波動方程的分離變量法

1第二章波動方程的分離變量法22.1齊次方程混合問題的Fourier解2.2非齊次方程強迫振動方程2.3非齊次邊界條件的處理3引言

上一章學習的求解數(shù)理方程的方法:行波法.其基本思路是借助常微分方程的求解方法等求解,再利用初始條件確定通解中的任意常數(shù),確定數(shù)理方程中的特解.求通解前作一維波動變換,代入泛定方程.然能用行波法求解的問題很少,4適用于求解如無界弦的自由橫振動問題.為此,對數(shù)理方程的求解還須進一步探索新的方法.其中分離變量法就是求解數(shù)理方程的一種最常用的方法.52.1齊次方程混合問題的Fourier解6考慮長為l，兩端固定的弦的自由振動一、定解問題其中

，為已知函數(shù).

7分析:方程是齊次方程,邊界條件是齊次邊界條件,初始條件是非齊次的.求解:通過這道例題來體會分離變量法的精神思想.8第一步：分離變量分離變量（變量分離）:如波函數(shù)

實現(xiàn)了變量分離。于是我們希望求得的一微波動方程的特解只有分離變量的形式,即9首先：將

代入齊次方程，得

所求特解應為非零解,于是,解不為零.兩邊同除以,有10能分離變量的關(guān)鍵:方程是齊次方程.等式左端只是

的函數(shù)（與

無關(guān)）,等式右端的函（和

無關(guān)）,于是左右兩端要相無關(guān),又與

無關(guān)的常數(shù)。設為

,有只是

等，就必須共同等于一個既與

11其次:將

代入邊界條件：

這時必須有

，能分離變量的原因:邊界條件是齊次邊界條件。最后：就完成了用分離變量法求解泛定方程（數(shù)理方程）的第一步.12③條件：泛定方程和邊界條件都是齊次的?？偨Y(jié)：分離變量①目標:分離變量形式的非零解

②結(jié)果:函數(shù)

滿足的常微分方程和邊界條件以及

滿足的常微分方程.13第二步：求解本征值問題分析：關(guān)于的常微分方程的定解問題特點：微分方程中含有特定常數(shù)

,定解條件是一對齊次邊界條件。并非對于任何

都有既滿足齊次常微分方程，又某些特定值時,才有既滿足齊次方程,又齊次值,滿足齊次邊界條件的非零解；只有當

邊界條件的非零解

取14ⅰ.若,

特征方程為

,則通解為

定義：這些特定值稱為本征值，相應的非零解稱為本征函數(shù)。函數(shù)

分方程定解問

題,稱為本征值問題.的常微15利用邊界條件：

①，則②

，則若齊次方程行列式

，則只有零解.

結(jié)論：

不是本征值.16ⅱ.若,則

,則通解為利用邊界條件：①，則

②

，則

。。方程只有零解，所以

不是本征值.

17ⅲ.若

,則

特征方程為

通解為

利用邊界條件：，則

①

，則

②

18因為

,所以.即本征值

,,無窮多個相應的本征函數(shù)就是

19這樣求得的本征值有無窮多個,，.本征函數(shù)記為

于是將本征值,20第三步：求特解，并疊加出一般解。求得本征值問題后，對每一個本征值

可以求得相應的

.的方程21其中

，為任意常數(shù),也得到了滿足泛定方程和邊界條件的特解為22過程說明:

①這樣的特解有無窮多個.②每一個特解都滿足齊次方程,齊次邊界條件.23③一般說來,單獨任何一個特解不可能也恰好滿足定解問題中的初始條件.即一般無法找到常數(shù)，滿足

24④偏微分方程和邊界條件都是齊次的,把它們的任意有限個特解疊加起來,仍然滿足齊次方程和齊次邊界條件的解,是否滿足初始條件？25⑤把全部無窮多個特解疊加起來只要函數(shù)有足夠的收斂性(如可以逐項求二階偏微商),則這樣得到的齊次方程在齊次邊界條件的解.

