濟(jì)南2023學(xué)年高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)a,b,c為非零實(shí)數(shù)，且a>c,b>c,貝！I（）

,,a+b112

A.ci+b>cB.ab>c~C.------>cD.-I—>一

2abc

2.若（x—a）（l+3x）6的展開式中x'的系數(shù)為-45,則實(shí)數(shù)4的值為（）

2I1

A.—B?2C.-D.一

343

3.在AABC中，內(nèi)角A的平分線交8c邊于點(diǎn)O,A3=4,AC=8,BD=2,則的面積是（）

A.1672B.V15C.3D.

4.已知復(fù)數(shù)二滿足|z|=l,則|z+2r]的最大值為（）

A.2+3B.1+75C.2+V5D.6

5.已知雙曲線的一條漸近線方程是,二"方,則雙曲線的離心率為（）

a3

A百R#c62A/3

A.B.C.ND.-------

3323

6.已知函數(shù)/（力二尸：；+3,g（x）=-x+m+2,若對(duì)任意玉e[1,3],總存在/e[1,3],使得/（石）=8（￡）

成立，則實(shí)數(shù)〃？的取值范圍為（）

(17~1

%B.-00,3U[9,+8)

9-_9

C14ZU_

2-I2-

-

7.若某幾何體的三視圖（單位:cm）如圖所示，則此幾何體的體積是（）

目3圈

正視圖倒視圖

俯視圖

A.36cm3B.48cm3

8.拋物線-=3ay的準(zhǔn)線方程是y=l

33

A.----B?一

44

14-_r

9.函數(shù)/(x)=ln|—|的圖象大致為

1-x

（1\

10.已知函數(shù)“X）是/?上的偶函數(shù)，且當(dāng)140,48）時(shí)，函數(shù)八%）是單調(diào)遞減函數(shù)，則/（噢25）,flog3-

\5J

/（logs?）的大小關(guān)系是（）

A./^log31</(log53)</(log25)B./^log31J</(log25)</(log53)

c./(log53)</10g31\/(10g25)D./(log25)</^log31</(10g53)

11.已知集合A={y|y=|x|-1,xGR},B={x|x>2},則下列結(jié)論正確的是()

A.-3CAB.3eBC.AOB=BD.AUB=B

12.已知f（x）=ax?+bx是定義在（a-L2a］上的偶函數(shù)，那么a+b的值是

11

A.----B.一

33

1I

C.一一D.-

22

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

s

13.記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，已知2s“一%+1=〃(%+1),且。2=5.若〃＞端，則實(shí)數(shù)，”的取值范圍為

14.已知雙曲線，-菅=1(。＞02＞0)的兩條漸近線方程為y=±#x，若頂點(diǎn)到漸近線的距離為1,則雙曲線方

程為.

15.設(shè)直線/過雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的一條對(duì)稱軸垂直，/與C交于A,5兩點(diǎn)，卜以為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，

則雙曲線C的離心率為.

16.某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、3原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A

原料2千克，8原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是300元,每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，

要求每天消耗4B原料都不超過12千克.通過合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的

最大利潤(rùn)是__________元.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，。是邊長(zhǎng)為4的正方形ABC。的中心，PO1平面ABC。，E為8。的

(I)求證：平面PAC_L平面P8D；

(II)若PE=3,求二面角。一PE—B的余弦值.

18.(12分)若關(guān)于x的方程/+(根-2)x+5-機(jī)=0的兩根都大于2,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

19.(12分)已知數(shù)列｛。,｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列("eN*),q=2,且2q,生，34成等差數(shù)列.

(I)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

(U)設(shè)勿=log24,S“為數(shù)列｛么｝的前〃項(xiàng)和，記(,=[+=+[+...+J,證明：L,(<2.

J〕d2%%

'13]「—23一

20.(12分)已知矩陣4=8=,,,且二階矩陣M滿足AM=5,求M的特征值及屬于各特征值的一個(gè)

21J11

特征向量.

21.(12分)已知橢圓。：9尤2+〉2=加2(機(jī)>()),直線/不過原點(diǎn)0且不平行于坐標(biāo)軸，/與。有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線

段AB的中點(diǎn)為M.

(I)證明：直線。0的斜率與/的斜率的乘積為定值；

ITI

(II)若/過點(diǎn)(1,〃2),延長(zhǎng)線段OM與C交于點(diǎn)尸，四邊形Q4P3能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)/的斜率，若

不能，說明理由.

