重積分主要內(nèi)容

主要內(nèi)容二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的計算法二重積分的應(yīng)用三重積分的概念及其計算法利用柱面坐標和球面坐標計算三重積分

第九章重積分

1第九章重積分1、理解重積分的定義，熟悉重積分的性質(zhì)；2、掌握二重積分的計算法（包括直角坐標，極坐標），掌握三重積分的計算法（包括直角坐標，柱面坐標，球面坐標）3、熟悉重積分在幾何、物理中的應(yīng)用（包括平面圖形的面積、立體體積；平面薄片和空間立體的質(zhì)量、重心和轉(zhuǎn)動慣量（慣性矩））；2第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的引入二重積分的概念二重積分的性質(zhì)3=底面積×高特點：平頂.=？特點：曲頂.2．曲頂柱體的體積一、問題的提出1．平頂柱體的體積4二、二重積分的概念1．什么是曲頂柱體？顯然，平頂柱體的體積=底面積×高，而曲頂柱體的體積不能直接用上式計算，那么怎樣來計算呢？以xoy平面的有界閉區(qū)域D為底、側(cè)面是以D的邊界曲線C作準線而母線平行于軸的柱面，頂是曲面這里且在D上連續(xù)所形成的立體稱為曲頂柱體（如上圖）。2.其體積V怎樣計算？5由第五章求曲邊梯形面積的方法就不難想到下面的解決辦法：

用一組曲線網(wǎng)將xoy面上的區(qū)域D劃分為n個小區(qū)域也同時記為它們的面積，分別以各小閉區(qū)域的邊界曲線為準線，作母線平行于z軸的柱面，這些柱面把原曲頂柱體分為n個小曲頂柱體．當(dāng)這些小閉區(qū)域的直徑很小時，連續(xù)函數(shù)的變化不大，這時小曲頂柱體可近似看作平頂柱體．在每個中各任取一點6為高而底為的小平頂柱體體積為這n個平頂柱體體積之和可作為整個曲頂柱體體積的近似值．令n個小閉區(qū)域的直徑中的最大值（記作λ）趨于零，取上述和的極限，所得的極限就定義為所論曲頂柱體的體積綜合起來，即所謂“分割、近似、作和、取極限”四步。7求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．8求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．9求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．10求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．11求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．12求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．13求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．14步驟如下：(3)用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，(4)取極限：曲頂柱體的體積(1)先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域15２．求平面薄片的質(zhì)量將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量（極限）163.二重積分的定義17積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達式面積元素注：18(3)幾何意義：當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積．當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體體積的負值．D(5)面積元素為二重積分可寫為19性質(zhì)１當(dāng)為常數(shù)時，性質(zhì)２（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）三、二重積分的性質(zhì)20性質(zhì)３對區(qū)域具有可加性性質(zhì)４若為D的面積，性質(zhì)５若在D上推論(1)則有21性質(zhì)６（二重積分估值不等式）22解23性質(zhì)７（二重積分中值定理）24解25性質(zhì)826思考題將二重積分定義與定積分定義進行比較，找出它們的相同之處與不同之處.課外思考題：能否用一個積分式表示二者？27定積分與二重積分都表示某個和式的極限值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)．不同的是定積分的積分區(qū)域為區(qū)間，被積函數(shù)為定義在區(qū)間上的一元函數(shù)，而二重積分的積分區(qū)域為平面區(qū)域，被積函數(shù)為定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù)．思考題解答