2024版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第6章平面向量復(fù)數(shù)第1節(jié)平面向量的概念與線性運(yùn)算學(xué)案含解析新人教B版202305182174

2024版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第6章平面向量復(fù)數(shù)第1節(jié)平面向量的概念與線性運(yùn)算學(xué)案含解析新人教B版202305182174第6章平面向量、復(fù)數(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)命題解讀1．理解平面向量的意義和兩個(gè)向量相等的含義，理解平面向量的幾何表示和基本要素．2．掌握平面向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義．3．理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積．4．理解平面向量基本定理及其意義，掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示．5．能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積及共線、垂直的條件，會(huì)求兩個(gè)平面向量的夾角．6．會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題以及其他實(shí)際問(wèn)題．7．了解數(shù)系的擴(kuò)充，理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義．8．掌握復(fù)數(shù)的表示、運(yùn)算及其幾何意義，掌握復(fù)數(shù)代數(shù)表示的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義.考查形式：一般兩個(gè)選擇題或一個(gè)選擇題、一個(gè)填空題．考查內(nèi)容：向量的線性運(yùn)算及其幾何意義；向量加、減、數(shù)乘及向量共線的坐標(biāo)表示；兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算、夾角公式、垂直問(wèn)題．復(fù)數(shù)的定義、幾何意義、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)相等及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算．備考策略：(1)熟練應(yīng)用三角形、平行四邊形法則，進(jìn)行向量的線性運(yùn)算，熟練掌握向量的數(shù)量積運(yùn)算，能解決向量的模、夾角、垂直問(wèn)題．(2)熟練掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)數(shù)的模及其幾何意義．核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.第1節(jié)平面向量的概念與線性運(yùn)算一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小稱為向量的模(或長(zhǎng)度)向量由方向和長(zhǎng)度確定，不受位置影響零向量始點(diǎn)和終點(diǎn)相同的向量其方向是任意的，記作0單位向量模等于1的向量非零向量a的單位向量為±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的兩個(gè)非零向量0與任一向量平行(或共線)相等向量大小相等、方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿幌嗟?，不能比較大小相反向量方向相反、大小相等的向量0的相反向量為0(1)要注意0與0的區(qū)別，0是一個(gè)實(shí)數(shù)，0是一個(gè)向量，且|0|＝0.(2)單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)，它們的大小相等，但方向不一定相同．(3)任一組平行向量都可以平移到同一直線上，因此平行向量也叫做共線向量．(4)與非零向量a平行的單位向量有兩個(gè)，即向量eq\f(a,|a|)和－eq\f(a,|a|).2．平面向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)平行四邊形法則減法向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a－b＝a＋(－b)．求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法三角形法則數(shù)乘實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb(1)一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up6(→))＝eq\o(A1An,\s\up6(→)).特別地，一個(gè)封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．(2)若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．(3)作兩個(gè)向量的差時(shí)，首先將兩向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn)，要注意差向量的方向是由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)．3．共線向量基本定理如果a≠0且b∥a，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.(1)在向量共線的充要條件中易忽視“a≠0”．若忽視“a≠0”，則λ可能不存在，也可能有無(wú)數(shù)個(gè)．(2)三點(diǎn)共線的等價(jià)關(guān)系：A，P，B三點(diǎn)共線?eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ≠0)?eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))(O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點(diǎn)，t∈R)?eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點(diǎn)，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．二、基本技能·思想·活動(dòng)體驗(yàn)1．判斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．(1)向量不能比較大小，但向量的模可以比較大?。?√)(2)|a|與|b|是否相等與a，b的方向無(wú)關(guān)．(√)(3)若a∥b，b∥c，則a∥c.(×)(4)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上．(×)(5)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線時(shí)，一定有b＝λa，反之成立．(√)(6)若兩個(gè)向量共線，則其方向必定相同或相反．(×)2．如圖，設(shè)P，Q兩點(diǎn)把線段AB三等分，則下列向量表達(dá)式錯(cuò)誤的是()A.eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)) B.eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))C.eq\o(BP,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→)) D.eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(BP,\s\up6(→))D解析：由數(shù)乘向量的定義可以得到A，B，C都是正確的，只有D錯(cuò)誤．3．