì)于B,若A>3,則〃>6,由正弦定理得，一=——，

2sinAsmB

即sinA>sinB成立.故B正確；對(duì)于C,由余弦定理可得：b=^8?+10?—2x8x10xg=病，只有一解，故

2f22

C錯(cuò)誤；對(duì)于D,若sin?A+sin?8<sin2C，由正弦定理得/，?（%。=幺上----，一<0，，C為鈍

lab

角，AA8C是鈍角三角形，故D正確；綜上，故選：BD.

12.（2021?山東省滕州一中高一月考）已知向量3=（2/）石=（1,一1）,"=（加一2,—〃），其中相，〃均為正數(shù)，且

［a-b^llc,下列說法正確的是（）

A.［與B的夾角為鈍角B.向量［在B方向上的投影為手

C.2m+n=4D.〃掰的最大值為2

【答案】CD

【解析】由題意知，ab=l>0<所以￡與否的夾角為銳角，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；向量［在B方向上的投影為

a-h1V2

下j-=7W=W，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;力=（1,2）,因?yàn)榈菇?￡,血〃均為正數(shù)，所以"為非零向量,

且f=2加-4,2加+〃=4,故選項(xiàng)C正確；由基本不等式知，4=2m+n>2>j2mn，旭〃K2,當(dāng)且僅“12m-n=2

時(shí)取等號(hào)，故”的最大值為2,故選項(xiàng)D正確.故選：CD

三.填空題:本題共4小題，每題5分，共20分.

13.（2021山東泰安一中高一月考）已知通=（2,3）,衣=（一1,〃2）,若歷應(yīng)廣，則實(shí)數(shù)，〃的值為.

【答案】5

【解析】由題配=就一通=（一3,加一3）,因?yàn)檐?比，所以福?品=一6+3（機(jī)-3）=0,得：加=5

14.在平行四邊形ABC。中，ADAB=|而|=5,ACBD=0>則該四邊形ABC。的面積是.

【答案］業(yè)6

2

【解析】?,■ACBD=0,AC1BD所以平行四邊形ABC。是菱形，.J而卜|而|

?.?通.通=5，；.西網(wǎng)cosA=5,即.?.同IcosA=5①

又畫=5,由余弦定理得叫2=|祠2+由（一2畫|和|cosA=25

即2網(wǎng)a-2同IcosA=25②

|珂吟,cosA=1.-.0<A<^,,sinA=￥

聯(lián)解①②得

gx|Afi||AD|sinA=|AB|2sin4=匝.

S=2s2x—x

lM2

15.在DABC中，若C=60°,BC=2AC=2g，點(diǎn)。在邊BC上，且麗=2反，sinABAD=

【答案］2互

7

【解析】VAB2=AC2+BC2-2AC-BCcosC.AB2=3+12-2.V3?2^.1=9=>=3；

______.2G4>/3A，==>"=^=~=>sin8=LACv8C,8兀

*.*BD=2DC>?-BD=—?2V3=------，,?*sinBsinCsin3石26.

33—

2

4、h"2.3.竽￥=g，V21

,/AD2=AB2+BD2-2AB-BDcosB，-■AD2=9+(*■

3"V

叵迪

ADBD亍丁,…八2將

------=--------------=>——=nsin/BAD=-

sinBsinNBA。1sinABAD-----------------------7

2

16.（2021遼寧省大連十五中月考）已知平面向量1,5的夾角為120。，且同=2,忖=5,則B在方方向上的

投影是，K一幽（XeR）的最小值是

［答案］——；

【解析】因?yàn)槠矫嫦蛄苛Γ?的夾角為120°,且同=2,忖=5,向量坂在￡方向上的投影為

|^|cos<<2,6>=5xcos1200=-|-,-/（a-Ab）2=|a|2+A21^|--2A|a||^|cosl20°

=4+25；P+］（H=25（/l+，）2+3,所以當(dāng)丸=」時(shí)，\a-Ab\=百

551?mm

四.解答題:本題共有6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程和演算步驟.

17.（10分）（2021?山東省滕州一中高一月考）在（1）COSA=3,C0SC=—

55

(2)csinC=sinA+Z?sinB,3=60。；(3)c=2,C°SA=-『這三個(gè)條件中’任選一個(gè)補(bǔ)充在下面問題中的橫

線處，并加以解答.

己知口ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,若a=4,，求□ABC的周長(zhǎng)L和面積S.

【解析】

選①：因?yàn)閏osA=3,cosC=—>且0<A<兀，

0<B<7T,

55

所以sinA=j,sinC=拽.

55

在DABC中，A+B+C=n,即3=兀一(A+C),

所以sin3=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC立+，撞=■=述

5555255

4x氈

由正弦定理得力=竺吧g=—/一=2小，

sinA4

5

因?yàn)閟in8=sinC,所以c=6=2石，

所以口ABC的周長(zhǎng)L=a+匕+c=4+2石+26=4+4指，

nABC的面積S=—a/jsinC=—X4X2A/5X=8.

225

選②：因?yàn)閏sinC=sinA+8sin6,所以由正弦定理得，0?=a+〃.因?yàn)椤?4,所以"=。2—4.

