高考數(shù)學總復習 第三章 導數(shù)及其應用 第19講 定積分與微積分基本定理練習 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三數(shù)學試題

第19講定積分與微積分基本定理夯實基礎【p41】【學習目標】1．了解定積分的實際背景、基本思想，了解定積分的概念．2．了解微積分基本定理的含義．【基礎檢測】1.eq\i\in(0,k,)(2x－3x2)dx＝0，則k＝()A．1B．0C．0或1D．以上都不對【解析】由題設可得k2－k3＝0?k2(k－1)＝0，則k＝0或k＝1.【答案】C2．直線y＝4x與曲線y＝x3在第一象限內圍成的封閉圖形的面積為()A．2eq\r(2)B．4eq\r(2)C．2D．4【解析】如圖，y＝4x與y＝x3的交點為A(2，8)，圖中陰影部分的面積即為所求圖形的面積．S陰＝eq\i\in(0,2,)(4x－x3)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,4)x4))|eq\o\al(2,0)＝8－eq\f(1,4)×24＝4.【答案】D3．一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，汽車以速度v(t)＝7－3t＋eq\f(25,1＋t)(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止．剎車后汽車繼續(xù)行駛的距離(單位：m)是()A．1＋25ln5B．8＋25lneq\f(11,3)C．4＋25ln5D．4＋50ln2【解析】令v(t)＝0得t＝4或t＝－eq\f(8,3)(舍去)，∴汽車行駛距離s＝eq\i\in(0,4,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7－3t＋\f(25,1＋t)))dt＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7t－\f(3,2)t2＋25ln（1＋t）))|eq\o\al(4,0)＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5.【答案】C4.eq\i\in(－1,1,)eq\r(1－x2)dx＝________．【解析】根據定積分的幾何意義，所求的定積分是曲線y＝eq\r(1－x2)和x軸所圍成的圖形的面積，顯然是半個單位圓，其面積是eq\f(π,2)，故eq\i\in(－1,1,)eq\r(1－x2)dx＝eq\f(π,2).【答案】eq\f(π,2)5．設函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，f(x＋π)＝－f(x)，當0≤x≤eq\f(π,2)時，f(x)＝cosx－1，則－2π≤x≤2π時，f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積為()A．4π－8B．2π－4C．π－2D．3π－6【解析】由題設f(x＋π)＝－f(x)?f(x＋2π)＝f(x)，則函數(shù)y＝f(x)是周期為2π的奇函數(shù)，畫出函數(shù)y＝f(x)，x∈[0，2π]的圖象，結合函數(shù)的圖象可知：只要求出該函數(shù)y＝f(x)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的圖象與x軸所圍成的面積即可．容易算得函數(shù)y＝f(x)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的圖象與x軸所圍成的面積是S＝0－∫eq\s\up6(\f(π,2))0(cosx－1)dx＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(π,2)))＝eq\f(π,2)－1，故借助函數(shù)圖象的對稱性求得函數(shù)y＝f(x)，x∈[－2π，2π]的圖象與x軸所圍成的面積是8S＝4π－8.【答案】A【知識要點】1．定積分的定義及相關概念設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b把區(qū)間[a，b]等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間[xi－1，xi]上任取一點ξi(i＝1，2，…，n)，作和式eq\i\su(i＝1f（ξi）Δx＝∑n,i＝1,n,)eq\f(b－a,n)f(ξi)．當n→∞時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作eq\i\in(a,b,)f(x)dx，即eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝eq^\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a,n)f(ξi)．這里a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[a，b]叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式．2．定積分的性質(1)eq\i\in(a,b,)kf(x)dx＝__keq\i\in(a,b,)f(x)dx__(k為常數(shù))；(2)eq\i\in(a,b,)[f(x)±g(x)]dx＝__eq\i\in(a,b,)f(x)dx±eq\i\in(a,b,)g(x)dx__；(3)eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝__eq\i\in(a,c,)f(x)dx＋eq\i\in(c,b,)f(x)dx__(其中a＜c＜b)．3．