貴州名校2022屆高三數(shù)學(xué)（文）上學(xué)期期末聯(lián)考試卷附答案解析

貴州名校2022屆高三數(shù)學(xué)（文）上學(xué)期期末聯(lián)考試卷

一、單選題

15+15i/、

1.―—―=()

2-i

A.9+9iB.15+15iC.3+9;D.5+15i

2.已知集合A={M(x—l)(x—4)v0},B=x\x>a},若人口3={?。?},則。的取值范圍是（）

A.[1,4)B.(1,4)C.[4,-K?)D.(4,+oo)

3.在等比數(shù)列上}中，44+%=8,%=2,則為=()

A.4B.8C.16D.32

4.某工廠為了檢驗(yàn)一條生產(chǎn)線生產(chǎn)的某種零件的質(zhì)量，從該生產(chǎn)線生產(chǎn)的這種零件中隨機(jī)抽取2000個(gè),

測(cè)量其長(zhǎng)度（單位:厘米），將所得數(shù)據(jù)分成位4）,4,6）,[6,8）,[8,10）,[10,12]五組,得到如圖所示

的頻率分布直方圖.已知零件長(zhǎng)度在[6,10）內(nèi)的是一等品，則該生產(chǎn)線生產(chǎn)的10000個(gè)零件中，估計(jì)一等

品的數(shù)量是（）

C.4250個(gè)D.6250個(gè)

5.函數(shù)/("=

A.B.1C.2D.5

6.青花瓷是中華陶瓷燒制工藝的珍品，也是中國(guó)瓷器的主流品種之一.已知某青花瓷花瓶的外形上下對(duì)

稱，可看成是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，如圖所示.若該花瓶的瓶口直

徑是8,瓶身最小的直徑是4,瓶高是6,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

222

D.----------1C.上上=1D.—~y2=l

43894-

7.已知某班英語(yǔ)興趣小組有3名男生和2名女生，從中任選2人參加該校組織的英語(yǔ)演講比賽，則恰有

1

1名女生被選到的概率是（)

8.窗戶，在建筑學(xué)上是指墻或屋頂上建造的洞口，常見的形狀有圓形、矩形、正六邊形、正八邊形等.如圖,

I■I■

正八邊形A8CDEFG”是某窗戶的平面圖，AB=2,點(diǎn)P是正八邊形ABCDEFG”的中心，則=

（）

A.2B.4C.2+20D.4+2及

9.已知等差數(shù)列｛叫滿足4+6+20=0,%—%-21=0,數(shù)列也｝滿足4=a,q“q+2,記數(shù)列也｝的

前〃項(xiàng)和為S.,則當(dāng)S“取得最小值時(shí)，”的值為（）

A.4B.5C.6D.7

10.已知函數(shù)/（x）=/sin2x-2cos",則下列結(jié)論正確的是（）

A.的周期為乃的奇函數(shù)B./（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)后J對(duì)稱

C.在上單調(diào)遞增D.“X）的值域是[-1,3]

11.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨(dú)特的幾何體，”等腰四面體”就是其中之一，它是三組對(duì)棱分別相等的

四面體.已知某等腰四面體的三組對(duì)棱長(zhǎng)分別是4,2石，2幣,則該等腰四面體的體積是（）

A.4百B.身！C.873D.

33

12.已知定義在（0,+8）上的函數(shù)“X）滿足/'（力-/區(qū)-3>0,且"1）=0,則不等式/?）-3疣工>0的

解集為（）

A.（0,1）B.（l,+oo）C.（0,+8）D.（e,+oo）

二、填空題

13.函數(shù)/（x）=F^T+ln（4-x）的定義域是

\2x-6

x+y-l>0,

14.若實(shí)數(shù)"了滿足約束條件卜-y-"0,則z=2x+3），的最大值為.

”1，

2

22

15.已知橢圓C:=+4=I(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是K，直線^=依依工0)與橢圓C交于4,B

a-b2

兩點(diǎn)，若=閨瑪|,且四邊形A"B8的面積為0?(c是橢圓C的半焦距)，則橢圓C的離心率是

16.在三棱錐P-MC中，底面是以A8為斜邊的等腰直角三角形，AB=4,PA=PB=PC=A，則三

棱錐尸-ABC外接球的表面積為.

三、解答題

17.在二ABC中，角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知2c—a=2Z?cosA.

⑴求角8的值；

⑵若a=8,點(diǎn)。是邊8c的中點(diǎn)，且A￡>=①i,求b.