又因?yàn)?=60。，由余弦定理得〃=f2+16-2x4xcxL

2

所以—4c+16=/—4，解得c=5,所以=

所以□ABC的周長(zhǎng)L=a+b+c=4+y/2\+5=9+V2T，

口ABC的面枳S=,acsin8=5百.

2

1,1

選③：因?yàn)閏=2,cosA=——，所以由余弦定理得，16=0-+4+2x/?x2x-,

44

即〃+人一12—0,解得〃=3或匕=T（舍去）.所以口43。的周長(zhǎng)L=a+〃+c=4+3+2=9.

因?yàn)锳e（0,71）,所以sinA=Jl—cos2A=H.,

4

所以口ABC的面積S=28csinA=Lx3x2x25=M^.

2244

7171

18.（12分）如圖，在梯形ABC。中，E為0c的中點(diǎn)，AD//BC,NBAD=—,NBDA=—,BC=BD.

23

⑴求通.麗；

（2）求K與而夾角的余弦值.

7171

【解析】（1）因?yàn)锳O〃BC,NBAD=—，NBDA=-，BC=BD

23

所以口8CO為等邊三角形，BC=-AB=2AD

3

又E為0c的中點(diǎn)，所以質(zhì)=一（而+礪）=—（礪+配+而）=一通+二而，麗=而—通

2222

----（13?—?1—.23—2

則AE80=-A8+二AO-（A0-AB）=——AB-ABAD+-AD=0

<22）22

（2）設(shè)AO=a，則AB=.a,BC=BD=2a,AC=5a

22

AC-BD=（AB+2AD）-（AD-AB）=-AB-ADAB+2AD'=-a2

ACBD_-a2_冊(cè)

貝ijcos6=

設(shè)而與麗的夾角為e.|前||而「2缶2=-77-

19.(12分)(2021山東荷澤三中高一)已知在直角坐標(biāo)系中(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，礪=(2,5),麗=(3,1),OC=(x,3).

(1)若A,B,C共線，求X的值;

(2)當(dāng)x=6時(shí)，直線。。上存在點(diǎn)M使標(biāo)J_礪，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

【解析】(1)通=礪一次=(1,T)；BC=OC-OB=(x-3,2)

uuuuuu

,：A、B、。共線,AB//BC

5

2+4（x—3）=0,x=—.

2

(2)在直線OC上，.?.設(shè)兩=4反=(6432)

：,MA=OA-OM=（2-6A,5-3A）,MB=OB-OM=（3-6/1,1-32）

'：MA±MB.A（2-6/l）（3-6A）+（5-3A）（l-3/l）=0

即：4522-48/1+11=01解得：或力=2.

315

uuu、____<221H/、，2211、

OA/=（2,1）或OM=［彳,彳J....點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2,1）或（彳,彳J.

20.（12分）在/ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為小b,c,已知2ccosB=2a—6，

（1）求NC的大??；

——|——

(2)若。4-2。6=2,求A4BC面積的最大值.

【解析】（1）V2ccosB=2a-b9

/.2sinCcosB=2sinA-sinB,/.2sinCcosB=2sin（B+C）-siriB,

.17t

/.2sinBcosC=sinB,/.cosC=—C=—

23

（2）取BC中點(diǎn)。，則氏-g而|=2=|麗，在AAOC中，AD2=AC2+CD2-2AC-CDcosC-

(注：也可將6—gc方1=2=1詞兩邊平方)即4=/+a

JI-T

>7--—=—,所以ab48,當(dāng)且僅當(dāng)。=4,b=2時(shí)取等號(hào).

V422

此時(shí)5AABC=；absinC=ab，其最大值為2.

21.(12分)在路邊安裝路燈，燈柱AB與地面垂直(滿足N84￡>=9()°),燈桿BC與燈柱AB所在平面與道路垂

直，且ZABC=120°,路燈C采用錐形燈罩，射出的光線如圖中陰影部分所示，已知ZACD=60°,路寬AD=24m.

設(shè)燈柱高AB=〃(m),ZACB=^(300<6><45°).

(1)當(dāng)。=30°時(shí)，求四邊形ABC。的面積；

(2)求燈柱的高力(用。表示)；

(3)若燈桿BC與燈柱A8所用材料相同，記此用料長(zhǎng)度和為S,求S關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最小值.

【解析】(1)???6=30°,ZABC=\2Q°,ZBAC=ZBCA=3(f<又NBA。=90°,

ZCAD=6(f，又NACO=60°,所以△AC。為正三角形，則AC=24,

在A4BC中，因?yàn)?&一=-^,所以A8=ACsm30=86,

sinZACBsinBsin120°

故四邊形AM的面積S=SiS33⑹藐12。0+324小6。』92瓜

(2)因?yàn)锳BC=120。，ZACB=6,所以NBAC=60?！?。，

乂因?yàn)闊糁鵄8與地面垂直，即/84。=90°,所以/。4。=30。+6,

因?yàn)镹AC￡>=60°，所以44。。=90。一夕，