微積分基本定理一般地，如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可積，那么eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝__F(b)－F(a)__．這個結論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓—萊布尼茲公式，其中F(x)叫做f(x)的一個原函數(shù)．為了方便，我們常把F(b)－F(a)記作__F(x)|eq\o\al(b,a)__，即eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝__F(x)|eq\o\al(b,a)＝F(b)－F(a)__．典例剖析【p41】考點1定積分的計算eq\a\vs4\al(例1)(1)計算eq\i\in(1,2,)(3x2＋2x)dx＝________．(2)計算eq\i\in(0,1,)(ex＋2x)dx＝________．(3)計算eq\i\in(1,4,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,x)))dx＝________．(4)計算eq\i\in(－1,1,)(x2＋sinx)dx＝________．(5)設f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，x∈[0，1]，,2－x，x∈（1，2]))，則eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝________．(6)定積分eq\i\in(0,2,)|x－1|dx＝________．【解析】(1)原式＝(x3＋x2)|eq\o\al(2,1)＝12－2＝10.(2)原式＝eq\i\in(0,1,)exdx＋eq\i\in(0,1,)2xdx＝ex|eq\o\al(1,0)＋x2|eq\o\al(1,0)＝e－1＋1＝e.(3)原式＝eq\i\in(1,4,)eq\r(x)dx＋eq\i\in(1,4,)eq\f(1,x)dx＝eq\f(2,3)xeq\s\up6(\f(3,2))|eq\o\al(4,1)＋lnx|eq\o\al(4,1)＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4\s\up6(\f(3,2))－1))＋ln4－ln1＝eq\f(14,3)＋ln4.(4)eq\i\in(－1,1,)(x2＋sinx)dx＝eq\i\in(－1,1,)x2dx＋eq\i\in(－1,1,)sinxdx＝2eq\i\in(0,1,)x2dx＝2·eq\f(x3,3)|eq\o\al(1,0)＝eq\f(2,3).(5)eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)x2dx＋eq\i\in(1,2,)(2－x)dx＝eq\f(1,3)x3|eq\o\al(1,0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)x2))|eq\o\al(2,1)＝eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－2－2＋\f(1,2)))＝eq\f(5,6).(6)eq\i\in(0,2,)|x－1|dx＝eq\i\in(0,1,)|x－1|dx＋eq\i\in(1,2,)|x－1|dx＝eq\i\in(0,1,)(1－x)dx＋eq\i\in(1,2,)(x－1)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(x2,2)))|eq\o\al(1,0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)－x))|eq\o\al(2,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22,2)－2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1))＝1.【答案】(1)10(2)e(3)eq\f(14,3)＋ln4(4)eq\f(2,3)(5)eq\f(5,6)(6)1【點評】運用微積分基本定理求定積分時要注意以下幾點(1)對被積函數(shù)要先化簡，再求積分；(2)求被積函數(shù)為分段函數(shù)的定積分，依據定積分“對區(qū)間的可加性”，分段積分再求和；(3)對于含有絕對值符號的被積函數(shù)，要先去掉絕對值號再求積分．考點2定積分的幾何意義及應用eq\a\vs4\al(例2)(1)如圖所示，正弦曲線y＝sinx，余弦曲線y＝cosx與兩直線x＝0,x＝π所圍成的陰影部分的面積為()A．1B.eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)【解析】∫eq\s\up6(\f(π,4))0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx－sinx))dx＋∫πeq\s\do9(\f(π,4))(sinx－cosx)dx＝(sinx＋cosx)|eq\s\up6(\f(π,4))0＋(－cosx－sinx)|πeq\s\do9(\f(π,4))＝eq\r(2)－1＋1＋eq\r(2)＝2eq\r(2).【答案】D(2)曲線y＝x3－4x與x軸所圍成的封閉圖形的面積是________．【解析】由x3－4x＝0得x＝0或x＝±2，函數(shù)圖象如圖所示，則曲線y＝x3－4x與x軸所圍成的封閉圖形的面積S＝S1＋S2，其中S1＝eq\i\in(－2,0,)(x3－4x)dx，S2＝－eq\i\in(0,2,)(x3－4x)dx.