經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)線性代數(shù) 習(xí)題答案匯總（王光輝）第1-5章 矩陣 - 相似矩陣及二次型

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)線性代數(shù)習(xí)題答案

第1章矩陣

習(xí)題全解

同步習(xí)題1.1

【基礎(chǔ)題】

1.寫出以下線性變換對(duì)應(yīng)的矩陣.

乂=%，乂=4玉，

夕2=4》2,

(\0…0、'4o0、

04…0

(00???1)、oo…4”

2.以下對(duì)矩陣的描述中，不正確的是（）.

A.〃階方陣的行數(shù)與列數(shù)相同B.三角矩陣都是方陣

C.對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣都是方陣D.任何矩陣都是方陣

解由機(jī)X〃個(gè)數(shù)與G=1,2,…，加,）=1,2,…,〃）按一定順序排成的s行〃列的矩形數(shù)

表，稱為MX”矩陣，當(dāng)機(jī)，〃的值相等時(shí)，此矩陣稱為方陣.因此，不是任何矩陣都是方陣,

D項(xiàng)描述是不正確的，故應(yīng)選D.

3.已知三階矩陣/是反對(duì)稱矩陣，如果將2的主對(duì)角線以上的每個(gè)元素都加2,所得矩

陣為對(duì)稱矩陣，求矩陣力.

'0ab、

解因?yàn)槿A矩陣/是反對(duì)稱矩陣，所以可設(shè)三階矩陣4=-。0c,將N的主對(duì)

、-b-c0,

a+2=—

角線以上的每個(gè)元素都加2得對(duì)稱矩陣，則有16+2=—仇解得a=—1,6=-1,c=—1,

c+2=—c9

'0-1-1、

故/10-1

J10

U-1\

’103

4.設(shè)矩陣/,B23，求AB及BA.

、2-10

、407

-1、

103、仆Q3、

解根據(jù)矩陣乘法運(yùn)算法則，可得N823

2-1077

407

1-1-113、

103、

BA238-36

2-10,

404012

-24'24\

5.設(shè)矩陣/=，B=,求AB及B4.

1-27、一3-67

-2424、-16-32、/24-24’00、

解48=,BA

1-2-3-6816,「3-61-2、00,

"20\

6.設(shè)/(x)=1+2x—2x~+d,A-，求/(/)?

,0-3

(20A(20、40’4040\’160、

解才

0—3八0-3,09,0909、081

10、，2040\,160\"130\

/(/)=￡+2/-2/+4*=+2-2+

0L-37097、081/、0587

7.已知4,6均為〃階方陣，則必有().

A.(2+3)2=4+2AB+B2

B.(AB)T=#￡

C.Z4=O時(shí)，4=0或8=0

D.(N8)T=8才

解(A+B)2=(A+B)(A+B)=4?+四+胡+32A項(xiàng)不正確；(明T=B'A\B

2

(22、1、0、

項(xiàng)不正確；如48,4B=O,但ZwO且BHO,C項(xiàng)不正確;

-2-2八-0；

故應(yīng)選D.

221、

8.已知三階矩陣A442求

-2-2、

(121221、10105、

解法1由于42442442202010二54，

5

1-2-2-1人-2-10-10-)

所以I=/2./=544=5T=5?4,An=5n~'A.

(221、1、

解法2A4422(221)

-2-2

1、1>

2(221)2(22I)---2(221)=5"T2(221)=5"

COS夕—sin，

9.已知二階矩陣力,求/〃.

sin夕cos。)

cos。一sm9)cos。一sin。cos2。一sin2e、

解T=

sin9cos9sin*cos。Jsin2^?cos2(p,

‘cos2°-sin2*)‘cos夕-sin。、‘cos3°-sin3^?^

=A2-A=1=

^sin2(pcos2°J、sin(pcos/,、sin3ecos3。)

’cos3e-sin3^^,cos。一sin°、‘cos4°-sin"、

A4=A^A=—

(Sin3。cos3^?J、sinwcos夕)(sin"cos)

cosn(p-sin〃夕

sinn(pcos"0

【提高題】

1.甲、乙兩人之間進(jìn)行3種比賽，前兩種為智力比賽(只分輸、贏兩種結(jié)果)，規(guī)定第1

種比賽贏者得3分，輸者得-2分；第2種比賽贏者得2分，輸者得-2分；第3種比賽為

耐力比賽，計(jì)分方法：先完成者得5分，后完成者得3分，中途放棄者得0分.現(xiàn)己知乙在

3

3種比賽中的得分為：3分，-2分，0分，試用矩陣表示甲、乙兩人的得分情況.

