2024版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章平面解析幾何第4節(jié)直線與圓圓與圓的位置關(guān)系學(xué)案含解析新人教B版202305182192

2024版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章平面解析幾何第4節(jié)直線與圓圓與圓的位置關(guān)系學(xué)案含解析新人教B版202305182192第4節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．直線與圓的位置關(guān)系的判斷(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關(guān)系進(jìn)行判斷．d<r?相交；d＝r?相切；d>r?相離．(2)代數(shù)法：聯(lián)立直線與圓的方程，求聯(lián)立后所得方程的判別式Δ，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0?相交，,Δ＝0?相切，,Δ<0?相離.))直線與圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方法的結(jié)合，代數(shù)法與幾何法是不同的方面和思路，解題時(shí)要根據(jù)題目特點(diǎn)靈活選擇．2．圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0)．方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況相離d>r1＋r2無解外切d＝r1＋r2一組實(shí)數(shù)解相交|r1－r2|<d<r1＋r2兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一組實(shí)數(shù)解內(nèi)含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)無解(1)用代數(shù)法判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)，要準(zhǔn)確區(qū)分兩圓內(nèi)切、外切或相離、內(nèi)含．(2)兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)：①內(nèi)含：0條．②內(nèi)切：1條．③相交：2條．④外切：3條．⑤外離：4條．3．常用結(jié)論(1)當(dāng)兩圓相交(切)時(shí)，兩圓方程(x2，y2項(xiàng)的系數(shù)相同)相減便可得公共弦(公切線)所在的直線方程．(2)圓的切線方程常用結(jié)論過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.二、基本技能·思想·活動(dòng)體驗(yàn)1．判斷下列說法的正誤，對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．(1)“k＝1”是“直線x－y＋k＝0與圓x2＋y2＝1相交”的必要不充分條件．(×)(2)如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切．(×)(3)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交．(×)(4)從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程．(×)(5)如果直線與圓組成的方程組有解，則直線與圓相交或相切．(√)2．已知直線y＝mx與圓x2＋y2－4x＋2＝0相切，則m的值為()A．±eq\r(3) B．±eq\f(\r(3),3)C．±eq\f(\r(3),2) D．±1D解析：由x2＋y2－4x＋2＝0得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋y2＝2，所以該圓的圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑r＝eq\r(2).又直線y＝mx與圓x2＋y2－4x＋2＝0相切，則圓心到直線的距離d＝eq\f(|2m|,\r(m2＋1))＝eq\r(2)，解得m＝±1.3．若過點(diǎn)A(3,0)的直線l與曲線(x－1)2＋y2＝1有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為()A．(－eq\r(3)，eq\r(3)) B．[－eq\r(3)，eq\r(3)]C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))D解析：數(shù)形結(jié)合可知，直線l的斜率存在．設(shè)直線l的方程為y＝k(x－3)，則圓心(1,0)與直線y＝k(x－3)的距離應(yīng)小于等于半徑1，即eq\f(|2k|,\r(1＋k2))≤1，解得－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3).4．若直線l：3x－y－6＝0與圓x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________.eq\r(10)解析：由x2＋y2－2x－4y＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以該圓的圓心坐標(biāo)為(1,2)，半徑r＝eq\r(5).又圓心(1,2)到直線3x－y－6＝0的距離為d＝eq\f(|3－2－6|,\r(9＋1))＝eq\f(\r(10),2).由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2＝r2－d2，得|AB|2＝10，即|AB|＝eq\r(10).5．圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦長為________．2eq\r(2)解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4＝0，,x2＋y2－4x＋4y－12＝0，))得兩圓公共弦所在直線方程為x－y＋2＝0.又圓x2＋y2＝4的圓心到直線x－y＋2＝0的距離為eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).由勾股定理得弦長的一半為eq\r(4－2)＝eq\r(2)，所以，所求弦長為2eq\r(2).考點(diǎn)1直線和圓的位置關(guān)系——基礎(chǔ)性1．直線x－y＋2＝0與圓x2＋(y－1)2＝4的位置關(guān)系是()A．相交 B．相切C．相離 D．不確定A解析：由題意，可得圓心(0,1)到直線x－y＋2＝0的距離為d＝eq\f(|0－1＋2|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)<2，所以直線與圓相交．2．(2020·泰安市高三三模)已知拋物線C：x2＝4y的準(zhǔn)線恰好與圓M：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)相切，則r＝()A．