(2021·山東省師大附中模擬)設(shè)a，b是非零向量，則“a＝2b”是“eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)”成立的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件B解析：由a＝2b可知，a，b方向相同，則eq\f(a,|a|)和eq\f(b,|b|)分別表示a，b方向上的單位向量，所以eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立；反之不成立．故選B.4．設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝________.eq\f(1,2)解析：因?yàn)橄蛄縜，b不平行，所以a＋2b≠0.又向量λa＋b與a＋2b平行，則存在唯一的實(shí)數(shù)μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝μ，,1＝2μ，))解得λ＝μ＝eq\f(1,2).5．在?ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))，M為BC的中點(diǎn)，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝________(用a，b表示)．－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b解析：由eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))，得eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(a＋b)．又eq\o(AM,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(a＋b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.考點(diǎn)1向量的相關(guān)概念——基礎(chǔ)性1．下面說(shuō)法正確的是()A．平面內(nèi)的單位向量是唯一的B．所有單位向量的終點(diǎn)的集合為一個(gè)單位圓C．所有的單位向量都是共線的D．所有單位向量的模相等D解析：因?yàn)槠矫鎯?nèi)的單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)單位向量的起點(diǎn)不同時(shí)，其終點(diǎn)就不一定在同一個(gè)圓上，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)兩個(gè)單位向量的方向既不相同也不相反時(shí)，這兩個(gè)向量就不共線，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)閱挝幌蛄康哪６嫉扔?，所以選項(xiàng)D正確．2．下列說(shuō)法正確的是()A．若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線上B．兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量C．長(zhǎng)度相等的向量叫做相等向量D．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)必相同D解析：若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則AB∥CD或點(diǎn)A，B，C，D在同一條直線上，故A錯(cuò)誤；共線向量是指方向相同或相反的向量，兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量，其方向可能既不相同也不相反，故B錯(cuò)誤；長(zhǎng)度相等的向量不一定是相等向量，還需要方向相同，故C錯(cuò)誤；相等向量是大小相等、方向相同的向量，故兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同，故D正確．3．判斷下列四個(gè)命題：①若a∥b，則a＝b；②若|a|＝|b|，則a＝b；③若|a|＝|b|，則a∥b；④若a＝b，則|a|＝|b|.其中正確的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4A解析：只有④正確．4．給出下列命題：①零向量是唯一沒(méi)有方向的向量；②零向量的長(zhǎng)度等于0；③若a，b都為非零向量，則使eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0成立的條件是a與b反向共線．其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3B解析：①錯(cuò)誤，零向量是有方向的，其方向是任意的；②正確，由零向量的定義可知，零向量的長(zhǎng)度為0；③正確，因?yàn)閑q\f(a,|a|)與eq\f(b,|b|)都是單位向量，所以只有當(dāng)eq\f(a,|a|)與eq\f(b,|b|)是相反向量，即a與b反向共線時(shí)等式才成立．向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(diǎn)(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長(zhǎng)度．(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長(zhǎng)度沒(méi)有限制．(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長(zhǎng)度相等．(4)單位向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度都是一個(gè)單位長(zhǎng)度．(5)零向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度為0，規(guī)定零向量與任何向量共線．考點(diǎn)2平面向量的線性運(yùn)算——應(yīng)用性在等腰梯形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(CD,\s\up6(→))，M為BC的中點(diǎn)，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))B解析：因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→)).又M是BC的中點(diǎn)，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)).1．本例條件不變，用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))表示eq\o(DM,\s\up6(→)).解：eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)).2．本例中，若eq\o(CM,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))，其他條件不變，用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))表示eq\o(AM,\s\up6(→)).解：eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).1．平面向量的線性運(yùn)算技巧(1)不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解．(2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來(lái)求解．2．三種運(yùn)算法則的關(guān)注點(diǎn)(1)加法的三角形法則要求“首尾相接”，平行四邊形法則要求“起點(diǎn)相同”．(2)減法的三角形法則要求“起點(diǎn)相同”且差向量指向被減向量．(3)數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果仍是一個(gè)向量，運(yùn)算過(guò)程可類比實(shí)數(shù)運(yùn)算．如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))表示eq\o(AF,\s\up6(→)).解：根據(jù)題意得，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→)).又eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)).