滬科版七年級數(shù)學(xué)上冊專題特訓(xùn) 專題3.4 二元一次方程組及其解法【九大題型】（原卷版+解析版）

專題3.4二元一次方程組及其解法【九大題型】【滬科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1二元一次方程（組）的概念】 1【題型2已知二元一次方程（組）的解求參數(shù)】 2【題型3二元一次方程（組）的解的情況】 2【題型4二元一次方程組的一般解法】 3【題型5整體換元求解二元一次方程組的解】 3【題型6構(gòu)建二元一次方程組】 4【題型7二元一次方程組與二元一次方程的綜合求值】 5【題型8根據(jù)兩個二元一次方程組解的情況求值】 5【題型9二元一次方程組的錯解復(fù)原問題】 6【知識點1二元一次方程（組）的概念】1、二元一次方程含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程。2、二元一次方程組含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組。【題型1二元一次方程（組）的概念】【例1】（2022·山東·膠州市第七中學(xué)八年級階段練習(xí)）下列萬程中，是二元一次方程組的是（

）①x?2y=3y+2z=7

②1x+y=4y?2xA．①②③ B．②③ C．③④ D．①②【變式1-1】（2022·黑龍江·哈爾濱市松雷中學(xué)校七年級階段練習(xí)）關(guān)于x、y的方程（m﹣2）x+y|m﹣1|＝2是二元一次方程，則m的值為_____．【變式1-2】（2022·四川·仁壽縣文宮鎮(zhèn)古佛九年制學(xué)校七年級期中）下列方程：①2x?y3=1；②x2+3y=3；③x2A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【知識點2二元一次方程（組）的解】3、二元一次方程的解適合一個二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個二元一次方程的一個解。4、二元一次方程組的解二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程組的解。5、二元一次方程組的解法（1）代入（消元）法（2）加減（消元）法【題型2已知二元一次方程（組）的解求參數(shù)】【例2】（2022·黑龍江·齊齊哈爾市第二十八中學(xué)七年級期中）關(guān)于x和y的二元一次方程，2x+3y＝20的正整數(shù)解有（

）組．A．1 B．2 C．3 D．4【變式2-1】（2022·新疆塔城·七年級期末）已知x=2ky=3k是二元一次方程2x+y=14的解，則k的值是（

A．2 B．-2 C．3 D．-3【變式2-2】（2022·全國·七年級單元測試）已知方程a2x+by=-1的兩組解是x=?2y=?1和x=4y=3，求（a+b）（a4﹣2a2b2【變式2-3】（2022·浙江杭州·七年級期中）在關(guān)于x，y的二元一次方程組x+2y=a?33x?y=2aA．當a=2時，方程的兩根互為相反數(shù) B．當且僅當a=?5時解得x為y的2倍C．x，y滿足關(guān)系式x?5y=6 D．不存在自然數(shù)a使得x，y均為正整數(shù)【題型3二元一次方程（組）的解的情況】【例3】（2022·四川省珙縣巡場中學(xué)校七年級期中）關(guān)于x，y的方程組2x?ay=64x+y=7的解是整數(shù)，則整數(shù)aA．4個 B．3個 C．2個 D．1個【變式3-1】（2022·浙江杭州·七年級期中）若二元一次方程組mx?3y=92x?y=1無解，則m為（

A．9 B．6 C．?6 D．?9【變式3-2】（2022·全國·八年級單元測試）下列說法中正確的是（

）A．方程3x-4y=1可能無解B．方程3x-4y=1有無數(shù)組解，即xy可以取任何數(shù)值C．方程3x-4y=1只有兩組解，兩組解是x=1D．x=3，y=2是方程3x-4y=1的一組解【變式3-3】（2022·河南商丘·七年級階段練習(xí)）二元一次方程2x+y=13的非負整數(shù)解有（