3 B．4C．5 D．6C解析：拋物線C：x2＝4y的準(zhǔn)線方程為y＝－1，圓M：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)的圓心為(3,4)．因?yàn)闇?zhǔn)線恰好與圓M相切，所以圓心到準(zhǔn)線的距離為r＝|4＋1|＝5.3．若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C解析：由題意得圓心為(a,0)，半徑為eq\r(2)，圓心到直線的距離為d＝eq\f(|a＋1|,\r(2)).由直線與圓有公共點(diǎn)可得eq\f(|a＋1|,\r(2))≤eq\r(2)，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－3,1]．4．(2020·濟(jì)寧第一中學(xué)質(zhì)量檢測)已知過點(diǎn)P(1,2)的直線與圓x2＋y2＝1相切，且與直線ax＋y－1＝0垂直，則實(shí)數(shù)a的值為()A．0 B．－eq\f(4,3)C．0或eq\f(4,3) D．eq\f(4,3)C解析：當(dāng)a＝0時(shí)，直線ax＋y－1＝0即直線y＝1，此時(shí)過點(diǎn)P(1,2)且與直線y＝1垂直的直線為x＝1，并且x＝1與圓相切，滿足題意，所以a＝0成立．當(dāng)a≠0時(shí)，過點(diǎn)P(1,2)且與直線ax＋y－1＝0垂直的直線斜率為eq\f(1,a)，則直線方程為y－2＝eq\f(1,a)(x－1)，即x－ay＋2a－1＝0.再根據(jù)直線與圓相切，即圓心到直線距離為1，可得eq\f(|2a－1|,\r(a2＋1))＝1，解得a＝eq\f(4,3).故選C.判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問題．考點(diǎn)2圓與圓的位置關(guān)系——基礎(chǔ)性(1)圓C1：x2＋y2－2y＝0與C2：x2＋y2－2eq\r(3)x－6＝0的位置關(guān)系為()A．外離 B．外切C．相交 D．內(nèi)切(2)已知圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0，圓C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.①求證：圓C1和圓C2相交；②求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長．(1)D解析：圓C1：x2＋y2－2y＝0的圓心為C1(0,1)，半徑為r1＝1.圓C2：x2＋y2－2eq\r(3)x－6＝0的圓心為C2(eq\r(3)，0)，半徑為r2＝3，所以|C1C2|＝eq\r(\r(3)2＋1)＝2.又r2－r1＝2，所以|C1C2|＝r2－r1＝2，所以圓C1與C2內(nèi)切．(2)①證明：由題意得，圓C1化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－3)2＝11，圓C2化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－5)2＋(y－6)2＝16，則圓C1的圓心C1(1,3)，半徑r1＝eq\r(11)，圓C2的圓心C2(5,6)，半徑r2＝4.兩圓圓心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝eq\r(11)＋4，|r1－r2|＝4－eq\r(11)，所以|r1－r2|<d<r1＋r2，所以圓C1和圓C2相交．②解：由①知兩圓相交，將圓C1和圓C2的方程相減，得4x＋3y－23＝0，所以兩圓的公共弦所在直線的方程為4x＋3y－23＝0.圓心C2(5,6)到直線4x＋3y－23＝0的距離d＝eq\f(|20＋18－23|,\r(16＋9))＝3，故公共弦長為2eq\r(16－9)＝2eq\r(7).(1)判斷兩圓位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和及差的絕對(duì)值的大小關(guān)系判斷，一般不用代數(shù)法．重視兩圓內(nèi)切的情況，作圖觀察．(2)兩圓相交時(shí)，兩圓的公共弦所在直線的方程，可由兩圓的方程作差消去x2，y2項(xiàng)得到．(3)求兩圓公共弦長，常選其中一圓，由弦心距d、半弦長eq\f(l,2)、半徑r構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解．1．(多選題)已知圓C1：x2＋y2＝1，圓C2：(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，則實(shí)數(shù)a＝()A．±2eq\r(13) B．±2eq\r(5)C．0 D．以上均有可能BC解析：圓C1：x2＋y2＝1的圓心為(0,0)，半徑為1，圓C2：(x＋4)2＋(y－a)2＝25的圓心為(－4，a)，半徑為5.若兩圓相切，分兩種情況討論：當(dāng)兩圓外切時(shí)，有(－4)2＋a2＝(1＋5)2，解得a＝±2eq\r(5)；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，有(－4)2＋a2＝(1－5)2，解得a＝0.綜上可得，實(shí)數(shù)a的值為0或±2eq\r(5).2．如果圓C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0與圓O：x2＋y2＝4總相交，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是________________．(－2eq\r(2)，0)∪(0,2eq\r(2))解析：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－a)2＝4，圓心坐標(biāo)為(a，a)，半徑為2.依題意得0<eq\r(a2＋a2)<2＋2，所以0<|a|<2eq\r(2).所以a∈(－2eq\r(2)，0)∪(0,2eq\r(2))．考點(diǎn)3直線與圓的綜合問題——綜合性考向1圓的弦長問題(1)(2020·荊州三模)已知直線l過點(diǎn)(2，－1)，則“直線l的斜率為eq\f(3,4)”是“直線l被圓C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4截得的弦長為2eq\r(3)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A解析：直線l被圓C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4截得的弦長為2eq\r(3)?圓心(1，－3)到直線l的距離為1.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，顯然符合要求；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則l：kx－y－2k－1＝0，由eq\f(|k＋3－2k－1|,\r(k2＋1))＝1得(k－2)2＝k2＋1，解得k＝eq\f(3,4).