考點(diǎn)3平面向量線性運(yùn)算的綜合應(yīng)用——綜合性考向1根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)的值或范圍(1)(2020·朔州模擬)在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝0.若eq\o(BE,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，則()A．y＝3x B．x＝3yC．y＝－3x D．x＝－3yD解析：因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，所以點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．又因?yàn)閑q\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝0，所以點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，因此x＝－eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)，所以x＝－3y.(2)(2020·懷化模擬)在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)．若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，則x的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))D解析：設(shè)eq\o(CO,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(BC,\s\up6(→))，因?yàn)閑q\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，所以y∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋y(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－yeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1＋y)eq\o(AC,\s\up6(→)).因?yàn)閑q\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以x＝－y，所以x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0)).根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)問(wèn)題可以通過(guò)研究向量間的關(guān)系，通過(guò)向量的運(yùn)算將向量表示出來(lái)，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值或范圍．考向2共線向量定理(2020·鄭州模擬)設(shè)e1與e2是兩個(gè)不共線向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝ke1＋e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3e1－2ke2.若A，B，D三點(diǎn)共線，則k的值為_(kāi)_______．－eq\f(9,4)解析：因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線，所以必存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→)).又eq\o(AB,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝ke1＋e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3e1－2ke2，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2.又e1與e2不共線，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝λ3－k，,2＝－λ2k＋1，))解得k＝－eq\f(9,4).1．證明向量共線的方法應(yīng)用向量共線定理．對(duì)于向量a，b(b≠0)，若存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb，則a與b共線．2．證明A，B，C三點(diǎn)共線的方法若存在實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，則A，B，C三點(diǎn)共線．3．解決含參數(shù)的共線問(wèn)題的方法經(jīng)常用到平面幾何的性質(zhì)，構(gòu)造含有參數(shù)的方程或方程組，解方程或方程組得到參數(shù)值．1．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，則下列一定共線的三點(diǎn)是()A．A，B，C B．A，B，DC．B，C，D D．A，C，DB解析：因?yàn)閑q\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3eq\o(AB,\s\up6(→))，且eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))有公共點(diǎn)A，所以A，B，D三點(diǎn)共線．2．(2020·無(wú)錫模擬)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，BC＝2，點(diǎn)E在線段CD上．若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))，則μ的取值范圍是________．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析：由已知可得AD＝1，CD＝eq\r(3)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→)).因?yàn)辄c(diǎn)E在線段CD上，所以，設(shè)eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(DC,\s\up6(→))(0≤λ≤1)．因?yàn)閑q\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))，又eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋2μeq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2μ,λ)eq\o(DE,\s\up6(→))，所以eq\f(2μ,λ)＝1，即μ＝eq\f(λ,2).因?yàn)?≤λ≤1，所以0≤μ≤eq\f(1,2).3．如圖，在△ABC中，D為邊BC上靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接AD,E為線段AD的中點(diǎn)．若eq\o(CE,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))，則m＝________，n＝________.eq\f(1,3)－eq\f(5,6)解析：eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(CB,\s\up6(→))－\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)))eq\o(AC,\s\up6(→)).又eq\o(CE,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))，所以m＝eq\f(1,3)，n＝－eq\f(5,6).在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F.若eq\o(AC,\s\up6(→))＝a，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AF,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b B.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b D.