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教師資格考試數(shù)學(xué)問題

1給出中學(xué)幾何研究圖形的幾個(gè)主要方法，并試以其中一種為例，說明該種方法的基本特

點(diǎn)。

答：中學(xué)幾何研究圖形的方法主要有：綜合幾何的方法，解析幾何的方法，向量幾何的方

法，函數(shù)的方法等。

綜合幾何的方法是利用幾何的方法研究圖形的性質(zhì)，即用已知的基本圖形的性質(zhì)去研究組

合圖形的性質(zhì)。這種方法的基本特點(diǎn)就是把復(fù)雜的圖形傳化為簡單的圖形，把空間圖形轉(zhuǎn)換為

平面圖形。例如，把兩條線段相等問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形全等關(guān)系，空間兩直線的垂直問題轉(zhuǎn)

化為平面兩直線，利用三視圖研究空間幾何體等。在綜合幾何方法中，平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等是

研究綜合圖形性質(zhì)的基本方法。

2為什么說建立坐標(biāo)系是解析幾何的主要組成部分？

答：建立了坐標(biāo)系，就能把曲線和曲面的性質(zhì)用代數(shù)表示，從而把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問

題來解決。適當(dāng)?shù)倪x擇坐標(biāo)系可以大大簡化對圖形性質(zhì)研究，但圖形的性質(zhì)不會隨著坐標(biāo)系的

變化而改變。我們要研究的正是那些和坐標(biāo)系的選擇無關(guān)的性質(zhì)，或者說建立坐標(biāo)系正是為了

擺脫圖形對坐標(biāo)系的依賴，這在代數(shù)上就表現(xiàn)為在某個(gè)線性變換群下的不變量和不變關(guān)系。

5簡述研究幾何常用的幾何方法

答。研究幾何常用的方法有：綜合的方法，變換的方法，代數(shù)的方法（解析幾何，向量兒

何，代數(shù)拓?fù)?，代?shù)幾何）解析的方法（用函數(shù)及與函數(shù)有關(guān)的性質(zhì)討論圖形）等。在高中階

段，幾何的呈現(xiàn)形式是用綜合幾何的方法認(rèn)識圖形，用解析幾何和向量幾何的方法處理平面曲

線和空間圖形。這里變換的方法和代數(shù)的方法是研究幾何的通用性方法

6從“數(shù)形結(jié)合”的層面論述學(xué)生在函數(shù)學(xué)習(xí)過程中，總感覺“消化不良”的原因。

答：在中學(xué)數(shù)學(xué)中“數(shù)形結(jié)合”是非常重要的思想。學(xué)生在函數(shù)學(xué)習(xí)中會感到困難，很多

情況下是對“數(shù)形結(jié)合”沒有很好的認(rèn)識。

“數(shù)”泛指“數(shù)”所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)例如，代數(shù)式，運(yùn)算，以及符號語言，等等；“形“泛指”

圖形”所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)例如，圖形的直觀，圖形的運(yùn)動，圖形的位置關(guān)系，圖形的性質(zhì)，等等

“數(shù)”又可以理解為用符號語言表達(dá)的規(guī)律；“形”也可以理解為直觀的圖形語言表達(dá)的

規(guī)律。把符號語言和圖形語言結(jié)合起來。把抽象和直觀捆在一起，理解“數(shù)”也就簡單了，準(zhǔn)

確了。應(yīng)當(dāng)把“數(shù)形結(jié)合”當(dāng)做認(rèn)識數(shù)學(xué)概念，討論數(shù)學(xué)問題的一種習(xí)慣。

函數(shù)是客觀世界的一個(gè)基本數(shù)學(xué)模型。因此對于函數(shù)的學(xué)習(xí)，應(yīng)該將體會函數(shù)，理解函數(shù)，

運(yùn)用函數(shù)解決問題有機(jī)的結(jié)合起來，這都離不開函數(shù)圖像，盡量的畫出函數(shù)圖像。才能更好的

把握住一個(gè)函數(shù)的基本情況。

7闡述解析幾何中之所以強(qiáng)調(diào)圖形的原因。

答：(1)解析幾何的研究對象就是圖形。

在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直角坐標(biāo)系，在直角坐標(biāo)系中，研究了一些基本的函數(shù)圖像，同

時(shí)，從綜合幾何的角度學(xué)習(xí)了直線和圓的一些基本性質(zhì)。在解析幾何初步中主要研究的對象仍

是直線和圓

(2)解析幾何最終是解決幾何問題

解析幾何研究問題的基本思路是：建立直角坐標(biāo)系；將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)的語言描

述幾何要素及其關(guān)系，進(jìn)而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；；并用代數(shù)方法處理這些代數(shù)問題；分

析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，最終解決幾何問題。因?yàn)樗芯康暮诵氖菐缀螁栴}，所以必須強(qiáng)調(diào)幾

何圖形，圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)解決問題的思路，確定解決代數(shù)問題的方向

8.請闡述全面的認(rèn)識立體幾何的價(jià)值。

答：立體幾何可以培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，直觀能力和推理能力。在以往的教學(xué)中，更

加強(qiáng)調(diào)立體兒何在培養(yǎng)學(xué)生推理能力方面的作用，而以往容易忽視對空間想象能力和直觀能力

的培養(yǎng)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，立體幾何是培養(yǎng)空間想象力和直觀能力的最好載體，因此在立體幾何

初步中重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和直觀能力。綜合幾何具有培養(yǎng)推理能力的功能，同時(shí)向