）A．5個 B．6個 C．7個 D．無數(shù)個【題型4二元一次方程組的一般解法】【例4】（2022·云南·普洱市寧洱縣勐先鎮(zhèn)初級中學(xué)七年級期中）解方程組:(1)y=2x(2)2x+【變式4-1】（2022·甘肅·金昌市金川區(qū)寧遠中學(xué)七年級期中）用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠探M：(1)x+y=20(2)x?y=3(3)用代入法解3x+4y=9(4)用加減法解7x?2y=?40【變式4-2】（2022·湖南·郴州市五雅高級中學(xué)有限公司七年級階段練習(xí)）解方程組(1)y=2x3y+2x=8(2)x+3y=7x?3y=1(3)x?3y=?22x+y=3(4)m5【變式4-3】（2022·河南商丘·七年級期末）解下列方程組：(1)3x?y=5(2)x+7y=2【題型5整體換元求解二元一次方程組的解】【例5】（2022·全國·八年級課時練習(xí)）已知關(guān)于x、y的二元一次方程組ax+by=7bx+ay=9的解為x=2y=3，那么關(guān)于m、n的二元一次方程組【變式5-1】（2022·河北石家莊·七年級期中）甲、乙、丙在探討問題“已知x，y滿足x+2y=5，且3x+7y=5m?32x+3y=8求m的值．”的解題思路時，甲同學(xué)說：“可以先解關(guān)于x，y的方程組3x+7y=5m?32x+3y=8再求乙同學(xué)：先將方程組3x+7y=5m?32x+3y=8中的兩個方程相加，再求m丙同學(xué)：先解方程組x+2y=52x+3y=8，再求m你最欣賞乙、丙哪位同學(xué)的解題思路？先根據(jù)你最欣賞的思路解答此題，再簡要說明你選擇這種思路的理由．【變式5-2】（2022·重慶·巴川初級中學(xué)校七年級期中）已知關(guān)于x，y的方程組x?2y=8?k??，2x?y=4?5k的解滿足x?y=10，則【變式5-3】（2022·全國·七年級課時練習(xí)）先閱讀材料，然后解方程組．材料：解方程組x-由①，得x－y＝1.③把③代入②，得4×1－y＝5，解得y＝－1.把y＝－1代入③，得x＝0.∴原方程組的解為x=這種方法稱為“整體代入法”．你若留心觀察，有很多方程組可采用此方法解答，請用這種方法解方程組：2x-【題型6構(gòu)建二元一次方程組】【例6】（2019·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·七年級期中）如果（x+y-5）2與│3y-2x+10│互為相反數(shù)，那么x、y的值為（

）A．x=3，y=2 B．x=2，y=3 C．x=0，y=5 D．x=5，y=0【變式6-1】（2022·吉林松原·七年級期中）已知y=kx+b，當x=2時，y=?3；當x=?1時，y=3．（1）求k，b的值；（2）當x取何值時，y的值為?4？【變式6-2】（2022·浙江·蘭溪市實驗中學(xué)七年級階段練習(xí)）對于實數(shù)a、b，定義關(guān)于“?”的一種運算：a?b=2a+b，例如1?3=2×1+3=5．（1）求4??3（2）若x??y=?2，2y?x=?1【變式6-3】（2022·山東聊城·七年級期中）已知a、b都是有理數(shù)，觀察表中的運算，則m＝________．a(chǎn)、b的運算a＋ba－b（a＋2b）3運算的結(jié)果59m【題型7二元一次方程組與二元一次方程的綜合求值】【例7】（2022·廣東揭陽·八年級期末）若關(guān)于x,y的二元一次方程組x+2y=5k+1x?y=2k?5的解滿足x+y=7,則k的值是（