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b[四字程序]讀想算思用基底表示eq\o(AF,\s\up6(→))1.三角形法則，平行四邊形法則；2．以誰(shuí)為基底？選擇不同的三角形，利用三角形法則轉(zhuǎn)化與化歸O是平行四邊形ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，E是OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于F1.eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\o(GF,\s\up6(→))，如何表示eq\o(AF,\s\up6(→))？2.eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))，如何表示eq\o(CF,\s\up6(→))？3.eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))，如何表示eq\o(DF,\s\up6(→))？4．利用方程組思想與向量相等解決1.在△AGF中表示；2．在△ACF中表示；3．在△ADF中表示；4．直接設(shè)eq\o(AF,\s\up6(→))＝xeq\o(AC,\s\up6(→))＋yeq\o(BD,\s\up6(→))，利用向量相等求系數(shù)1.向量的線性運(yùn)算法則；2．向量相等的條件；3．平行線的性質(zhì)思路參考：利用eq\o(AG,\s\up6(→))，eq\o(GF,\s\up6(→))表示eq\o(AF,\s\up6(→)).B解析：因?yàn)橛深}意可知△DEF∽△BEA，所以eq\f(DE,EB)＝eq\f(DF,AB)＝eq\f(1,3).再由AB＝CD可得eq\f(DF,DC)＝eq\f(1,3)，所以eq\f(DF,FC)＝eq\f(1,2).作FG平行BD交AC于點(diǎn)G，所以eq\f(FG,DO)＝eq\f(CG,CO)＝eq\f(2,3)，所以eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)b.因?yàn)閑q\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.思路參考：利用eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))表示eq\o(AF,\s\up6(→)).B解析：如圖，作OG∥FE交DC于點(diǎn)G.由DE＝EO，得DF＝FG.又由AO＝OC，得FG＝GC，于是eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(b－a)＝eq\f(1,3)b－eq\f(1,3)a.所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.思路參考：利用eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))表示eq\o(AF,\s\up6(→)).B解析：如圖，作OG∥FE交DC于點(diǎn)G.由DE＝EO，得DF＝FG.又由AO＝OC，得FG＝GC，于是eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)b＋\f(1,2)a))，那么eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b))＋eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)b＋\f(1,2)a))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.思路參考：利用eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))表示eq\o(AF,\s\up6(→)).B解析：如圖，作OG∥FE交DC于點(diǎn)G.由DE＝EO，得DF＝FG.又由AO＝OC，得FG＝GC，故eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).設(shè)eq\o(AF,\s\up6(→))＝xeq\o(AC,\s\up6(→))＋yeq\o(BD,\s\up6(→)).因?yàn)閑q\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝(x＋y)eq\o(AD,\s\up6(→))＋(x－y)eq\o(AB,\s\up6(→))，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝\f(1,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,3)，,y＝\f(1,3)，))所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.1．本題考查利用已知向量作基底表示向量問(wèn)題，解法靈活多變，基本解題策略是借助于三角形法則，逐步對(duì)向量進(jìn)行變形，直至用所給基底表達(dá)出來(lái)；或選用不同基底分別表示，再利用向量相等解決．2．基于課程標(biāo)準(zhǔn)，解答本題一般需要學(xué)生熟練掌握讀圖識(shí)圖能力、運(yùn)算求解能力、推理能力，體現(xiàn)了直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．3．本題考查向量的線性運(yùn)算問(wèn)題，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性．同時(shí)，解題的過(guò)程需要知識(shí)之間的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了綜合性．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別與AB，AC所在直線交于不同的兩點(diǎn)M，N.若eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，則m＋n的值為()A．1 B．2C．3 D．4B解析：(方法一)連接AO，如圖．因?yàn)镺為BC的中點(diǎn)，所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(m,2)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(n,2)eq\o(AN,\s\up6(→)).因?yàn)镸，O，N三點(diǎn)共線，所以eq\f(m,2)＋eq\f(n,2)＝1，所以m＋n＝2.(方法二)連接AO(圖略)．由于O為BC的中點(diǎn)，故eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，eq\o(MO,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))－eq\f(1,m)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,m)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，同理，eq\o(NO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,n)))eq\o(AC,\s\up6(→)).由于向量eq\o(MO,\s\up6(→))，eq\o(NO,\s\up6(→))共線，故存在實(shí)數(shù)λ使得eq\o(MO,\s\up6(→))＝λeq\o(NO,\s\up6(→))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,m)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,n)))\o(AC,\s\up6(→)))).由于eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))不共線，故得eq\f(1,2)－eq\f(1,m)＝eq\f(1,2)λ，且eq\f(1,2)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,n)))，消掉λ，得(m－2)(n－2)＝mn，化簡(jiǎn)即得m＋n＝2.第2節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．