人教版八年級數(shù)學(xué)上冊 專題13.1-13.2 軸對稱及畫軸對稱圖講練（原卷版）

專題13.1-13.2軸對稱及畫軸對稱圖典例體系一、知識點(diǎn)1、軸對稱（1）.軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么就稱這個圖形是軸對稱圖形；這條直線叫做它的對稱軸；也稱這個圖形關(guān)于這條直線對稱；兩個圖形關(guān)于這條直線對稱：一個圖形沿一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這（2）.兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，叫做對稱點(diǎn)；軸對稱圖形與兩個圖形成軸對稱的區(qū)別：軸對稱圖形是指一個圖形沿對稱軸折疊后這個圖形的兩部分能完全重合；而兩個圖形成軸對稱指的是兩個圖形之間的位置關(guān)系，這兩個圖形沿對稱軸折疊后能夠重合；（3）.軸對稱圖形與兩個圖形成軸對稱的聯(lián)系：把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，這兩個圖形關(guān)于這條軸對稱；把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，它就是一個軸對稱圖形。（4）.垂直平分線：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線；如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；（5）.軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；對稱的兩個圖形是全等的；（6）.垂直平分線性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等；逆定理：與一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上；（7）.垂直平分線的尺規(guī)作圖2、作軸對稱圖形（1）.作軸對稱圖形：分別作出原圖形中某些點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對應(yīng)點(diǎn)，再連接這些對應(yīng)點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對稱圖形；（注意取特殊點(diǎn)）（2）.點(diǎn)（x,y）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為：（x,-y）;點(diǎn)（x,y）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為：（-x,y）;二、考點(diǎn)點(diǎn)撥與訓(xùn)練考點(diǎn)1：軸對稱圖形的識別典例：（2020·江蘇新沂初三一模）剪紙藝術(shù)是我國古老的民間藝術(shù)之一，作為一種鏤空藝術(shù)，它能給人以視覺上的透空感覺和藝術(shù)享受．下列剪紙作品中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查了軸對稱圖形，理解其概念是判斷軸對稱圖形的關(guān)鍵.鞏固練習(xí)1．（2020·福建寧德初一期末）下列圖案分別表示“福”“祿”“壽”“喜”，其中不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2020·山東濟(jì)南初一期末）漢字書法博大精深，下列漢字“行”的不同書寫字體中，是軸對稱圖形的是()A． B． C． D．3．（2020·河南郟縣初一期末）以下是小明收集的四個軸對稱圖案，他收集錯的是（）A． B． C． D．4．（2020·山東槐蔭初一期末）如圖，四個圖標(biāo)分別是劍橋大學(xué)、北京大學(xué)、浙江大學(xué)和北京理工大學(xué)的?；盏闹匾M成部分，其中是軸對稱圖形的是()A． B．C． D．5．（2020·河南羅山初二期末）下列全國志愿者服務(wù)標(biāo)識的設(shè)計(jì)圖中，是軸對稱圖形的是（）A．B． C． D．6．（2020·全國初二課時練習(xí)）我們理應(yīng)對我們所得的一切心懷感恩，這是我們強(qiáng)大的基礎(chǔ).少年強(qiáng)則國強(qiáng)，中國強(qiáng)則中國少年更強(qiáng)，中國強(qiáng)就是因?yàn)樯倌陱?qiáng).為了慶祝祖國生日小強(qiáng)做了以下幾幅剪紙作品，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．考點(diǎn)2：與線段垂直平分線相關(guān)的尺規(guī)作圖典例：（2020·廣東禪城初一期末）已知△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°．（1）尺規(guī)作圖：在AB邊上找一點(diǎn)D使得DB＝DC（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）求∠ADC．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查了線段垂直平分線的作法，線段垂直平分線的判定，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，掌握線段垂直平分線的畫法是解題關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．