A．1 B．2 C．3 D．4【變式7-1】（2022·全國·七年級課時練習(xí)）關(guān)于x,y的方程組2x?3y=11?4mA．2 B．1 C．0 D．1【變式7-2】（2022·湖南株洲·七年級期末）已知關(guān)于x、y的二元一次方程組2x+y=5m3x?2y=4m的解滿足二元一次方程x3-y=4，求【變式7-3】（2022·四川·天府四中七年級期中）已知方程組x+ay=22x+3y=7的解是二元一次方程x?y=1的一個解，則a=【題型8根據(jù)兩個二元一次方程組解的情況求值】【例8】（2022·浙江·寧波市鎮(zhèn)海蛟川書院七年級期中）關(guān)于x、y的方程組3x?y=54ax+5by=?26與2x+3y=?4ax?by=8有相同的解，則【變式8-1】（2019·四川成都·中考模擬）數(shù)學(xué)學(xué)霸甲、乙兩人在一次解方程組比賽中，甲求關(guān)于x、y的方程組3x?y=6ax?by=2的正確解與乙求關(guān)于x、y的方程組3x+y=6bx?ay=20的正確的解相同．則【變式8-2】（2022·福建省永春烏石中學(xué)七年級階段練習(xí)）已知方程組3x+y=5ax?2y=4的解也是方程組3x?by=54x?5y=?6的解求【變式8-3】（2022·山東濰坊·七年級期中）若關(guān)于x，y的二元一次方程組ax+by=mcx+dy=n與a+1【題型9二元一次方程組的錯解復(fù)原問題】【例9】（2022·四川·射洪中學(xué)七年級階段練習(xí)）小明和小文解一個二元一次方程組cx?3y=?2ax+by=2，小明正確解得x=1y=?1，小文抄錯了c，解得x=2y=?6，已知小文抄錯了c【變式9-1】（2019·全國·八年級單元測試）甲、乙二人解同一個方程組3x+ay=13,①bx?3y=9.②甲因看錯①中的a得解為x=6,y=7,乙因看錯了②中的b解得x=1，y=5，求a【變式9-2】（2019·江蘇徐州·七年級期末）甲、乙二人同時解一個方程組2x+ay=61bx?7y=162，甲解得x=13y=7?，乙解得x=9y=4.甲僅因為看錯了方程(1)中y的系數(shù)【變式9-3】（2019·全國·八年級單元測試）小敏不小心將墨水濺在同桌小娟的作業(yè)本上，結(jié)果二元一次方程組3x+□y=11,□x+2y=?2中第一個方程y的系數(shù)和第二個方程x的系數(shù)看不到了，現(xiàn)在已知方程組的解是x=1,專題3.4二元一次方程組及其解法【九大題型】【滬科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1二元一次方程（組）的概念】 1【題型2已知二元一次方程（組）的解求參數(shù)】 3【題型3二元一次方程（組）的解的情況】 6【題型4二元一次方程組的一般解法】 8【題型5整體換元求解二元一次方程組的解】 13【題型6構(gòu)建二元一次方程組】 16【題型7二元一次方程組與二元一次方程的綜合求值】 18【題型8根據(jù)兩個二元一次方程組解的情況求值】 20【題型9二元一次方程組的錯解復(fù)原問題】 22【知識點1二元一次方程（組）的概念】1、二元一次方程含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程。2、二元一次方程組含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組。【題型1二元一次方程（組）的概念】【例1】（2022·山東·膠州市第七中學(xué)八年級階段練習(xí)）下列萬程中，是二元一次方程組的是（

）①x?2y=3y+2z=7

②1x+y=4y?2xA．①②③ B．②③ C．③④ D．①②【答案】C【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義：方程組中有兩個未知數(shù)，含有每個未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，并且一共有兩個方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組，據(jù)此即可判定．【詳解】解：①x?2y=3y+2z=7②1x③3x?4④x2故是二元一次方程組是③④，故選：C．【點睛】本題考查了二元一次方程組的定義，理解和掌握二元一次方程組的定義是解決本題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2022·黑龍江·哈爾濱市松雷中學(xué)校七年級階段練習(xí)）關(guān)于x、y的方程（m﹣2）x+y|m﹣1|＝2是二元一次方程，則m的值為_____．【答案】0【分析】根據(jù)二元一次方程的定義：有2個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)為1的整式方程，得出m的等量關(guān)系，解出答案即可．【詳解】解：由題意得，m?2≠0，m?1=1∴m≠2，m=2或∴m=0，故答案為：0．【點睛】本題考查了二元一次方程的定義，熟練掌握并理解二元一次方程的定義是解本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022·四川·仁壽縣文宮鎮(zhèn)古佛九年制學(xué)校七年級期中）下列方程：①2x?y3=1；②x2+3y=3；③x2A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)二元一次方程的定義作答．含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，像這樣的整式方程叫做二元一次方程．【詳解】解：①2x?y②x2③x2④5x+y⑤2x⑥x+1故其中二元一次方程有2個．故選：B．【點睛】本題主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特點：含有2個未知數(shù)，未知數(shù)的項的次數(shù)是1的整式方程．【變式1-3】（2022春?開福區(qū)月考）已知方程組3x?m?3ym?2【答案】（1）179+3【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義得m?2?2=1且m?3≠0，m+1≠0【詳解】解：∵方程組3x?m?3∴m?2?2=1且m?3≠0，m+1≠0∴m=5．【點睛】本題主要考查二元一次方程組的定義，掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．【知識點2二元一次方程（組）的解】3、二元一次方程的解適合一個二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個二元一次方程的一個解。4、二元一次方程組的解二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程組的解。5、二元一次方程組的解法（1）代入（消元）法（2）加減（消元）法【題型2已知二元一次方程（組）的解求參數(shù)】【例2】（2022·黑龍江·齊齊哈爾市第二十八中學(xué)七年級期中）關(guān)于x和y的二元一次方程，2x+3y＝20的正整數(shù)解有（