量幾何解析幾何等也具有培養(yǎng)推理能力的作用。因此將推理能力的培養(yǎng)重點(diǎn)放在空間向量與立

體幾何中。

9.闡述如何在教學(xué)中把握基本不等式的難度。

答：可以從未知元的方面控制難度，基本不等式僅限于二元均值不等式，不必推廣到三個(gè)

以上的情形；還可以從變形技巧方面控制難度，不要求掌握復(fù)雜的恒等變形技巧。教學(xué)時(shí)突出

基本不等式解決問題的基本方法和基本的應(yīng)用，其中運(yùn)用基本不等式求值是用基本不等式解決

問題的一個(gè)重要應(yīng)用。

運(yùn)用基本不等式求值時(shí)，注意以下幾個(gè)條件;

（1）兩個(gè)變量必須是正變量；（2）當(dāng)他們的和為定值時(shí)積取得最大值，當(dāng)它們的積是定值時(shí)，

其和取得最小值；（3）當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)數(shù)相等時(shí)取最值；即必須同時(shí)滿足“正值”，“定值”，“相

等”三個(gè)條件才能求得最值。

10請簡要描述數(shù)學(xué)應(yīng)用意識及推理能力的主要表現(xiàn)。

答：應(yīng)用意思主要表現(xiàn)在認(rèn)識到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)涵著大量的數(shù)學(xué)信息，數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中有

著廣泛的應(yīng)用；面對實(shí)際問題時(shí)，能主動嘗試著從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用所學(xué)知識和方法尋求解決問

題的策略；面對新的數(shù)學(xué)知識，能主動的尋找其實(shí)際背景，并探索其應(yīng)用價(jià)值。

推理能力主要表現(xiàn)在能通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋求證據(jù)，

給出證明或舉出反例；能清晰、有條理的表達(dá)自己的思考過程，做到言之有理落筆有據(jù)；在與

他人交流的過程中，能運(yùn)用數(shù)學(xué)語言合乎邏輯的進(jìn)行討論與質(zhì)疑。

一、考試性質(zhì)

安徽省中小學(xué)新任教師公開招聘考試為全省統(tǒng)一組織的公開性選拔考試，是落實(shí)“省考、

縣管、校用”教師管理體制的基礎(chǔ)工作。其目的是吸引有志于從事基礎(chǔ)教育事業(yè)的優(yōu)秀人才到

中小學(xué)任教，進(jìn)一步規(guī)范中小學(xué)新任教師公開招聘工作，把好教師‘‘入口關(guān)”?？荚嚥扇」P試和

面試相結(jié)合的方式進(jìn)行。筆試結(jié)果將作為安徽省中小學(xué)新任教師公開招聘面試的依據(jù)，同時(shí)納

入考試總成績。招聘考試從教師相應(yīng)崗位的專業(yè)素質(zhì)和教育教學(xué)能力等方面進(jìn)行全面考核，擇

優(yōu)錄取。招聘考試應(yīng)具有較高的信度、效度，必要的區(qū)分度和適當(dāng)?shù)碾y度。

二、考試目標(biāo)與要求

1.考試目標(biāo)

全面考查中學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)人員從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育、教學(xué)工作所必備的數(shù)學(xué)專業(yè)知識與教育教

學(xué)能力;對國家課程性質(zhì)、課程標(biāo)準(zhǔn)和現(xiàn)代教育教學(xué)理論的理解與應(yīng)用能力；分析教學(xué)問題和教

學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施能力;持續(xù)發(fā)展自身專業(yè)素養(yǎng)的能力。

2.考試要求

（1）全面考查《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》、《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》所要

求的學(xué)科基礎(chǔ)知識、技能和基本思想，重點(diǎn)考查支撐中學(xué)數(shù)學(xué)知識體系的重點(diǎn)內(nèi)容，注重中學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合性，從中學(xué)的整體高度和思維價(jià)值來考慮問題。

(2)對高等數(shù)學(xué)中對應(yīng)于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的相關(guān)知識的考查，立足于相應(yīng)知識點(diǎn)的深化,

能用高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、原理和方法來認(rèn)識、理解和解決中學(xué)數(shù)學(xué)未能深入解決的一些問題，體

現(xiàn)高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的緊密聯(lián)系，突出對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)理解。

(3)對中學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論及其應(yīng)用，側(cè)重考查對中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法的內(nèi)容與意義、中學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)目的與教材內(nèi)容、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法與基本原則、知識教學(xué)與能力培養(yǎng)、以及中學(xué)數(shù)

學(xué)教師常規(guī)教學(xué)工作的理解程度與認(rèn)識程度，以此來檢測考生進(jìn)入中學(xué)從事數(shù)學(xué)教育工作的潛

能與基本素質(zhì)。

試題要從中學(xué)數(shù)學(xué)教師入職的基本要求出發(fā)，注重考生對考查內(nèi)容的理解，淡化機(jī)械記憶

與特殊技巧。試題設(shè)計(jì)力求公平，貼近考生實(shí)際，在熟悉的情境中考查能力;試題設(shè)計(jì)力求入口

寬，方法多樣，并且具有層次，以使考生在公平的背景下展示真實(shí)水平。

三、考試范圍與內(nèi)容

(一)學(xué)科專業(yè)知識

第一部分初中數(shù)學(xué)知識

1.數(shù)與代數(shù)