18.某6人小組利用假期參加志愿者活動(dòng)，已知參加志愿者活動(dòng)次數(shù)為2、3、4的人數(shù)分別為1、3、2,

現(xiàn)從這6人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加表彰會(huì).

(1)求選出的2人參加志愿者活動(dòng)次數(shù)相同的概率；

(2)記選出的2人參加志愿者活動(dòng)次數(shù)之和為X,求X不小于6的概率.

19.在四棱錐P-A3C。中，底面ABCD是直角梯形，BC//AD,AD1AB,E,尸分別是棱AB,PC

的中點(diǎn).

(1)證明：/平面皿>；

(2)若CO=04B=&BC=2拒，且四棱錐P-A3CZ)的體積是6,求三棱錐F-R4D的體積.

20.已知函數(shù)〃x)=a(x-l)-(x+l)lnx.

⑴當(dāng)。=2時(shí)，求曲線y=f(x)在x=e處的切線方程；

(2)若關(guān)于x的不等式丑。<0在(1,位)上恒成立，求a的取值范圍.

X+1

3

21.已知拋物線。：爐=20，(。>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)尸。,2)在拋物線C上，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OPF是直角

三角形.

(1)求拋物線C的方程.

(2)若點(diǎn)P在第一象限，直線/與拋物線C交于異于點(diǎn)尸的AB兩點(diǎn)，以線段A8為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)P.直

線/是否過定點(diǎn)？若是，求出所過定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.

x=-3-----1,

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為2。為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的正

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為02cos20-4p2sin20-4=0.

(1)求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

⑵若直線/與曲線C交于尸，。兩點(diǎn)，點(diǎn)加(-3,0),求向+血的值.

23.已知函數(shù)/(x)=|2x+3|+|x-l].

⑴求不等式〃x)>6的解集；

(2)求直線y=6與函數(shù)/(x)的圖象圍成的封閉圖形的面積.

4

解析

1.c

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得答案.

【詳解】竽星=嚕胃魯D=(3+3i)(2+i)=3+9i.故選：c.

2—1IZ—1HZ4-1)

2.A

【分析】利用集合的并集運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可得4={目1<》<4}.因?yàn)锳u8={x|x>l},所以14a<4.故選：A

3.B

【分析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式基本量求出首項(xiàng)和公比，進(jìn)而求出答案.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列也}的公比為令，則廠""解得：《=!，d=2,故為=畫=[16=8.

%q—2,22

故選：B

4.個(gè)B.3750個(gè)C.4250個(gè)D.6250個(gè)

【答案】D

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖求出一等品的頻率，從而可估計(jì)一等品的數(shù)量

【詳解】由圖可知一等品的頻率是(0.18750+0.12500)x2=0.625,

則10000個(gè)零件中一等品的數(shù)量大約是10000x0.625=6250個(gè).故選：D

5.B

【分析】運(yùn)用代入法，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】由題意可得避-1)="1=2,則/(/(-1))=/(2)=1嗚4-1=1.故選：B

6.B

22

【分析】由已知得雙曲線的焦點(diǎn)在X軸上，設(shè)該雙曲線的方程為￡-親■=l(a>0,b>0),代入建立方程組,

求解即可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】解：由題意可知該雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為4,點(diǎn)(4,3)在該雙曲線上.設(shè)該雙曲線

22

的方程為]-,

ab

2。=4,22

則4232解得。=2,b=6,故該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是斗-1=1.故選：B.

%一*L43

7.B

【分析】根據(jù)列舉法先求出從這5名學(xué)生中任選2人的所有情況和恰有1名女生被選到的情況，進(jìn)而得出

結(jié)果.

5

【詳解】記這3名男生分別為“，h,c,這2名女生分別為D,E,

則從這5名學(xué)生中任選2人的情況有

ab,ac,aD,aE,be,hD,bE,cD,cE,DE,共10種，

其中恰有1名女生被選到的情況有a。，aE,bD,bE,cD,cE,共6種，則所求概率2=歷=不

故選：B.

8.A

【分析】通過作輔助線，先求出兩向量夾角的余弦值，再根據(jù)數(shù)量積的定義求得答案.

【詳解】如圖，過點(diǎn)尸作垂足為J,由題意可得J為線段43的中點(diǎn)，

AJAJ

則A/=1,從而cosZPAJ=-r=故.片戶=|麗,麗卜05/24/=|祠?]羽.=2x1=2,

AP

故選：A

9.C

【分析】先求得數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，再根據(jù)數(shù)列｛2｝的正負(fù)項(xiàng)求解.

