4.2.1 等差數(shù)列的概念（精練）-2022版高中數(shù)學(xué)新同步精講講練（選擇性必修第二冊(cè)）（教師版含解析）

4.2.1等差數(shù)列的概念題組一判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列題組一判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列1．(2020·河北運(yùn)河·滄州市一中月考)下列說(shuō)法正確是()A．常數(shù)列一定是等比數(shù)列 B．常數(shù)列一定是等差數(shù)列C．等比數(shù)列一定不是擺動(dòng)數(shù)列 D．等差數(shù)列可能是擺動(dòng)數(shù)列【答案】B【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，各項(xiàng)均為的常數(shù)列不是等比數(shù)列，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，常數(shù)列每一項(xiàng)都相等，則常數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若等比數(shù)列的公比滿(mǎn)足，則該等比數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若等差數(shù)列的公差，則該等差數(shù)列為遞增數(shù)列；若，則該等差數(shù)列為常數(shù)列；若，則該等差數(shù)列為遞減數(shù)列.所以，等差數(shù)列一定不是擺動(dòng)數(shù)列，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.2．(2020·吉林南關(guān)·長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末(理))設(shè)a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若，，依次成公差不為0的等差數(shù)列，則()A．a(chǎn)，b，c依次成等差數(shù)列 B．，，依次成等差數(shù)列C．，，依次成等比數(shù)列 D．，，依次成等比數(shù)列【答案】B【解析】∵a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，，，依次成公差不為0的等差數(shù)列，∴，根據(jù)正弦定理可得，∴，∴，∴，∴，，依次成等差數(shù)列.故選：B.3．(2019·佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)月考)下列敘述正確的是()A．與是相同的數(shù)列 B．是常數(shù)列C．?dāng)?shù)列的通項(xiàng) D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列【答案】D【解析】數(shù)列與各項(xiàng)順序不同，不是相同的數(shù)列，故錯(cuò)誤；數(shù)列是擺動(dòng)數(shù)列，故錯(cuò)誤；數(shù)列，通項(xiàng)，故錯(cuò)誤；單調(diào)遞增，則數(shù)列是遞增數(shù)列，故正確.本題正確選項(xiàng)：4．已知數(shù)列滿(mǎn)足，對(duì)一切，，則數(shù)列是()A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列 C．?dāng)[動(dòng)數(shù)列 D．不確定【答案】B【解析】因?yàn)椋詳?shù)列為等比數(shù)列，，又，則，所以得，，故數(shù)列是遞減數(shù)列.故選：B.5．(2020·哈爾濱市第三十二中學(xué)校高一期末)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則此數(shù)列是()A．公差為-1的等差數(shù)列 B．公差為5的等差數(shù)列C．首項(xiàng)為5的等差數(shù)列 D．公差為n的等差數(shù)列【答案】A【解析】∵，∴，∴{an}是公差的等差數(shù)列．故選：A題組二求等差數(shù)列的通項(xiàng)或項(xiàng)題組二求等差數(shù)列的通項(xiàng)或項(xiàng)1．(2020·江蘇江都·邵伯高級(jí)中學(xué)月考)在等差數(shù)列{an}中，若，公差d=2，則a7=()A．7 B．9 C．11 D．13【答案】A【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}中，且，公差d=2，所以a7=a3+4d=7.故選：A2．(2020·內(nèi)蒙古扎魯特旗·扎魯特一中期末(文))已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，則中一定為零的項(xiàng)是()A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)數(shù)列的公差為，則，，∴．故選：C．3．(2020·北京平谷·期末)已知等差數(shù)列中那么()A．17 B．9 C．10 D．24【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，故選：B.4．(2019·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，則公差()A． B．4 C．8 D．16【答案】B【解析】等差數(shù)列中5(2019·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))等差數(shù)列的第項(xiàng)是()A． B． C． D．【答案】A【解析】由題,等差數(shù)列,,,故選A6．(2020·陜西商洛·期末(文))若等差數(shù)列的公差，則_______．【答案】【解析】設(shè)，，，則．又，則，故答案為：.題組三等差中項(xiàng)題組三等差中項(xiàng)1．(2020·上海高二課時(shí)練習(xí))已知一等差數(shù)列中依次的三項(xiàng)為，則______.【答案】2【解析】由等差中項(xiàng)定義得：，解得：.故答案為：2.2．(2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))若，，成等差數(shù)列，則______.【答案】0或1【解析】由題,,即,或0故答案為：0或13．(2020·甘肅武威十八中高一課時(shí)練習(xí))已知，，成等差數(shù)列，則______．【答案】【解析】因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，，因此4．(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))已知(1，3)，(3，-1)是等差數(shù)列圖像上的兩點(diǎn)，若5是p，q的等差中項(xiàng)，則的值為_(kāi)_____?！敬鸢浮俊窘馕觥吭O(shè)等差數(shù)列通項(xiàng)公式為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)得，解得，即，由于是的等差中項(xiàng)，故，所以.5．(2020·陜西省洛南中學(xué)高二月考)在等差數(shù)列中，已知,則