）組．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】將y看作已知數(shù)，求出x，即可確定出方程的正整數(shù)解．【詳解】解：2x+3y=20x=當y=2時，x=7；當y=4時，x=4；當y=6時，x=1則方程的正整數(shù)解有3對．故選：C【點睛】此題考查了解二元一次方程，解題的關(guān)鍵是將y看作已知數(shù)，表示出x．【變式2-1】（2022·新疆塔城·七年級期末）已知x=2ky=3k是二元一次方程2x+y=14的解，則k的值是（

A．2 B．-2 C．3 D．-3【答案】A【分析】把x=2ky=3k代入二元一次方程2x+y=14【詳解】把x=2ky=3k代入二元一次方程2x+y=142×2k+3k=14，即：7k=14，k=2，故選：A．【點睛】本題主要考查了二元一次方程解的定義，掌握二元一次方程的解使該方程等號兩邊成立是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·全國·七年級單元測試）已知方程a2x+by=-1的兩組解是x=?2y=?1和x=4y=3，求（a+b）（a4﹣2a2b2【答案】-23【分析】根據(jù)題意把兩組解代入組成一個新的二元一次方程組，然后求出a、b的值，代入含有a、b的代數(shù)式求解即可【詳解】解：將{x=?2y=?1和{x=4得{a解得{a=4∴（a+b）（a4﹣2a2b2+b2）=（4﹣3）×[44﹣2×42×（﹣3）2+（﹣3）2]=﹣23．【點睛】二元一次方程組的解法是本題的考點，熟練掌握其知識根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)換成二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.【變式2-3】（2022·浙江杭州·七年級期中）在關(guān)于x，y的二元一次方程組x+2y=a?33x?y=2aA．當a=2時，方程的兩根互為相反數(shù) B．當且僅當a=?5時解得x為y的2倍C．x，y滿足關(guān)系式x?5y=6 D．不存在自然數(shù)a使得x，y均為正整數(shù)【答案】D【分析】A．當a＝2時，方程組變形得到結(jié)果，即可判斷；B．將x=2y代入方程，解出a即可判斷；C．用含a是代數(shù)式表示x和y，再將x、y代入x?5y進行計算即可判斷；D．用含a是代數(shù)式表示x和y，當a＝16時，x＝11，y＝1，即可判斷．【詳解】解：A、當a＝2時，方程組為{x＋2y＝?1①①＋②×2得：7x＝7，解得：x＝1，把x＝1代入①得：y＝?1，則x＋y＝1?1＝0，即方程的兩根互為相反數(shù)，∴A選項不符合題意；B．當x=2y時，原方程組可變?yōu)椋簕解得：a=∴當且僅當a=-5，時解得x為y的∴B選項不符合題意．C．{x?2y①＋②×2得：7x＝5a?3，解得：x＝5a?37，y＝a?9∵x?5y＝5a?37∴C選項不符合題意；D、由C可知：x＝5a?37，y＝a?9要使x為自然數(shù)，可得5a?3＝7，14，21，…；同理a?9＝7，14，21，…，當a＝16時，x＝11，y＝1，所以存在自然數(shù)a，使得x，y均為正整數(shù)，∴D選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解、二元一次方程的解、解二元一次方程組，解決本題的關(guān)鍵是掌握二元一次方程的相關(guān)知識．【題型3二元一次方程（組）的解的情況】【例3】（2022·四川省珙縣巡場中學(xué)校七年級期中）關(guān)于x，y的方程組2x?ay=64x+y=7的解是整數(shù)，則整數(shù)aA．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】C【分析】先解方程組求出x、y的值，根據(jù)y和a都是整數(shù)求出1+2a=?1或1+2a=5或1+2a=1或1+2a=?5，求出a的值，再代入x求出x，再逐個判斷即可;【詳解】2x?ay=6①①×2?②得：?2a?1y=5解得：y=5把y=5?2a?1代入②得：解得：x=7a+6∵方程組的解為整數(shù)∴x,y均為整數(shù)∴1+2a=?1或1+2a=5或1+2a=1或1+2a=?5解得：a=?1,2,0,?3，當a=?1時，x=1當a=2時，x=2，是整數(shù)，符合；當a=0時，x=3，是整數(shù)，符合；當a=?3時，x=3故選：C.【點睛】本題主要考查二元一次方程組的含參問題，準確的解出方程組并且列出整數(shù)解的情況是求解本題的關(guān)鍵.【變式3-1】（2022·浙江杭州·七年級期中）若二元一次方程組mx?3y=92x?y=1無解，則m為（