平面向量基本定理(1)定理：如果平面內(nèi)的兩個(gè)向量a與b不共線，則對(duì)該平面內(nèi)任意一個(gè)向量c，存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，使得c＝xa＋yb.(2)基底：平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量a與b組成的集合{a，b}常稱為該平面上向量的一組基底．理解基底應(yīng)注意以下三點(diǎn)(1)基底a，b必須是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，零向量不能作為基底．(2)基底給定，同一向量的分解形式唯一．(3)對(duì)于一組基底a，b，若c＝λ1a＋λ2b＝μ1a＋μ2b，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝μ1，,λ2＝μ2.))2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法①一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)；②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(1)向量坐標(biāo)表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，其中坐標(biāo)運(yùn)算法則是運(yùn)算的關(guān)鍵．(2)要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)，盡管在形式上它們類似，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向的信息，也有大小的信息．3．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b?x2y1＝x1y2.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0.4．常用結(jié)論(1)若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.(2)已知P為線段AB的中點(diǎn)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).(3)已知△ABC的頂點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).二、基本技能·思想·活動(dòng)體驗(yàn)1．判斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底．(×)(2)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)(3)平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可被這組基底唯一表示．(√)(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).(×)(5)當(dāng)向量的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)．(√)2．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，則eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝()A．(－2，－1) B．(－2,1)C．(－1,0) D．(－1,2)D解析：因?yàn)閍＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝eq\f(1,2)(1,1)－eq\f(3,2)(1，－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3,2)))＝(－1，2)．3．已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個(gè)向量a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面內(nèi)的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ為實(shí)數(shù))，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(－∞，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)D解析：由題意可知a與b不共線，即3m－2≠2m，所以m≠2.故選D.4．設(shè)0＜θ＜eq\f(π,2)，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，則tanθ＝________.eq\f(1,2)解析：因?yàn)閍∥b，所以sin2θ×1－cos2θ＝0，所以2sinθcosθ－cos2θ＝0.因?yàn)?＜θ＜eq\f(π,2)，所以cosθ＞0，所以2sinθ＝cosθ，所以tanθ＝eq\f(1,2).5．在?ABCD中，AC為一條對(duì)角線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,3)，則向量eq\o(BD,\s\up6(→))的坐標(biāo)為_(kāi)_______．(－3，－5)解析：因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1)，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－5)．考點(diǎn)1平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算——基礎(chǔ)性1．(2019·全國(guó)卷Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，則|a－b|＝()A．eq\r(2) B．2C．5eq\r(2) D．50A解析：由向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，可得a－b＝(－1,1)，所以|a－b|＝eq\r(－12＋12)＝eq\r(2).2．(2020·榆社中學(xué)診斷)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＝(2,0)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(1,1)，則eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))等于()A．(3,1) B．(4,2)C．(5,3) D．(4,3)B解析：eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝(3,1)，又eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,1)，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝(1,1)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝(4,2)．3．設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形，則向量c＝________.(4，－6)解析：由題意知4a＝(4，－12)，3b－2a＝(－6,12)－(2，－6)＝(－8,18)，由4a＋(3b－2a)＋c＝0，知c＝(4，－6)．4．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，且A(1,1)，C(2,3)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AC,\s\up6(→))|，則向量eq\o(OB,\s\up6(→))的坐標(biāo)是________．(4,7)解析：因?yàn)辄c(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，且|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AC,\s\up6(→))|，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2eq\o(AC,\s\up6(→)).