江蘇省泰州市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（原卷版）

第1頁/共1頁高一調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題（考試時間：120分鐘；總分：150分）命題人：夏長海張敏鄒勇泉范繼榮審題人：吳春勝韓兵唐咸勝一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.的值是（）A. B. C. D.2.已知“，”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.3.函數(shù)在上的最小值為（）A.－1 B. C. D.4.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.5.已知函數(shù)，則的值為（）A. B. C. D.6.黨的二十大報告指出，“堅持精準治污、科學(xué)治污、依法治污，持續(xù)深入打好藍天、碧水、凈土保衛(wèi)戰(zhàn).加強污染物協(xié)同控制，基本消除重污染天氣.”按照相關(guān)規(guī)定，某化工廠產(chǎn)生的廢氣中的某類污染物經(jīng)過過濾裝置的處理，含量降至過濾前的以下才能排放.已知過濾過程中，廢氣中污染物的含量（單位：mg/L）與時間（單位：min）的關(guān)系為，其中，是常數(shù).若時，該類污染物的含量降為過濾前的，那么廢氣至少需要過濾（）才能排放（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）.A.7 B.8 C.9 D.107.中國的扇文化有著極其深厚的人文底蘊，折扇從明代開始流行，扇面書畫、扇骨雕琢，深得文人雅士的喜愛（如圖1）.制作折扇的扇面時，先從一個圓面中剪下扇形，再從扇形中剪去扇形（如圖2）.記圓面面積為，扇形的面積為，把滿足且的扇面稱為“完美扇面”，現(xiàn)有用半徑為的圓面制作而成的“完美扇面”，則弧的長為（）.A. B. C. D.8.已知函數(shù)，.若對于，，使得成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)值域為，則的定義域可以是（）A. B. C. D.10.已知函數(shù)的圖象是一條不間斷的曲線，它的部分函數(shù)值如下表，則（）123456A.區(qū)間上不一定單調(diào)B.在區(qū)間內(nèi)可能存在零點C.在區(qū)間內(nèi)一定不存在零點D.至少有個零點11.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A. B.為上的增函數(shù)C.的解集為 D.的值域為12.已知函數(shù)，其中，若，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知關(guān)于不等式的解集為，若，則實數(shù)的取值范圍為______.14.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為______.15.將函數(shù)（且）的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標保持不變，若所得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象重合，則______.16.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有三個實數(shù)解，則實數(shù)的取值集合為______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知集合，.（1）若，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.18.從下面①②③中選取一個作為條件，完成所給的兩個問題.①②③（1）求的值；（2）若，求的值.注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.19.已知正數(shù)x，y滿足.（1）將y表示為x的函數(shù)，并證明在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減；（2）求的最小值.20.在平面直角坐標系xOy中，點P從點出發(fā)，在以原點O為圓心，2為半徑的圓上按逆時針方向做勻速圓周運動，且每秒鐘轉(zhuǎn)動3弧度，記t秒時點P的縱坐標為.（1）求解析式；（2）若點P的縱坐標第n次等于的時刻記為，求的值.21.已知函數(shù)，，其中，.（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）若，都有成立，求的取值范圍.22已知函數(shù).（1）求證：①；②函數(shù)的零點個數(shù)為奇數(shù)；（2）記函數(shù)的值域為A，若至少有兩個不同的，使得，求正數(shù)的取值范圍.高一調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題（考試時間：120分鐘；總分：150分）命題人：夏長海張敏鄒勇泉范繼榮審題人：吳春勝韓兵唐咸勝一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡，然后可得.【詳解】.故選：B2.已知“，”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題知，再根據(jù)二次函數(shù)求最值即可求解.【詳解】因為命題“，”為真命題，所以命題“，”為真命題，所以時，，因為，所以當時，，所以.故選：A3.函數(shù)在上的最小值為（）A.－1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正弦型三角函數(shù)在區(qū)間上的最值的求解方法得出答案.【詳解】當時，，則當時，，故選：B.4.