有理數(shù)、實(shí)數(shù)、代數(shù)式、整式、分式。方程與不等式。函數(shù)。

2.圖形與幾何

常見平面圖形(如三角形、平行四邊形、圓等)性質(zhì)。尺規(guī)作圖。圖形的平移、對稱、相似

變換。證明與推理。

3.統(tǒng)計(jì)與概率

統(tǒng)計(jì)圖表的制作。平均數(shù)、方差、頻率、概率等統(tǒng)計(jì)量的概念以及意義。用樣本估計(jì)總體

的思想。

4.綜合與實(shí)踐

綜合與實(shí)踐的價(jià)值與意義，綜合與實(shí)踐活動的組織方式與評價(jià)方式。

第二部分高中及大學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)知識內(nèi)容

1.集合與常用邏輯用語

(1)子集、交集、并集、補(bǔ)集。

(2)四種命題之間的關(guān)系.充分、充要條件的判斷。

(3)全稱量詞與存在量詞。邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義。

2.函數(shù)

(1)映射。函數(shù)及其的基本性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性)。

(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)累及運(yùn)算。對數(shù)及運(yùn)算。指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、基函數(shù)及其圖像和性質(zhì)。反函

數(shù)。

(3)任意角的三角函數(shù)。同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正弦、余弦

公式，二倍角、半角公式。正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像及性質(zhì)。正弦定理、余弦定

理。解斜三角形。

(4)基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)及其應(yīng)用。

3.不等式、數(shù)列與極限

(1)不等式的基本性質(zhì)。不等式的證明、不等式的解法。含絕對值不等式。方程與不等式的

同解原理。初等超越方程的解法。

(2)均值不等式、貝努利不等式、柯西不等式。凸函數(shù)定理與排序定理。

(3)等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式，以及前n項(xiàng)和公式。線性遞歸數(shù)列以及通項(xiàng)公式。

(4)極限。數(shù)列極限、函數(shù)極限。連續(xù)函數(shù)的概念。

4.算法初步

(1)算法。程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序、條件分支、循環(huán)。

(2)基本算法語句。算法的基本思想。

5.排列組合與二項(xiàng)式定理

(1)排列、組合、排列數(shù)、組合數(shù)。

(2)分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理，常見排列或組合問題的解決方法。

(3)相異元素允許重復(fù)的排列與組合、不盡相異元素的排列與組合。抽屜原理。

(4)二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)展開式的性質(zhì)以及應(yīng)用。

6.向量與復(fù)數(shù)

(1)平面向量的意義、幾何表示以及向量運(yùn)算的法則。平面向量的加法與減法、實(shí)數(shù)與向量

的積、平面向量的坐標(biāo)表示、平面向量的數(shù)量積、平面兩點(diǎn)間的距離。

(2)空間向量?？臻g向量的基本定理?？臻g向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示?？臻g向量的數(shù)量

積及其坐標(biāo)表示。直線的方向向量與平面的法向量。向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系。

用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算。向量方法在研究幾何問

題中的應(yīng)用。

(3)數(shù)系擴(kuò)充。復(fù)數(shù)的概念。復(fù)數(shù)的運(yùn)算。復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算。

7.推理與證明

(1)合情推理。演繹推理。

(2)直接證明的兩種基本方法一分析法和綜合法。間接證明的一種基本方法——反證法。數(shù)

學(xué)歸納法。

8.導(dǎo)數(shù)與積分

(1)導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

(2)基本導(dǎo)數(shù)公式。導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則。簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

(3)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)的極大值、極小值。閉區(qū)間上

連續(xù)函數(shù)的最大值、最小值。用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題。微分中值定理。

(4)不定積分的定義、性質(zhì)?；痉e分公式。簡單函數(shù)的不定積分。

(5)定積分的性質(zhì)及其幾何意義。牛頓―萊布尼茨公式。用定積分求曲線長度、區(qū)邊梯形面

積。

(6)微積分基本定理。微積分的基本思想。

9.立體幾何

(1)柱、錐、臺、球及其簡單組合體。三視圖。斜二側(cè)法畫簡單立體圖形的直觀圖。

(2)球、棱柱、棱錐、臺、球的表面積和體積的計(jì)算公式。

(3)空間兩直線、兩平面、直線與平面的幾種位置關(guān)系；可以作為推理依據(jù)的公理和定理。

10.解析幾何

(1)直線的傾斜角和斜率。直線的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般式。

(2)兩條直線所成的角和點(diǎn)到直線的距離公式。兩條直線的位置關(guān)系。

(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程。橢圓、雙曲線、拋物線的定義以及標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)。

(4)曲線與方程。坐標(biāo)法解決問題的基本思想。直線與圓、橢圓、雙曲線、拋物線的位置關(guān)

系。

(5)空間曲線與方程的概念?？臻g直線、空間平面的方程。

(6)極坐標(biāo)與參數(shù)方程。直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的參數(shù)方程。利用參數(shù)方程解決

解析幾何中的簡單問題。

11.概率與統(tǒng)計(jì)

(1)隨機(jī)抽樣。簡單隨機(jī)抽樣，分層抽樣和系統(tǒng)抽樣及方法。

(2)隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，概率的意義。兩個(gè)互斥事件的概率加法公式。

(3)古典概型及其概率計(jì)算公式。幾何概型。

(4)取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差及其分布列，簡單離散型隨機(jī)變量的均值、

方差。

(5)條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念。二項(xiàng)分布。

(6)分布的意義和作用，頻率分布表，頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖。用樣本估計(jì)