設(shè)點(diǎn)B為(x，y)，則(2－x,3－y)＝－2(1,2)．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x＝－2，,3－y＝－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝7.))所以向量eq\o(OB,\s\up6(→))的坐標(biāo)是(4,7)．平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．(2)解題過(guò)程中，常利用“向量相等，則坐標(biāo)相同”這一結(jié)論，由此可列方程(組)進(jìn)行求解．考點(diǎn)2平面向量共線的坐標(biāo)表示——應(yīng)用性(2020·福州質(zhì)檢)設(shè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－b,0)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，a＞0，b＞0.若A，B，C三點(diǎn)共線，則ab的最大值為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,8) D.eq\f(1,9)C解析：因?yàn)閑q\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－b,0)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(a－1,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－b－1,2)．因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，即(a－1,1)＝λ(－b－1,2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＝λ－b－1，,1＝2λ，))可得2a＋b＝1.因?yàn)閍＞0，b＞0，所以1＝2a＋b≥2eq\r(2ab)，所以ab≤eq\f(1,8).當(dāng)且僅當(dāng)2a＝b＝eq\f(1,2)時(shí)取等號(hào)．因此ab的最大值為eq\f(1,8).1．本例若把條件“eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－b,0)”改為“eq\o(OC,\s\up6(→))＝(2,1)”，其他條件不變，求a的值．解：因?yàn)閑q\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(2,1)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(a－1,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,3)．因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，即(a－1,1)＝λ(1,3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＝λ，,1＝3λ，))可得a＝eq\f(4,3).2．本例條件“向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)”不變，若向量c＝(2，a)與向量eq\o(AB,\s\up6(→))方向相反，求|c|.解：因?yàn)閑q\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)．所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(a－1,1)．因?yàn)橄蛄縞＝(2，a)與向量eq\o(AB,\s\up6(→))方向相反，所以a(a－1)－1×2＝0，即a2－a－2＝0，所以a＝－1或a＝2(舍去)，所以|c|＝eq\r(22＋－12)＝eq\r(5).平面向量共線的坐標(biāo)表示問(wèn)題的解題策略(1)如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”．(2)在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，AC與OB的交點(diǎn)為P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè)eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＝(4λ，4λ)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4λ－4,4λ)．又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2,6)，由eq\o(AP,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝eq\f(3,4)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3,3)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)．考點(diǎn)3平面向量基本定理的應(yīng)用——綜合性考向1用已知基底表示向量(2020·鄭州模擬)如圖，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E為BC邊上一點(diǎn)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，則eq\o(BF,\s\up6(→))＝()A．eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) B．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))C．－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) D．－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))C解析：如圖，取AB中點(diǎn)G，連接DG，CG，易知四邊形DCBG為平行四邊形，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(GD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).所以eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AD,\s\up6(→))))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).用已知基底表示向量的關(guān)注點(diǎn)(1)理論依據(jù)：平面向量基本定理．(2)實(shí)質(zhì)：利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．考向2解析法(坐標(biāo)法)在向量中的應(yīng)用已知|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且eq\o(OC,\s\up6(→))與eq\o(OA,\s\up6(→))的夾角為30°，設(shè)eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，則eq\f(m,n)的值為()A．2 B．eq\f(5,2)C．3 D．4C解析：因?yàn)閑q\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，以O(shè)A為x軸，OB為y軸建立直角坐標(biāo)系，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))＝(m，eq\r(3)n)．因?yàn)閠an30°＝eq\f(\r(3)n,m)＝eq\f(\r(3),3)，所以m＝3n，即eq\f(m,n)＝3.應(yīng)用平面向量基本定理解題的兩種思路(1)基向量法．(2)坐標(biāo)法．能用坐標(biāo)法的問(wèn)題，一般不用基向量法．考向3利用平面向量基本定理求參數(shù)的值(或范圍)在△ABC中，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，Q是BC的中點(diǎn)，AQ與CP的交點(diǎn)為M，又eq\o(CM,\s\up6(→))＝te