因此，直線l被圓C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4截得的弦長為2eq\r(3)?k＝eq\f(3,4)或斜率不存在．故選A.(2)直線x＋y＋2＝0分別與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，求△ABP面積的取值范圍．解：圓心(2,0)到直線的距離d＝eq\f(|2＋0＋2|,\r(2))＝2eq\r(2)，所以點(diǎn)P到直線的距離d1∈[eq\r(2)，3eq\r(2)]．根據(jù)直線的方程可知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－2,0)，(0，－2)，所以|AB|＝2eq\r(2)，所以△ABP的面積S＝eq\f(1,2)|AB|d1＝eq\r(2)d1.因?yàn)閐1∈[eq\r(2)，3eq\r(2)]，所以S∈[2,6]，即△ABP面積的取值范圍是[2,6]．求弦長的兩種求法(1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立，消元后得到一個(gè)一元二次方程．在判別式Δ＞0的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長公式求弦長．(2)幾何方法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l＝2eq\r(r2－d2).考向2圓的切線問題過點(diǎn)P(1，－2)作圓C：(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，求AB所在直線的方程．解：圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為C(1,0)，半徑為1，以|PC|＝eq\r(1－12＋－2－02)＝2為直徑的圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝1.將兩圓的方程相減得AB所在直線的方程為2y＋1＝0，即y＝－eq\f(1,2).(1)處理圓的切線問題要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關(guān)系解決問題．(2)過圓上一點(diǎn)作圓的切線有且只有一條；過圓外一點(diǎn)作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運(yùn)算過程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解．1．(2020·洛陽市高三三模)已知圓C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)與直線x－y＋2eq\r(2)－2＝0相切，則圓C與直線x－y－4＝0相交所得弦長為()A．1 B．eq\r(2)C．2 D．2eq\r(2)D解析：圓心到直線x－y＋2eq\r(2)－2＝0的距離d1＝eq\f(|a＋2\r(2)－2|,\r(2)).因?yàn)閳AC：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)與直線x－y＋2eq\r(2)－2＝0相切，所以d1＝eq\f(|a＋2\r(2)－2|,\r(2))＝r＝2，解得a＝2或a＝2－4eq\r(2).因?yàn)閍≥2，所以a＝2.所以(x－2)2＋y2＝4.所以圓心到直線x－y－4＝0的距離為d2＝eq\f(|2－4|,\r(2))＝eq\r(2)，所以圓C與直線x－y－4＝0相交所得弦長為l＝2eq\r(r2－d\o\al(2,2))＝2eq\r(2).故選D.2．(2020·長春市高三三模)已知圓E的圓心在y軸上，且與圓x2＋y2－2x＝0的公共弦所在直線的方程為x－eq\r(3)y＝0，則圓E的方程為()A．x2＋(y－eq\r(3))2＝2 B．x2＋(y＋eq\r(3))2＝2C．x2＋(y－eq\r(3))2＝3 D．x2＋(y＋eq\r(3))2＝3C解析：兩圓圓心連線與公共弦垂直，不妨設(shè)所求圓心的坐標(biāo)為(0，a)．又圓x2＋y2－2x＝0的圓心為(1,0)，半徑為1，故eq\f(a,－1)×eq\f(1,\r(3))＝－1，解得a＝eq\r(3).故所求圓心為(0，eq\r(3))．直線x－eq\r(3)y＝0截得x2＋y2－2x＝0所成弦長為2eq\r(12－\f(1,4))＝eq\r(3)，圓心(0，eq\r(3))到直線x－eq\r(3)y＝0的距離為eq\f(3,2)，所以直線x－eq\r(3)y＝0截圓所得弦長為2eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)＝eq\r(3)，解得r＝eq\r(3).故圓心坐標(biāo)為(0，eq\r(3))，半徑為eq\r(3).故選C.3．已知過點(diǎn)P(2,2)的直線與圓(x－1)2＋y2＝5相切，且與直線x－ay＋1＝0平行，則a＝________.－2解析：因?yàn)辄c(diǎn)P在圓(x－1)2＋y2＝5上，所以過點(diǎn)P(2,2)與圓(x－1)2＋y2＝5相切的切線方程的斜率為－eq\f(1,2)，所以切線方程為y－2＝－eq\f(1,2)(x－2)，即x＋2y－6＝0.由直線x＋2y－6＝0與直線x－ay＋1＝0平行，得－a＝2，即a＝－2.4．過點(diǎn)(3,1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的長為________．2eq\r(2)解析：設(shè)P(3,1)，圓心C(2,2)，則|PC|＝eq\r(2)，半徑r＝2.由題意，知最短的弦過點(diǎn)P(3,1)，且與PC垂直，所以最短弦長為2eq\r(22－\r(2)2)＝2eq\r(2).已知圓C的圓心在直線x＋y＝0上，圓C與直線x－y＝0相切，且在直線x－y－3＝0上截得的弦長為eq\r(6)，求圓C的方程．[四字程序]讀想算思求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程如何求圓的方程？1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？2.圓的一般方程是什么？數(shù)形結(jié)合的思想方法1.圓心在直線上；2.圓C與直線相切；3.圓C截直線弦長為eq\r(6)根據(jù)題目條件設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程，利用待定系數(shù)法求解1.(x－a)2＋(y－b)2＝r2；2.x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0借助于圓的幾何性質(zhì)求解思路參考：根據(jù)圓心在直線上，設(shè)出圓心．由圓與直線相切，表示出半徑，結(jié)合弦長求出圓的方程．解：因?yàn)樗髨A的圓心在直線x＋y＝0上，所以設(shè)所求圓的圓心為(a，－a)．又因?yàn)樗髨A與直線x－y＝0相切，所以半徑r＝eq\f(2|a|,\r(2))＝eq\r(2)|a|.又所求圓在直線x－y－3＝0上截得的弦長為eq\r(6)，圓心(a，－a)到直線x－y－3＝0的距離d＝eq\f(|2a－3|,\r(2))，所以d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2＝r2，即eq\f(2a－32,2)＋eq\f(3,2)＝2a2.