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的知識求得正確答案.【詳解】，，所以.故選：C5.已知函數(shù)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式計算可得.【詳解】因為，所以.故選：D6.黨的二十大報告指出，“堅持精準治污、科學(xué)治污、依法治污，持續(xù)深入打好藍天、碧水、凈土保衛(wèi)戰(zhàn).加強污染物協(xié)同控制，基本消除重污染天氣.”按照相關(guān)規(guī)定，某化工廠產(chǎn)生的廢氣中的某類污染物經(jīng)過過濾裝置的處理，含量降至過濾前的以下才能排放.已知過濾過程中，廢氣中污染物的含量（單位：mg/L）與時間（單位：min）的關(guān)系為，其中，是常數(shù).若時，該類污染物的含量降為過濾前的，那么廢氣至少需要過濾（）才能排放（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）.A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】【分析】依題意可得，兩邊取對數(shù)求出的值，再令，根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系及對數(shù)的運算法則計算可得.【詳解】解：依題意可得，所以，兩邊取對數(shù)可得，所以，則，所以，令，即，所以，即，所以，所以廢氣至少需要過濾才能排放.故選：C7.中國的扇文化有著極其深厚的人文底蘊，折扇從明代開始流行，扇面書畫、扇骨雕琢，深得文人雅士的喜愛（如圖1）.制作折扇的扇面時，先從一個圓面中剪下扇形，再從扇形中剪去扇形（如圖2）.記圓面面積為，扇形的面積為，把滿足且的扇面稱為“完美扇面”，現(xiàn)有用半徑為的圓面制作而成的“完美扇面”，則弧的長為（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出，設(shè)圓心角，圓的半徑為，表示出，，根據(jù)求出，再根據(jù)弧長公式計算可得.【詳解】依題意，，即，即，所以，則，設(shè)圓心角，圓的半徑為，則，，所以，因為，所以，即，解得，所以弧的長為.故選：D8.已知函數(shù)，.若對于，，使得成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把，，成立，轉(zhuǎn)化為，逐步求解，即可得到本題答案.【詳解】因為，所以，所以.設(shè)，因為，即所以在單調(diào)遞增，最小值為，因為，，，即，所以，令，易得，所以，即，顯然在的最小值為0，所以，即的取值范圍為.故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)的值域為，則的定義域可以是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)的圖象求得正確答案.【詳解】畫出的圖象如下圖所示，由解得，的圖象是函數(shù)的圖象的一部分，依題意，的值域為，由圖可知，的定義域可以是、.故選：AB10.已知函數(shù)的圖象是一條不間斷的曲線，它的部分函數(shù)值如下表，則（）123456A.在區(qū)間上不一定單調(diào)B.在區(qū)間內(nèi)可能存在零點C.在區(qū)間內(nèi)一定不存在零點D.至少有個零點【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)零點存在性定理判斷即可.【詳解】由所給表格可知，，，，所以，，，又函數(shù)的圖象是一條不間斷的曲線，所以函數(shù)在區(qū)間、、存在零點，即至少有個零點，故D正確；對于A，由于只知道，的函數(shù)值，故無法判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，故A正確；對于B、C，雖然，，由于不知道函數(shù)在內(nèi)的取值情況，所以函數(shù)在內(nèi)可能存在零點，故B正確，C錯誤；故選：ABD11.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A. B.為上的增函數(shù)C.的解集為 D.的值域為【答案】AC【解析】【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)求出的值，再代入檢驗，即可判斷A，再根據(jù)指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷B，由及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出不等式的解集，即可判斷C，首先求出，即得到的取值范圍，即可求出的值域，從而判斷D.【詳解】解：因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即，解得，此時，則，符合題意，故，即A正確；因為在定義域上單調(diào)遞增，且，又在上單調(diào)遞減，所以在定義域上單調(diào)遞減，故B錯誤；由，即，所以，即，即，解得，所以不等式的解集為，故C正確；因為，所以，所以，即的值域為，故D錯誤；故選：AC12.已知函數(shù)，其中，若，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由題意把方程變形，利用函數(shù)單調(diào)性找到，然后利用指數(shù)、對數(shù)運算即可判斷【詳解】因為，所以，即，又，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以，即，故D正確；所以，所以，所以，故C正確；因為，所以，故，所以，解得，所以，故B正確；因為，所以，所以，又，所以，故A錯誤.故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵在于利用同構(gòu)的思想對原等式進行合理的變形，從而構(gòu)造出函數(shù)，利用其單調(diào)性得到，即得到，從而判斷出D選項，那么其他選項則變得水到渠成.