應用數(shù)學 課件 第七章-蘭州大學信息院

第二篇數(shù)學物理方程本篇主要內(nèi)容：二階線性偏微分方程的建立和求解重點：數(shù)學物理方程求解方法中的分離變量法、保角變換法.特點：加強物理模型和數(shù)學物理思想的介紹，以便充分了解模型的物理意義，有利于根據(jù)數(shù)學物理模型建立數(shù)學物理方程．

數(shù)學物理思想數(shù)學物理方程（簡稱數(shù)理方程）是指從物理學及其它各門自然科學、技術(shù)科學中所導出的函數(shù)方程，主要指偏微分方程和積分方程．數(shù)學物理方程所研究的內(nèi)容和所涉及的領(lǐng)域十分廣泛，它深刻地描繪了自然界中的許多物理現(xiàn)象和普遍規(guī)律.物理規(guī)律是代表某物理現(xiàn)象的物理量在空間的分布規(guī)律和時間的變化規(guī)律?？捎胾(r,t)表示。物理規(guī)律反應的是同一類物理現(xiàn)象遵從的共同規(guī)律，具有普遍性。

對于具體問題，由于所處的“環(huán)境”或“歷史原因”不同，代表同一類物理現(xiàn)象的物理量的具體表達式不同。物理規(guī)律的普遍性具體問題的特殊性泛定方程：數(shù)學上，數(shù)學物理方程本身叫做泛定方程。邊界條件：物理量在邊界處需滿足的關(guān)系。初始條件：物理量在一開始的狀態(tài)值。定解條件：邊界條件和初始條件合稱為定解條件。定解問題：由泛定方程和定解條件構(gòu)成的數(shù)理問題。振（波）動是研究源與波、場之間的變化關(guān)系熱傳導、擴散是研究熱源與溫度場、濃度之間的關(guān)系泊松（S.D.Poisson1781～1840，法國數(shù)學家）方程表示的是靜態(tài)勢（或場）和源分布之間的關(guān)系定解問題從物理規(guī)律角度來分析，數(shù)學物理定解問題表征的是場和產(chǎn)生這種場的源之間的關(guān)系．根據(jù)分析問題的不同出發(fā)點，把數(shù)學物理問題分為正向問題和逆向問題.

前者是經(jīng)典數(shù)學物理所討論的主要內(nèi)容.后者是高等數(shù)學物理（或稱為現(xiàn)代數(shù)學物理）所討論的主要內(nèi)容。逆向問題，即為已知場求源.正向問題，即為已知源求場不同的出發(fā)點？多數(shù)為二階線性偏微分方程振動與波（振動波，電磁波）傳播滿足波動方程熱傳導問題和擴散問題滿足熱傳導方程靜電場和引力勢滿足拉普拉斯方程或泊松方程數(shù)學物理方程的類型和所描述的物理規(guī)律三類典型的數(shù)學物理方程三類典型的數(shù)學物理方程雙曲型方程波動方程為代表拋物型方程熱傳導方程為代表橢圓型方程泊松方程為代表退化為拉普拉斯方程第七章數(shù)學物理定解問題7.1數(shù)學建模----數(shù)學物理方程的建立具有波動方程的數(shù)理方程的建立弦的橫振動

桿的縱振動

再討論定解條件傳輸線方程

一、波動方程1.弦的微小橫振動考察一根長為且兩端固定、水平拉緊的弦．討論如何將這一物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學上的定解問題．要確定弦的運動方程，需要明確：確定弦的運動方程（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛頓第二定律.

（3）按物理定理寫出數(shù)學物理方程（即建立泛定方程）

要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移

任選一小段弧ABC（端點除外），作為研究對象。由于其長度非常小,可以看作質(zhì)點。下面分析該弧段所遵循的物理規(guī)律。圖7.1注意：

物理問題涉及的因素較多，往往還需要引入適當假設才能使方程簡化．數(shù)學物理方程必須反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍規(guī)律，所以考察點不能取在端點上，但可以取除端點之外的任何位置作為考察點．

根據(jù)牛頓第二定律在橫向的運動方程可以描述為

（7.1.1）

作用于小段的縱向合力應該為零：

(7.1.2)僅考慮微小的橫振動，

夾角為很小的量，忽略及其以上的高階小量，則根據(jù)級數(shù)展開式有注意到:

故由圖7.1得這樣，(7.1.1)和(7.1.2)簡化為(7.1.3)(7.1.4)因此在微小橫振動條件下，可得出

，弦中張力不隨而變，

可記為

故有

(7.1.5)變化量可以取得很小，根據(jù)微分知識有下式成立

這樣，段的運動方程(9.1.5)就成為

(7.1.6)即為

（7.1.7）上式即為弦作微小橫振動的運動方程，簡稱為弦振動方程．

其中討論：（1）若設弦的重量遠小于弦的張力，則上式(7.1.7)右端的重力加速度項可以忽略．由此得到下列齊次偏微分方程：

（7.1.8）

稱式（7.1.8）為弦的自由振動方程。(2)如果在弦的單位長度上還有橫向外力作用，則式(7.1.8)應該改寫為

(7.1.9)式中稱為力密度

，為時刻作用于處單位質(zhì)量上的橫向外力式（7.1.9）稱為弦的受迫振動方程.2、均勻桿的縱振動段的運動方程為

（7.1.10）可得

（7.1.11）

這就是桿的縱振動方程．

一根桿，只要其中任一小段做縱向移動，必然使它的鄰段壓縮或伸長，這鄰段的壓縮或伸長又使它自己的鄰段壓縮或伸長。這樣，任一小段的縱振動必然傳播到整個桿,這種振動的傳播就是波.3.傳輸線方程（電報方程）

在非常長的兩條平行傳輸線的輸入端加上交變電源時，等效電路為設傳輸線上任一點處的電壓和電流分別為u(x,t),i(x,t)傳輸線所滿足的方程分別為

（7.1.10）

(7.1.11)

式（7.1.10）及（7.1.11）即為一般的傳輸線方程（或電報方程）．(1)無失真線

(7.1.12)

其中(2)無損耗線（7.1.13）

(7.1.14)

具有與振動方程類似的數(shù)學形式，盡管它們的物理本質(zhì)根本不同(3)無漏導，無電感線

（7.1.15）

(7.1.16)它們具有與下節(jié)將討論的一維熱傳導方程類似的數(shù)學形式，盡管它們的物理本質(zhì)根本不同．7.2.1數(shù)學建?！€(wěn)定場方程類型的建立

1靜電場的電勢方程

直角坐標系中泊松方程為

(7.１.1７)若空間中無電荷，即電荷密度，上式成為

(7.１.１8)稱這個方程為拉普拉斯方程.

二、穩(wěn)定場方程2.穩(wěn)定溫度分布

導熱物體內(nèi)的熱源分布和邊界條件不隨時間變化故熱傳導方程中對時間的偏微分項為零，從而熱傳導方程即為下列拉普拉斯方程和泊松方程.

(7.1.19)

(7.1.20)7.２.１波動方程的定解條件定解條件：初始條件和邊界條件1.初始條件

波動方程含有對時間的二階偏導數(shù)，它給出振動過程中每點的加速度．要確定振動狀態(tài)，需知道開始時刻每點的位移和速度．波動方程的初始條件通常是

（7.2.1）

7.２數(shù)學物理定解條件例7.2.1

一根長為的弦，兩端固定于和,在距離坐標原點為的位置將弦沿著橫向拉開距離

，如圖7.5所示，然后放手任其振動，試寫出初始條件。

x

u

o

b

l

h

圖7.5

【解】初始時刻就是放手的那一瞬間，按題意初始速度為零，即有初始位移如圖所示

2.邊界條件

常見的線性邊界條件分為三類：第一類邊界條件

直接規(guī)定了所研究的物理量在邊界上的數(shù)值

第二類邊界條件

規(guī)定了所研究的物理量在邊界外法線方向上方向?qū)?shù)的數(shù)值

（7.2.2）

（7.2.3）

第三類邊界條件

規(guī)定了所研究的物理量及其外法向?qū)?shù)的線性組合在邊界上的數(shù)值

（7.2.4）

其中是時間的已知函數(shù)，為常系數(shù)．

7.2.2泊松方程和拉普拉斯方程的定解條件

泊松方程和拉普拉斯方程的定解條件不包含初始條件,而只有邊界條件.邊界條件分為三類:1、在邊界上直接給定未知函數(shù),即為第一類邊界條件．2、在邊界上給定未知函數(shù)導數(shù)的值,即為第二類邊界條件．3、在邊界上給定未知函數(shù)和它的導數(shù)的某種線性組合,

即第三類邊界條件.