解得a＝1.所以圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.思路參考：設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．利用圓心到直線的距離公式表示出半徑，結(jié)合弦長求出圓的方程．解：設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，則圓心(a，b)到直線x－y－3＝0的距離d＝eq\f(|a－b－3|,\r(2))，所以r2＝eq\f(a－b－32,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2，即2r2＝(a－b－3)2＋3.①因?yàn)樗髨A與直線x－y＝0相切，所以(a－b)2＝2r2.②又因?yàn)閳A心在直線x＋y＝0上，所以a＋b＝0.③聯(lián)立①②③，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，,r＝\r(2)，))故圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.思路參考：設(shè)出圓的一般方程，用待定系數(shù)法求解．解：設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).因?yàn)閳A心在直線x＋y＝0上，所以－eq\f(D,2)－eq\f(E,2)＝0，即D＋E＝0.①又因?yàn)閳AC與直線x－y＝0相切，所以eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)＋\f(E,2))),\r(2))＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F)，所以D2＋E2＋2DE－8F＝0.②又知圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))到直線x－y－3＝0的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)＋\f(E,2)－3)),\r(2))，由已知得d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2＝r2，所以(D－E＋6)2＋12＝2(D2＋E2－4F)．③聯(lián)立①②③，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝2，,F＝0，))故所求圓的方程為x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.1．本題考查圓的方程的求法，解法靈活多變，基本解題策略是設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解．2．基于課程標(biāo)準(zhǔn)，解答本題需要掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程的一般形式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)．3．基于高考評(píng)價(jià)體系，本題通過圓的代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)之間相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性．已知圓C的圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點(diǎn)P(3，－2)，則圓C的方程為________．(x－1)2＋(y＋4)2＝8解析：(方法一)如圖，設(shè)圓心(x0，－4x0)．依題意得eq\f(4x0－2,3－x0)＝1，解得x0＝1，即圓心坐標(biāo)為(1，－4)，半徑r＝2eq\r(2)，故圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.(方法二)設(shè)所求方程為(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2.根據(jù)已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝－4x0，,3－x02＋－2－y02＝r2，,\f(|x0＋y0－1|,\r(2))＝r，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝1，,y0＝－4，,r＝2\r(2).))因此所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.第5節(jié)橢圓一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．橢圓的定義(1)定義：如果F1，F(xiàn)2是平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，a是一個(gè)常數(shù)，且2a＞|F1F2|，則平面內(nèi)滿足|PF1|＋|PF2|＝2a的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡稱為橢圓．(2)相關(guān)概念：兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離|F1F2|稱為橢圓的焦距．2a與|F1F2|的大小關(guān)系所確定的點(diǎn)的軌跡如下表：條件結(jié)論2a＞|F1F2|動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓2a＝|F1F2|動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F22a＜|F1F2|動(dòng)點(diǎn)不存在，因此軌跡不存在2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)軸長軸|A1A2|＝2a；短軸|B1B2|＝2b焦距|F1F2|＝2c離心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b2(1)橢圓焦點(diǎn)位置與x2，y2系數(shù)間的關(guān)系：給出橢圓方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上?m>n>0，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上?0<m<n.(2)求橢圓離心率e時(shí)，只要求出a，b，c的一個(gè)方程，再結(jié)合b2＝a2－c2就可求得e(0<e<1)．3．直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓的位置關(guān)系有三種：相離、相切、相交．二、基本技能·思想·活動(dòng)體驗(yàn)1．