解由乙在3種比賽中的得分為3分，-2分，0分，可知乙在第1種比賽中是贏者，在

第2種比賽中是輸者,在第3種比賽中中途放棄,進(jìn)而可知甲在第1種比賽中是輸者,在第2

種比賽中是贏者，在第3種比賽中可能完成了比賽，也可能是中途放棄者,因此，可將甲、乙

<-225、<-220、

兩人的得分情況表示為矩陣或

(3-20)(3-20J

2.設(shè)A是〃階反對(duì)稱矩陣，B是〃階對(duì)稱矩陣,證明：

(DZ8—比1為對(duì)稱矩陣；

(2)Z8+6/是〃階反對(duì)稱矩陣；

(3)AB是反對(duì)稱矩陣的充要條件是28=切.

證因?yàn)?是〃階反對(duì)稱矩陣，所以=一力，8是〃階對(duì)稱矩陣，所以=3.

(1)因?yàn)?/p>

(AB-BA)J=(AB)r=3TH-ATBT==-BA+AB=AB-BA,

所以Z6-A4為對(duì)稱矩陣.

(2)因?yàn)?48+5Z)T=(48)T+(8/)T=勿/+/81=8(—4)+(—4)8=—(84+48)

=-(AB+BA),所以Z8+切是〃階反對(duì)稱矩陣.

(3)N8是反對(duì)稱矩陣的充要條件是

(/8尸=—AB=B'AT=-AB=B{-A)=-AB=-BA=-AB=4B=BA.

3.設(shè)/是mx〃矩陣，E為〃？階單位矩陣,證明：矩陣￡—444T僅eR)為機(jī)階對(duì)稱矩

陣.

證已知/是〃?矩陣，E為〃？階單位矩陣，則H是〃x機(jī)矩陣，從而￡—為

m階矩陣.根據(jù)轉(zhuǎn)置矩陣的性質(zhì)得

(E-AAA1)T=￡T-()T=￡-2UT)T^T=E-/UH,所以矩陣

E-444,(4eR)為m階對(duì)稱矩陣.

4.設(shè)N,B,。均為”階方陣，且AB=BC=CA=E,貝!|才+32+(72=().

A.3EB.2EC.ED.0

解因?yàn)榱=故3"=力.由=知8一|=。.因此，Z=C.同理可得

4

A=B=C.A2+B2+C2=AB+BC+CA=3E,故應(yīng)選A.

5.設(shè)a=(l,O,—l)T,矩陣Z=aaL〃為正整數(shù)，貝iJoE—Z"=

,1o-A

解法1A=aaTo-1)=o00

、-1。u

T0-1V10-n(20-2、

A2=000000=000

1-1

(T0JI0u、一202

20—2、10-n40

A3=A2A000000000

-202,-10-404,

4010-n(80-8>

A4=A3A000000000

-404,-10-808,

2”T0_2吟

以此類推，A"000,所以

-2"~'02“T

7

a-2"-'0、

aE-A"0a0

2"T0a-2n-'

7

解法2由已知可得［Ta=2,

An=(tzaT)(aaT)---(aaT)=a(aTa)(aTa)---(aT(z)aT

0-2"T、

2n-'aaT00

02.-i

7

因此

a-2"-'02,i

aE-An=0a0

T

2'T0a-2"

7

同步習(xí)題1.2

5

【基礎(chǔ)題】

1.下列各矩陣中是初等矩陣的是（）.

'010、’0or'102、‘001、

A.001B.010C.010D.010

、100,、200J(001，J02,

解單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣，

q02、

^(1,3+1(2))=010，而選項(xiàng)A,B,D都經(jīng)過兩次初等變換，故應(yīng)選C.

、00b

/\

%％2a2\a22a23‘010、

2.設(shè)/=aaa，B=100

2\2223即an%>4=

、001,

/31。32a33)/3|十。11。32+。12a33+^13>

'100、

P2=010，貝必有().

J0

A.AP}P2=BB.AJ}R=Bc.PyP1A=BD.P1PyA=B

解矩陣8是將矩陣N的第1行加到第3行，得匕Z,再把￡4的第1行與第2行交

換，得勺鳥4故3=片鳥4應(yīng)選C.

【提高題】

'123、

456進(jìn)行初等變

、789,

換行交換2000次，得

6

2000、2000

’0or<123、23、(001'123、

010456=456,再把010456的第2列和第3

、100J[78力J8力U00;789,

2000/2001

’001)q23、100]U32、

列交換2001次得010456001=465.故應(yīng)選B.