總體。

(7)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義。

(8)超幾何分布。

(9)獨(dú)立性檢驗(yàn)(只要求2義2列聯(lián)表)的基本思想、方法?；貧w的基本思想、方法。

12.線性代數(shù)

(1)線性代數(shù)的基本內(nèi)容。

(2)行列式。行列式的性質(zhì)。行列式的計(jì)算。

(3)矩陣、向量空間。矩陣的初等變換以及向量間的線性關(guān)系。解線性方程組。

(二)學(xué)科課程與教學(xué)論及其應(yīng)用

1.了解《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》和《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的相關(guān)內(nèi)容，理解

課程性質(zhì)、課程的基本理念、課程設(shè)計(jì)思路、內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)與實(shí)施建議。

2.能根據(jù)中學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容與學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，分析所給內(nèi)容在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科知識體系中

的地位和作用，理解教材編排意圖，分析教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)等，科學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)計(jì)劃；

能根據(jù)提供的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)資源設(shè)計(jì)教學(xué)過程或教學(xué)片段；能引導(dǎo)和幫助學(xué)生設(shè)計(jì)個(gè)性化的學(xué)

習(xí)計(jì)劃。

3.理解中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程的本質(zhì)，理解中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的常用方式：啟發(fā)式、探究式、討論

式、參與式等，并能應(yīng)用這些教學(xué)方式實(shí)現(xiàn)知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)；

了解數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)探究的基本內(nèi)涵，能引導(dǎo)中學(xué)生獨(dú)立思考和主動思考，發(fā)展學(xué)

生創(chuàng)新能力;能運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)手段輔助教學(xué)。

4.了解數(shù)學(xué)教育評價(jià)的基礎(chǔ)知識與方法，能對提供的教案或教學(xué)片段進(jìn)行分析、評價(jià)與改

進(jìn)等。

四、考試形式和試卷結(jié)構(gòu)

1.考試形式：閉卷、筆試。

2.考試時(shí)間150分鐘，試卷分值120分。

3.主要題型：試卷客觀試題與主觀試題相結(jié)合，客觀試題有選擇題、填空題等題型，主觀

試題有簡答題、論述題、材料解析題、案例分析題、教學(xué)片段設(shè)計(jì)等題型。

4.內(nèi)容比例：學(xué)科專業(yè)知識部分約占70%,學(xué)科課程與教學(xué)論及應(yīng)用部分約占30%。

初中數(shù)學(xué)公式表

年式分類公式表達(dá)式

平方差a2-b2=(a+b)(a-b)

差的平方(a+b)2=a2+b2+2ab(a-b)2=a2+b2-2ab

差的立方a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

Ia+b|Wa+bIa-b|^|a|+|b|aWb<=>-bWaWb

.角不等式

|a-b|2|a|-|b|-|a|WaW|a|

三二次方程

-b+V(b2-4ac)/2a-b-b+J(b2-4ac)/2a

的解

可系數(shù)的關(guān)

Xl+X2=-b/aXl*X2=c/a注：韋達(dá)定理

系

b2-4a=0注：方程有相等的兩實(shí)根

判別式b2-4ac>0注：方程有一個(gè)實(shí)根

b2-4ac<0注：方程有共枕復(fù)數(shù)根

三角函數(shù)公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

角和公式

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

tan2A=2tanA/(l-tan2A)ctg2A=(ctg2A-l)/2ctga

音角公式

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a

sin(A/2)=V((1-cosA)/2)sin(A/2)=-V((1-cosA)/2)

cos(A/2)=V((1+cosA)/2)cos(A/2)=-V((1+cosA)/2)

6角公式

tan(A/2)=J((l-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-V((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=V((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-V((1+cosA)/((1-cosA))

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

書差化積sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+l)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-l)=n2

絲數(shù)列前n2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)l2+22+32+42+52+62+72+82+-+n2=n(n+1)(2n+l)/6

項(xiàng)和

l*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…

13+23+33+43+5:!+63+???n3=n2(n+l)2/4

+n(n+l)=n(n+l)(n+2)/3

E弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圓半徑

轉(zhuǎn)弦定理b-a2+c2-2accosB注：角B是邊a和邊c的夾角

解析幾何公式

向標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：（a,b）是圓心坐標(biāo)

自一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0

勿線標(biāo)準(zhǔn)方

yJ2Pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

程

幾何圖形公式

麥柱側(cè)面積S=c*h斜棱柱側(cè)面積S=c'*h

麥錐側(cè)面積S=l/2c*h，正棱臺側(cè)面積S=l/2(c+c，)hJ

臺側(cè)面積S=l/2(c+c')l=pi(R+r)1球的表面積S=4pi*r2

柱側(cè)面積S=c*h=2pi*h圓錐側(cè)面積S=l/2*c*l=pi*r*l

瓜長公式l=a*r(a是圓心角的弧度數(shù)r>0)扇形面積公式s=l/2*l*r

本體積公式V=1/3*S*H圓錐體體積公式V=l/3*pi*r2h

本體積公式V二s*h圓柱體V=pi*r2h

?棱柱體積V=S'L(S'是直截面面積，L是側(cè)棱長)注：pi=3.14159265358979...