（2020·山東嵐山初二期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠C＝70°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD，則∠DAC的度數(shù)為（）A．60° B．50° C．40° D．30°2．（2022·河南伊川初二期末）如圖，△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連結(jié)AD，則∠BAD的度數(shù)為（）A．65° B．60°C．55° D．45°3．（2020·重慶南岸初二期末）如圖，已知△ABC（AC＜BC），用尺規(guī)在BC邊上確定一點(diǎn)P，使得PA+PC=BC，則下列四種不同的作圖方法中，正確的是（）A．B．C． D．4．（2020·山東中區(qū)濟(jì)南外國語學(xué)校初一期末）如圖，長方形ABCD中∠DAC＝68°，請依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，求出∠α等于()A．34° B．44° C．56° D．68°5．（2020·浙江婺城初三三模）如圖，在中，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)，，連接，交于點(diǎn)，連接，若的周長為，，則的周長為（）A． B． C． D．6．（2020·全國初二課時練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中∠C＝90°，AB＞BC，分別以頂點(diǎn)A、B為圓心，大于AB長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點(diǎn)M、N，作直線MN交邊CB于點(diǎn)D．若AD＝5，CD＝3，則BC長是（）A．7 B．8 C．12 D．137．（2022·云南初三二模）如圖，分別以線段的端點(diǎn)和為圓心大于的長為半徑作弧，連接兩弧交點(diǎn)，得直線，在直線上取一點(diǎn)，使得，延長至，的度數(shù)為__________．8．（2020·四川成華初一期末）如圖，在中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N；作直線MN分別交BC、AC于點(diǎn)D、點(diǎn)E，若，的周長為13cm，則的周長為________.9．（2020·陜西陳倉初一期末）如圖，在的邊上求作點(diǎn)，做得與的面積相等．（保留作圖痕跡，不寫作法）10．（2020·福建寧德初一期末）如圖，已知△ABC，點(diǎn)P為BC上一點(diǎn)．（1）尺規(guī)作圖：作直線EF，使得點(diǎn)A與點(diǎn)P關(guān)于直線EF對稱，直線EF交直線AC于E，交直線AB于F；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）連接PE，AP，AP交EF于點(diǎn)O，若AP平分∠BAC，請?jiān)冢?）的基礎(chǔ)上說明PE=AF．11．（2020·深圳市龍崗區(qū)智民實(shí)驗(yàn)學(xué)校初一期末）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，用圓規(guī)分別以A、C為圓心，大于AC的一半的長度為半徑畫弧，產(chǎn)生如圖所示的兩個交點(diǎn)M、N，作直線MN，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．（1）根據(jù)作法判斷直線DE為線段AC的線；（2）連接AE，若∠C=36°，求∠BAE的度數(shù)．考點(diǎn)3：線段垂直平分線的性質(zhì)典例：（2020·全國初二課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點(diǎn)O，分別交BC于點(diǎn)D、E，已知△ADE的周長5cm．（1）求BC的長；（2）分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長為13cm，求OA的長．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．（2020·甘肅蘭州初二期末）如圖，在△ABC中，DE是邊AB的垂直平分線，垂足為E，交BC邊于D點(diǎn)，若AC＝5cm，△ADC的周長為17cm，則BC的長為（）A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm2．（2020·山東章丘初一期末）如圖，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E，△BCE的周長等于18cm，則AC的長等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm3．（2020·浙江溫嶺初三一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)E是AC上的點(diǎn)，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，S△AED：S△ABC＝_____．4．（2020·安徽碭山初二期末）如圖，在△ABC中，AC＝5cm，AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)N，△BCN的周長是8cm，則線段BC的長為________cm.5．（2020·全國初二課時練習(xí)）如圖，△ABC中，∠BAC＝108°，E，G分別為AB，AC中點(diǎn)，且DE⊥AB，F(xiàn)G⊥AC，則∠DAF＝_________°．6．