A．9 B．6 C．?6 D．?9【答案】B【分析】根據(jù)二元一次方程組無解的問題可直接進行求解．【詳解】解：由mx?3y=9①2x?y=1②①-②×3得：m?6x=6∵二元一次方程組無解，∴m?6=0，解得：m=6；故選B．【點睛】本題主要考查二元一次方程組的解法，熟練掌握二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022·全國·八年級單元測試）下列說法中正確的是（

）A．方程3x-4y=1可能無解B．方程3x-4y=1有無數(shù)組解，即xy可以取任何數(shù)值C．方程3x-4y=1只有兩組解，兩組解是x=1D．x=3，y=2是方程3x-4y=1的一組解【答案】D【分析】根據(jù)二元一次方程是不定方程，有無數(shù)組解；能使方程成立的x，y的數(shù)值即是方程的解．反之，則不是方程的解．【詳解】解：A、方程3x-4y=1有無數(shù)組解，錯誤；B、方程3x-4y=1有無數(shù)組解，即x，y的取值代入方程，使方程左右相等的解是方程的解，錯誤；C、方程3x-4y=1有無數(shù)組解，即x，y的取值代入方程，使方程左右相等的解是方程的解，錯誤；D、x=3，y=2代入方程3x-4y=1，左邊=1=右邊，即x=3，y=2是方程3x-4y=1的一組解，正確．故選：D．【點睛】根據(jù)方程的解的定義，一組數(shù)是方程的解，那么它一定滿足這個方程；若不滿足，則不是方程的解．關(guān)鍵是會把x，y的值代入原方程驗證二元一次方程的解．【變式3-3】（2022·河南商丘·七年級階段練習(xí)）二元一次方程2x+y=13的非負整數(shù)解有（