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)A．10 B．11 C．12 D．13【答案】A【解析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)得，所以，則，所以，，故選：A.6.(2020·全國(guó)月考)在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，成等差數(shù)列，且，則外接圓的面積為()A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，則，由正弦定理可知，，解得：.所以外接圓的半徑為，從而外接圓的面積為.故選：A.題組四證明數(shù)列為等差數(shù)列題組四證明數(shù)列為等差數(shù)列1．(2020·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)(理))數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1，nan+1=(n+1)an+n(n+1)，n∈N*.證明：數(shù)列是等差數(shù)列.【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】證明：由已知可得=+1，即=1，所以是以=1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.2．(2020·上海高二課時(shí)練習(xí))數(shù)列的通項(xiàng)公式是．(1)求證：是等差數(shù)列，并求出其公差；(2)判斷、是否是數(shù)列中的項(xiàng)，如果是，是第幾項(xiàng)？【答案】(1)證明見(jiàn)解析，公差為；(2)是該數(shù)列的第項(xiàng)，不是該數(shù)列中的項(xiàng).【解析】(1)，則，，所以，數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為；(2)令，即，解得；令，即，解得.所以，是該數(shù)列的第項(xiàng)，不是該數(shù)列中的項(xiàng).3．(2019·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(1)0.98是不是這個(gè)數(shù)列中的一項(xiàng)？(2)判斷此數(shù)列的單調(diào)性，并求最小項(xiàng).【答案】(1)是第7項(xiàng)(2)遞增數(shù)列，【解析】(1)令,即,,可解得,故為第7項(xiàng)(2)由題,是遞增數(shù)列,的最小項(xiàng)為4．(2019·全國(guó)課時(shí)練習(xí))已知數(shù)列滿(mǎn)足令．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【解析】(1)證明：∵an＝4－(n≥2)，∴an＋1－2＝2－＝(n≥1)．∴＝＝＋(n≥1)，即bn＋1－bn＝(n≥1)．∴{bn}為等差數(shù)列．(2)解：∵為等差數(shù)列，∴＝＋(n－1)·＝.∴an＝2＋.∴{an}的通項(xiàng)公式為an＝2＋5．(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))已知數(shù)列中，，，數(shù)列滿(mǎn)足。(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列。(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式。【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)【解析】(1)證明：由題意知，，又，故，又易知，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列。(2)由(1)知，所以由，可得，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為。題組五數(shù)列的單調(diào)性題組五數(shù)列的單調(diào)性1．(2020·河南高二期中(文))已知等差數(shù)列的公差為整數(shù)，首項(xiàng)為13，從第五項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)，則等于()A．-4 B．-3 C．-2 D．-1【答案】A【解析】在等差數(shù)列中，由，得，得，

∵公差為整數(shù)，．故選A．2．(2020·四川廣安·高一期末(理))已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝n＋(n∈N*)，則數(shù)列{an}的最小項(xiàng)是()A．a(chǎn)12 B．a(chǎn)13 C．a(chǎn)12或a13 D．不存在【答案】C【解析】令，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得：當(dāng)時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減。∴數(shù)列{an}的最小項(xiàng)是a12=25與a13=25中的最小值，因此數(shù)列{an}的最小項(xiàng)是a12或a13.本題選擇