（2020·山東商河初二期末）如圖，已知∠BAC=60°,∠B=80°,DE垂直平分AC交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E.(1)求∠BAD的度數(shù)；(2)若AB=10,BC=12,求△ABD的周長.考點(diǎn)4：線段垂直平分線的判定典例：（2020·山東文登初一期中）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度數(shù)；（2）求證：直線AD是線段CE的垂直平分線．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查了直角三角形兩銳角互余、三角形全等的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的判定等，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理與判定定理是解題的關(guān)鍵.鞏固練習(xí)1．（2020·陜西渭濱初一期末）如圖，點(diǎn)A,B,C表示某公司三個車間的位置，現(xiàn)在要建一個倉庫，要求它到三個車間的距離相等，則倉庫應(yīng)建在（）A．△ABC三邊的中線的交點(diǎn)上 B．△ABC三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)上C．△ABC三內(nèi)高線的交點(diǎn)上 D．△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)上2．（2020·湖北宜昌）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，Q，H在一條直線上，且，我們知道按如圖所作的直線為線段的垂直平分線．下列說法正確的是（）．A．是線段的垂直平分線 B．是線段的垂直平分線C．是線段的垂直平分線 D．是的垂直平分線3．（2020·河北遷西初三二模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=32°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB，AC于點(diǎn)M和N，再分別以M，N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接AP并延長交BC于點(diǎn)D①AD是∠BAC的平分線；②CD是△ADC的高；③點(diǎn)D在AB的垂直平分線上；④∠ADC=61°．其中正確的有（）.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2022·湖北十堰初二期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列結(jié)論：①AC-BE=AE；②點(diǎn)E在線段BC的垂直平分線上；③∠DAE=∠C；④BC=3AD，其中正確的個數(shù)有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個5．（2020·北京平谷初三一模）已知銳角∠AOB如圖，（1）在射線OA上取一點(diǎn)C，以點(diǎn)O為圓心，OC長為半徑作弧DE，交射線OB于點(diǎn)F，連接CF；（2）以點(diǎn)F為圓心，CF長為半徑作弧，交弧DE于點(diǎn)G；（3）連接FG，CG．作射線OG．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．∠BOG＝∠AOB B．若CG＝OC，則∠AOB＝30°C．OF垂直平分CG D．CG＝2FG6．（2020·咸陽百靈學(xué)校初二月考）如圖，△ABC中，AC＝BC，直線l經(jīng)過點(diǎn)C，則（）A．l垂直AB B．l平分AB C．l垂直平分AB D．不能確定7．（2020·山東鄆城初二期末）已知，如圖，AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高。求證：AD垂直平分EF。8．（2020·全國初二課時練習(xí)）如圖，點(diǎn)D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，DE＝DF.求證：AD垂直平分EF.9．（2020·北京朝陽初二期末）如圖，△ABC是等邊三角形，△ADC與△ABC關(guān)于直線AC對稱，AE與CD垂直交BC的延長線于點(diǎn)E，∠EAF＝45°，且AF與AB在AE的兩側(cè)，EF⊥AF．（1）依題意補(bǔ)全圖形．（2）①在AE上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)B，點(diǎn)C的距離和最短；②求證：點(diǎn)D到AF，EF的距離相等．考點(diǎn)5：圖形折疊問題（軸對稱圖形性質(zhì)）典例1：（2020·湖北陽新初二期末）如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=100°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，當(dāng)△AMN周長最小時，求∠MAN的度數(shù)是多少？方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查的是軸對稱-最短路線問題，涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關(guān)鍵．典例2：（2020·四川龍泉驛?初一期末）如圖a是長方形紙帶，∠DEF＝15°，將紙帶沿EF折疊成圖b，則∠AEG的度數(shù)_____度，再沿BF折疊成圖c．