判斷下列說法的正誤，對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓．(×)(2)橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成△PF1F2的周長為2a＋2c(其中a為橢圓的半長軸長，c為橢圓的半焦距)．(√)(3)橢圓的離心率e越小，橢圓就越圓．(√)(4)eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a≠b)表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓．(×)(5)eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)相同．(×)2．橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(±3,0) B．(0，±3)C．(±9,0) D．(0，±9)B解析：根據(jù)橢圓方程可得焦點(diǎn)在y軸上，且c2＝a2－b2＝25－16＝9，所以c＝3，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±3)．3．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(1,2)，則()A．a(chǎn)2＝2b2 B．3a2＝4b2C．a(chǎn)＝2b D．3a＝4bB解析：離心率平方e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,4)，即4(a2－b2)＝a2，即3a2＝4b2.4．若F1(3,0)，F(xiàn)2(－3,0)，點(diǎn)P到F1，F(xiàn)2的距離之和為10，則點(diǎn)P的軌跡方程是______________．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1解析：因?yàn)閨PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以點(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，其中a＝5，c＝3，b＝eq\r(a2－c2)＝4，故點(diǎn)P的軌跡方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.5．已知點(diǎn)P是橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1上y軸右側(cè)的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，1))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，－1))解析：設(shè)P(x，y)，由題意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，則F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)．由題意可得點(diǎn)P到x軸的距離為1，所以y＝±1，把y＝±1代入eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1，得x＝±eq\f(\r(15),2).又x＞0，所以x＝eq\f(\r(15),2)，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，1))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，－1)).考點(diǎn)1橢圓的定義及應(yīng)用——基礎(chǔ)性(1)(2020·東莞4月模擬)已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過F1且垂直于x軸的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)．若△AF2B是邊長為4的等邊三角形，則橢圓C的方程為()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1B解析：如圖所示，因?yàn)椤鰽BF2是邊長為4的等邊三角形，所以|AF2|＝4，|AF1|＝eq\f(1,2)|AB|＝2，所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝6，所以a＝3.又因?yàn)閨F1F2|＝2c＝eq\r(|AF2|2－|AF1|2)＝2eq\r(3)，所以c＝eq\r(3)，則b2＝a2－c2＝6，故橢圓C的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1.故選B.(2)已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9.動(dòng)圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是()A.eq\f(x2,64)－eq\f(y2,48)＝1 B.eq\f(x2,48)＋eq\f(y2,64)＝1C.eq\f(x2,48)－eq\f(y2,64)＝1 D.eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1D解析：設(shè)動(dòng)圓的圓心M(x，y)，半徑為r.因?yàn)閳AM與圓C1：(x－4)2＋y2＝169內(nèi)切，與C2：(x＋4)2＋y2＝9外切，所以|MC1|＝13－r，|MC2|＝3＋r.|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8，由橢圓的定義，點(diǎn)M的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)，長軸為16的橢圓，則a＝8，c＝4，所以b2＝82－42＝48，所以動(dòng)圓的圓心M的軌跡方程為eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1.(3)(2020·深圳高三二模)已知A，F(xiàn)分別是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的下頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，過A且傾斜角為60°的直線l分別交x軸和橢圓C于M，N兩點(diǎn)，且點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為eq\f(3,5)b.若△FMN的周長為6，則△FAN的面積為________．eq\f(8\r(3),5)解析：如圖所示，由題意得，A(0，－b)，F(xiàn)(－c,0)，直線MN的方程為y＝eq\r(3)x－b.把y＝eq\f(3,5)b代入橢圓方程，解得x＝eq\f(4,5)a，所以Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)a，\f(3,5)b)).