）A．5個 B．6個 C．7個 D．無數(shù)個【答案】C【分析】將x=0，1，2，…，分別代入2x+y=13，求出二元一次方程2x+y=13的非負整數(shù)解有多少組即可．【詳解】當x=0時，y=13；當x=1時，y=11；當x=2時，y=9；當x=3時，y=7；當x=4時，y=5；當x=5時，y=3；當x=6時，y=1；當x=7時，y=-1＜0；∴二元一次方程2x+y=13的非負整數(shù)解有x=0y=13，x=1y=11，x=2y=9，x=3y=7，x=4y=5故選：C．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的解，要熟練掌握，注意解中x與y必須為非負整數(shù)．【題型4二元一次方程組的一般解法】【例4】（2022·云南·普洱市寧洱縣勐先鎮(zhèn)初級中學(xué)七年級期中）解方程組:(1)y=2x(2)2x+【答案】(1)x=1(2)x=3【分析】（1）利用代入消元法，將方程①代入②，得6x+2x=8，解得x的值，進而求得y的值即可（2）利用加減消元法，將方程②×2，得2x?4y=?2③，然后與方程①相減即可求得y的值進而將y的值代入方程②求得x的值即可．（1）解：y=2x①將①代入②，得6x+2x=8，解得x=1，將x=1代入①，得y=2，∴原方程組的解為x=1y=2（2）解：2x②×2，得2x?4y=?2③①－③，得7y=14，解得y=2，將y=2代入②，得x?4=?1，解得x=3，∴原方程組的解為x=3y=2【點睛】本題考查了二元一次方程組的解法，根據(jù)方程的特點選取適當消元方法是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·甘肅·金昌市金川區(qū)寧遠中學(xué)七年級期中）用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠探M：(1)x+y=20(2)x?y=3(3)用代入法解3x+4y=9(4)用加減法解7x?2y=?40【答案】(1)x=18(2)x=2(3)x=?1(4)x=?4【分析】（1）根據(jù)加減消元法求解即可；（2）根據(jù)加減消元法求解即可；（3）根據(jù)代入消元法的步驟求解即可；（4）根據(jù)加減消元法的步驟求解即可；（1）解：x+y=20①由②-①，得：x=18，將x=18代入①，得：18+y=20，解得：y=2，故原方程組的解為：x=18y=2（2）解：x?y=3由3×①-②，得：5y=?5，解得：y=?1，將y=?1代入①，得：x?(?1)=3，解得：x=2，故原方程組的解為：x=2y=?1（3）解：3x+4y=9由②得：x=3y?10③將③代入①，得：3(3y?10)+4y=9，解得：y=3，將y=3代入③，得：x=3×3?10=?1，故原方程組的解為：x=?1y=3（4）解：7x?2y=?40由3×①-2×②，得：5x=?20，解得：x=?4，將x=?4代入①，得：7×(?4)?2y=?40，解得：y=6，故原方程組的解為：x=?4y=6【點睛】本題考查解二元一次方程組，掌握加減消元法和代入消元法解方程組的步驟是解題關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·湖南·郴州市五雅高級中學(xué)有限公司七年級階段練習(xí)）解方程組(1)y=2x3y+2x=8(2)x+3y=7x?3y=1(3)x?3y=?22x+y=3(4)m5【答案】(1)x=1(2)x=4(3)x=1(4)m=5【分析】（1）利用代入法解方程組；（2）利用加減法解方程組；（3）利用代入法解方程組；（4）先將方程組化簡，再利用加減法解方程組．（1）解：y=2x①將①代入②，得6x+2x=8，解得x=1，將x=1代入①，得y=2，∴方程組的解為x=1y=2（2）x+3y=7①①+②得，2x=8，解得x=4，將x=4代入①，得4+3y=7，解得y=1，∴方程組的解為x=4y=1（3）x?3y=?2①由①得，x=3y-2③，將③代入②得，2（3y-2）+y=3，解得y=1，將y=1代入③，得x=3-2=1，∴方程組的解為x=1y=1（4）將原方程組化簡為2m?5n=20①①+②×5，得17m=85，解得m=5，將m=5代入②，得15+n=13，解得n=-2，∴方程組的解為m=5n=?2【點睛】此題考查了解二元一次方程組，正確掌握解二元一次方程組的解法：代入法和加減法，并能根據(jù)每個方程組的特點選擇恰當?shù)慕夥ㄊ墙忸}的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022·河南商丘·七年級期末）解下列方程組：(1)3x?y=5(2)x+7y=2【答案】(1)x=3(2)x=?5【分析】（1）先整理方程組，再用加減消元法進行求解；（2）先整理方程，再用加減消元法進行求解．（1）解：整理得：3x?y=5①+②得：4y=16，y=4把y=4代入①得：3x-4=5x=3∴原方程組的解為：x=3y=4（2）解：整理得：x+7y=2①-②得：5y=5y=1把y=1代入①得：x+7=2x=-5∴原方程組的解為：x=?5y=1【點睛】本題主要考查了解二元一次方程，正確地將方程組進行整理以及熟練掌握消元的思想是解題的關(guān)鍵．【題型5整體換元求解二元一次方程組的解】【例5】（2022·全國·八年級課時練習(xí)）已知關(guān)于x、y的二元一次方程組ax+by=7bx+ay=9的解為x=2y=3，那么關(guān)于m、n的二元一次方程組【答案】m=【分析】首先利用整體代值的數(shù)學(xué)思想可以得到m+n與m﹣n的值，然后解關(guān)于m、n的方程組即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于x、y的二元一次方程組ax+by=7bx+ay=9的解為x=2∴關(guān)于m、n的二元一次方程組a(m+n)+b(m?n)=7b(m+n)+a(m?n)=9中m+n=2∴解這個關(guān)于m、n的方程組得：m=5故答案為m=5【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是掌握整體代值的數(shù)學(xué)思想，對于學(xué)生的能力要求比較高．【變式5-1】（2022·河北石家莊·七年級期中）甲、乙、丙在探討問題“已知x，y滿足x+2y=5，且3x+7y=5m?32x+3y=8求m的值．”的解題思路時，甲同學(xué)說：“可以先解關(guān)于x，y的方程組3x+7y=5m?32x+3y=8再求乙同學(xué)：先將方程組3x+7y=5m?32x+3y=8中的兩個方程相加，再求m丙同學(xué)：先解方程組x+2y=52x+3y=8，再求m你最欣賞乙、丙哪位同學(xué)的解題思路？先根據(jù)你最欣賞的思路解答此題，再簡要說明你選擇這種思路的理由．【答案】我最欣賞乙同學(xué)的解法，m=4，理由見解析【分析】我最欣賞乙同學(xué)的解法，根據(jù)乙的思路求出m的值，分析簡便的原因．【詳解】解：我最欣賞乙同學(xué)的解法，3x+7y=5m?3①①+②得：整理得：x+2y=m+1，代入x+2y=5得：m+1=5，解得：m=4，這樣解題采用了整體代入的思想，利用簡化運算．【點睛】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，能觀察方程特點并運用整體代入的方法是解題的關(guān)鍵．消元的方法有：代入消元法與加減消元法．【變式5-2】（2022·重慶·巴川初級中學(xué)校七年級期中）已知關(guān)于x，y的方程組x?2y=8?k??，2x?y=4?5k的解滿足x?y=10，則【答案】?3【分析】把二元一次方程組中的兩個方程相加即可求得x－y的值，然后利用x?y=10即可得出答案．【詳解】x?2y=8?k由①+②得3x?3y=12?6k，x?y=4?2k，∵x?y=10，∴4?2k=10，解得k=?3．【點睛】本題主要考查一元二次方程組解法中的加減消元思想，熟練掌握一元二次方程組的解法是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022·全國·七年級課時練習(xí)）先閱讀材料，然后解方程組．材料：解方程組x-由①，得x－y＝1.③把③代入②，得4×1－y＝5，解得y＝－1.把y＝－1代入③，得x＝0.∴原方程組的解為x=這種方法稱為“整體代入法”．你若留心觀察，有很多方程組可采用此方法解答，請用這種方法解方程組：2x-【答案】x【詳解】試題分析：由第一個方程求出2x-3y的值，代入第二個方程求出y的值，進而求出x的值，即可確定出方程組的解．試題解析：解：由①，得：2x－3y＝2．③把③代入②，得：2+57＋2y把y＝4代入③，得2x－3×4＝2，解得：x＝7．∴原方程組的解為x=7y=4點睛：本題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．【題型6構(gòu)建二元一次方程組】【例6】（2019·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·七年級期中）如果（x+y-5）2與│3y-2x+10│互為相反數(shù)，那么x、y的值為（