實(shí)用工具:常用數(shù)學(xué)公式

公式分類公式表達(dá)式

乘法與因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式|a+b|<|a|+|b||a-b|<|a|+|b||a|<b<=>-b<a<b

|a-b|>|a|-|b|Ta|4a4|a|

一元二次方程的解-b+d(b2-4ac)/2a-b-^(b2-4ac)/2a

根與系數(shù)的關(guān)系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韋達(dá)定理

判別式b2-4ac=0注：方程有兩個(gè)相等的實(shí)根

b2-4ac>0注：方程有兩個(gè)不等的實(shí)根

b2-4ac<0注：方程沒有實(shí)根，有共掘復(fù)數(shù)根

三角函數(shù)公式

兩角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=^((1-cosA)/2)sin(A/2)=-^/((1-cosA)/2)

COS(A/2)=A/((1+COSA)/2)COS(A/2)=-^/((1+COSA)/2)

tan(A/2)=^((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=->/((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=V((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=H((1+cosA)/((1-cosA))

和差化積

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些數(shù)列前n項(xiàng)和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+...+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+...+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+...+(2n)=n(n+1)

12+22+32+42+52+62+72+82+...+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+...n3=n2(n+1)2/4

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圓半徑

余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是邊a和邊c的夾角

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：(a,b)是圓心坐標(biāo)

圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0

拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

直棱柱側(cè)面積S=c*h斜棱柱側(cè)面積S=c'*h

正棱錐側(cè)面積S=1/2c*h'正棱臺側(cè)面積S=1/2(c+c')h'

圓臺側(cè)面積S=1/2(c+c')kpi(R+r)l球的表面積S=4pi*r2

圓柱側(cè)面積S=c*h=2pi*h圓錐側(cè)面積S=1/2*c*l=pi*r*l

弧長公式l=a*ra是圓心角的弧度數(shù)r>0扇形面積公式s=1/2Tr

錐體體積公式V=1/3*S*H圓錐體體積公式V=1/3*pi*r2h

斜棱柱體積V=S'L注：其中,S'是直截面面積，L是側(cè)棱長

柱體體積公式V=s*h圓柱體V=pi*r2h

一、數(shù)與代數(shù)A：數(shù)與式：

1：有理數(shù)

有理數(shù)：①整數(shù)3正整數(shù)/o/負(fù)整數(shù)②分?jǐn)?shù)好正分?jǐn)?shù)/負(fù)分?jǐn)?shù)

數(shù)軸：①畫一條水平直線，在直線上取一點(diǎn)表示o(原點(diǎn))，選取某一長度作為單位長度，規(guī)定

直線上向右的方向?yàn)檎较颍偷玫綌?shù)軸

②任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示。

③如果兩個(gè)數(shù)只有符號不同，那么我們稱其中一個(gè)數(shù)為另外一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個(gè)數(shù)互

為相反數(shù)。

在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)，位于原點(diǎn)的兩側(cè)，并且與原點(diǎn)距離相等。

④數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大。正數(shù)大于0,負(fù)數(shù)小于0,正數(shù)大于負(fù)數(shù)。

絕對值：①在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的絕對值。

②正數(shù)的絕對值是他本身/負(fù)數(shù)的絕對值是他的相反數(shù)/0的絕對值是0。兩個(gè)負(fù)數(shù)

比較大小，絕對值大的反而小。

有理數(shù)的運(yùn)算：加法：①同號相加，取相同的符號，把絕對值相加。②異號相加，絕對值相等

時(shí)和為0；絕對值不等時(shí)，取絕對值較大的數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。

③一個(gè)數(shù)與0相加不變。

減法：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。

乘法：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，絕對值相乘。②任何數(shù)與0相乘得0。③乘積為1

的兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)。

除法：①除以一個(gè)數(shù)等于乘以一個(gè)數(shù)的倒數(shù)。②0不能作除數(shù)。

乘方：求N個(gè)相同因數(shù)A的積的運(yùn)算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫事，A叫底數(shù)，N叫次數(shù)。

混合順序：先算乘法，再算乘除，最后算加減，有括號要先算括號里的。

2：實(shí)數(shù)

無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)

平方根：①如果一個(gè)正數(shù)X的平方等于A,那么這個(gè)正數(shù)X就叫做A的算術(shù)平方根。②如果一

個(gè)數(shù)X的平方等于A,那么這個(gè)數(shù)X就叫做A的平方根。③一個(gè)正數(shù)有2個(gè)平方根/0的平方根

為0/負(fù)數(shù)沒有平方根。④求一個(gè)數(shù)A的平方根運(yùn)算，叫做開平方，其中A叫做被開方數(shù)。

立方根：①如果一個(gè)數(shù)X的立方等于A,那么這個(gè)數(shù)X就叫做A的立方根。②正數(shù)的立方根是

正數(shù)/0的立方根是0/負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)。③求一個(gè)數(shù)A的立方根的運(yùn)算叫開立方，其中A叫

做被開方數(shù)。

實(shí)數(shù)：①實(shí)數(shù)分有理數(shù)和無理數(shù)。②在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)，倒數(shù)，絕對值的意義和有理數(shù)范

圍內(nèi)的相反數(shù)，倒數(shù)，絕對值的意義完全一樣。③每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以在數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示。

3：代數(shù)式

代數(shù)式：單獨(dú)一個(gè)數(shù)或者一個(gè)字母也是代數(shù)式。

合并同類項(xiàng)：①所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)，叫做同類項(xiàng)。②把同類項(xiàng)合

并成一項(xiàng)就叫做合并同類項(xiàng)。③在合并同類項(xiàng)時(shí)，我們把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，字母和字母的指

數(shù)不變。

初中數(shù)學(xué)定義、定理、公理、公式匯編

直線、線段、射線

1.過兩點(diǎn)有且只有一條直線.