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知關(guān)于的不等式的解集為，若，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】依題意滿足等式，代入得到關(guān)于的不等式，解之即可.【詳解】因為關(guān)于的不等式的解集為且，所以，即，即，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為______.【答案】【解析】【分析】分別求出內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可．【詳解】解：令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)函數(shù)同增異減的規(guī)律，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．故答案為【點睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，由于內(nèi)外層函數(shù)均不復(fù)雜，故是基礎(chǔ)題15.將函數(shù)（且）的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標保持不變，若所得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象重合，則______.【答案】【解析】【分析】先求出變換之后的函數(shù)解析式，然后根據(jù)兩函數(shù)為同一函數(shù)，結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，然后可解.【詳解】將函數(shù)（且）的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標保持不變，所得圖象的函數(shù)為，所以與為同一函數(shù)，故，即所以故答案為：16.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有三個實數(shù)解，則實數(shù)的取值集合為______.【答案】【解析】【分析】當時，易知無解；當時，設(shè)，采用數(shù)形結(jié)合的方式可知，可知無解；當時，設(shè)，采用數(shù)形結(jié)合的方式可知，通過討論的范圍可確定或的取值，由此可構(gòu)造方程求得的值.【詳解】；當時，，此時無解，不合題意；當時，設(shè)，則與的大致圖象如下圖所示，則對應(yīng)的兩根為，此時與無解，即方程無解，不合題意；當時，設(shè)，則與的大致圖象如下圖所示，則對應(yīng)兩根為，若恰有三個實數(shù)解，則和與共有個不同的交點，①當時，與有兩個不同交點，如圖所示，與有且僅有一個交點，則，，解得：；②當時，與有兩個不同交點，與有且僅有一個交點，則，與矛盾，不合題意；③當時，與有兩個不同交點，如圖所示，與有且僅有一個交點，則，，解得：；綜上所述：實數(shù)的取值集合為.故答案為：.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)零點(方程根)的個數(shù)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知集合，.（1）若，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）依題意可得，即可得到不等式組，解得即可；（2）依題意可得或，即可求出參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：因為，所以，所以，即；【小問2詳解】解：因為，所以或，所以18.從下面①②③中選取一個作為條件，完成所給兩個問題.①②③（1）求的值；（2）若，求的值.注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先判斷選①、②、③結(jié)果均相同，則按照選①進行解答，利用誘導(dǎo)公式計算可得；（2）首先判斷的取值范圍，利用平方關(guān)系求出，再由誘導(dǎo)公式計算可得.【小問1詳解】解：因為，，故不論選①、②、③結(jié)果均相同，以下按照選①進行解答，因為.【小問2詳解】解：因為，所以.若，則，與矛盾，所以，所以，因為.19.已知正數(shù)x，y滿足.（1）將y表示為x的函數(shù)，并證明在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減；（2）求的最小值.【答案】（1），證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先求得的解析式，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證得結(jié)論成立.（2）利用基本不等式求得的最小值.【小問1詳解】因為，所以，又x，y為正數(shù)，故，解得，從而，，任取，且，，因為，且，所以，，，從而，即，故在其定義域上單調(diào)遞減.【小問2詳解】由（1）得，，所以，（當且僅當，即時取等號）所以當時，取得最小值.20.在平面直角坐標系xOy中，點P從點出發(fā)，在以原點O為圓心，2為半徑的圓上按逆時針方向做勻速圓周運動，且每秒鐘轉(zhuǎn)動3弧度，記t秒時點P的縱坐標為.（1）求的解析式；（2）若點P縱坐標第n次等于的時刻記為，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義求得的解析式.（2）先求得的對稱軸方程，根據(jù)對稱性求得的值.【小問1詳解】因為終邊過的銳角為，t秒時點P所轉(zhuǎn)過的角為3t，所以t秒時點P在的終邊上，因為點P在以原點O為圓心，2為半徑的圓上，由三角函數(shù)定義可知.【小問2詳解】由，得的對稱軸方程為，，由題意，，，，依次為方程的由小到大排列的4個正根，因為，所以與，與、與分別關(guān)于直線，，對稱，從而