則圖中的∠CFE的度數(shù)是_____度．方法或規(guī)律點(diǎn)撥此題主要考查了平行線的性質(zhì)和圖形的折疊，關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，折疊前后角的度數(shù)不變．鞏固練習(xí)1．（2020·山東高唐初二期中）如圖，將長方形紙片ABCD沿BD折疊，得到△，與AB交于點(diǎn)E，若∠1＝35°，則∠2的度數(shù)為（）A．30° B．20° C．35° D．55°2．（2020·山東高唐初二期中）如圖，將長方形紙片ABCD沿BD折疊，得到△，與AB交于點(diǎn)E，若∠1＝35°，則∠2的度數(shù)為（）A．30° B．20° C．35° D．55°3．（2020·湖南淥口初一期末）如圖,直線MN是四邊形AMBN的對稱軸,與對角線交與點(diǎn)Q,點(diǎn)P是直線MN上任意一點(diǎn),下列判斷錯誤的是()A．AQ=BQ B．AP=BP C．∠MAP=∠MBP D．∠ANM=∠NMB4．（2020·河南羅山初二期末）如圖,先將正方形紙片對折,折痕為MN,再把B點(diǎn)折疊在折痕MN上,折痕為AE,點(diǎn)B在MN上的對應(yīng)點(diǎn)為H,沿AH和DH剪下,這樣剪得的△ADH中(

)A．AH=DH≠AD B．AH=DH=AD C．AH=AD≠DH D．AH≠DH≠AD5．（2020·山東兗州初一期末）如圖，彈性小球從點(diǎn)P出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動，每當(dāng)小球碰到長方形的邊時反彈，反彈時人射角等于反射角(即：∠1=∠2，∠3=∠4)．小球從P點(diǎn)出發(fā)第1次碰到長方形邊上的點(diǎn)記為A點(diǎn)，第2次碰到長方形邊上的點(diǎn)記為B點(diǎn)，……第2020次碰到長方形邊上的點(diǎn)為圖中的()A．A點(diǎn) B．B點(diǎn) C．C點(diǎn) D．D點(diǎn)6．（2020·江蘇錫山初一期末）如圖，矩形紙片ABCD沿著BE折疊，使C、D兩點(diǎn)分別落在C1、D1處，若∠ABC1＝45°，則∠ABE的度數(shù)為（）A．22.5° B．21.5° C．22° D．21°7．（2020·全國初二課時練習(xí)）如圖，△ABC中，D點(diǎn)在BC上，將D點(diǎn)分別以AB，AC為對稱軸，畫出對稱點(diǎn)E，F(xiàn)，并連接AE，AF．圖中∠EAF的度數(shù)為（）A．113° B．124° C．129° D．134°8．（2020·陜西陳倉初一期末）如圖，是一個三角形紙片，其中，，沿折疊紙片，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，則_____．9．（2020·四川龍泉驛初一期末）如圖有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC＝4cm，BC＝8cm，把紙片的部分折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則△ACD的周長為_____．10．（2020·四川內(nèi)江初一期末）四邊形ABCD中，，，點(diǎn)M、N分別在AB、BC上，將沿MN翻折，得．若，，則_____°；11．（2020·山東鄆城初一期末）如圖，將△ABC沿直線DE折疊后，使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合．已知AC＝5cm，△ADC的周長為17cm，則BC的長為________．12．（2020·湖南淥口初一期末）如圖，點(diǎn)P關(guān)于OA、OB軸對稱的對稱點(diǎn)分別為C、D，連結(jié)CD，交OA于M，交OB于N．（1）若CD的長為18厘米，求△PMN的周長；（2）若∠CPD=131°，∠C=21°，∠D=28°，求∠MPN．考點(diǎn)6：軸對稱與圖形坐標(biāo)典例：（2020·山東嵐山初二期末）如圖，△ABC的三個頂點(diǎn)在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，已知A（3，3），B（﹣3，﹣3），C（1，﹣3）．（1）畫出△ABC及關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；（2）寫出點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)是，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C1的坐標(biāo)是；（3）請直接寫出第四象限內(nèi)以AB為邊且與△ABC全等的三角形的第三個頂點(diǎn)（不與C重合）的坐標(biāo)___________．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題主要考查了運(yùn)用軸對稱變換進(jìn)行作圖、坐標(biāo)確定位置的運(yùn)用以及全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)并準(zhǔn)確找出對應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．（2022·河南伊川初二期末）點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（3,2） B．（-3,2） C．（-3,-2） D．（3,-2）2．（2020·吉林舒蘭初二期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1