）A．x=3，y=2 B．x=2，y=3 C．x=0，y=5 D．x=5，y=0【答案】D【分析】根據(jù)相反數(shù)的意義可得關(guān)于x、y的二元一次方程，繼而根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可得關(guān)于x、y的二元一次方程組，解方程組即可.【詳解】∵(x+y-5)2與│3y-2x+10│互為相反數(shù)，∴(x+y-5)2+│3y-2x+10│=0，∴x+y?5=03y?2x+10=0解得x=5y=0故選D.【點睛】本題考查了相反數(shù)的意義，非負數(shù)的性質(zhì)，解二元一次方程組等知識，熟練掌握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.【變式6-1】（2022·吉林松原·七年級期中）已知y=kx+b，當x=2時，y=?3；當x=?1時，y=3．（1）求k，b的值；（2）當x取何值時，y的值為?4？【答案】（1）k=?2，b=1；（2）x=5【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法計算即可；（2）根據(jù)已知條件列出等式計算即可；【詳解】（1）由題意可得，2k+b=?3?k+b=3可得：k=?2b=1（2）由（1）得y=?2x+1，∵y的值為?4，∴?4=?2x+1，∴x=5【點睛】本題主要考查了二元一次方程組與一次函數(shù)的綜合，準確計算是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2022·浙江·蘭溪市實驗中學(xué)七年級階段練習(xí)）對于實數(shù)a、b，定義關(guān)于“?”的一種運算：a?b=2a+b，例如1?3=2×1+3=5．（1）求4??3（2）若x??y=?2，2y?x=?1【答案】（1）5；（2）x+y=?1【分析】(1)利用題目中的新定義進行計算即可；(2)根據(jù)新定義，對式子進行化簡后得到二元一次方程，求解該方程組即可.【詳解】解：（1）根據(jù)題中的新定義得：原式＝2×4+(?3)=8?3=5；故答案為：5.（2）根據(jù)題中的新定義化簡得：{2x?y=?2兩式相加得：3x+3y=?3，則x+y=?1．故答案為：?1.【點睛】本題借助新定義題型考查了二元一次方程組的解法，新定義題型就按照題目的意思來進行計算即可，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程的解法.【變式6-3】（2022·山東聊城·七年級期中）已知a、b都是有理數(shù)，觀察表中的運算，則m＝________．a(chǎn)、b的運算a＋ba－b（a＋2b）3運算的結(jié)果59m【答案】27【分析】先根據(jù)表格得出方程組a+b=5a?b=9，求出方程組的解，再代入m=(a+2b)3【詳解】解：根據(jù)題意得：a+b=5a?b=9解得a=7b=?2∴m=(a+2b)故答案為：27．【點睛】本題考查了解二元一次方程組和代數(shù)式求值，理解題意并列出二元一次方程組求出a、b的值是解此題的關(guān)鍵．【題型7二元一次方程組與二元一次方程的綜合求值】【例7】（2022·廣東揭陽·八年級期末）若關(guān)于x,y的二元一次方程組x+2y=5k+1x?y=2k?5的解滿足x+y=7,則k的值是（