22.(10分)某公司為了鼓勵(lì)運(yùn)動(dòng)提高所有用戶的身體素質(zhì)，特推出一款運(yùn)動(dòng)計(jì)步數(shù)的軟件，所有用戶都可以通過每

天累計(jì)的步數(shù)瓜分紅包，大大增加了用戶走步的積極性，所以該軟件深受廣大用戶的歡迎.該公司為了研究“日平均走

步數(shù)和性別是否有關(guān)”，統(tǒng)計(jì)了2019年1月份所有用戶的日平均步數(shù)，規(guī)定日平均步數(shù)不少于8000的為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”，

步數(shù)在8000以下的為“非運(yùn)動(dòng)達(dá)人”，采用按性別分層抽樣的方式抽取了100個(gè)用戶，得到如下列聯(lián)表：

運(yùn)動(dòng)達(dá)人非運(yùn)動(dòng)達(dá)人總計(jì)

男3560

女26

總計(jì)100

(1)(0將2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整；

(?)據(jù)此列聯(lián)表判斷，能否有99%的把握認(rèn)為“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”？

(2)將頻率視作概率，從該公司的所有人“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”中任意抽取3個(gè)用戶，求抽取的用戶中女用戶人數(shù)的分布列及期

望.

附：

2

P(K>k0)0.0500.0100.001

k°3.8416.63510.828

n^ad-bcy

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

取。=T,6=T,c=-2,計(jì)算知.錯(cuò)誤，根據(jù)不等式性質(zhì)知C正確，得到答案.

【詳解】

a>c,b>c,故a+b>2c,^^->c,故C正確；

^a=-\,b=-\,c=-2,計(jì)算知詼錯(cuò)誤；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了不等式性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)于不等式性質(zhì)的靈活運(yùn)用.

2.D

【解析】

將多項(xiàng)式的乘法式展開，結(jié)合二項(xiàng)式定理展開式通項(xiàng)，即可求得。的值.

【詳解】

(x-a)(l+3x'=x(l+3x]—tz0+3%)6

所以展開式中1的系數(shù)為C；32-=135-540。=-45,

解得a=7-

3

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式定理展開式通項(xiàng)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，指定項(xiàng)系數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.

3.B

【解析】

利用正弦定理求出C。，可得出BC,然后利用余弦定理求出cos3,進(jìn)而求出sin8,然后利用三角形的面積公式可

計(jì)算出的面積.

【詳解】

?.?AD為N3AC的角平分線，則N84￡>=NC4O.

?：ZADB+ZADC^7V,則NADC=;r—NA/犯，

sinZADC=sin(乃-ZADB)=sinZADB,

4RBD即焉而2

在A/WD中,由正弦定理得二———①

sinZADB—sinABADsinZBAD

在AACD中，由正弦定理得----------=----------,即----------=----------

sinZADCsinZADCsinZADCsinZ.CAD

21

①十②得一=一，解得CD=4,；.BC=BD+CD=6,

CD2

MH”先?AB2+BC2-AC2

由余弦定理得cosB=----------------------，sinB=V1-COS2B=-

2ABBC44

因此，AWD的面積為5?屹=(48-80豆118=后.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形面積的計(jì)算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

4.B

【解析】

設(shè)2=“+方,4,。€/?,|z+2-z|=7(?+2)2+0-1)2?利用復(fù)數(shù)幾何意義計(jì)算.

【詳解】

22

設(shè)2=4+加,由已知，a+b=l,所以點(diǎn)S，切在單位圓上，

而|z+2-i|=|(a+2)+S—l)i|=+2P+S-1)2,7(a+2)2+0-1)2表示點(diǎn)(。，b)

到(-2,1)的距離，a|z+2-z|<7(-2)2+12+1=1+石.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查求復(fù)數(shù)模的最大值，其實(shí)本題可以利用不等式Iz+2-i國z|+12-i|來解決.

5.D

【解析】

222

雙曲線的漸近線方程是y=±'x,所以』=且，即。=百力=1,c=a+b=4，即c、=2,e=±=乙叢,

aa3a3

故選D.

6.C

【解析】

將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，并求得尸(X),根據(jù)當(dāng)辦目1,3］時(shí)/'(力＞()可得〃不)的值域；由函數(shù)g(x)=r+m+2

在/e［1,3］上單調(diào)遞減可得8優(yōu))的值域，結(jié)合存在性成立問題滿足的集合關(guān)系，即可求得團(tuán)的取值范圍.