因?yàn)镹在直線MN上，所以eq\f(3,5)b＝eq\r(3)×eq\f(4,5)a－b，解得eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),2).又a2＝b2＋c2，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(3))b))2＝b2＋c2，解得b＝eq\r(3)c.令y＝eq\r(3)x－b＝0，則Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,\r(3))，0))，即M(c,0)，所以M為橢圓的右焦點(diǎn)，所以|FM|＝2c.由橢圓的定義可知，|NF|＋|NM|＝2a，因?yàn)椤鱂MN的周長為6，所以2a＋2c＝6，因?yàn)閑q\f(b,a)＝eq\f(\r(3),2)，b＝eq\r(3)c，所以a＝2c，所以c＝1，a＝2，b＝eq\r(3)，所以S△FAN＝eq\f(1,2)·|FM|·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,5)b－－b))＝c·eq\f(8,5)b＝eq\f(8\r(3),5).橢圓定義的應(yīng)用技巧(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求焦點(diǎn)三角形的周長、面積及弦長、最值和離心率等．(2)橢圓的定義常和余弦定理、正弦定理結(jié)合使用，求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長和面積問題．1．(2020·北京四中高三開學(xué)考試)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為eq\f(\r(3),3)，過F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)．若△AF1B的周長為4eq\r(3)，則橢圓C的方程為()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 D.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1A解析：若△AF1B的周長為4eq\r(3)，由橢圓的定義可知，4a＝4eq\r(3)，所以a＝eq\r(3).因?yàn)閑＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，所以c＝1，所以b2＝2，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.故選A.2．(2020·上海高三三模)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A是橢圓在第一象限的一點(diǎn)，且△OAF為等邊三角形，則a＝________.eq\f(\r(3)＋1,2)解析：如圖所示，△OAF為等邊三角形，由|OF|＝|OF1|＝|OA|＝1，得△AF1F是直角三角形．所以|F1F|＝2，|AF|＝1，|AF1|＝eq\r(3).由橢圓的定義得2a＝|AF1|＋|AF|＝eq\r(3)＋1，所以a＝eq\f(\r(3)＋1,2).考點(diǎn)2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程——綜合性(1)“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件C解析：把橢圓方程化成eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1.若m＞n＞0，則eq\f(1,n)＞eq\f(1,m)＞0.所以橢圓的焦點(diǎn)在y軸上．反之，若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則eq\f(1,n)＞eq\f(1,m)＞0，即有m＞n＞0.故“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的充要條件．(2)過點(diǎn)(eq\r(3)，－eq\r(5))，且與橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1解析：(方法一)橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的焦點(diǎn)為(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由橢圓的定義知，2a＝eq\r(\r(3)－02＋－\r(5)＋42)＋eq\r(\r(3)－02＋－\r(5)－42)，解得a＝2eq\r(5).由c2＝a2－b2得b2＝4.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.(方法二)因?yàn)樗髾E圓與橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的焦點(diǎn)相同，所以其焦點(diǎn)在y軸上，且c2＝25－9＝16.設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．因?yàn)閏2＝16，且c2＝a2－b2，所以a2－b2＝16.①又點(diǎn)(eq\r(3)，－eq\r(5))在所求橢圓上，所以eq\f(－\r(5)2,a2)＋eq\f(\r(3)2,b2)＝1，即eq\f(5,a2)＋eq\f(3,b2)＝1.②由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.本例(2)若改為：已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))，(eq\r(3)，－eq\r(5))，則橢圓的方程為____________．eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1解析：設(shè)橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2m＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2n＝1，,3m＋5n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,6)，,n＝\f(1,10)，))所以橢圓的方程為eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1.求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法(1)定義法先根據(jù)題目所給條件確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義，并確定a2，b2的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程．特別地，利用定義法求橢圓方程要注意條件2a＞|F1F2|.(2)待定系數(shù)法利用待定系數(shù)法要先定形(焦點(diǎn)位置)，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組．