仍然是26

這種形式的解稱為一般解.不同于的通解，因為一般解不只是滿足偏微分方程,而且滿足齊次邊界條件.

27如何選擇一般解中的疊加系數(shù),?28第四步：利用本征函數(shù)的正交性定疊加系數(shù).理論依據(jù)：本征函數(shù)的正交性

,兩端同除以

逐項積分有：293031同理,由

,兩邊同乘以

并積分會有則32這樣,由初始條件中的

和,就可得到疊加系數(shù)

和問題(定解問題)的解.,從而求得了整個33本征函數(shù)正交性說明：

定解問題邊界條件為一,二,三類三種類型時,本征函數(shù)正交性，,均成立.

34利用分離變量求數(shù)理方程定解問題的步驟：①分離變量條件:方程,邊界條件均是齊次的.

結(jié)果：一個或多個含有待定常數(shù)的齊次方程,齊次邊界條件。35

②求解本征值問題③求出全部特解,并進一步疊加出一般解.④利用本征函數(shù)正交性定疊加系數(shù).嚴格的說,上面得到的還只是形式解,對具體問題，還須驗證

,36分離變量法成功的條件（理論上）：①本征問題有解.

②定解問題的解一定可按本征函數(shù)③本征函數(shù)一定只有正交性.展開(本征函數(shù)的全體是完備的),也叫Fourier解法.37分析解答解的物理意義特解

其中：

,,,.38正波：

反波：

⒈

代表一個駐波（standingwave),弦兩端固定，自由振動會形成駐波駐波:

39⒉:弦上各點的振幅分布.

⒊:相位因子.

⒋:駐波的圓頻率，稱為兩端固定弦的固有⒌:波數(shù)，單位長度上波的周期數(shù).

⒍:初相位，由初始條件決定.

頻率或本征頻率,與初始條件無關(guān).40⒎在

,即

,,的各點上,振動的振幅為0,個.

稱為波節(jié).包括弦的兩個端點在波節(jié)內(nèi)，共有41⒏在

,即

的各點上,振動振幅的個.絕對值恒為最大,稱為波峰,波峰共有

42⒑就兩端固定的弦來說，固有頻率中有⒐整個問題的解是這些駐波的疊加.因而分離變量法也叫駐波法.一個最小值,而

,稱為基頻.其它固有的整數(shù)倍.,,稱為倍頻.頻率都是43一定時,通過改變弦的長⒒基頻決定弦所發(fā)聲音的音調(diào)

,當弦度,就可調(diào)節(jié)

.的質(zhì)料一定即

⒓解中基頻和倍頻的疊加系數(shù)

和的相對大小決定了聲音的頻譜分布(音色).44⒔和數(shù)

與弦的總沖量⒕弦的總能量

是經(jīng)兩端反射的波的能量。成正比,決定了聲音的響度.451、分離變量法總結(jié):

定解條件是思想,邊界條件齊次化.四個步驟循序解,特征值問題是關(guān)鍵.462、本征函數(shù)正交性：

,47即

一個正弦或余弦平方的任意多個全周期的積分等于該區(qū)間長度的一半.48例1.用分離變量法求解混合問題49解：1.分離變量設,代入泛定方程有

兩邊同時除以

有50即512.解本征值問題ⅰ若

,特征方程

則通解為,52，,于是

不是特征值.