【詳解】

依題意f(x}==爐+"+2("+1)+1

\)x+ix+\

-x-\----------F29

x+1

貝M'(x)=l一1"，

(x+1)

當(dāng)xe［l,3］時(shí)，r(x)＞(),故函數(shù)/(x)在［1,3］上單調(diào)遞增，

「72廠

當(dāng)司＜1,3］時(shí),

而函數(shù)8(司=-%+加+2在［1,3］上單調(diào)遞減，

故g(X2)e［mT,m+l］，

7211

則只需+

24

故~；2，解得1丁7＜，〃＜9《，

,、2142

m+\＞--

I4

'179"|

故實(shí)數(shù)，〃的取值范圍為—.

_42_

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，恒成立與存在性成立問題的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

7.B

【解析】

試題分析：該幾何體上面是長(zhǎng)方體，下面是四棱柱；長(zhǎng)方體的體積彳=2-2-4=16,四棱柱的底面是梯形，體積為

6=g(2+6)-2-4=32,因此總的體積V=16+32=48.

考點(diǎn)：三視圖和幾何體的體積.

8.C

【解析】

根據(jù)準(zhǔn)線的方程寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再對(duì)照系數(shù)求解即可.

【詳解】

4

因?yàn)闇?zhǔn)線方程為y=1，所以拋物線方程為X2=-4)，,所以3。=T,即。=一§.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線與準(zhǔn)線的方程.屬于基礎(chǔ)題.

9.D

【解析】

由題可得函數(shù)/(X)的定義域?yàn)閧XIXH±1},

因?yàn)?(-X)=In1=1=-In|，|=-"x),所以函數(shù)，(X)為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)B；

1+x1-x

又f(l.l)=In21>1,/(3)=ln2<l,所以排除選項(xiàng)A、C,故選D.

10.D

【解析】

利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得log25>log35>log53,再根據(jù)f(x)的單調(diào)性和奇偶性可得正確的選項(xiàng).

【詳解】

因?yàn)閗g5>log33=1,0=log51<log,3<log55=1,

故Iog35>log53>0.

又log25>log,4=2=log,9>log35>0,故log25>log,5>logs3.

因?yàn)楫?dāng)xe[0,+8)時(shí)，函數(shù)/(x)是單調(diào)遞減函數(shù)，

所以/(log25)</(log35)</(log53).

因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故/(log3g)=/(Tog35)=〃log35),

所以/(log,5)</[10g31|</(log53).

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性在大小比較中的應(yīng)用，比較大小時(shí)注意選擇合適的中間數(shù)

來傳遞不等關(guān)系，本題屬于中檔題.

11.C

【解析】

試題分析：集合A={y|yN-l}.?.8=A，AcB=B

考點(diǎn)：集合間的關(guān)系

12.B

【解析】

依照偶函數(shù)的定義，對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，f(-x)=f(x),且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，a-1=-2a,即可得解.

【詳解】

根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(x)是定義在[a-L2a]上的偶函數(shù)，

得a-l=-2a,解得a=1，又f(-x)=f(x),

3

b=0，a+b=—.故選B.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查偶函數(shù)的定義，對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，f(-x)=f(x)；奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域必然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，定

義域區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)互為相反數(shù).

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(2,+oo)

【解析】

根據(jù)遞推公式，以及％,S,,之間的關(guān)系，即可容易求得再根據(jù)數(shù)列市的單調(diào)性，求得其最大值，則參數(shù)的范

圍可求.

【詳解】

當(dāng)〃=2時(shí)，2s2-生+1=2(4+1)，解得52=8.所以6=3.

因?yàn)?s“一?！?1=n[an+1),

則25?+|-a,*1+1=(〃+l)(a?+l+1),

兩式相減，可得2a.+i=(〃+2)a“+i-(〃+l)a”+l,

即〃4川-(〃+1)?！?1=0,

則(〃+1)%+2一(〃+2)%+1+1=。.兩式相減，

可得4+2-2%+1+%=°.

所以數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列，

所以a“=2〃+l,則工=石士幺.

2"2"

S2-n2

令，L=2,貝姐中一。二二一.

2"""+in

當(dāng)“22時(shí)，bn+l-bn<0,數(shù)列｛a｝單調(diào)遞減，

而々=5，么=2，b3=—,

故機(jī)>2,即實(shí)數(shù)〃?的取值范圍為(2,+8).

故答案為：(2,+00).

【點(diǎn)睛】

本題考查由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，涉及數(shù)列單調(diào)性的判斷，屬綜合困難題.