【詳解】因?yàn)?+為+20=0,阻-%-21=0,所以卬=-16,公差[=3,所以％=3〃-19,

故在數(shù)列他｝中，4，b2,by,瓦,%均小于0,也｝中其余項(xiàng)均大于0.

又因?yàn)椤?8,=-10,所以當(dāng)S,,取得最小值時(shí)，”的值為6.故選：C.

10.C

【分析】由題可得，(x)=2sin(2x-/-l,然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即得.

【詳解】由題意可得/(x)=\^sin2x-cos2x-l=2sin(2x-2]-L

因?yàn)椤?x)=2sin[-2x-?)-l=-2sin(2x+V)-lx-〃x),所以/(x)不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

因?yàn)榭?2sin(2x2"_l=_l,所以“X)的圖象不關(guān)于點(diǎn)后1)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；

<2x-—<2k7C+y(A:GZ),解得左)一楙W%乃+?%wZ),當(dāng)％=1時(shí)，,則C

6

正確;

因?yàn)橐?《呵2%一!六1,所以一2S2sin(2x—(71Jw2,所以-3W2sin(2xq)-0,即〃力的值域是

6

[-3,1],故D錯(cuò)誤.故選：C.

11.B

【分析】將等腰四面體A3CO補(bǔ)成長(zhǎng)方體求解.

將等腰四面體AHCO補(bǔ)成長(zhǎng)方體,

J-2+/=4,

設(shè)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是。，b,c,則，+c?=2逐，解得a=2-73,b=2,c=4,

+。2=2幣,

則該等腰四面體的體積為：V=273X2X4--X-LX2^X2X4X4=-^.故選：B

323

12.C

【分析】設(shè)g(x)=?-31nx,求出導(dǎo)函數(shù)，由條件可得其在在(0,+8)上單調(diào)遞增，不等式

f(ev)-3xe'>0轉(zhuǎn)化為g(e，)>g⑴，由單調(diào)性可得答案.

【詳解】設(shè)g(x)=^-3Inx,則g<x)=>=礦(、)一?”)一3%

<xXXX

因?yàn)槭?同一9一3>o,x>0,所以礦(x)-〃x)-3x>0,

所以g'(x)>0,即g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增.

不等式/(e")—3xe*>0可轉(zhuǎn)化為歹)_31ne*>0，

又g(e、)=坐l—31ne'，且8⑴:半-31nl=0

即g(e')>g(l),所以e，>l,解得x>0.故選：C

13.(3,4)

7

【分析】由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，同時(shí)二次根式在分母，則其被開方數(shù)大于零，從而可求出定義域

f2x-6>0,

【詳解】由題意可得,八解得3Vx<4,即f（x）的定義域是（3,4）.故答案為：（3,4）

[4-x>0,

14.7

【分析】由約束條件畫出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，結(jié)合圖形，即可得到結(jié)論.

【詳解】解：畫出可行域如下圖所示陰影部分AABC,由廣二：一1=°得C（2,l）,

當(dāng)直線z=2x+3y經(jīng)過點(diǎn)C（2,l）時(shí)，z取得最大值，且最大值為z=2x+3y=2x2+3xl=7.

故答案為：7.

15.亞

3

【分析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱性、橢圓的離心率公式，結(jié)合橢圓的定義、矩形的定義和性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】由橢圓的對(duì)稱性可知四邊形的8鳥是平行四邊形.因?yàn)?忻用，所以平行四邊形人耳8片是矩

2

療+〃2=4c,

形，設(shè)恒用=m，|A閭=〃，貝ijm+n=2a,整理得4c?+2c?=4〃，所以解得”手.

2JJ

mn—c,

故答案為：&

3

169兀169

16.兀

99

【分析】取48的中點(diǎn)。可得由P￡P(guān)+CD2=PC2得PDLCD,根據(jù)線面垂直的判斷定理得

平面ABC,得三棱錐尸—ABC外接球的球心。在線段上，由店=（叨一。。）2+人。2可得

答案.

【詳解】如圖，取A8的中點(diǎn)￡）,連接CD.由題意可得4）=8/）=8=2,

因?yàn)?4=尸3,所以PDJLAB,

因?yàn)?4=屈，所以尸。=3,所以巴爐+?！辏?=小2,所以NPOC=90。，

即P￡>_LCD.因?yàn)锳8nS=。，所以PZ），平面ABC,

設(shè)三棱錐尸-ABC外接球的球心為。，

8

由題意易得三棱錐P-45C外接球的球心。在線段上，如下圖

則三棱錐P-A3C外接球的半徑R滿足a={PD-OD^=OD1+AD-,

解得00=3,所以R=3-j=?,用=萼；

66636

若三棱錐P-ABC外接球的球心0在線段PO的延長(zhǎng)線上，如下圖，

則三棱錐P-ABC外接球的半徑R滿足中=(p。+on)?=0D，+AD，,

(3+OZ))2=OD2+22,無(wú)解；

所以，三棱錐尸-ABC外接球的表面積￡=4兀代=等.故答案為：等.