（簡：兩點(diǎn)決定一條直線）

2.兩點(diǎn)之間線段最短

3.同角或等角的補(bǔ)角相等.

同角或等角的余角相等.

4.過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直

5.直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短.（簡：垂線段最短）

平行線的判斷

1.平行公理經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.

2.如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行（簡：平行于同一直線的兩直

線平行）

3.同位角相等，兩直線平行.

4.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

5.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

平行線的性質(zhì)

1.兩直線平行，同位角相等.

2.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

3.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

三角形三邊的關(guān)系

1.三角形兩邊的和大于第三邊、三角形兩邊的差小于第三邊.

三角形角的關(guān)系

1.三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.

2.直角三角形的兩個(gè)銳角互余.

3.三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

4.三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.

全等三角形的性質(zhì)、判定

1.全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等.

2.邊角邊公理（SAS）有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

3.角邊角公理（ASA）有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

4.推論（AAS）有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

5.邊邊邊公理（SSS）有三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

6.斜邊、直角邊公理（HL）有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.

角的平分線的性質(zhì)、判定

性質(zhì)：在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.

判定：到一個(gè)角的兩邊的距離相同的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上.

等腰三角形的性質(zhì)

1.等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的兩個(gè)底角相等（即等邊對等角）.

2.推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊.

3.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合.

4.推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.

等腰三角形判定

1等腰三角形的判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（等

角對等邊）

2.三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.

3.有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.

線段垂直平分線的性質(zhì)、判定

1.定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

2.逆定理：和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.

3.線段的垂直平分線可看作和線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合.

軸對稱、中心對稱、平移、旋轉(zhuǎn)

1.關(guān)于某條直線對稱的兩個(gè)圖形是全等形

2.如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線

3.兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點(diǎn)在對稱軸上

4.若兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱.

5.關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形是全等的.

關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形，對稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分.

6.若兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn),并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)

成中心對稱.

7.平移或旋轉(zhuǎn)前后的圖形是不變的.中心對稱是旋轉(zhuǎn)的特殊形式。

勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a'+b'cz.

勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角

①直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.

②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半.

n邊形、四邊形的內(nèi)角和、外角和

1.四邊形的內(nèi)角和等于360。.

2.四邊形的外角和等于360。

3.多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于(n-2)180°.

4.推論任意多邊的外角和等于360。.

平行四邊形性質(zhì)

1.平行四邊形的對角相等.

2.平行四邊形的對邊相等.

3.夾在兩條平行線間的平行線段相等.

4.平行四邊形的對角線互相平分.

平行四邊形判定

1.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

2.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.3.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

4.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

5.一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形

矩形性質(zhì)

1.矩形的四個(gè)角都是直角.

2.矩形的對角線相等.

矩形判定

1.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

2.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.

3.對角線相等的平行四邊形是矩形.

菱形性質(zhì)

1、菱形的四條邊都相等.

2.菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.

3、菱形面積=對角線乘積的一半，叩5=」48

2

菱形判定

1.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

2.四邊都相等的四邊形是菱形

3.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

正方形性質(zhì)

L正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等.

2.正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角.

正方形判定

1.四個(gè)角都是直角，四條邊都相等的四邊形是正方形

2.對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.

等腰梯形性質(zhì)

1.等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等.

2.等腰梯形的兩條對角線相等.

等腰梯形判定

1.同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形

2.對角線相等的梯形是等腰梯形.

①經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線，必平分另一腰.

②經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線，必平分第三邊.

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.

梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半/=gg+b）,s=Lh

比例的基本性質(zhì)如果a:b=c:d<=>ad=bc

相似三角形判定

1.定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.

2.兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似.

3.兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似

4.三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似

5.如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一-條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)

成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似.

相似三角形性質(zhì)

1.相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

2.相似三角形周長的比等于相似比.

3.相似三角形面積的比等于相似比的平方.

4.位似圖形是相似圖形的特殊形式。位似比等于相似比。

圓

1.圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合.

2.圓的內(nèi)部可以看作是到圓心的距離小于半徑.的點(diǎn)的集合.

3.圓的外部可以看作是到圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合.

4.同圓或等圓的半徑相等.

5.不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。

垂徑定理

1.垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧.

推論1①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

3.圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形.

4.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等.

5.在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么

它們所對應(yīng)的其余各組量都相等.

圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

①同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓

中，相等的圓周角所對的弧也相等.

②半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90。

的圓周角所對的弦是直徑.

③如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，

那么這個(gè)三角形是直角三角形.

三角形的外心，三角形外接圓的圓心，它是三邊的中垂線的交點(diǎn)，到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

三角形的內(nèi)心，三角形內(nèi)切圓的圓心，它是三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，到三邊的距離相等.

直角三角形三邊為a、b、c,c為斜邊，則外接圓的半徑氏=￡；內(nèi)切圓的半徑r=

22

直線和圓的位置關(guān)系

①直線L和。0相交d<r

②直線L和(DO相切d=r

③直線L和。0相離d>r

切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這切線

切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑①經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).

②經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

切線長定理.從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩

條切線的夾角.

圓和圓的位置關(guān)系

如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上

①兩圓外離d>R+r

②兩圓外切d=R+r

③兩圓相交R-r<d<R+r(R>r)

④兩圓內(nèi)切d=R-r(R>r)

⑤兩圓內(nèi)含d<R-r(R>r)

正多邊形和圓

①依次連結(jié)各等分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形n(n23):

②經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形.