14.看上1

44

【解析】

由已知&=立

，即a■病，取雙曲線頂點(diǎn)3⑼及漸近線丁=①*，則頂點(diǎn)到該漸近線岳-3y?0的距離為

a3

由題可知《-2,所以，=馬，則所求雙曲線方程為二—士=1.

J兩+3?2近44

15.百

【解析】

22222

不妨設(shè)雙曲線與?=1，焦點(diǎn)網(wǎng)―c,o),令二—4=i,x=cny=±忙，由IA卻的長(zhǎng)為實(shí)軸的二倍能夠推

ab~aha

導(dǎo)出C的離心率.

【詳解】

>,2

不妨設(shè)雙曲線C:二=1,

4~

焦點(diǎn)尸（一。,0）,對(duì)稱軸y=0,

2212

由題設(shè)知0一斗~=l,x=c=>y=±—,

a~b~a

因?yàn)閨A5|的長(zhǎng)為實(shí)軸的二倍，

"-=4a,b2—2a2,

a

c2-a2=2a2,c2=3a2,

??.e=￡=6,故答案為JL

a

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)求雙曲線的離心率，屬于中檔題.求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行

分析，既使不畫出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時(shí)，要

理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.求離心率問題應(yīng)先將e用有關(guān)的一些量表示出來，再利用其中的一

些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于e的等式，從而求出。的值.

16.1元

設(shè)分別生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品為x桶，桶，利潤(rùn)為z元

x+2y<12

則根據(jù)題意可得2x+y?12

x,y>0且x,y&N

目標(biāo)函數(shù)z=300x+400y,作出可行域，如圖所示

作直線L：3x+4y=0,然后把直線向可行域平移,

由圖象知當(dāng)直線經(jīng)過A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=300x+400)，的截距最大，此時(shí)工最大,

x+2)：=12x=4

可得<,即A(4,4)

2x+j?=l2|y=4

此時(shí)z最大Z=300x4+400x4=2800，

即該公司每天生產(chǎn)的甲4桶，乙4桶，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為1.

【點(diǎn)睛】本題考查用線性規(guī)劃知識(shí)求利潤(rùn)的最大值，根據(jù)條件建立不等式關(guān)系，以及利用線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解是

解決本題的關(guān)鍵.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(I)詳見解析；(H)一拽國.

29

【解析】

(I)由正方形的性質(zhì)得出AC，8D,由PO,平面ABC。得出AC_LPO,進(jìn)而可推導(dǎo)出AC_L平面只我，再利

用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；

(II)取的中點(diǎn)連接OM、OE,以O(shè)M、OE、OP所在直線分別為“、＞、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

利用空間向量法能求出二面角。一FE—3的余弦值.

【詳解】

(I)?.?鉆8是正方形，；.4。_18。，

?.?PO_L平面ABC。，4。匚平面438,..。0,4。.

?;OP、BDu平面PBD,且OPcB￡)=。，，AC_L平面PBD,

又ACu平面P4C,平面B4C_L平面；

(n)取A3的中點(diǎn)M，連接。W、OE,

?.?A8CD是正方形，易知OM、OE、O尸兩兩垂直，以點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)M、OE、OP所在直線分別為％、＞、

z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一孫z,

在RfAPOE中，：OE=2,PE=3,:.PO=6

,以2,2,0)、。(一2,-2,0)、尸倒,0,司、￡(0,2,0),

設(shè)平面P8E的一個(gè)法向量而=(X，X，zJ,麗=(-2,0,0),厚=(0,2,-石)，

由—.，得《廠，令y=6，則％=0,4=2,.?.機(jī)=0,j5,2).

7

m-PE=0[2y]-V5z,=0'

設(shè)平面尸￡)石的一個(gè)法向量“=(%,%,Z2)，￡>￡=(2,4,0),尸石=(0,2,_際),

n-DE=Q?2x2+4y2=0「一([-「、

由，—，得,,取%=石，得Z2=2,%=-2也,得〃=(一245,45,2).

n-PE=02y2—--0

m-n3V29

cos<m,n>=|一|if

29'

???二面角D-PE-B為鈍二面角，，二面角D-PE-B的余弦值為―圭叵

29

【點(diǎn)睛】

本題考查面面垂直的證明，同時(shí)也考查了利用空間向量法求解二面角,考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.

18.(-5,-4]

【解析】

/(2)>0

先令f(x)=x2+(m-2)x+5-m，根據(jù)題中條件得到<-竺&2,求解，即可得出結(jié)果.