J00>、789,、010,、798

同步習(xí)題1.3

【基礎(chǔ)題】

1-0

1.設(shè)矩陣2=B=A?—3A+2E,則b

23J

1(\(\0、

解B=A2-3A+2E-3+2

23J23123J020J

\

]_]_

則|8|=2,87二百801、00

2,故應(yīng)填2

21-2-2J

—17—17

r1-1

2.求矩陣力-321的逆.

017

解利用初等行變換求逆.

1；100、1100、

0+3”

(A:E)=-321；010勺2”0-1-2310

(201；00、0230

-1-1；10'1-1-1；100、

々x(-l)》012；-3-1().一2殳0125-3-10

、023；-20b、00-142

/101-2-10、’100:21P

。+令、012；-3-10e+2今C10；532

00-1；421,)0-1；421^

"100:211‘211、

個(gè)(-1))010:532,所以/r1=532.

^001:-4-2-、-4-2

3.若”階方陣/滿足A?—24—3E=。，則矩陣Z可逆，且4一1=().

7

A.A-2EB.2E-AC.-^(A-2E)D.1(^-2^)

J_7/7

解由Z2-24-3E=O得力(力-2￡)=3￡,從而有Z?點(diǎn)二=E,所以

A''=-(^-2￡),故應(yīng)選D.

3

4.若〃階方陣/滿足I?一2%-3E=O,求C4一2￡：尸.

解由I?—2Z—3￡=0,得4(Z—2E)=3E,從而有;4(4-2E)=E,所以

(A-2EY'=-A.

3

‘1or

5.設(shè)/=020)則(/+3E尸(/一9￡)=.

、。0L

'-201、

解(4+3E)T(I-9E)=(N+3E)T(Z+3E)(Z—3E)=Z-3E=0-10.

、。。2

6.設(shè)〃階方陣/滿足辦2+bx+c=O(c，0),求/T.

解因?yàn)椤A方陣N滿足歷c+c=。，所以有042+b/+cE=。，由。。0,得

—^+—A=E,即(色4+2E1%=后,故Z可逆，且/T=-@Z-2E.

-cY\-C-c)

(\00)<100、

7.已知/P=P6,其中5000,。=2-10,求〃及d.

0-JL

1011,

100(100、

解因?yàn)閨P|=2-10=一1力0,故尸可逆，且pT=2-10.從而有

11-41

21b

T0oY100、‘100、

A=PBpf=2-10000200

隊(duì)0

、210-1大-41、6-1一1,

8

<100、

/5=(尸3尸-|)5=PB5pT,而從而45=4=2o0

、6-1-1;

【提高題】

’1-100、，2134、

917

01-100:;;，且滿足力（5-①即。丁=瓦

1.設(shè)矩陣6=,C=

001-10

、°001,、0002,

化簡(jiǎn)上述關(guān)系式并求矩陣

解由4（七一仁18）,0T=石知

(1000、

100

（C-即

210

(4321>

1000、

100

故/='

1-210

01-2L

2.設(shè)不=。（左為正整數(shù)），求（E—力））

解因?yàn)镠=O,—A^=E,即(后一/)(￡+/+月2+…+H—)=E,故

(E-AY'E+A+A2+■-?+Ak-'.

3.已知Z,8均為〃階方陣，且=4+證明:

WA-E可逆，其中E為”階單位矩陣.

(2)AB=BA.

證(1)AB=A+B,AB-A-B+E=E,(A-E)B—(4-E)=E

(A-E)(B-E)=E,所以/—E可逆，其中E為〃階單位矩陣.

⑵由⑴知(A-E)(B一E)=(8-E)(A-E)=E即

9

AB-A-B+E=BA-B-A+E,所以=

同步習(xí)題1.4

【基礎(chǔ)題】

」031、

012-1穌、

00-23,0當(dāng)2,

000-3>

1231、-23、7-23、52、

4%+B22=++

012-170-320-32-47

’1252\

"21-23-43\012-4

44于是

、030-30-9700-43

,000—97

2.利用分塊方法求下列矩陣的乘積.

010c0、

rl

0010c

⑴0

000d0

J

*

b7000

01、

'綜練、

解⑴,B1，則

<^21^22>

0

4|812+A2B22、

AB=41

4|812+^22^22

7

1—2Y0)⑼21-2Vn'0、T

4-(0)

AllBll+Al2B2l'442+42與2(1)

(01J、101人0J

u7JJ

10

0、n

4島+42%=。o)+(2)(o)=(o),44+&&2=(1o)+(2)。)=(3)，

kA7/

于是力81

0

(10c0、

o\010cEcE、

(2)記〃=，B=,則

bE00d01°dE

(00

0d.

(a0ac0、

aEOEcEaEacE\00ac

AB,于是4B=

EbE\OdEEcE+hdE710c+bd0

00c+bd,

3.利用分塊矩陣求逆公式求下列矩陣的逆矩陣.