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用加減法，先用含k的代數(shù)式表示出x+y，根據(jù)x+y=7，得到關(guān)于k的一元一次方程，求解即可．【詳解】解：x+2y=5k+1（1）×2+（2），得3x+3y=12k-3，∴x+y=4k-1，∴4k-1=7，解得k=2．故選：B．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解法，解決本題的關(guān)鍵是用含k的代數(shù)式表示出方程組中的x+y．【變式7-1】（2022·全國·七年級課時練習(xí)）關(guān)于x,y的方程組2x?3y=11?4mA．2 B．1 C．0 D．1【答案】A【分析】先解方程組用含m的代數(shù)式表示出x，y后，代入二元一次方程x＋3y＋7m＝20，可得到關(guān)于m的一元一次方程，求解即可．【詳解】解方程組2x?3y＝11?4m3x＋2y＝21?5m得把x，y代入二元一次方程x＋3y＋7m＝20得85?23m13＋3(18＋4m)解得m＝2，故選A.【點睛】本題考查的是二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.【變式7-2】（2022·湖南株洲·七年級期末）已知關(guān)于x、y的二元一次方程組2x+y=5m3x?2y=4m的解滿足二元一次方程x3-y=4，求【答案】-12【分析】先解方程組得x=2my=m，再將x=2my=m代入x3【詳解】解：2x+y=5m①3x?2y=4m②②+①×2得：7x=14m，解得：x=2m，把x=2m代入①得：4m+y=5m，解得：y=m，∴方程組的解為x=2my=m∵關(guān)于x、y的二元一次方程組2x+y=5m3x?2y=4m的解滿足二元一次方程x3-∴2m3-m解得：m=-12．【點睛】本題考查了含參的二元一次方程組的解，將參量當成已知數(shù)進行計算，表示出未知數(shù)，求出方程的解是解題關(guān)鍵.【變式7-3】（2022·四川·天府四中七年級期中）已知方程組x+ay=22x+3y=7的解是二元一次方程x?y=1的一個解，則a=【答案】0【分析】由題意建立關(guān)于x，y的新的方程組，求得x，y的值，再代入求解即可；【詳解】{x+ay=2由①×22x+2ay=4由②?(3?2a)y=3，y=3將y=33?2a代入2x=7?92x=12?14ax=6?7a方程組的解為{x=又∵方程組的解是x?y=1的一個解，∴6?7a3?7a3?2a3?7a=3?2a,a=0,經(jīng)檢驗，a=0是3?7a3?2a∴a=0．故答案為0．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的解，準確分析計算是解題的關(guān)鍵．【題型8根據(jù)兩個二元一次方程組解的情況求值】【例8】（2022·浙江·寧波市鎮(zhèn)海蛟川書院七年級期中）關(guān)于x、y的方程組3x?y=54ax+5by=?26與2x+3y=?4ax?by=8有相同的解，則【答案】43【分析】聯(lián)立方程組求出x，y，將x，y代入剩余方程求出a，b即可．【詳解】解：聯(lián)立得：3x?y=52x+3y=?4解得x=1y=?2把x=1y=?2代入剩余方程得：4a?10b=?26解得a=14∴a+b=43故答案為：439【點睛】本題考查解二元一次方程組，解題關(guān)鍵是熟知解二元一次方程組的步驟．【變式8-1】（2019·四川成都·中考模擬）數(shù)學(xué)學(xué)霸甲、乙兩人在一次解方程組比賽中，甲求關(guān)于x、y的方程組3x?y=6ax?by=2的正確解與乙求關(guān)于x、y的方程組3x+y=6bx?ay=20的正確的解相同．則【答案】2【分析】重新組合方程組，首先得到關(guān)于x，y的方程組，求得x，y的值后，得到關(guān)于a、b的方程組，解這個方程組得到a、b的值，最后求出a20018+（-110b）20018【詳解】由題意可得，這兩個方程組的解相同，則3x?y＝63x+y＝6解得：x＝2y＝0把x＝2y＝0代入bx?ay＝20ax?by＝2得：∴原式=120018+(?110×10)20018故答案為2【點睛】本題要求同學(xué)們熟悉二元一次方程組的解法，解題時要根據(jù)方程組的特點進行有針對性的計算．【變式8-2】（2022·福建省永春烏石中學(xué)七年級階段練習(xí)）已知方程組3x+y=5ax?2y=4的解也是方程組3x?by=54x?5y=?6的解求【答案】a=5,b=?1【分析】根據(jù)題意可知兩個方程組有相同的解，即說