2

A>0

【詳解】

因?yàn)殛P(guān)于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的兩根都大于2,

令f(x)=x2+(m-2)x+5-m

/(2)=4+2m-4+5-根>0

-匕N2

所以有《

2

△=(用一2/一20+4m>0

m>-5

解得〈加K—2,所以—5<mWT.

m>4或m<-4

【點(diǎn)睛】

本題主要考查一元二次方程根的分布問題，熟記二次函數(shù)的特征即可，屬于?？碱}型.

19.(I)a?=2",neN*；(D)見解析

【解析】

(I)由4=2,且2%,%,3%成等差數(shù)列，可求得g,從而可得本題答案；

1

(H)化簡(jiǎn)求得勿，然后求得不，再用裂項(xiàng)相消法求7；,即可得到本題答案.

J”

【詳解】

(I)因?yàn)閿?shù)列｛《,｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列(〃eN*),4=2,可設(shè)公比為q,q>(),

又24,4,34成等差數(shù)列，

所以2q+34,即2x2/=4+3x2^,

解得4=2或4=—；(舍去)，則《,=4/i=2",neN";

(U)證明：b“=log2an=log,2"=n,

s“=/(〃+i),￡=前y=2(D，

.1111”11111、c八1、

則7針……+\=2(1-2+2-3+-+n-^l)=2(1-^Tb

因?yàn)閛<—所以142卜--1]<2

〃+121n+lj

即"7；<2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，以及用裂項(xiàng)相消法求和并證明不等式，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和推理證明

能力.

20.特征值為1,特征向量為

【解析】

設(shè)出矩陣M結(jié)合矩陣運(yùn)算和矩陣相等的條件可求矩陣M,然后利用Ma=Aa可求特征值的另一個(gè)特征向量.

【詳解】

ab13aba+3ch+3d—23

設(shè)矩陣.?則AM=

ca21cd2a+c2b+d11

a+3c——2

b+3d=3，八,Fl0

所以,解得"=1,人=（）,。=-1,。=1,所以M=

2a+c=i-11

2b+d=\

則矩陣M的特征方程為/（4）=（/I-1）2=0,解得X=l,即特征值為1,

-x一一

設(shè)特征值4=1的特征向量為a=,則Ma=4a，

上

x~\一「。

即,解得工=0,所以屬于特征值的4=1的一個(gè)特征向量為a=,

—x+yy]L1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查矩陣的運(yùn)算及特征量的求解，矩陣運(yùn)算的關(guān)鍵是明確其運(yùn)算規(guī)則，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

21.（I）詳見解析；（II）能，4-々或4+々.

【解析】

試題分析：（D設(shè)直線/子=依+〃伏工0,。工0）,直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理求根與系數(shù)的關(guān)系，并

表示直線QW的斜率，再表示左皿-與；

9

（2）第一步由（1）得0加的方程為丁=-7].設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為與,直線與橢圓方程聯(lián)立求點(diǎn)尸的坐標(biāo)，第

k

二步再整理點(diǎn)M的坐標(biāo)，如果能構(gòu)成平行四邊形，只需孫=2均，如果有左值，并且滿足%>0,左。3的條件就說

明存在，否則不存在.

試題解析：解：⑴設(shè)直線/：y=&+b*工0）,4%,必），5（工2，%），〃（%，加）.

y=kx+b

工由個(gè),7,得（左2+9）/+2的+〃一機(jī)2=o,

9廠+y=m

x,+x9kb,.9b

.』=丁=-FT?'^

直線OA/的斜率勺加=2紇=一?，即勺”M=-9.

即直線OM的斜率與/的斜率的乘積為定值-9.

（2）四邊形04PB能為平行四邊形.

?.?直線/過點(diǎn)（最,，〃），.?./不過原點(diǎn)且與C有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是左>（）,k手3

9

由（1）得0加的方程為），=一7%.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為斗.

9

,y=—x,2JtWikm

?,?由｛k得

4-9t2+812

9尤2+y~=加\3x/k+9

m(3-k),mk(k—3)

將點(diǎn)（-,m）的坐標(biāo)代入直線/的方程得b'因此”=而而.

3

四邊形加方為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段A8與線段0P互相平分，即今=2九M

±km_之xmk(k-3)

解得K=4-J7,k=4+5/7.

3JL+9X3(^2+9)2

?:&>0,k產(chǎn)3,j=l