定理任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和-一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓.

正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于a=，(〃_2)180。

n

定理正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形.

正三角形面積5=如/,a表示邊長.

4

扇形弧長：I=衛(wèi)：

180

扇形面積：=L詠r=Lr

36021802

圓拄的側(cè)面積s=

圓拄的表面積s=27urh+

圓錐的側(cè)面積s=—J17irl=Tirl

2

圓錐的表面積s=7vrl+%廠之

幕的運(yùn)算：

①aWO時(shí)a°=l>a*p=----

ap

②a01a“=a^+n；(am)n=amn

③0的0次哥沒有意義

平方差：a2-b2=(a+b)(a-b)

完全平方：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2

推廣：a2+b2=(a+b)2-2ab(a-b)2=(a+b)2-4ab

一次函數(shù)y=kx+b(kWO)

k>0,y隨x的增大而增大

k<0,y隨x的增大而減少

正比例函數(shù)y=kx(kWO)

①k>0,y隨x的增大而增大，直線尸kx經(jīng)過(0,0),(1,k),經(jīng)過第一、三象限

②k<0,y隨x的增大而減少，直線產(chǎn)kx經(jīng)過(0,0),(1,k),經(jīng)過第二、四象限

反比例函數(shù)y=°(kWO)

x

①k>0,雙曲線在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，隨x的增大而減少.

②k<0,雙曲線在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，隨x的增大而增大當(dāng)

一元二次方程ax?+bx+c=O(b'-4ac20)根為

-b+ylb2-4ac-b-ylb2-4ac

XI=x2=

2a“2a

-b+ylb2-4ac-b-ylb2-4acb

Xi+X7=------------------------1---------------------------=—

2a2aa

-b+ylb2-4ac-b-\b2-4acc

x??x-------------------------?------------------------——

2la2aa

—元二次方程ax?+bx+c=O根的判別式.

b2-4ac=0口方程有兩個(gè)相等的實(shí)根.

b-4ac>0U>方程有兩個(gè)不等的實(shí)根.

b2-4ac<0一方程沒有實(shí)根.

二次函數(shù)y=ax?+bx+c(aWO)。

1?-42?=0<=>拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn).

b-4ac>0<=>拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

dTacVOB拋物線與x軸有沒有公共點(diǎn).

①拋物線的一般式：y=ax?+bx+c。(a#0)

②拋物線的頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k?

頂點(diǎn)(h,k),對稱軸為直線》=一且=〃

2a

最大(小)值為4ac-b2(左同右異)

4a

③拋物線的兩根式：y=a(x-xi)(x-x2)

常見的勾股數(shù)(整數(shù))3,4,5；6,8,10；5,12,13;8,15,17,9,40,41等。

常見的無理數(shù)；?，V2、回，等等

V2^1.414石=1.732V5?=2.236

銳角三角函數(shù)

a0°30°45°60°90°

中位數(shù)：把一列數(shù)從大到?。ɑ驈男〉酱螅┡帕?，若有奇數(shù)個(gè)數(shù)，中間一個(gè)為中位數(shù)，若有

偶數(shù)個(gè)數(shù)，中間兩個(gè)的平均數(shù)為中位數(shù).

1-

（2）方差公式：/=-［（+-3+（占-4++（4-箱.

n

五個(gè)連續(xù)整數(shù)的方差是2,標(biāo)準(zhǔn)差為五.

（望同學(xué)們在理解的基礎(chǔ)上記憶，重在運(yùn)用）

中

考

數(shù)

學(xué)

復(fù)

習(xí)

手

nn

姓名：

初中數(shù)學(xué)定理公式匯編

一、數(shù)與代數(shù)部分

i.數(shù)與式

實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).

整數(shù)(包括：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù))和分?jǐn)?shù)(包括：有限小數(shù)和無限環(huán)循小數(shù))都是有理數(shù).

如：-3,藥，0.231,0.737373—,廖，

無限不環(huán)循小數(shù)叫做無理數(shù).

如：口，一萬，0.1010010001…(兩個(gè)1之間依次多1個(gè)0).

實(shí)數(shù)的性質(zhì)：

①實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是一a,實(shí)數(shù)a的倒數(shù)是L(aWO)；

a

②實(shí)數(shù)a的絕對值：

a(a>0)

同=<0((2=0)

-a(a<0)

如：|——^2|—心；I3.14——n|=Ji—3.14.

③正數(shù)大于0,負(fù)數(shù)小于0,兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)，絕對值大的反而小。

一個(gè)近似數(shù)，從左邊笫一個(gè)不是0的數(shù)字起，到最末一個(gè)數(shù)字止，所有的數(shù)字，都叫做

這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字.

如：0.05972精確到0.001得0.060,結(jié)果有兩個(gè)有效數(shù)字6,0.

把一個(gè)數(shù)寫成±aXl(T的形式(其中l(wèi)Wa<10,"是整數(shù))，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法.

如：-40700=-4.07X105,0.000043=4.3x105.