兀

17.⑴§(2)7

【分析】(1)利用正弦定理邊化角，再利用三角恒等變換即可求出；

(2)分別在和口ABC中使用余弦定理即可求解.

【詳解】(1)口2c-a=2/?cosA,2sinC-sinA=2sin^cosA,

又Z]sinC=sin[兀一(A+8)]=sin(A+8),□2sin(A+B)-sinA=2sinBcosA,

□2sinAcosB-sin>4=0,

sinAxO,cos8=；,又□0<3<兀，B=g.

ZJ

17r

(2)在△ABO中，BD=-a=4,AD=y/2\,s=~,

9

由余弦定理得AD1=BD2+AB--2BD.ABcosB,

整理得C2-4C-5=0,解得C=5(c=-l舍去)

在DABC中，由余弦定理得層=/+(?-%ccosB,即。2=64+25-40=49,解得力=7.

44

18.(1)-;(2)y.

【分析】(1)按活動(dòng)次數(shù)不同，將6人分別編號(hào)，列舉出所有可能的基本事件，根據(jù)古典概型概率計(jì)算

即可；

(2)求出X小于6的概率，再用1減去該概率即可.

【詳解】(1)記參加了2次志愿者活動(dòng)的人為m參加了3次志愿者活動(dòng)的人為仿、&、瓦,參加了4次志

愿者活動(dòng)的人為C1、C2.

從這6人中隨機(jī)選出2人.共有。仇、a%、ab3＞aq、吟，、b仇、她、如、bj、b2b3＞仇q、b2c?、如、

b3c2、的2這15種選法；

其中這2人參加志愿者活動(dòng)次數(shù)相同的有仇打、“仇、為&、eg這4種選法.

4

故選出的2人參加志愿者活動(dòng)次數(shù)相同的概率為百.

34

(2)由⑴可知，X小于6有地、a瓦、這3種選法，故X不小于6的概率1-百=手

19.⑴證明見解析.⑵2.

【分析】(1)取C。的中點(diǎn)G,連接EG,FG.運(yùn)用面面平行的判定和性質(zhì)可得證；

(2)過點(diǎn)C作CH，相＞,垂足為H,連接即，PE,設(shè)點(diǎn)尸到平面A6CO的距離為〃，根據(jù)棱錐的體積

求得/?，再利用三棱錐E-2。的體積與三棱錐P-4犯的體積相等，三棱錐尸-皿＞的體積與三棱錐

E-%￡＞的體積相等，可求得答案.

【詳解】(1)證明：如圖，取C。的中點(diǎn)G,連接EG,FG.

因?yàn)槭?，G分別是棱PC,C￡＞的中點(diǎn)，所以尸G〃P￡),又fGo平面PAD,PDu平面2￡),所以FG〃

平面PAO.

因?yàn)?C〃A￡＞,且E,G分別是棱A8,8的中點(diǎn)，所以EG〃/1",又EGa平面尸A￡＞,AOu平面B4￡),

所以EG〃平面PAO.

因?yàn)镋G,尸Gu平面EFG,且￡GnbG=G,所以平面￡P(guān)G〃平面皿＞.

因?yàn)镋Fu平面EFG,所以EFH平面PAD.

(2)解：過點(diǎn)C作垂足為〃，連接EO,PE,

則四邊形A8C4是正方形，從而C"=A"=AB=2.

因?yàn)镃D=7148，所以則。"=CH=2,

從而直角梯形A3。的面積S=C手心=6.

設(shè)點(diǎn)尸到平面A6C。的距離為萬(wàn)，則四棱錐的體積V=gs/z=gx6/7=6,解得力=3.

10

因?yàn)槿忮FE-R4Z>的體積與三棱錐的體積相等，

所以三棱錐E—的體積X=gxgx4xlx3=2.

因?yàn)镋/〃平面PAD,所以三棱錐F-總的體積與三棱錐￡-皿)的體積相等,

所以三棱錐尸-弘￡>的體積為2.

20.(l)y=--x+e-2(sJcx+e^-e2+2e=0).(2)(-00.2].