如果焦點(diǎn)位置不確定，可設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．1．(2020·銀川高級(jí)中學(xué)高三月考)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A，B在橢圓上，AB⊥F1F2于F2，|AB|＝4，|F1F2|＝2eq\r(3)，則橢圓方程為()A.eq\f(x2,3)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1 D.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1C解析：由題意可得c＝eq\r(3)，eq\f(2b2,a)＝4，c2＝a2－b2，解得a＝3，b＝eq\r(6)，所以所求橢圓方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1.故選C.2．(2021·八省聯(lián)考)橢圓eq\f(x2,m2＋1)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為A.若∠F1AF2＝eq\f(π,3)，則m＝()A．1 B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．2C解析：在橢圓eq\f(x2,m2＋1)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)中，a＝eq\r(m2＋1)，b＝m，c＝eq\r(a2－b2)＝1，如圖所示．因?yàn)闄E圓的上頂點(diǎn)為A，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，所以|AF1|＝|AF2|＝a.因?yàn)椤螰1AF2＝eq\f(π,3)，所以△F1AF2為等邊三角形，則|AF1|＝|F1F2|，即eq\r(m2＋1)＝a＝2c＝2，因此，m＝eq\r(3).考點(diǎn)3橢圓的幾何性質(zhì)——綜合性考向1求橢圓的離心率或取值范圍已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過點(diǎn)A且斜率為eq\f(\r(3),6)的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則橢圓C的離心率為()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)D解析：由題意可知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，如圖所示．設(shè)|F1F2|＝2c，因?yàn)椤鱌F1F2為等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c.因?yàn)閨OF2|＝c，過P作PE垂直x軸于點(diǎn)E，則∠PF2E＝60°，所以|F2E|＝c，|PE|＝eq\r(3)c，即點(diǎn)P(2c，eq\r(3)c)．因?yàn)辄c(diǎn)P在過點(diǎn)A，且斜率為eq\f(\r(3),6)的直線上，所以eq\f(\r(3)c,2c＋a)＝eq\f(\r(3),6)，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,4)，所以e＝eq\f(1,4).求橢圓離心率的方法(1)直接求出a，c的值，利用離心率公式求解．(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助b2＝a2－c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解．考向2與橢圓的性質(zhì)有關(guān)的最值或范圍問題如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1的離心率e＝eq\f(1,2)，F(xiàn)，A分別是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則eq\o(PF,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))的最大值為________．4解析：由題意知a＝2，因?yàn)閑＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.故橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，所以－2≤x0≤2，－eq\r(3)≤y0≤eq\r(3).因?yàn)镕(－1,0)，A(2,0)，eq\o(PF,\s\up6(→))＝(－1－x0，－y0)，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(2－x0，－y0)，所以eq\o(PF,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o\al(2,0)－x0－2＋yeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,4)xeq\o\al(2,0)－x0＋1＝eq\f(1,4)(x0－2)2.則當(dāng)x0＝－2時(shí)，eq\o(PF,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))取得最大值4.橢圓的范圍與最值問題(1)在設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x，y)時(shí)，有|x|≤a，|y|≤b，可以把橢圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)視為某一函數(shù)問題，進(jìn)而求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值．(2)橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為a＋c，最小距離為a－c；橢圓短軸端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角是橢圓上點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線夾角的最大值．1．(多選題)(2020·菏澤期中)某顆人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球的中心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，如圖所示．已知它的近地點(diǎn)A(離地面最近的點(diǎn))距地面m千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)B(離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn))距地面n千米，并且F，A，B三點(diǎn)在同一直線上，地球半徑約為R千米．設(shè)該橢圓的長軸長、短軸長、焦距分別為2a,2b,2c，則()A．