第一、二、三類邊界條件可以統(tǒng)一地寫成

(7.2.5)其中是邊界上的變點；

表示物理量沿邊界外法線方向的方向?qū)?shù)；

為常數(shù)，它們不同時為零．

7.２.3其它邊界條件

除了前面我們介紹的第一、第二、第三類邊界條件之外，還有其它邊界條件，如自然邊界條件，銜接條件,周期性條件．

7.2.4數(shù)學物理定解問題的適定性

(1)解的存在性

看所歸結(jié)出來的定解問題是否有解；(2)解的唯一性

看是否只有一個解(3)解的穩(wěn)定性

定解問題來自實際，它的解答也應回到實際中去。應當要求：定解問題解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性統(tǒng)稱為定解問題的適定性.當定解問題的自由項或定解條件有微小變化時，解是否相應地只有微小的變化量

7.2.5數(shù)學物理定解問題的求解方法

1.行波法；2.分離變量法；3.冪級數(shù)解法；4.格林函數(shù)法；5.積分變換法；6.保角變換法；7.變分法；8.計算機仿真解法；9.數(shù)值計算法典型綜合實例

例長為的弦在端固定，另一端自由，且在初始時刻時處于水平狀態(tài)，初始速度為，且已知弦作微小橫振動，試寫出此定解問題.

【解】（1）確定泛定方程：取弦的水平位置為軸，為原點，弦作自由（無外力）橫振動，所以泛定方程為齊次波動方程(2)確定邊界條件

對于弦的固定端，顯然有另一端自由，意味著其張力為零．故(3)確定初始條件

根據(jù)題意，當時，弦處于水平狀態(tài)，即初始位移為零

初始速度

綜上討論，故定解問題為歷年試題一、填空題

(2009)5.(6分)常見的數(shù)學物理方程都是線性二階偏微分方程，主要有

，

和

三類，對應于數(shù)學上的分類，即

，

和；四、簡述題(2008)3簡述數(shù)理方程分析物理問題的步驟以及數(shù)理方程、邊界條件的分類。（9分）作業(yè)：161頁：第1,3題.

7.2.6數(shù)學物理方程的分類三類典型的數(shù)學物理方程雙曲型方程波動方程為代表拋物型方程熱傳導方程為代表橢圓型方程泊松方程為代表退化為拉普拉斯方程線性、非線性齊次、非齊次疊加原理（參見書161頁）7.3行波法對于常微分方程的求解,一般是先求方程的通解,而通解中含有任意常數(shù)(積分常數(shù)),用初始條件確定這些常數(shù).本節(jié)仿照這個方法求解偏微分方程的定解問題.先求通解(其中含有任意函數(shù))用定解條件確定這些函數(shù)先求通解(其中含有任意函數(shù))用定解條件確定這些函數(shù)波動方程的初值問題（一維）（I）1.無界弦的自由振動可以改寫為作線性變換方程改寫為此即為原方程的通解。利用初值條件確定函數(shù)f1,f2.其中為任意一點.達朗貝爾公式物理意義右傳播波左傳播波例1：解：由達朗貝爾公式2.無界弦的強迫振動（I）（II）（III）疊加原理定解問題（I）的解是定解問題(II)的解與定解問題（III）的解之和。問題（II）的解可以用達朗貝爾公式來求解。故只須考慮求解問題（III）的解。我們利用齊次化原理來求解問題（III）的解。(在此從略)3.半無界弦的自由振動我們先考慮情形，即一端x=0固定的振動。希望能利用達朗貝爾公式來求解。為此，我們要作奇延拓為了得到半無界問題的解，只須限制當時，當時，當在x=0處有一個自由端，即則需要作偶延拓。當在x=0處有一個自由端，即則需要作偶延拓。例3當當例4：解：由于外力、初始位移以及初始速度均為零，所以弦振動時波傳播只是受到邊界點x＝0的影響而向x軸