J

r5200、00

5

210()

⑴.(2)20

0083

430

W052>

7

4。、52、83、1

解(1)記力=，其中4=，4則/「=

A252J-25J

o2>u

(1-200>

2一3、4TO-2500

,根據(jù)公式A-1=，有八

-58Jo7002

100-58J

’3_v

fO，其中4=(3)'4=21

⑵記/4，則4T⑸，短2~2

o(4

7V「21J

3F

0

、22

OO

根據(jù)公式4,有才|=0-21

4oO

77500

7

w

f3000

05300

4.已知N=02100求41

00025

、00012,

'4。、

其中心⑶，4=Q，53J、，4=1（225、）則

解記/=A2

、。4,

夕=

1

000

1

pr0-1300

八=A-'

02-500

Ai

J000-25

(0001-2J

【提高題】

-1

(AOA-'O、

1.設(shè)4和8分別是〃？階和〃階可逆矩陣，則，利用該

B<-B-'CA-'B\

q000、

i200

公式求矩陣的逆矩陣.

2130

J214,

000、

200(A0、「30、

解記,其中/=B=

2130一B,U4J

214,

J_2、

'10、0°r20、

笈=3-B-'C4-'=-3~6

易求得/T=111

111IU15

[22,2>

J124><"124)<8記

12

1oo\

.

711.

000>1.

u1-o.

2-.

200.

12.

由公式得-1.

13011o

1--

226

214

zJ151

J■

---一-

847—

24

JCYA-'-A''CB''

2.設(shè)Z和8分別是加階和〃階可逆矩陣，則利用該

OB,0

\22n

1113

公式求矩陣的逆矩陣.

0011

0012J

A12n21

解記。=，其中〃=,B—,C.易求得

1°B)11U2J13

-12、(2—nf-12V2IV2-n(5—5、

A-1BT'

171-1131-1-43J

1221-125-5}

1131-1-43

由公式得

0011002-1

0012J00-11J

同步習(xí)題1.5

【基礎(chǔ)題】

1234、

23、

1012

1.求下列矩陣的秩.（1）2=14.(2)5

30

2-3J

120-5J

所以r（力）=2.

（2）利用初等變換求秩

13

q234、234、q234、

i0120-2-2-20111

—f

3-1-100-7-10-120-7-10-12

J20T)、00-3-9)、00-3-9

1234、fl2341

01110111

，所以NB)=4.

00-3-50035

00-3-9>000

1aaa

a1aa

2.設(shè)"（〃23）階矩陣/=aa1a，若矩陣力的秩為〃一1,則〃必為

aaa

().

11

A.lB.-------C.-lD.-------

\-nn-\

解利用初等變換求秩

\aa???a、aa???a、

a\a???a1+(〃-1)Q\a???a

Aaa\a—a1…a

aaa???J+(〃-1)Qaa???17

n+(〃-1)〃aaa、

01-a0???0

00\-a-??0

000??-1-a^

若a=l,則顯然矩陣/的秩為1,矛盾，因而故。=」一，應(yīng)選B.

\-n

。也…哂、

a2bz…他

3.設(shè)/=,其中q.HO,4璉0?=1,2,…,〃），則矩陣〃的

秩?/)

14

1

aha2b2…a2bb\b…b

解4=li2n

::f=l,2,???,/?’:::

…初

。也…a也）也b2

飛b2…bn>

00…0

^7^,所以矩陣/的秩尸（Z）=l,故應(yīng)填1.

000J

4.設(shè)4是〃?xn矩陣,C是〃階可逆矩陣，矩陣/的秩為r，矩陣8=ZC的秩為

則（）.

A.r>彳B.r<4C.r=/|D.z?與彳的關(guān)系依C而定

解由于任何矩陣乘以可逆矩陣秩不變，而C是可逆矩陣，所以

=r(A)-r.故應(yīng)選C.

【提高題】

xyyy

X

求矩陣/=yyy的秩.

yyXy

yyx)

Xyyyx+3yyyyx+3yyyy、

yXyyq+qx+3yXyy0x-yoo

解/=-A

yyXy，=2,3,4x+3yyXy0ox-y0

yyx+3yyyX0oox-y)

當(dāng)x+3yw0且x-ywO時(shí)、r(A)=4；當(dāng)x+3y=0且工一夕。0時(shí),r(A)=3；

當(dāng)x+3yw0且x-y=O時(shí),r(A)=1；當(dāng)x+3y=0且x-y=0時(shí),r(A)=0.

第1章總復(fù)習(xí)題

1.選擇題：（1）?（10）小題，每小題4分，共40分.下列每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，只有

一個(gè)選