53ⅱ若

,則通解為

也不是特征根.54ⅲ若

,則

特征方程為

.通解為

55故本征值為

本征函數(shù)為

563求特解，并疊加出一般解

對每一個

,有

其中，為任意常數(shù).57泛定方程的特解是：本征解的疊加,得一般解為584、確定疊加系數(shù)①由

59兩端同乘以

并積分得：60②由

有6162

若邊界條件為其它類型的齊次邊界條件,同樣可求得本征值和本征函數(shù).對應的本征問題有：63646566，67

2.2非齊次方程強迫振動方程

（Forcedvibrationequation）68

齊次方程,齊次邊界條件在分離變量法中起著關(guān)鍵作用。因為方程和邊界條件是齊次的，分離變量才得以實現(xiàn)。若定解問題中的方程和邊界條件不是齊次的，還有沒有可能應用分離變量法呢？69一、定解問題實例:兩端固定弦的強迫振動70

為突出對于方程非齊次項的處理,這里研究純粹由外力引起的兩端固定弦的強迫振動,弦的初位移和初速度為0。71基本解法一：

方程和邊界條件的同時齊次化。方程和邊界條件的同時齊次化:

將非齊次方程齊次化的同時必保持原有齊次邊界條件不變.解法的關(guān)鍵在于求得特解

,適用于較簡單的情形.72解：1.求得非齊次方程一特解設為

如果設,則

一定是相應齊次方程的解

732.為能用分離變量法,

因而特解

還應滿足邊界條件

必須滿足齊次邊界條件

743.

已知要作為前提,

應滿足754.若

求得，就可求出

的一般解.76對定解問題77解:非齊次方程帶有齊次定解條件的問題

齊次方程帶有非齊次定解條件的問題

+785.代入初始條件796.利用正交函數(shù)的正交歸一性,定出疊加系數(shù)。80

小結(jié):這種方法稱為方程和邊界條件同時齊次化,在將非齊次方程齊次化的同時,必須保持原有的齊次化邊界條件不變,解法的關(guān)鍵在于求得特解適用于比較簡單的情形，齊次初始條件的

(限制)可以取消.

81例1

求解定解問題其中

為已知函數(shù).

82解題思路：

因為方程的非齊次項只是x的函數(shù)，就可以將齊次化函數(shù)邊界化為只是x的函數(shù).

831.設

,其中

滿足

842.

滿足定解問題

85例2、

求解定解問題其中

,,均為常數(shù).86解:1.設

2.考慮到非齊次項的的具體形式,可將齊次化函數(shù)

取為：.873.由

88根據(jù)常系數(shù)非齊次線性微分方程

的解法.

則有

89由方程

90解得根據(jù)邊界條件

得91即

924.滿足93一般解為94利用初始條件有：

95只有

取奇數(shù)時，9697的形式比較復雜,特解情形：強迫力的角頻率

正好是弦是某個確定的非負整數(shù).弦在強迫力作若方程非齊次項的固有頻率

用下發(fā)生共振現(xiàn)象.難以求得非齊次方程的特解就要采用其它方法.98基本解法二:沖量定理法定解問題99100基本解法三:Fourier階數(shù)解法解：1.設定解問題的解

為1012.顯然滿足齊次邊界條件,要滿足初始條件有比較系數(shù)

1023.將

代入后方程有1034.將

展開成Fourier級數(shù)

或利用本征函數(shù)正交性.其中1045.比較系數(shù)

105例：對有界弦的一般強迫振動106疊加原理：

有界弦的自由振動解

+有界弦的非強迫振動解107

不論方程是齊次還是非齊次,其定解問題都有一個前提：邊界條件是齊次的.但實際問題中,常有非齊次邊界條件出現(xiàn)，這樣的問題如何處理？2.3非齊次邊界條件的處理108一、定解問題109分析:邊界條件是非齊次的.處理原則：

利用疊加原理,將非齊次邊界條件問題轉(zhuǎn)化為另一未知函數(shù)的齊次邊界問題.1101.一般處理方法：非齊次邊界條件齊次化①令

.②適當選擇

,使?jié)M足

③這樣

一定滿足齊次邊界條件

111④如何獲取齊次化函數(shù)

？

我們僅需求滿足

，所以選擇有相當大的余地.112另外：若將

看作參數(shù),這就只要求在

平面上曲線

通過給定的兩點和

即可.

113①這里，取