根據微積分基本定理和定積分的性質知，S1＝eq\i\in(－2,0,)(x3－4x)dx＝eq\f(x4,4)|eq\o\al(0,－2)－2x2|eq\o\al(0,－2)＝－4＋8＝4，S2＝－eq\i\in(0,2,)(x3－4x)dx＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x4,4)|eq\o\al(2,0)－2x2|eq\o\al(2,0)))＝－(4－8)＝4，所以S＝4＋4＝8.【答案】8(3)拋物線y2＝4x與直線y＝2x－4圍成的平面圖形的面積是________．【解析】畫出圖形，如圖所示，直線和曲線的交點坐標為(1，－2)和(4，4)．若選用x為積分變量，則要分成兩部分加以計算．故面積S＝eq\i\in(0,1,)[2eq\r(x)－(－2eq\r(x))]dx＋eq\i\in(1,4,)(2eq\r(x)－2x＋4)dx＝4×eq\f(2,3)xeq\s\up6(\f(3,2))|eq\o\al(1,0)＋2×eq\f(2,3)xeq\s\up6(\f(3,2))|eq\o\al(4,1)－x2|eq\o\al(4,1)＋4x|eq\o\al(4,1)＝eq\f(8,3)＋eq\f(32,3)－eq\f(4,3)－(16－1)＋(16－4)＝9.【答案】9(4)如圖，函數(shù)解析式y(tǒng)＝ax2，點A的坐標為(1，0)，函數(shù)y過點C(2，4)，若在矩形ABCD內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于__________．【解析】由函數(shù)y的圖象經過點C(2，4)，有4＝4a，a＝1，所以函數(shù)y＝x2，故曲邊梯形EABC面積為S1＝eq\i\in(1,2,)x2dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3))|eq\o\al(2,1)＝eq\f(8,3)－eq\f(1,3)＝eq\f(7,3)，陰影部分面積為S2＝4－S1＝4－eq\f(7,3)＝eq\f(5,3)，所以概率P＝eq\f(\f(5,3),4)＝eq\f(5,12).【答案】eq\f(5,12)(5)計算eq\i\in(0,2,)(eq\r(4－x2)－2x)dx＝()A．2π－4B．π－4C．ln2－4D．ln2－2【解析】由定積分的幾何意義知：eq\i\in(0,2,)(eq\r(4－x2))dx表示y＝eq\r(4－x2)，x∈[0，2]的面積，即半徑為2的圓的eq\f(1,4)，故eq\i\in(0,2,)(eq\r(4－x2))dx＝eq\f(1,4)×π×22＝π，eq\i\in(0,2,)(2x)dx＝x2|eq\o\al(2,0)＝4，所以eq\i\in(0,2,)(eq\r(4－x2)－2x)dx＝π－4.【答案】B【點評】(1)根據定積分的幾何意義可計算定積分；(2)利用定積分求平面圖形面積的四個步驟：①畫出草圖，在直角坐標系中畫出曲線或直線的大致圖象；②借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點坐標，確定積分的上、下限；③把曲邊梯形的面積表示成若干個定積分的和；④計算定積分，寫出答案．考點3定積分在物理中的應用eq\a\vs4\al(例3)(1)設變力F(x)作用在質點M上，使M沿x軸的正向從x＝1運動到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且和x軸正向相同，則變力F(x)對質點M所做的功為________．【解析】變力F(x)＝x2＋1使質點M沿x軸正向從x＝1運動到x＝10所做的功為W＝eq\i\in(1,10,)F(x)dx＝eq\i\in(1,10,)(x2＋1)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋x))|eq\o\al(10,1)＝342，即變力F(x)對質點M所做的功為342.【答案】342(2)已知做變速直線運動的質點的速度方程是v(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t（0≤t≤20），,20（20<t≤80），,100－t（80<t≤100）))(單位：m/s)．(i)求該質點從t＝10s到t＝30s時所走過的路程；(ii)求該質點從開始運動到運動結束共走過的路程．【解析】(i)s1＝eq\i\in(10,30,)v(t)dt＝eq\i\in(10,20,)tdt＋eq\i\in(20,30,)20dt＝350(m)．(ii)s2＝eq\i\in(0,100,)v(t)dt＝eq\i\in(0,20,)tdt＋eq\i\in(20,80,)20dt＋eq\i\in(80,100,)(100－t)dt＝1600(m)．【點評】定積分在物理中的兩個應用：(1)變力做功：一物體在變力F(x)的作用下，沿著與F(x)相同方向從x＝a移動到x＝b時，力F(x)所做的功是W＝eq\i\in(a,b,)F(x)dx.(2)變速直線運動的位移：如果變速直線運動物體的速度為v＝v(t)，那么從時刻t＝a到t＝b所經過的路程s＝eq\i\in(a,b,)v(t)dt.考點4定積分的綜合應用eq\a\vs4\al(例4)已知函數(shù)f(x)＝ln|x|(x≠0)，函數(shù)g(x)＝eq\f(1,f′（x）)＋af′(x)(x≠0)．(1)當x≠0時，求函數(shù)y＝g(x)的表達式；(2)若a>0，函數(shù)y＝g(x)在(0，＋∞)上的最小值是2，求a的值；(3)在(2)的條件下，求直線y＝eq\f(2,3)x＋eq\f(7,6)與函數(shù)y＝g(x)的圖象所圍成圖形的面積．【解析】(1)因為f(x)＝ln|x|，所以當x>0時，f(x)＝lnx，f′(x)＝eq\f(1,x)，當x<0時，f(x)＝ln(－x)，f′(x)＝eq\f(1,－x)·(－1)＝eq\f(1,x).所以當x≠0時，函數(shù)y＝g(x)＝x＋eq\f(a,x).(2)由(1)知，g(x)＝x＋eq\f(a,x)，所以當a>0，x>0時，g(x)≥2eq\r(a)，當且僅當x＝eq\r(a)時取等號．