二次根式：

①積與商的方根的運(yùn)算性質(zhì)：

\[ab-4a-4b(a20,b>0)；

[a_y[a

(a20,b>0)；

d廠存

②二次根式的性質(zhì):

a(a>0)

一a(a<0)

(2)整式與分式

同底數(shù)事項(xiàng)乘法：(考察學(xué)生的逆向思維)

同底數(shù)事項(xiàng)除法：a"'=an-n

塞的乘方：("")"=(a")"="加

積的乘方：an-bn=(ab)n

零指數(shù)幕：a°=l(awO)

負(fù)指數(shù)幕:=」—(awO)

ap

分?jǐn)?shù)的負(fù)指數(shù)：'=1*

平方差：(。+人)(4—乃=。2一〃(同號的平方一異號的平方)

和平方：(a+b)2=/+z3A+〃

差平方：(a-b)2=a2—2ah+b1

平方和：(通過移項(xiàng)而得到)

a2+b2=(a+b)2-2?Z?類推整體思想a2+-2

a~Ia)

a2+b2=(a-b)2+2ab類推整體思想a2+-L=|?-l|+2

a"1a)

和平方與差平方之間的關(guān)系：(做減法得到)

(a+b)2-(a-b)2=4ah

差的偶次方：(a-b)2n=(b-a)2n類推:(-a-b)2n=(a+b)2n

差的奇次方：(a-b)2n±1=-(b-a)2n±1類推：(-a-b)2n±,=-(a+b)2n±1

其它公式(盡量記憶)

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

分式

①分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式，分式

的值不變，即3=絲紗；3="二,其中m是不等于零的代數(shù)式；

bbxmbb+m

②分式的乘法法則：

bdbd

③分式的除法法則：(c-^0)；

bdbcbe

④分式的乘方法則：(￡)"=*"(n為正整數(shù))；

⑤同分母分式加減法則：4±2=幺土2；

CCC

口八e八_uK…a、dab±cd

⑥異分母分式加減法則：一土一二-------；

chhe

2.方程與不等式

①一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的求根公式：

xJ+加一4"-

2a

②一元二次方程根的判別式：\=b2-4ac叫做一元二次方程ad+^x+c=0(aWO)

的根的判別式：

A〉00方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

△=0=方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

△<00方程沒有實(shí)數(shù)根；

③一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：設(shè)再、％是方程ad+bx+c'nO<=>a(x—xi)(x

hr

—xz)=0(a#0)的兩個(gè)根，那么為+工2=---，xx=—；(韋達(dá)定理)

a12a

不等式的基本性質(zhì):

①不等式兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，不等號的方向不變;

②不等式兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變；

③不等式兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號的方向改變；

3.函數(shù)

平面直角坐標(biāo)系中的有關(guān)知識：

(1)對稱性：若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P(a,b),則P關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)為Pi(。，-b),P

關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)為P2(一a,b),關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)為P3(~a,—b).

(2)坐標(biāo)平移：若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P(a,b)向左平移h個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻(a—h,b),

向右平移h個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻(a+h,b)；向上平移h個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻(a,b+h),

向下平移h個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻(a,b—h).如：點(diǎn)A(2,—1)向上平移2個(gè)單位，再向

右平移5個(gè)單位，則坐標(biāo)變?yōu)锳(7,1).

一次函數(shù)：

h

一次函數(shù)的圖象：函數(shù)y=kx+b(k、b是常數(shù)，k￥0)的圖象是過點(diǎn)(0,b)和(一工,

0)且與直線丫=1?平行的一條直線；

一次函數(shù)的性質(zhì)：

性質(zhì)一：一次函數(shù)中k的取值決定了圖像的傾斜方向。

①k>0U直線必然經(jīng)過一、三象限，y的值隨著x的增大而增大。

②kVOU直線必然經(jīng)過二、四象限，y的值隨著x的增大而減小。

相關(guān)鏈接：

1.正比例函數(shù)y=-2x的圖像肯定經(jīng)過象限，同時(shí)y的值會隨著x

的增大而o

2.若一次函數(shù)丁=丘+3的圖像經(jīng)過一、三象限，且［3?=6,則一次函數(shù)的解

析式應(yīng)為。

答案：1.二、四；減小。2.y=2x+3

性質(zhì)二：一次函數(shù)中b的取值確定直線與y軸交點(diǎn)的位置，反之亦然。

①b>0U直線與y的交點(diǎn)在x軸的上方。

②b=()U直線過原點(diǎn)。

③bV()U直線與y的交點(diǎn)在x軸的下方。

相關(guān)鏈接：

1.已知一次函數(shù)y=2x+b的圖像與y軸相交負(fù)半軸，則圖像肯定會過()

A.一、二、三象限B.二、三、四象限

C.一、二、四象限D(zhuǎn).一、三、四象限

2.若一次函數(shù)y=gx+b的圖像，與x、y軸圍成的三角形面積為4,則一次

函數(shù)的解析式應(yīng)為O

答案：1.D.2.y=；x+2或y=gx-2

性質(zhì)三：當(dāng)k確定b變化時(shí)，圖像為無數(shù)條平行線；當(dāng)b確定k變化時(shí)，圖

像為一束都經(jīng)過點(diǎn)(0,b)的直線。

1.已知直線廣1?+1)經(jīng)過點(diǎn)A(0,6),且平行于直線y=-2x。

⑴求該函數(shù)的解析式；

⑵如果這條直線經(jīng)過點(diǎn)P（m,2）,求m的值。

2.如下圖，有四條直線圍成的正方形的面積為8,且四個(gè)頂點(diǎn)分別在X、y軸

上，則經(jīng)過四條直線的一次函數(shù)解析式分別是什么？

答案：1.(1)y=—2x+6；(2)2o

2.y=x+2,y=x