a(chǎn)－c＝m＋R B．a(chǎn)＋c＝n＋RC．2a＝m＋n D．b＝eq\r(m＋Rn＋R)ABD解析：由題設(shè)條件可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝a－c－R，①,n＝a＋c－R，②))所以a－c＝m＋R，故A正確；a＋c＝n＋R，故B正確；①＋②得m＋n＝2a－2R，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正確；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋R＝a－c，,n＋R＝a＋c))可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2，因?yàn)閍2－c2＝b2，所以b2＝(m＋R)(n＋R)?b＝eq\r(m＋Rn＋R)，故D正確．故選ABD.2．(2020·臨沂模擬)已知兩定點(diǎn)A(－1,0)和B(1，0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)在直線l：y＝x＋3上移動(dòng)，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P，則橢圓C的離心率的最大值為()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(\r(10),5)C.eq\f(2\r(5),5) D.eq\f(2\r(10),5)A解析：不妨設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－1)＝1(a>1)，與直線l的方程聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,a2－1)＝1，,y＝x＋3，))消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0.由題意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥eq\r(5)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,a)≤eq\f(\r(5),5)，所以e的最大值為eq\f(\r(5),5).設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，如果橢圓上存在點(diǎn)P，使∠F1PF2＝90°，求離心率e的取值范圍．[四字程序]讀想算思在橢圓上存在點(diǎn)P，使得∠F1PF2為直角1.在焦點(diǎn)三角形中可利用哪些性質(zhì)或結(jié)論？2．離心率的表達(dá)式有哪些？構(gòu)建點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x與a，b，c的關(guān)系式，利用橢圓的有界性求解轉(zhuǎn)化與化歸，函數(shù)與方程求橢圓離心率e的取值范圍①橢圓的定義；②勾股定理或余弦定理；③三角形的面積公式．2．e與a，b，c的關(guān)系1.橢圓的有界性；2．一元二次方程有實(shí)根的條件思路參考：利用曲線的取值范圍．解：設(shè)P(x，y)，又知F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，則eq\o(F1P,\s\up6(→))＝(x＋c，y)，eq\o(F2P,\s\up6(→))＝(x－c，y)．由∠F1PF2＝90°，知eq\o(F1P,\s\up6(→))⊥eq\o(F2P,\s\up6(→))，則eq\o(F1P,\s\up6(→))·eq\o(F2P,\s\up6(→))＝0，即(x＋c)(x－c)＋y2＝0，得x2＋y2＝c2.將這個(gè)方程與橢圓方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1聯(lián)立，消去y，可得x2＝eq\f(a2c2－a2b2,a2－b2).由橢圓的取值范圍及∠F1PF2＝90°，知0≤x2<a2，即0≤eq\f(a2c2－a2b2,a2－b2)<a2.可得c2≥b2，即c2≥a2－c2，且c2<a2，從而得e＝eq\f(c,a)≥eq\f(\r(2),2)，且e＝eq\f(c,a)<1，所以e∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).思路參考：利用二次方程有實(shí)根．解：由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝2a?|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝4a2.又由∠F1PF2＝90°，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，可得|PF1||PF2|＝2(a2－c2)．因此，|PF1|與|PF2|是方程x2－2ax＋2(a2－c2)＝0的兩個(gè)實(shí)根，所以Δ＝4a2－8(a2－c2)≥0?e2＝eq\f(c2,a2)≥eq\f(1,2)?e≥eq\f(\r(2),2).所以e∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).思路參考：利用三角函數(shù)有界性．解：記∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，由正弦定理有eq\f(|PF1|,sinβ)＝eq\f(|PF2|,sinα)＝eq\f(|F1F2|,sin90°)，即eq\f(|PF1|＋|PF2|,sinα＋sinβ)＝|F1F2|.又|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，則有e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,sinα＋sinβ)＝eq\f(1,2sin\f(α＋β,2)cos\f(α－β,2))＝eq\f(1,\r(2)cos\f(α－β,2)).由0≤|α－β|<90°，知0≤eq\f(|α－β|,2)<45°，所以eq\f(\r(2),2)<coseq\f(α－β,2)≤1，從而可得eq\f(\r(2),2)≤e<1.思路參考：利用均值不等式．解：由橢圓定義，有2a＝|PF1|＋|PF2|平方后得4a2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|≤2(|PF1|2＋|PF2|2)＝2|F1F2|2＝8c2，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|時(shí)取等號(hào)，得eq\f(c2,a2)≥eq\f(1,2)，所以e∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).思路參考：巧用圖形的幾何特性．解：由∠F1PF2＝90°，知點(diǎn)P在以|F1F2|＝2c為直徑的圓上．又點(diǎn)P在橢圓上，因此該圓與橢圓有公共點(diǎn)P，故有c≥b?c2≥b2＝a2－c2，由此可得e∈eq\b\lc\[\rc\)(\a