所以函數(shù)y＝g(x)在(0，＋∞)上的最小值是2eq\r(a)，所以依題意得2eq\r(a)＝2，所以a＝1.(3)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2,3)x＋\f(7,6)，,y＝x＋\f(1,x)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(3,2)，,y1＝\f(13,6)，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝2，,y2＝\f(5,2)，))所以直線y＝eq\f(2,3)x＋eq\f(7,6)與函數(shù)y＝g(x)的圖象所圍成圖形的面積S＝∫2eq\s\do9(\f(3,2))dx＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(7,6)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))))dx＝eq\f(7,24)＋ln3－2ln2.方法總結【p42】1．定積分計算的關鍵是通過逆向思維獲知被積函數(shù)的原函數(shù)，即導數(shù)運算的逆運算．2．定積分在物理學中的應用必須遵循相應的物理過程和物理原理．3．利用定積分求平面圖形面積的步驟：(1)畫出草圖，在直角坐標系中畫出曲線或直線的大致圖象；(2)借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點坐標，確定積分的上、下限；(3)將曲邊梯形面積表示成若干個定積分的和；(4)計算定積分，寫出答案．走進高考【p42】1．(2011·全國卷)由曲線y＝eq\r(x)，直線y＝x－2及y軸所圍成的圖形的面積為()A.eq\f(10,3)B．4C.eq\f(16,3)D．6【解析】y＝eq\r(x)與y＝x－2以及y軸所圍成的圖形為如圖所示的陰影部分，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x)，,y＝x－2))得交點坐標為(4，2)，故所求面積為S＝eq\i\in(0,4,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－（x－2）))dx＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x\s\up6(\f(3,2))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)－2x))))|eq\o\al(4,0)＝eq\f(16,3).【答案】C考點集訓【p197】A組題1．由直線x＝eq\f(1,2)，x＝2，曲線y＝eq\f(1,x)及x軸所圍成的封閉圖形的面積是()A.eq\f(1,2)ln2B．2ln2－1C．2ln2D．lneq\f(3,2)【解析】根據題意可知面積為：S＝∫2eq\s\do9(\f(1,2))eq\f(1,x)dx＝ln2－lneq\f(1,2)＝2ln2.【答案】C2．定積分eq\i\in(1,3,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))dx＝()A．10－ln3B．8－ln3C.eq\f(22,3)D.eq\f(64,9)【解析】由題意得eq\i\in(1,3,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))dx＝(x2－lnx)|eq\o\al(3,1)＝(32－ln3)－(12－ln1)＝8－ln3.【答案】B3．已知S1＝eq\i\in(1,2,)xdx，S2＝eq\i\in(1,2,)exdx，S3＝eq\i\in(1,2,)x2dx，則S1，S2，S3的大小關系為()A．S1<S2<S3B．S1<S3<S2C．S3<S2<S1C．S2<S3<S1【解析】設f(x)＝x，g(x)＝ex，h(x)＝x2，顯然當x∈[1，2]時，h(x)≥f(x)，令φ(x)＝g(x)－h(huán)(x)＝ex－x2，∴φ′(x)＝ex－2x，φ″(x)＝ex－2，x∈[1，2]，∴φ″(x)≥e－2>0，∴φ′(x)在[1，2]上單調遞增，φ′(x)≥e－2>0，∴φ(x)在[1，2]上單調遞增，∴φ(x)≥e－1>0，∴φ(x)>0?g(x)>h(x)，∴當x∈[1，2]時，ex>x2≥x，∴S2>S3>S1.【答案】B4．已知f(x)＝ax3－3x＋6sinx(a，b為常數(shù))，則eq\i\in(－1,1,)f(x)dx()A．恒為0B．恒為正C．恒為負D．取值不定【解析】由題知eq\i\in(－1,1,)ax3－3x＋6sinxdx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)ax4－\f(3,2)x2－6cosx))|eq\o\al(1,－1)＝0.【答案】A5．若∫eq\s\up6(\f(π,4))0(sinx－acosx)dx＝－eq\f(\r(2),2)，則實數(shù)a等于()A．1B.eq\r(2)C．－1D．－eq\r(3)【解析】由題意可知：∫eq\s\up6(\f(π,4))0(sinx－acosx)dx＝∫eq\s\up6(\f(π,4))0(sinx)dx－a∫eq\s\up6(\f(π,4))0(cosx)dx＝1－eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(2),2)a,結合題意有：1－eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(2),2)a＝－eq\f(\r(2),2)，解得：a＝eq\r(2).【答案】B6．若eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝1，eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝－1，則eq\i\in(1,2,)f(x)dx＝________．【解析】∵eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)f(x)dx＋eq\i\in(1,2,)f(x)dx，∴eq\i\in(1,2,)f(x)dx＝eq\i\in(0,2,)f(x)dx－eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝－1－1＝－2.【答案】－27．一物體做變速直線運動，其v－t曲線如圖所示，則該物體在eq\f(1,2)s～6s間的運動路程為________m.【解析】由圖可知，v(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2t，0≤t<1，,2，1≤t≤3，,\f(1,3)t＋1，3<t≤6.))由變速直線運動的路程公式，可得s＝∫6eq\s\do9(\f(1,2))v(t)dt＝∫1eq\s\do9(\f(1,2))2tdt＋eq\i\in(1,3,)2dt＋eq\i\in(3,6,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)t＋1))dt＝t2|1eq\s\do9(\f(1,2))＋2t|eq\o\al(3,1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)t2＋t))|eq\o\al(6,3)＝eq\f(49,4)(m)．所以物體在eq\f(1,2)s～6s間的運動路程是eq\f(49,4)m.【答案】eq\f(49,4)8．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的圖象如圖，直線y＝0在原點處與函數(shù)圖象相切，且此切線與函數(shù)圖象所圍成的區(qū)域(陰影)面積為eq\f(27,4).(1)求f(x)的解析式；(2)若常數(shù)m>0，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[－m，m]上的最大值．【解析】(1)由f(0)＝0得c＝0.f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由f′(0)＝0得b＝0，∴f(x)＝x3＋ax2＝x2(x＋a)，則易知圖中所圍成的區(qū)域(陰影)面積為eq\i\in(0,－a,)[－f(x)]dx＝eq\f(27,4)，從而得a＝－3，∴f(x)＝x3－3x2.(2)由(1)知f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．當x變化時，f′(x)，f(x)的取值變化情況如下：x(－∞，0)0(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)單調遞增極大值f(0)＝0單調遞減極小值f(2)＝－4單調遞增又f(3)＝0，所以①當0<m≤3時，f(x)max＝f(0)＝0；②當m>3時，f(x)max＝f(m)＝m3－3m2.綜上可知：當0<m≤3時，f(x)max＝f(0)＝0；當m>3時，f(x)max＝f(m)＝m3－3m2.B組題1．對于任意實數(shù)a，b，定義max{a，b}＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥b，,b，a<b，))若f(x)＝max{1，x2}，則eq\i\in(－2,2,)f(x)dx＝__________．【解析】eq\i\in(－2,2,)f(x)dx＝eq\i\in(－2,－1,)x2dx＋eq\i\in(－1,1,)1dx＋eq\i\in(1,2,)x2dx＝eq\f(x3,3)|eq\o\al(－1,－2)＋x|eq\o\al(1,－1)＋eq\f(x3,3)|eq\o\al(2,1)＝eq\f(20,3).【答案】eq\f(20,3)2．如圖，在邊長為1的正方形OABC內，陰影部分是由兩曲線y＝eq\r(x)，y＝x2(0≤x≤1)圍成，在正方形內隨機取一點，且此點取自陰影部分的概率是a，則函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log3x（x≥a），,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(x)（x<a）))的值域為________．【解析】設陰影部分的面積為S，則S＝eq\i\in(0,1,)(eq\r(x)－x2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x\s\up6(\f(3,2))－\f(1,3)x3))|eq\o\al(1,0)＝eq\f(2,3)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)，又正方形面積為1，∴a＝eq\f(1,3)，∴f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log3x，x≥\f(1,3)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(x)，x<\f(1,3)，))∴f(x)的值域為[－1，＋∞).【答案】[－1，＋∞)3．我國古代數(shù)學家祖暅提出原理：“冪勢既同，則積不容異”．其中“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高．原理的意思是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平行平面的平面所截，若所截的兩個截面的面積恒相等，則這兩個幾何體的體積相等．如圖所示，在空間直角坐標系O－xyz平面內，若函數(shù)f(x)＝