【分析】(1)求導(dǎo)函數(shù)，并計(jì)算了'(e),/(e),由直線的點(diǎn)斜式方程可求得答案；

(2)設(shè)g(x)=&l=32D—inx,求導(dǎo)函數(shù)，分。<2,。>2討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得出所令函數(shù)的單

v7X+lX+1

調(diào)性和最值，從而求得。的取值范圍.

【詳解】(1)解：當(dāng)。=2時(shí)，/(x)=2(x-l)-(x+l)lnx,貝ljr(x)=-：-lnx+l.

從而/'(e)=-L-l+l=-L因?yàn)椤╡)=2(e—1)—(e+l)=e—3,

ee

所以所求切線方程為y-(e-3)=」(x-e),即y=」x+e-2(或x+ey-e?+2e=0).

ee

(2)解：設(shè)g(x)=9=^211_lnx,

x+1x+1

,/\6Z(X+1)-6Z(X-1)1x~+2(1—Q)X+1

則"乙，Xx(x+l)2

當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?gt;1,所以r+2(1—a)x+12x~—2x+1=(x—1)~>0,g'(x)<。，

所以江力在。,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞減，則g(x)〈g⑴=o,符合題意.

當(dāng)a>2時(shí)，設(shè)/Z(X)=%2+2(1—a)x+l,//(1)=4—2。<0,〃(2a)=4a+l>0,

所以存在唯一的與?1,為)，使得〃(不)=0,即存在/?L2a),使得/小)=0.

當(dāng)X￡(1,X°)時(shí)，g[X)>(),則g(x)在(1田)上單調(diào)遞增,

當(dāng)了￡(%,+00)時(shí)，g'(x)v0,則g(x)在(天,長(zhǎng)0)上單調(diào)遞減，故g(x())>g(l)=o,不符合題.

11

綜上，。的取值范圍為（e,2].

21.⑴x-8y；⑵過定點(diǎn)（T10）.

【分析】（1）當(dāng)NOP/為直角時(shí).，由心]欠所=-1和尸在拋物線上可構(gòu)造方程組求得P<0,不合題意；

當(dāng)NOFP為直角時(shí)，由弓=2可求得P,從而得到拋物線方程；

（2）設(shè)/:丫=履+，〃，與拋物線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式；由⑸.方=0,根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)

算，代入韋達(dá)定理的形式進(jìn)行整理化簡(jiǎn)可得〃?=必+10或膽=7女+2,代回直線驗(yàn)證即可得到所求定點(diǎn)坐

標(biāo).

【詳解】（1）由題意知：/POP不是直角.

□當(dāng)NOPE為直角時(shí)，3?%=一1，則22]，即r=”4.

???點(diǎn)P（f,2）在拋物線C上，.?./=4p,:Ap=p-^,解得：p=-^<0,

與。>0矛盾，不符合題意：

□當(dāng)NOFP為直角時(shí)，3=2,解得：。=4,符合題意..??拋物線C的方程為：x2=8y.

⑵設(shè)直線/：>=6+能，A（x，x）,S（x2,y2）,

（y=kx+m,1

聯(lián),整理得：x2-8kx-Sm=0,P>ijA=64A:2+32/n>0.即

[x2=8oj2

貝l]%+w=8Z,%毛=一8m.

由（1）可知：P（4,2）,則麗=（西一4,乂一2）,PB=（x2-4,y2-2）.

???以線段A8為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)尸，，R4_LP3,即麗?麗=0，

則（5-4）（%-4）+（-2）（J2-2）=0,

2M

即（公+1卜/+（h〃-2Z-4）（X1+x2）+m-4/+20=0.

將士+x2=8k,玉毛=-8，”代入得：（X+1）（-8"?）+（卜”一2女一4卜8%+/?2—4〃?+20=0,

整理得：16k2+32k=m2-I2m+2O,即16（A+lf=（加-6/，解得：機(jī)=4女+10或m=-4k+2.

當(dāng)m=4k+10時(shí)，直線/:y=%（x+4）+10,過定點(diǎn)（T,10）,

經(jīng)驗(yàn)證此時(shí)A>0,符合題意；

當(dāng)加=~4%+2時(shí)，直線/:y=Z（x-4）+2,此時(shí)點(diǎn)尸在直線/上，則點(diǎn)尸與點(diǎn)A或點(diǎn)3重合，與A8異于點(diǎn)

「矛盾，不符合題意.綜上所述：直線/過定點(diǎn)（T，10）.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線綜合應(yīng)用中的直線過定點(diǎn)問題的求解，求解此類問題的基本思

路如下：

□假設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于x